第四章 因式分解
回顾与思考
一、学生起点分析
学生的知识技能基础：学生已经学习了 ( http: / / www.21cnjy.com )因式分解的两种方法：提公因式法与公式法，逐步认识到了整式乘法与因式分解之间是一种互逆关系，但对因式分解在实际中的应用认识还不够深，应用不够灵活，对稍复杂的多项式找不出分解因式的策略．因此，教学难点是确定对多项式如何进行分解因式的策略以及利用分解因式进行计算及讨论.
学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中， ( http: / / www.21cnjy.com )学生已经经历了观察、对比、类比、讨论、归纳等活动方法，获得了一些对多项式进行分解因式以及利用分解因式解决实际问题所必须的数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
二、教学任务分析
在前几节的学习中，学生已经 ( http: / / www.21cnjy.com )掌握了提取公因式与公式法的用法，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，因此，本节课的教学目标是：
1．知识与技能：
（1）使学生进一步了解分解因式的意义及几种因式分解的常用方法；
（2）提高学生因式分解的基本运算技能；
（3）能熟练地综合运用几种因式分解方法．
2．过程与方法：
（1）发展学生对因式分解的应用能力，培养寻求解决问题的策略意识，提高解决问题的能力；
（2）注重学生对因式分解的理解，发展学生分析问题的能力和推理能力．
3．情感与态度：通过因式 ( http: / / www.21cnjy.com )分解综合练习和开放题练习，提高学生观察、分析问题的能力，培养学生的开放意识；通过认识因式分解在实际生活中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的意识．
三、教学过程分析
本节课设计了七个教学环节：知识回顾——总结归纳——小试牛刀——总结归纳
——能力提升――活学活用——永攀高峰．
第一环节 知识回顾
活动内容：1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？
3、分解因式常用的方法有哪些？
4、试着画出本章的知识结构图。
( http: / / www.21cnjy.com )
活动目的：学生通过回顾与思考，将本章的主要知识点串联起来．
注意事项：学生对因式分解的概念与两种常用方法以及分解因式与整式乘法的互逆关系有了较清楚的认识与理解，但语言叙述严谨性不够，有待加强．
第二环节 总结归纳（分五个知识点进行归纳训练）
活动内容：知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。
A.
B.
C.
D.
活动目的：加深学生对因式分解概念的认识．
注意事项：引导学生说出相应的理由．
活动内容：
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴
⑵
知识点三：利用公式法分解因式
例3.把下列各式分解因式
⑴
⑵
⑶
⑷
活动目的：（1）分类讲解分解因式的两种基本方法，加强学生对因式分解的基本技能训练；（2）增强学生在分解因式过程中运用整体思想进行运算．
注意事项：前五题学生完成得较好，但最后 ( http: / / www.21cnjy.com )一题，有的学生处理时显得有些茫然，教师在讲解时，应引导学生先化简整理，再考虑用公式或其它方法进行因式分解。
第三环节 小试牛刀
活动内容：练一练：把下列各式分解因式
（1）（a2+4）2–16a2
（2）
活动目的： 连续两次使用公式法进行分解因式。当多项式形式上是二项式时，应考虑用平方差公式，当多项式形式上是三项式时，应考虑用完全平方公式。
注意事项：区分两个公式法分解因式。
第四环节 总结归纳
活动内容：知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴
⑵
⑶
⑷
活动目的： 考察学生综合运用各种方法进行分解因式的能力，同时归纳分解因式的一般步骤和方法。
注意事项：先观察是否有公因式，若有公因 ( http: / / www.21cnjy.com )式提出后是否具有平方差公式或完全平方公式特征，若有使用公式法；若都没有，则考虑将多项式进行重新整理或分组后进行分解因式。
活动内容：知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算：
⑴
⑵
⑶（–2）101+（–2）100
例6．已知 ，求 的值。
例7.已知x+y=1，求的值．
例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
活动目的：使学生了解因式分解在计算 ( http: / / www.21cnjy.com )中的作用，例5考察分别考察运用公式法和提公因式法的应用，例6、例7考察分解因式后的整体代入求值，例8由特殊到一般鼓励学生自主发现规律特征，找到解决问题的方法。总之，应用因式分解来解决实际问题不失为一个有效的办法．
注意事项：乍一看，学生从前未接触过这种题型，因而不知从何下手，但在老师的引导和启发下，部分学生能解决提出的问题．
第五环节 能力提升
活动内容：知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
活动目的：加强因式分解在实际生活中的应用，发展学生对因式分解的应用能力，提高解决问题的能力．
