5.1任意角和弧度制 同步练习（含解析）

5.1任意角和弧度制同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知角终边上有一点，则为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
2．下列命题中，正确的是（ ）
A．1弧度的角就是长为半径的弦所对的圆心角
B．若是第一象限的角，则也是第一象限的角
C．若两个角的终边重合，则这两个角相等
D．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关
3．下列各角中，与角终边重合的是（ ）
A． B． C． D．
4．砖雕是我国古建筑雕刻中的重要艺术形式，传统砖雕精致细腻、气韵生动、极富书卷气.如图所示，一扇环形砖雕，可视为将扇形OCD截去同心扇形OAB所得图形，已知，，，则该扇环形砖雕的面积为（ ）.

A． B． C． D．
5．在半径为9的圆中，的圆心角所对弧长为（ ）
A．900 B． C． D．
6．已知扇形的周长为8cm，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是（ ）
A． B．1 C．2 D．3
7．一只红蚂蚁与一只黑蚂蚁在一个圆（半径为1cm）的圆周上爬动，且两只蚂蚁均从点同时逆时针匀速爬动，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，则2秒钟后，两只蚂蚁之间的直线距离为（ ）
A．1 B． C． D．
8．设r为圆的半径，弧长为的圆弧所对的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的有（ ）
A．终边在轴上的角的集合为
B．已知，则
C．已知幂函数的图象过点，则
D．已知，且，则的最小值为8
10．已知{第一象限角}，{锐角}，{小于的角}，那么A、B、C关系是（ ）
A． B．
C． D．
11．下列各说法，正确的是（　　）
A．半圆所对的圆心角是π rad
B．圆周角的大小等于2π
C．1 弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1 弧度
12．若角的终边与角的终边关于轴对称，且，则的值可能为（ ）
A． B． C． D．
三、填空题
13．如图1，折扇又名“撒扇”“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨， 纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，其展开的平面图如图2的扇形，其中，则扇面（曲边四边形）的面积是 .

