整容机
代数诊所里来了两个整式：胖子和瘦子，他俩一进门就对医生诉说起来：“我们俩从来没有生活在一起，长得一点也不像，可有人偏说我俩是双胞胎，我俩今天来的目的就是想检查一下，我们到底是不是双胞胎．”
医生点点头：“你俩跟我来！”然后把胖子送到一台机器前，机器上方写着“分解因式机”，他把送到机器面前一照，图像很快就在屏幕上显示出来．
惊讶地叫起来：“怎么图像与我是一模一样呀？这是怎么回事呀？”
医生说：“这没有什么奇怪的，你们俩其实就是双胞胎，只不过你通过了这种分解因式机整过容罢了．”
“真的？”指着说：“那他能不能也到分解因式机里整容？”
“当然可以，他整容后的形象与你一模一样．”
“那我要是想现在整成他的那个样子，行不行？”
“行！”医生肯定地说．
“那咋整？”
医生把他带到这台机器的后面，只见上面写着：“整式乘法机”，医生说：“如果到这个整式乘法机里再整一次容，你就又变成他那个样子了，也就是你以前的样子．”
“那分解因式与整式的乘法两种手术是不是互逆的关系？”
“对，你真聪明！”
“那手术会失败吗？”
“手术可能会失败，但那是在庸医手里，在高明的医生手里是不会失败的．”
“怎么会这样呢？”
“有的医生学艺不精，比如把整成6（x2–4）的样子，就是庸医的杰作，他根本就没有整完，就撩手了．”
“但愿以后我再整容时不要碰到庸医手里．”
此时无声胜有声
??? 在数学上也不乏无声胜有声这种意境。1903年，在纽约的一次数学报告会上，数学家科乐走上讲台，他没有说一句话，只是用粉笔在黑板上写了两数的演算结果，一个是267–1，另一个是193707721×761838257287，两个算式的结果完全相同，这时，全场爆发出经久不息的掌声。这是为什么呢？
? 因为科乐解决了200年来一直没弄清的问题，即267–1是不是质数？现在既然它等于两个数的乘积，可以分解成两个因数，因此证明了267–1不是质数，而是合数。
科乐只作了一个简短的无声的报告，可这是他花了3年中全部星期天的时间，才得出的结论。在这简单算式中所蕴含的勇气。毅力和努力，比洋洋洒洒的万言报告更具魅力。
破译密码
通信双方为了保密，内部有一套秘密约定，这个秘密约定叫做密钥．如果他人掌握了这把秘密钥匙，就可以破译通信双方的秘密．
1976年，美国两位数学家提出了一个编码学中的新颖想法：应该有一种编码方法，即使把编码方法与密钥公之于众，别人也无法破译．第二年，他们的三位同事找到了一种实施办法，这种新的编码方法叫做RSA码，这名称由三位发明者姓氏的头一个字母组成．
1977年，当三位美国学者提出RSA码的时候，他们曾经预言：随意制造一个百位数字的密码，人们要破译它，至少需要两万年，即使计算机的性能提高百倍，也需要不间断地工作二三百年．
要破译128位数字密码，解这个密码的钥匙就藏在N=129位数字的两个素数因子之中．要分解N，大约需要23000年，但不到18年，这个密码就被人破译，意思是：“The magic words are squeamish ossifrage”——“谜一般的词是令人毛骨悚然的秃鹰”．
破译的关键是把RSA分布的N=129位数字分解出来了．
RSA—129为什么会如此快地被分解了呢？原来是全世界20多个国家的600多位因数分解迷自发地联合起来，利用计算机网络，同时进行分解活动，并不断地交流信息，汇总计算结果，用了不到一年的时间，便将RSA—129分解成64位与65位两个因子之积．“六百人集团”利用了先进的电脑及其网络，取得了令人叫绝的分解成果，但他们所用的数学方法却是古老的欧几里得除法与费马方法．
第四章 因式分解
总体说明
因式分解是代数的重要内容，它与整式和它在分式有密切联系，因式分解是在学习有理数和整式四则运算上进行的，它为今后学习分式运算，解方程及方程组及代数式和三角函数式恒等变形提供必要的基础。因此学好因式分解对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义．
本节是因式分解的第1小节，它主要让学生经历从分解因数到分解因式的过程，让学生体会数学思想——类比思想，分解的思想，逆向思考的作用，体会数学思维之间的整体联系。
一、学生知识状况分析
学生的技能基础：学生已经熟悉乘法的分配律及其逆运算，并且学习了整式的乘法运算，因此，对于因式分解的引入，学生不会感到陌生，它为今天学习分解因式打下了良好基础．
学生活动经验基础：由整式乘法寻求因式分解的方法是一种逆向思维过程，而逆向思维对于八年级学生还比较生疏，接受起来还有一定的困难，再者本节还没有涉及因式分解的具体方法，所以对于学生来说，寻求因式分解的方法是一个难点．
二、教学任务分析
基于学生在小学已经接触过因数分解的经验，但对于因式分解的概念还完全陌生，因此，本课时在让学生重点理解因式分解概念的基础上，应有意识地培养学生知识迁移的数学能力，如：类比思想，逆向运算能力等。因此，本课时的教学目标是：
1.使学生了解因式分解的意义，理解因式分解的概念．
2.认识因式分解与整式乘法的相互关系——互逆关系（即相反变形），并能运用这种关系寻求因式分解的方法．
3.通过解决实际问题，学会将实际应用问题转化为用所学到的数学知识解决问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识。
4.通过对分解因式与整式的乘法的观察与比较，学习代数式的变形和转化与化归的能力，培养学生的分析问题能力与综合应用能力．