注意事项：将数学与实际生活结合到一起是部 ( http: / / www.21cnjy.com )分学生的薄弱环节，但对于学生是一个有益的尝试，教师的引导应注意以下两个步骤：先将多项式因式分解；再将数据代入．
第六环节 活学活用
活动内容：练一练
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？
3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？
活动目的：通过设置恰当的、有一定梯度 ( http: / / www.21cnjy.com )的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．第1题主要考察学生对因式分解的实际应用能力，需要将实际问题转化为数学算式，再利用因式分解的特性求解；第2、3题主要考察学生对完全平方式的掌握，中等程度以上的学生都应该能解答；但第三题有两种情况需要考虑，部分学生被负号所迷惑只写了一个答案。
注意事项：注重学生将实际问题转化为数学问题的能力，同时需正确理解完全平方式的意义。
第七环节： 永攀高峰
活动内容：例10.利用分解因式说明： 能被120整除。
练一练： 可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数。
活动目的： 利用分解因式解决数字问题，需要一些小技巧，教师给出一例题讲解，学生效仿学习。
注意事项： 练一练有一定的难度，学有余力的学生可探究学习。、、\
课后练习：完成课后习题。
四、教学设计反思
在因式分解的几种方法中，提取公因式法师 ( http: / / www.21cnjy.com )最基本的的方法，学生也很容易掌握。但在一些综合运用的题目中，学生总会易忘记先观察是否有公因式，而直接想着运用公式法分解。这样直接导致有些题目分解错误，有些题目分解不完全。所以在因式分解的步骤这一块还要继续加强。其实公式法分解因式。学生比较会将平方差和完全平方式混淆。这是对公式理解不透彻，彼此的特征区别还未真正掌握好。大体上可以从以下方面进行区分。如果是两项的平方差则在提取公因式后优先考虑平方差公式。如果是三项则优先考虑完全平方式进行因式分解。
培养学生的整体观念，灵活运用公 ( http: / / www.21cnjy.com )式的能力。注重总结做题步骤。这章节知识看起来很简单，但操作性很强的，相同或者相似的式子比较熟悉而需要转化的或者多种公式混合使用的式子就难以入手，基础不好的学生需要手把手的教，因此，应该引导学生总结多项式因式分解的一般步骤①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式；③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试变形后选择分解方法；④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。另外，解题步骤教师应在黑板上示范，多做题、多小考，反复强调，在复习时还要加以巩固。《因式分解》要点复习
知识要点
1. 思想方法提炼
（1）直接用公式。如：x2－4＝（x＋2）（x－2）
（2）提公因式后用公式。如：ab2－a＝a（b2－1）＝a（b+1）（b－1）
（3）整体用公式。如：
（4）连续用公式。如：
（5）化简后用公式。如：
（a＋b）2－4ab
＝a2＋b2＋2ab－4ab
＝（a－b）2
（6）变换成公式的模型用公式。如：
2. 注意事项小结
（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。然后再考虑运用公式法
（2）要熟悉三个公式的形式特点。灵活运用对多项式正确的因式分解。
（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止。
3. 考点拓展研究
a. 分组分解法
在分解因式时，有时为了创造应用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，进行因式分解。
b. 用整体思想分解因式
在分解因式时，要建立一种整体思想和转化的思想。
【典型例题】
例1.
解：
例2.
解：
例3.
解：
例4.
解：
( http: / / www.21cnjy.com )
例5.
解：
例6.
解：
例7.
解：
例8.
精析：后三项提负号后是完全平方式。和原来的16a2正好可继续用平方差公式分解因式。
解：
点评：分组时，要注意各项的系数以及各项次数之间的关系，这一点可以启示我们对下一步分解的预测是提公因式还是应用公式等。(共17张PPT)
第四章 因式分解
回顾与思考
1、举例说明什么是分解因式。
2、分解因式与整式乘法有什么关系？
3、分解因式常用的方法有哪些？
4、试着画出本章的知识结构图。
知识回顾
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
分解因式
方法
提公因式法
运用公式法
整式乘法
互为逆运算
如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法。
如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。
平方差公式
完全平方公式
知识点一：对分解因式概念的理解
例1.下列式子从左到右的变形中是分解因式的为（ ）。
A.
B.
C.
D.
B
A选项没有化成几个整式的积的形式;
B选项运用完全平方公式;
C选项属于整式乘法;
D选项没有化成几个整式的积的形式.
