4.5函数的应用（二）同步练习（含解析）

4.5函数的应用（二）同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，，则的所有零点之和为（ ）
A． B． C． D．0
2．已知函数，，若，则零点的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如果是函数的零点，那么一定在下列哪个区间中（ ）
A． B． C． D．
4．分贝（）、奈培（）均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值．如果，那么（ ）（参考数据：）
A．8.686 B．4.343
C．0.8686 D．0.115
5．已知函数的图象在区间上连续不断，则“在上存在零点”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知函数的定义域为 ，，是偶函数，且当时，，则以下结论正确的是（ ）
A．在内的值域为 B．
C．在区间内单调递减 D．在]内零点之和为16
7．已知函数则“”是“有3个零点”的（ ）
A．充要条件 B．必要不充分条件
C．充分不必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．白色污染是人们对难降解的塑料垃圾（多指塑料袋）污染环境现象的一种形象称谓，经过长期研究，一种全生物可降解塑料（简称PBAT）逐渐被应用于超市购物袋 外卖包装盒等产品.研究表明，在微生物的作用下，PBAT最终可被完全分解为二氧化碳和水进入大自然，当其分解率（）超过60%时，就会成为对环境无害的物质.为研究总质量为的PBAT的已分解质量（单位：）与时间（单位：月）之间的关系，某研究所人员每隔1个月测量1次PBAT的已分解质量，对通过实验获取的数据做计算处理，研究得出已分解质量与时间的函数关系式为.据此研究结果可以推测，总质量为的PBAT被分解为对环境无害的物质的时间至少为（ ）（参考数据：）
A．8个月 B．9个月 C．10个月 D．11个月
二、多选题
9．已知函数是定义在上的增函数，且其图像是连续不断的曲线.若，（，），那么对上述常数，下列选项正确的是（ ）
A．一定存在，使得
B．一定存在，使得
C．不一定存在，使得
D．不一定存在，使得
10．下列结论正确的是（ ）
A．函数（是常数）的图象恒过点和
B．若，则
C．若，则
D．函数的零点所在的区间是
11．已知是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（ ）
A．的值域为 B．的最小正周期为4
C．在上有3个零点 D．
12．某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．8
三、填空题
13．已知函数且关于x的方程有7个不同实数解，则实数m的取值范围为 ．
14．已知函数函数有四个不同的零点，，，，且，则 .
15．现有两种理财产品，已知投资这两种理财产品所获得的年利润分别是和万元，它们与投入资金（万元）的关系如下：，某人有5万元准备投入这两种理财，则他可以获得的最大利润是 万元.
16．定义在上的函数满足，且当 时，．若方程有四个不相等的实数根，则t的取值范围是 ；这四个实数根的乘积为 ．
四．解答题
17．二次函数满足，再从条件①和条件②两个条件中选择一个作为已知，完成下面问题．
条件①：；
条件②：不等式的解集为．
(1)求函数的解析式；
(2)在区间上，函数有零点，试确定实数m的取值范围；
(3)设当（）时，函数的最小值为，求函数的解析式．
18．已知函数
(1)若函数图像与轴的两个交点的横坐标都在内，求实数的取值范围；
(2)若关于的一元二次方程在内有唯一解，求实数的取值范围.
19．如图所示，将一矩形花坛扩建成一个更大的矩形花坛，要求点在上，点在上，且对角线过点，已知米，米.

(1)设的长为米，试用表示矩形的面积；
(2)当的长度是多少时，矩形花坛的面积最小 并求出最小值.
20．某生活超市经销某种蔬菜，经预测从上架开始的第且天，该蓅菜天销量（单位：）为.已知该种蔬菜进货价格是3元，销售价格是5元，该超市每天销售剩余的该种蔬菜可以全部以2元的价格处理掉.若该生活超市每天都购进该种蔬菜，从上架开始的5天内销售该种蔬菜的总利润为元.
(1)求的解析式；
(2)若从上架开始的5天内，记该种蔬菜按5元售价销售的总销量与总进货量之比为，设，求的最大值与最小值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】先由为奇函数，推出关于对称，则，进而求出的解析式，则的解析式可求，解出根即可.
【详解】因为为奇函数，所以关于对称，
则关于对称，即，
当时，，
当时，，
则，
所以，
则，
因为，则或，
解得或，所以.
故选：A
2．D
【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案.
【详解】函数的图象如下，
令，则求在零点的个数，
由得，所以，
即方程有两个不相等正根，
令，可得，不成立，
所以，即求与的图象在交点的个数，
因为，所以，即，
解得，且，可得与的图象有2个交点，

当，且时，
与有8个交点，则零点的个数为8.

