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5.12 实际问题与方程（三） 教学设计
一、教学目标
1.学习目标描述：理解有关两数之积的数量关系，掌握根据具体情境列出形如a（x±b）=c的方程来解决实际问题。
2.学习内容分析：例8创设了购买两种水果的现实问题情境。撇开各数量的具体内容，就它的数学意义来讲，可抽象为两积之和的数量关系，这种数量关系在生活中经常能遇到。而且，理解了两积之和的数量关系，也就容易理解两积之差、两商之差的数量关系。同时，例8的两个积中，有相同的因数，可以根据分配律，得到含小括号的方程。这些都使例8具有举一反三的典型意义。
3.学科核心素养分析：经历利用迁移类推的方法去解决实际问题的过程，培养方程意识和解决问题的策略方法。在解方程过程中培养思维能力,感受数学学习的乐趣，树立学习数学的信心。
二、教学重难点
1.重点：分析数量关系，会列出含有括号的方程并解答。
2.难点：列方程解答类似两积之和或差的问题。
三、教学过程
教学目标 教学活动 设计意图 效果评价
导入新课 复习旧知1.解方程。3x+2×7=20 （2.2+x）×4=122.超市今天各运来40件可乐和矿泉水，每件可乐有12瓶，每件矿泉水有24瓶，今天运来的这两种饮料一共有多少瓶？二、导入新课师：你都爱吃哪些水果？学生根据自己的实际自由说说。师：水果不但含有丰富的营养，而且能够促进消化。你瞧，明明的妈妈准备到超市买一些苹果和梨。板书课题：实际问题与方程（三） 通过复习旧知，检查学生掌握知识的情况，同时为后面学习新的知识做准备。 通过猜谜语，引发学生的注意力，调动学生学习新知的积极性和欲望。 教师观察学生的参与程度，给予及时的鼓励与表扬。
探究新知 任务一：获取信息，分析题意课件出示：妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱 师：读一读，说说你知道了哪些信息？学生独自观察，然后自由说说。师：要解决的问题是什么？学生：要解决苹果每千克多少钱？ 让学生通过观察交流，理解题意，为后面梳理数量之间的关系做准备。 老师通过提问了解学生情况，观察同学是否掌握本环节内容给予及时的鼓励与指导。
任务二：用方程解决问题师：请认真读一读，可以找到怎样的等量关系？学生独自读一读，然后集体反馈：苹果的总价+梨的总价=总价钱。师：我们都应该设哪个量为x？学生：苹果每千克的钱数。师：请大家根据找出的等量关系列出方程。学生尝试找出等量关系并列出方程：2x+3.8×2=16.4。师：想想怎样解这个方程，在练习本上算一算。学生尝试解方程，师巡视指导，然后展示反馈。根据学生的回答，课件出示：解：设苹果每千克x元。2x+3.8×2=16.42x+7.6=16.4（能先计算的部分先计算）2x+7.6－7.6=16.4－7.6（把2x看成一个整体） 2x=8.8 2x÷2=8.8÷2 x=4.4师：还有可以怎样列方程？引导学生得出：也可以这样想，两种水果的单价总和×2=总价钱，列方程为（3.8+x）×2=16.4。师：你会解这个方程吗？在练习本上算算。学生尝试解方程，然后展示：解：设苹果每千克x元。（3.8+x）×2=16.4（3.8+x）×2÷2=16.4÷23.8+x=8.23.8+x－3.8=8.2－3.8 x=4.4师：解这个方程，需要把什么看成一个整体？学生：把括号部分看成一个整体。师提示：括号外面的数消去后，去掉括号直接写数字。 师：这个方程还可以怎么解？学生：还可以利用运算律。（3.8+x）×2=16.47.6+2x=16.47.6+2x－7.6=16.4－7.6 2x=8.8 2x÷2=8.8÷2 x=4.4师：这里运用了什么运算定律？学生：乘法分配律。师指出：那我们怎么才能知道这个答案是正确的呢？谁能说说检验过程？学生自由说说：方程左边=（3.8+x）×2 =（3.8+4.4）×2 =8.2×2 =16.4 =方程右边所以，x=4.4是方程的解。师生一起写出答语。 让学生借助前面找出的等量关系，尝试列出方程，充分发挥学生的主体作用。在解方程过程中， 让学生体验解方程的过程，使学生知道解方程中要根据方程的特点和数字特点灵活选择合理的解答方法。通过检验，培养学生检验的好习惯，提高正确计算的能力。 教师观察学生的活动参与程度和提取已有知识经验的能力，给予及时的鼓励与表扬。