总结归纳
知识点二：利用提公因式法分解因式
例2.把下列各式分解因式
⑴
解：原式
⑵
解：原式
公因式既可以是单
项式，也可以是多
项式，需要整体把
握。
例3.把下列各式分解因式
⑴ ⑵
解：原式 解：原式
⑶ ⑷
解：原式 解：原式
知识点三：利用公式法分解因式
可以先化简整理，再
考虑用公式或其它
方法进行因式分解。
小试牛刀
练一练：把下列各式分解因式
⑴
解：原式
⑵
解：原式
连续两次使用公式
法进行分解因式。
当多项式形式上是二
项式时，应考虑用平
方差公式，当多项式
形式上是三项式时，
应考虑用完全平方公
式。
知识点四：综合运用多种方法分解因式
例4.把下列各式分解因式
⑴ ⑵
解：原式 解：原式
⑶ ⑷
解：原式 解：原式
先观察是否有公因式，若有公因式提出后
看是否具有平方差公式或完全平方公式特
征，若有使用公式法；若都没有，则考虑
将多项式进行重新整理或分组后进行分解
因式。
知识点五：运用分解因式进行计算和求值
例5.利用分解因式计算
⑴ ⑵
解：原式 解：原式
⑶
解：原式
例6.已知 ，求 的值。
解：
例7.已知 ，求 的值。
解：
例8.计算下列各式：
你能根据所学知识找到计算上面算式的简便方法吗？请你利用你找到的简便方法计算下式：
知识点六：分解因式的实际应用
例9.如图，在一个半径为R的圆形钢板上，机械加工时冲去半径为r的四个小圆．
（1）用代数式表示剩余部分的面积；
（2）用简便方法计算：当R=7.5，r=1.25时，剩余部分的面积．
(2)当R=7.5，r=1.25时，
S=πR2 –4πr2
=π(R+2r)(R –2r)
=π(7.5+2×1.25)(7.5 –2×1.25)
=π×10×5=50π
解：(1)S=πR2 –4πr2
能力提升
1.正方形Ⅰ的周长比正方形Ⅱ的周长长96cm，它们的面积相差960cm2.求这两个正方形的边长。
活学活用
解：设正方形Ⅰ的边长为x cm,正方形Ⅱ的边长为y cm;
列方程得： 化简得：
整理得： 解得：
答：两个正方形的边长分别为32cm,8cm.
2.当x取何值时，x2+2x+1取得最小值？
3.当k取何值时，100 x2-kxy+49y2是一个完全平方式？
2. 解：x2+2x+1=(x+1)2
当x=-1时， x2+2x+1取得最小值0。
3.解：100 x2-kxy+49y2
=(10x)2-kxy+(7y)2
所以k=±2×10×7=±140
例10.利用分解因式说明： 能被120整除。
提示：底数不同，且指数不全为偶数，若考虑使用平方差公式则需要 转化底数。
解：
永攀高峰：
可以被60和70之间某两个自然数整除，
求这两个数。
答：这两个数分别为65和63。
解：
反复利用平方差公
式进行分解因式，
分解过程中需注意
题目中的条件要求，
分解因式“适可而止”。
作业
完成书上习题第四章测试题
一、选择题：（每小题3分，共24分）
1．下列各多项式中,不能用平方差公式分解的是( )
A.a2b2－1 B．4－0．25a2 C．－a2－b2 D．－x2+1
2．如果多项式x2－mx+9是一个完全平方式,那么m的值为( )
A．－3 B．－6 C．±3 D．±6
3．下列变形是分解因式的是( )
A．6x2y2=3xy·2xy B．a2－4ab+4b2=(a－2b)2
C．(x+2)(x+1)=x2+3x+2 D．x2－9－6x=(x+3)(x－3)－6x
4．下列多项式的分解因式，正确的是（ ）
A． B.
C. D.
5．满足的是（ ）
A. B. C. D.
6．把多项式分解因式等于（ ）
A B
C、m(a-2)(m-1) D、m(a-2)(m+1)
7．已知多项式分解因式为，则的值为（ ）
A、 B、 C、 D、
8、若n为任意整数，的值总可以被k整除，则k等于（ ）
A. 11 B. 22 C. 11或22 D. 11的倍数
二、填空题：（每小题3分，共24分）
9．多项式－2x2－12xy2+8xy3的公因式是_____________．
10．分解因式：__________
11．完全平方式
12．利用分解因式计算:32003+6×32002－32004=_____________．
13．若，则_________
14．若，则p= ，q= 。
15．已知，则的值是 。
16．已知正方形的面积是 （x>0，y>0）,利用分解因式，写出表示该正方形的边长的代数式 。
三、解答题：（共52分）
17：分解因式（16分）
（1）(x2+2x)2+2(x2+2x)+1 （2）
（3） （4）
18． 计算（每小题4分，共8分）
（1）2022+1982
（2）
19．已知x2－2(m－3)x+25是完全平方式,你能确定m的值吗 不妨试一试．（6分）
20．先分解因式,再求值：（6分）
已知，求的值。
21．不解方程组，求的值。（8分）
22．读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：（8分）
1+x+x(x+1)+x(x+1)2=(1+x)[1+x+x(x+1)]
=(1+x)2(1+x)
=(1+x)3
(1)上述分解因式的方法是 ，共应用了 次.
(2)若分解1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)2004，则需应用上述方法 次，结果是 .
(3)分解因式：1+x+x(x+1)+x(x+1)2+…+ x(x+1)n(n为正整数).
参考答案：
一、选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8
C D B B C C D A
二、填空题：
9：2x 10:2x(x+3)(x-3) 11:±12xy,2x±3y 12：0
13：(6x-4y)2 14：-2、-8 15：7 16：3x+y
三、解答题：
17：(1)（x+1）4 (2)(m-n)2(m+2)(m-2) (3) (4)8(a-b)2(a+b)
18：（1）80008 （2）
19：m=8或m=-2
20． 4
21：原式=7y(x-3y)2+2(x-3y)3
=(x-3y)2(7y+2x-6y)
=(x-3y)2(2x+y)
=12×6
=6.
22：（1）提公因式、2
（2）2004、(1+x)2005
（3）(1+x)n+1
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