情感与态度：
培养学生接受矛盾的对立统一观点，独立思考，勇于探索的精神和实事求是的科学态度。
重点：因式分解的概念
难点：难点是理解因式分解与整式乘法的相互关系，并运用它们之间的相互关系寻求因式分解的方法
三、教学过程分析
本节课设计了六个教学环节：复习回顾，比较探究（数→形→式）概念，引出概念（确认概念属性），类比练习，反馈练习，小结
第一环节 复习回顾：
活动内容：下题简便运算怎样进行
问题1：736×95+736×5 2，-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
设计意图：
观察实例，分析共同属性：解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式，此时学生对因式分解还相当陌生的，但学生对用简便方法进行计算应该相当熟悉．引入这一步的目的旨在设计问题情景，复习知识点与计算，引入新课，让学生通过回顾用简便方法计算 ——因数分解这一特殊算法，通过类比很自然地过渡到正确理解因式分解的概念上，从而为因式分解的掌握和理解打一个台阶。
第二环节 比较探究：
活动内容：问题3：(1)993-99能被99整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
993-99 = 99×992-99 = 99(992-1) ∴993-99能被99整除
(2)993-99能被100整除吗？为了回答这个问题，你该怎样做？把你的想法与同学交流。
小明是这样做的：993-99 = 99×992－99×1 = 99（992－1）
= 99（99+1）（99-1）
= 99×98×100
所以993-99能被100整除
活动目的：
以一连串的知识性问题引入，在学生已有的认识基础上，先让学生解决一些具体的数的运算问题，通过简便运算把一个式子化成几个数乘积的形式，并且问题的设置由浅入深，逐步让学生体会分解因数的过程和意义。这一环节的设置对学生理解下面因式分解的概念起到了很大帮助，体现了知识螺旋上升的思想。
想一想：（1）在回答993-99能否被100整除时，小明是怎么做的？
（2）请你说明小明每一步的依据。
（3）993-99还能被哪些正整数整除？为了回答这个问题，你该怎做？
与同学交流。
（老师点拨：回答这个问题的关键是把993-99化成了怎样的形式？）
小结：以上三个问题解决问题的关键是把一个数式化成了几个数的积的形式。
可以了解: 993-99可以被98、99、100三个连续整数整除.
将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?
学生探究发现：用a表示任意一个大于1的整数，则：
①你能理解吗?你能与同伴交流每一步怎么变形的吗？
②这样变形是为了达到什么样的目的？
活动目的：从知识性的问题过度到思考性的问题，巧妙设问：“将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?”引发学生联想到用字母表示数的方法，得出，这个过程对学生来说是思维上的一次飞跃，是从对具体、个别事物的认识上升到对一般事物规律性、结构性的认识，是对学生思维能力水平的一次提高，同时很自然的从分解因数过度到分解因式，初步树立起学生对因式分解概念的直观认识。
议一议：
经历从分解因数到分解因式的类比过程。探究概念本质属性。
第三环节：引出概念：
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
第四环节：类比练习
活动内容：
计算下列式子：
（1）3x(x-1)= ；
（2）m(a+b-1)= ；
（3）（m+4）(m-4)= ；
（4）（y-3）2= ；
根据上面的算式填空：
（1）3x2-3x= ；
（2）ma+mb-m= ;
（3）m2-16= ；
（4）y2-6y+9= ．
思考：因式分解与整式乘法有什么关系？举例说明
活动目的：通过两组互逆关系的练习，类比两种不同的逆运算，进一步让学生体会什么是分解因式，这个时候，分解因式的概念已基本在学生头脑中确立。由整式乘法的逆运算逐步过渡到因式分解，发展学生的逆向思维能力．
第五环节 反馈练习
活动内容：
看谁连得准
x2-y2 . (x+3)2
9-25 x 2 y(x -y)
+6x+9 (3-5 x)(3+5 x)
xy-y2 (x+y)(x-y)
下列哪些变形是因式分解，为什么？
（1）（a+3）(a -3)= a 2-9
（2）m 2-4=( m+2)( m-2)
（3）a 2-b2+1=( a +b)( a -b)+1
（4）2πR+2πr=2π（R+r）
活动目的：通过学生独立思考和讨论探究，从具体实例中进一步理解概念，抽象出新概念的本质属性加深对新概念的掌握。
第六环节 ：小结
活动内容：（1）你能说说什么是分解因式吗？
把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做把这个多项式分解因式。
（2）应该怎样认识“因式分解”？
分解因式与整式乘法是互逆过程.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
3.要分解到不能分解为止.