迁移运用 任务三：课堂练习基础题：1.王叔叔去商店买了6套衣服,一共用了528元，一条裤子38元，一件上衣多少元？ (用方程解答)2.五（1）班买5个篮球和8副乒乓球拍，付出800元，找回65元。每个篮球75元，每副乒乓球拍多少元 (用方程解) 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。 分层挑选学生的作答，及时了解不同层次学生的课堂效果，收集本节课学生知识吸收的反馈信息。
提高题：3.箱子里装有相同个数的红球和白球，每次取出8个红球和6个白球，取了若干次后，红球没有了，白球还剩12个，一共取了几次
拓展题 4.在下面的3个（ ）里填入相同的数，使等式成立。36×（ ）－（ ）×11－（ ）×8=51
作业设计 【知识技能类作业】 必做题：1.有98匹布，正好可以做20套儿童服装和20套成人服装。每套儿童服装用布1.6匹，每套成人服装用布x匹。关系式一： _____________+_____________=总匹数。列方程为： ____________________________________________________关系式二： (_____________+_____________)×20=总匹数。列方程为： ____________________________________________________2.学校买来6把椅子和2张桌子，一共用去606元。每张桌子120元，每把椅子多少钱 (列方程解答)选做题：1.妈妈买来3条毛巾和3块肥皂，共用去30.9元。已知每条毛巾6.5元，肥皂每块多少元 (列方程解答)2.益和药店购进一批相同数量的N95口罩和一次性普通口罩,共花了4800元。N95口罩1.5元/只，一次性普通口罩单价为0.5元。购进N95口罩多少只 (用方程解)【综合实践类作业】 找一找生活中对乘法分配律的应用实例。
板书设计 实际问题与方程（三） 解：设苹果每千克x元。 2x+3.8×2=16.4 （3.8+x）×2=16.4 2x+7.6=16.4 （3.8+x）×2÷2=16.4÷22x+7.6－7.6=16.4－7.6 3.8+x=8.2 2x=8.8 3.8+x－3.8=8.2－3.8 2x÷2=8.8÷2 x=4.4 x=4.4
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实际问题与方程（三）
人教版五年级上册
教学目标
1.理解有关两数之积的数量关系，掌握根据具体情境列出形如a（x±b）=c的方程来解决实际问题。
2.经历利用迁移类推的方法去解决实际问题的过程，培养方程意识和解决问题的策略方法。
3.在解方程过程中培养思维能力,感受数学学习的乐趣，树立学习数学的信心。
新知导入
1.解方程。
3x+2×7=20 （2.2+x）×4=12
解： 3x+14=20
3x+14－14=20－14
3x=6
3x÷3=6÷3
x=2
解：（2.2+x）×4÷4=12÷4
2.2+x=3
2.2+x－2.2=3－2.2
x=0.8
新知导入
2.超市今天各运来40件可乐和矿泉水，每件可乐有12瓶，每件矿泉水有24瓶，今天运来的这两种饮料一共有多少瓶？
可乐的瓶数+矿泉水的瓶数=总瓶数
12×40+24×40
=480+960
=1440（瓶）
答：今天运来的这两种饮料一共有1440瓶。
新知导入
水果不但含有丰富的营养，而且能够促进消化。
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
已知条件
苹果和梨各2 kg，共花费16.4元
梨每千克3.8元
问题：苹果每千克多少钱？
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