故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数.
3．B
【分析】根据函数零点存在性定理进行计算即可.
【详解】因为，易得是上的递增函数，
因为，
所以函数的唯一零点在区间内，
故选：
4．A
【分析】结合题意得到，再利用换元法与换底公式即可得解.
【详解】因为，，，
所以，令，则，
所以.
故选：A.
5．B
【分析】根据充分条件、必要条件的定义判断即可.
【详解】因为，．
“在上存在零点”时，不一定有“，”，故充分性不成立；
但“，”时，若、、中有，则在上存在零点，
若、、都不为，不妨设，由，
则、，所以，则在上存在零点，
综上可得由，一定有“在上存在零点”，故必要性成立.
故选：B．
6．A
【分析】根据题意，画出函数的部分图象，结合图象，利用函数的性质，逐项判定，即可求解.
【详解】由函数满足，可得函数的周期为，
又由是偶函数，可得函数关于对称，
因为时，，可得函数的部分图象，如图所示，
由图象可知，函数的值域为，所以A正确；
由，所以B错误；
由函数的周期为，则函数在与在区间上的单调性相同，
结合图象，可得函数在上单调递增，所以C错误；
由函数，令，可得，
则的零点个数，即为函数与的交点个数，
在区间有6个零点，且关于对称，所以零点之和为6，所以D错误.
故选：A.

7．B
【分析】令，得到时，，时，，构造，画出函数图象，得到有3个零点时，，再结合对恒成立，求出，得到答案.
【详解】当时，令，得，故，
当时，令，得，则，
令函数的图象，
画出和的图象，如图所示．

由图可知，当时，直线与的图象有3个交点．
因为对恒成立，所以对恒成立，所以．
故当有3个零点时，．
因为是的真子集，
所以“”是"有3个零点”的必要不充分条件．
故选：B
8．C
【分析】根据题意，令，求解即可.
【详解】令，得，解得，
故至少需要10个月，总质量为的PBAT才会被分解为对环境无害的物质.
故选：C.
9．AB
【分析】取，构造函数，确定函数单调递增，根据零点存在定理得到存在使得，再依次判断每个选项得到答案.
【详解】函数是定义在上的增函数，故，
对任意值，，考虑，函数单调递增，
则，，
故存在使得，即，
对选项A：，存在，使得，正确；
对选项B：，存在，使得，正确；
对选项C：，存在，使得，错误；
对选项D：，存在，使得，错误；
故选：AB.
10．BC
【分析】举反例可判断A；利用对数与指数的互化、对数的运算可判断B；根据对数的运算可判断C；利用零点存在定理可判断D.
【详解】对于A，当时，函数的定义域为，函数的图象不过点，故A错误；
对于B，若，则，
所以，故B正确；
对于C，若，则，故C正确；
对于D，因为，，
易知函数在上单调递增，且函数在此区间连续不间断，故D错误.
故选：BC.
11．BCD
【分析】根据函数的奇偶性与对称性得到函数图象，即可判断A、C，再求出周期，即可判断B、D.
【详解】对于A，因为是奇函数，所以的图象关于对称，且，
因为为偶函数，图象关于轴对称，且当时，，作出的图象，如下图所示：