14．如图，在△ABC中，BC＝4，以点A为圆心，2为半径⊙A的与BC相切于点D，交AB于E，交AC于F，点P是⊙A上的一点，且∠EPF＝40°，则图中阴影部分的面积是 .（结果保留π）
15．若角的终边与角的终边相同，则在内与角的终边相同的角是 .
16．数学中处处存在着美，机械学家莱洛发现的莱洛三角形（图中实线）就给人以对称的美感．莱洛三角形的画法；先画等边三角形，再分别以点A，B，C为圆心，线段长为半径画圆弧，三段圆弧便围成了莱洛三角形．若莱洛三角形的周长为，则 ，等边三角形的面积是 ．
四、计算题
17．把下列角度与弧度进行互化．
(1)；
(2)；
(3)；
(4).
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
五、解答题
18．设，.
(1)将用弧度表示出来，并指出它的终边所在的象限；
(2)将用角度表示出来，并在内找出与它们终边相同的所有的角.
19．已知，.
(1)指出各自终边所在的象限；
(2)在内找出与终边相同的所有角.
20．如图，圆的半径为5，弦的长为 5.
(1)求圆心角的大小；
(2)求扇形的弧长及阴影部分的面积.
21．如图，点A，B，C是圆上的点．
(1)若，，求扇形AOB的面积和弧AB的长；
(2)若扇形AOB的面积为，求扇形AOB周长的最小值，并求出此时的值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】根据角终边上的点所在象限判断即可.
【详解】因为点在第四象限，
所以角为第四象限角.
故选：D.
2．B
【分析】由角度制和弧度制的定义，象限角的概念，判断各选项的正误.
【详解】1弧度的角就是长为半径的弧所对的圆心角，A选项错误；
若是第一象限的角，则是第四象限的角，所以是第一象限的角，B选项正确；
当，时，与终边重合，但两个角不相等，C选项错误；
不论是用角度制还是弧度制度量角，由角度值和弧度值的定义可知度量角与所取圆的半径无关，D选项错误.
故选：B
3．C
【分析】根据角的终边相同的集合判断选择即可.
【详解】与角终边重合的角为：，则当时，，故C正确.
经检验，其他选项都不正确.
故选：C.
4．D
【分析】根据题意，利用扇形的面积公式，即可求得扇环的面积，得到答案.
【详解】由题意知，，，，可得，
可得扇形的面积为，扇形的面积为，
所以该扇环形砖雕的面积为.
故选：D.
5．B
【分析】根据角度制与弧度制转化并结合弧长公式即可得到答案.
【详解】，则所对弧长为.
故选：B
6．C
【分析】根据扇形的面积公式及弧长公式，即可求得.
【详解】设扇形的弧长为，半径为，所以，，则，
所以扇形的圆心角的弧度数是.
故选：C.
7．A
【分析】作图利用单位圆解几何图形即可.
【详解】
如图所示，红蚂蚁以的速度爬行，黑蚂蚁以的速度爬行，
则2秒钟后，红蚂蚁绕圆的角度为，到达B处，黑蚂蚁绕圆的角度为，到达C处，
此时，即为正三角形，故.
故选：A
8．A
【分析】根据弧长、圆心角、半径的关系，代入求解，再转化为角度制即可.
【详解】由弧长、圆心角、半径的关系：，
弧长为的圆弧所对的圆心角：.
故选：A.
9．BC
【分析】A选项，终边在轴上的角的集合为；B选项，将指数式化为对数式，根据对数运算性质得到；C选项，根据函数为幂函数得到，再代入，求出，得到答案；D选项，根据基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【详解】A选项，终边在轴上的角的集合为，A错误；
B选项，因为，所以，
故，B正确；
C选项，因为为幂函数，所以，
故，将代入得到，解得，
故，C正确；
D选项，因为，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，
故的最小值为9，D错误.
故选：BC
10．BC
【分析】根据各集合所表示的角的范围一一分析即可.
【详解】对于A选项，除了锐角，还包括其它角，比如，所以A选项错误.
对于B选项，锐角是小于的角，故B选项正确.
对于C选项，锐角是第一象限角，故C选项正确.
对于D选项，中角的范围不一样，所以D选项错误.
故选：BC.
11．ABC
【分析】根据弧度制的定义即可判断．
【详解】由弧度制的定义可知：长度等于半径的弧所对的圆心角的大小是1弧度，则长度等于半径的弦所对的圆心角的大小不是1弧度，D的说法错误，
根据弧度的定义及角度与弧度的换算可知，ABC的说法正确．
故选：ABC
12．AD
【分析】写出，，再根据其范围即可得到答案.
【详解】因为角的终边与角的终边关于x轴对称，
所以，，
又因为，所以当时，，
当时，.
故选：AD.
13．/
【分析】由大扇形面积减去小扇形面积即可得．
【详解】，
由题意可得，扇形的面积是，扇形的面积是.则扇面（曲边四边形）的面积是.
故答案为：．
14．
【分析】根据条件得到，从而由扇形的面积公式求得扇形的面积，再求出的面积，即可求解.
【详解】由，
则，即，
又，则扇形的面积为，
又BC＝4，⊙A与BC相切于点D，
所以，
即图中阴影部分的面积是，
故答案为：．
15．/
【分析】根据终边相同角的表示，求得，令，求得，进而得到答案.
【详解】因为角θ的终边与角的终边相同，可得，
所以，
令，解得，所以，
所以在内与角的终边相同的角为.
故答案为：.
16．
【分析】根据条件，利用弧长公式即可求出，再利用三角形的面积公式求出三角形的面积即可.
【详解】由条件可知，弧长，
由，得三角形的边长.
在等边三角形中，边上的高为，
所以等边三角形的面积是.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
【分析】（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）由弧度制和角度值的转化公式解即可得出答案.
【详解】（1）.
（2）.
（3）.
（4）.
（5）.
（6）.
（7）.
（8）.
（9）
（10）.
18．(1)，第二象限
(2)；，
【分析】（1）利用将角度化为弧度，并得到其所在象限；
（2）利用将弧度化为角度，并写出与终边相同角的表示，根据范围列不等式即可求解.
【详解】（1）因为，所以，
所以的终边在第二象限；
（2），设，
因为，所以，所以或，
所以在内与终边相同的角是，.
19．(1) 在第二象限； 第一象限
(2)与终边相同的所有角有，与终边相同的角为.
【分析】（1）（2）根据终边相同的角即可求解.
【详解】（1），在第二象限；
在第一象限；
（2），与终边相同的角为，取
范围内与它们终边相同的所有角有
与终边相同的角为，取，
则范围内与它们终边相同的所有角有.
20．(1)
(2)，
【分析】（1）由等边三角形即可求解角.
（2）利用弧长公式以及扇形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由于圆O的半径为，弦AB的长为5，所以为等边三角形，所以．
（2）因为，所以，，又，所以阴影部分的面积
21．(1)面积为，弧AB的长为
(2)，
【分析】（1）根据扇形的弧长公式和面积公式进行计算即可.（2）根据扇形的弧长公式和面积公式结合基本不等式的应用进行求解.
【详解】（1）由题意知，设，所以
根据扇形弧长；
扇形面积；
（2）由，即，
扇形的周长为当且仅当等号成立，
所以由知：．
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