苹果的总价+梨的总价=总价钱
设苹果每千克的钱数为x。
方程是2x+3.8×2=16.4。
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
解：设苹果每千克x元。
2x+3.8×2=16.4
2x+7.6=16.4
2x+7.6－7.6=16.4－7.6
2x=8.8
2x÷2=8.8÷2
x=4.4
（能先计算的部分先计算）
（把2x看成一个整体）
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
也可以这样想。
两种水果的单价总和×2=总价钱
（3.8+x）
2
16.4
× =
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
解：设苹果每千克x元。
（3.8+x）×2=16.4
（3.8+x）×2÷2=16.4÷2
3.8+x=8.2
3.8+x－3.8=8.2－3.8
x=4.4
（把括号部分看成一个整体）
（括号外面的数消去后，
去掉括号直接写数字）
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
还可以利用运算律。
解：设苹果每千克x元。
（3.8+x）×2=16.4
7.6+2x=16.4
7.6+2x－7.6=16.4－7.6
2x=8.8
2x÷2=8.8÷2
x=4.4
（乘法分配律）
新知讲解
妈妈买苹果和梨各2 kg，共花费16.4元。梨每千克3.8元，苹果每千克多少钱
解：设苹果每千克x元。
（3.8+x）×2=16.4
（3.8+x）×2÷2=16.4÷2
3.8+x=8.2
3.8+x－3.8=8.2－3.8
x=4.4
检验
方程左边=（3.8+x）×2
=（3.8+4.4）×2
=8.2×2
=16.4
=方程右边
所以，x=4.4是方程的解。
答：苹果每千克4.4元。
课堂练习
基础题：
1.王叔叔去商店买了6套衣服，一共用了528元，一条裤子38元，一件上衣多少元？ (用方程解答)
解：设一件上衣x元。
（38+x）×6=528
（38+x）×6÷6=528÷6
38+x=88
38+x－38=88－38
x=50
答：一件上衣50元。
课堂练习
基础题：
2.五（1）班买5个篮球和8副乒乓球拍，付出800元，找回65元。每个篮球75元，每副乒乓球拍多少元 （用方程解）
解：设每副乒乓球拍x元。
75×5+8x=800－65
375+8x=735
8x=360
x=45
答：每副乒乓球拍45元。
课堂练习
提高题：
3.箱子里装有相同个数的红球和白球，每次取出8个红球和6个白球，取了若干次后，红球没有了，白球还剩12个，一共取了几次
解：设一共取了x次。
8x=6x+12
8x－6x=6x+12－6x
2x=12
x=6
答：一共取了6次。
课堂练习
拓展题：
4. 在下面的3个（ ）里填入相同的数，使等式成立。
36×（ ）－（ ）×11－（ ）×8=51
解：设（ ）里的数是x。
36x－11x－8x=51
（36－11－8）x=51
17x=51
x=3
3
3
3
课堂总结
通过今天的学习，你有哪些收获？
我知道列方程解决实际问题关键是找等量关系。
我还知道有括号的方程可以先用运算定律转化，也可以直接解。
板书设计
实际问题与方程（三）
解：设苹果每千克x元。
2x+3.8×2=16.4
2x+7.6=16.4
2x+7.6－7.6=16.4－7.6
2x=8.8
2x÷2=8.8÷2
x=4.4
（3.8+x）×2=16.4
（3.8+x）×2÷2=16.4÷2
3.8+x=8.2
3.8+x－3.8=8.2－3.8
x=4.4
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
1.有98匹布，正好可以做20套儿童服装和20套成人服装。每套儿童服装用布1.6匹，每套成人服装用布x匹。
关系式一： ____________________+____________________=总匹数。