由图可知，的值域为，故A错误；
对于B，因为是奇函数，所以，
即，因为为偶函数，
所以，即，
所以，即，所以函数的最小正周期为4，故B正确；
对于C，由图象可得在上，的图象与轴有3个交点，所以函数在上有个零点，故C正确；
对于D，由题意得，，所以，故D正确．
故选：BCD．
12．BC
【分析】根据题意列出不等式组得到且在上恒成立，结合对勾函数性质求出n的取值范围．
【详解】依题意，则，
由知：，且，
由知：在上恒成立，
因为在上递增，所以，即，
综上，，.
故选： BC
13．
【分析】本题属于嵌套型函数的解的问题，画出的函数图像，设，
根据题意，等价于方程，通过求的解的个数，利用数形结合，可求得的取值范围.
【详解】
由题意，的图像如图所示，因为有7个不同实数解，设，则方程有2个不等实根，且或，．
当，时，，满足题意；
当时，，解得．
综上，．
故答案为：
14．/0.5
【分析】将函数的零点问题转化为的图象与直线有四个交点问题，求解即可.
【详解】有四个不同的零点，，，，
即方程有四个不同的解，
即的图象与直线有四个交点．
在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，如图所示，

由二次函数的对称性可得，.因为，
所以，故.
故答案为：.
15．/
【分析】先求出总利润函数，利用换元法转化为一元二次函数，进而求解最值.
【详解】解：设这两种理财产品投入分别为，，总利润为，
故，
令，则，
故总利润即为，
即，
所当时，.
故答案为：.
16． 16
【分析】先分析出时，，将与的图象画在同一坐标系内，数形结合得到t的取值范围是，设四个根为，由对数函数的性质得到四个根的乘积.
【详解】时，，
当时，单调递减，当时，单调递增，
且，时，，
当时，时，又，所以，
方程有四个不相等的实数根，即与有四个交点，
将与的图象画在同一坐标系内，
则t的取值范围是，
四个不相等的实数根从小到大分别设为，
则，，
故，，
所以这四个实数根的乘积为.
故答案为：，16
17．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）若选①，设，根据条件代入列出关系式，求解即可. 若选②，设，求出，原题可转为已知一元二次不等式的解集求系数，根据一元二次方程与不等式的关系即可求得；
（2）求出函数在上的值域，依题意可得与在区间上有交点，即可求出参数的取值范围；
（3）对称轴为，讨论区间与对称轴的关系，结合二次函数的单调性，即可求得二次函数在闭区间上的最小值.
【详解】（1）若选①：由已知可设.
则，
所以，又，.
所以，解得，所以；
若选②：由已知可设.
则，所以，，
由，可得，
即的解集为.
所以和是方程的两个根且，
由韦达定理可得，解得，所以.
（2）由（1）可知，
则函数在上单调递减，又，，
所以在上的值域为，
因为在区间上，函数有零点，
即在区间上有解，
所以与在区间上有交点，
则，即实数m的取值范围.
（3）函数对称轴为，
当，即时，在上单调递减，
所以；
当，即时，；
当时，在上单调递增，.
综上所述，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）由一元二次方程根的分布求实数的取值范围；
（2）由一元二次方程根的分布求实数的取值范围；
【详解】（1）由题意得，令，即，
由于函数的两个零点都在内，即，
解得：，
则实数的取值范围是；
（2）由题意得，关于的一元二次方程在内有唯一解，
当时满足条件，解得；
当且时满足条件，解得；
当，解得，此时有，满足在内有唯一解，
所以关于的一元二次方程在内有唯一解，有或，
即实数的取值范围为.
19．(1)
(2)的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
【分析】（1）设的长为米，则米，由得到AM，然后由求解；
（2）由，利用基本不等式求解.
【详解】（1）解：设的长为米，则米，
∵，∴，
∴；
（2）记矩形花坛的面积为，
则，
当且仅当，即时取等号，
故的长为2米时，矩形花坛的面积最小，最小值为24平方米.
20．(1)
(2)最大值为，最小值为
【分析】（1）根据题意，得到前5天的销量，分和，两种情况讨论，分别求得函数的解析式，即可求解；
（2）根据题意，得到，结合函数的单调性，进而求得函数的最值.
【详解】（1）解：由第天销量为，
可得前5天销量依次为，
当时，可得；
当时，
可得，
所以的解析式为.
（2）解：从上架开始的5天内该种蔬菜的总进货量为，
当时，，可得
则，
因为与在上都是增函数，
所以在上是增函数，所以，.
答案第1页，共2页
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