活动目的：回顾、总结、提高知识的系统性。
巩固练习：课本第94页习题2.1第3，4,5题
四、教学反思
关于如何上好数学概念课一直是数学教学中热点讨论的话题，也是难题，而真正有效的数学概念课教学是要让学生从根本上理解概念的意义，并学会灵活运用。
本节课以学生的思维进程发展为主线，采用逐步渗透，螺旋式类比方法，在概念引入时，从分解因数到分解因式的类比，到概念强化阶段，又以整式乘法与分解因式的过程类比，因式分解过程中正反两例的类比，逐渐加深学生的认识，主要体现在从一开始一连串的知识性问题引入，到后来环节中多次提出思考性的问题，启发、引导学生做进一步的猜想、探究，这种循序渐进的思维进程有助于学生理解接受新知识。
课件14张PPT。第四章 因式分解1 因式分解用简便方法计算：（1） 736×95+736×5
解 ：736×95+736×5=736×（95+5）
=736×100=73600
（2）-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
解：-2.67× 132+25×2.67+7×2.67
=2.67×（-132+25+7）=2.67×（-100）=-267-2.67× 132+25×2.67+7×2.67= 993-99能被100整除吗?小明是这样想的:
993-99=99×992-99 ×1
=99 ×(992-1)
=99 (99+1)(99-1)
= 99×100×98
所以, 993-99能被100整除.
你知道每一步的根据吗?
想一想: 993-99还能被哪些整数整除?答： 98， 99探究将99换成其他任意一个大于1的整数,上述结论仍然成立吗?用a表示任意一个大于1的整数，则： 上面式子化成了几个整式积的形式思考：因式分解与整式乘法有什么关系？ 因式分解定义把一个多项式化成____________的形式,这种变形叫做把这个多项式 分解因式与整式乘法是互 为逆运算关系.多项式的分解因式与整式乘法是方向相反的恒等式.几个整式的积分解因式，也叫因式分解。做一做计算下列个式:
3x(x-1)= _____
(m+4)(m-4)= ____
(y-3)2= _______根据左面的算式填空:
3x2-3x=_______
m2-16=__________
(3) y2-6y+9=______
(4)ma+mb+mc
= m(a+b+c)3x2-3xma+mb+mcm2-16y2-6y+93x(x-1) (m+4)(m-4) (y-3)2 （4） m(a+b+c) =_________ 左边式子的变形与右边式子的变形是互为逆运算变形过程.注意：
下列变形是因式分解吗？为什么？
（1）a+b=b+a （2）4x y–8xy +1=4xy(x–y)+1
（3）a(a–b)=a –ab （4）2a –2b =2(a–b)22 2222答：第（4）式是因式分解，其余都不是。
（1）分解因式与整式的乘法是一种互逆关系；
（2）分解因式的结果要以积的形式表示；
（3）每个因式必须是整式，且每个因式的次数都必须低于原来的多项式的次数；
（4）必须分解到每个多项式不能再分解为止．
辩一辩.的值求时，１当acabcba-===386.1,386.2,14.3解: ab-ac=a(b-c)
当a=3.14, b=2.386, c=1.386时,
原式=3.14×(2.386-1.386)
=3.14能力提升 拓展应用 2. 20082+2009能被2008整除吗?
解: ∵20082+2009=2008(2008+1)
=2008 ×2009
∴ 20082+2009能被2009整除３．（随堂练习p94１、２）体会.分享 能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？规律总结
对多项式分解因式与整式乘法是方向相反的两种恒等变形.
整式的乘法运算是把几个整式的积变为多项式的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
多项式的分解因式是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
分解因式要注意以下几点:
1.分解的对象必须是多项式.
2.分解的结果一定是几个整式的乘积的形式.
作业：
1. 书94页3,4,5
2. 数学练习册