列方程为：______________________________
关系式二： (_________________+________________)×20=总匹数。
列方程为： ______________________________________
20 套儿童服装用布总匹数
20 套成人服装用布总匹数
20×1.6+20x=98
一套儿童服装用布匹数
一套成人服装用布匹数
(1.6+x)×20=98
作业布置
【知识技能类作业】
必做题：
2.学校买来6把椅子和2张桌子，一共用去606元。每张桌子120元，每把椅子多少钱 （列方程解答）
解：设每把椅子x元。
120×2+6x=606
240+6x=606
6x=366
x=61
答：每把椅子61元。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
1.妈妈买来3条毛巾和3块肥皂，共用去30.9元。已知每条毛巾6.5元，肥皂每块多少元 (列方程解答)
解：设肥皂每块 x 元。
（6.5+x）×3=30.9
6.5+x=10.3
x=3.8
答：肥皂每块3.8元。
作业布置
【知识技能类作业】
选做题：
2.益和药店购进一批相同数量的N95口罩和一次性普通口罩，共花了4800元。N95口罩1.5元/只，一次性普通口罩单价为0.5元。购进N95口罩多少只 (用方程解)
解：设购进N95口罩x只。
（1.5+0.5）x=4800
2x=4800
x=2400
答：购进N95口罩2400只。
作业布置
找一找生活中对乘法分配律的应用实例。
【综合实践类作业】
谢谢
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《简易方程》单元整体设计
一、单元主题解读
（一）课程标准要求分析
《简易方程》单元是数与代数领域第三学段“数量关系”中的重要内容。《课程标准》在“内容要求”中指出：“根据具体情境理解等式的基本性质。在具体情境中，探索用字母表示事物的关系、性质和规律的方法，感悟用字母表示的一般性。能运用常见的数量关系解决实际问题，提高解决问题的能力。”在“学业要求”中指出：“能在具体问题中感受等式的基本性质。能在具体情境中，用字母或含有字母的式子表示数量之间的关系、性质和规律，感悟用字母表示具有一般性。”
（二）单元教材内容分析
本单元主要教学用字母表示数和解简易方程。在用字母表示数部分涉及到用字母表示数和数量关系、运算定律和计算公式；在解简易方程部分涉及方程的意义、等式的性质和解简易方程以及利用方程解决问题。教材在编排上，先通过用字母表示数逐步过渡到用字母表示数量关系、运算定律和计算公式；在学习解简易方程部分，教材先通过认识方程的意义和等式的性质，然后借助等式的性质解简易方程以及利用方程解决问题，由易到难，层层递进，符合学生的认知规律，更加便于学生有效掌握所学知识。本单元的学习是学生学习数学的一个转折点，既是学生进一步接触代数思想，又使学生建立初步的符号感，为今后学习代数知识打基础。
（三）学生认知情况
学生在学习本单元知识之前，在生活中也接触到了用字母表示数；在学习中，已经具备了一定的算术知识，也初步接触了一些代数知识，这为学习本单元的知识奠定了基础。用字母表示数对于五年级的学生来说，是学生学习数学的一个转折点，也是认识上的一次飞跃，更是学习代数初步知识的起步，由具体的数和运算符号组成的式子过渡到含有字母的式子比较抽象，学生理解起来会有一定的难度。
二、单元目标拟定
1.引导学生尝试用含有字母的式子表示数、数量关系、运算定律和计算公式，体验用字母表示数的作用，发展符号意识。
2.能将数字代入字母公式中进行计算，求含有字母式子的值。
3.借助天平认识方程，初步理解等式的基本性质，并能用等式的基本性质解简易方程。
3.初步学会列方程解决一些简单的实际问题，培养学生根据具体情况，灵活选择算法的意识和能力。
三、关键内容确定
（一）教学重点
1.用含有字母的式子表示数、数量关系、运算定律和计算公式，并能将数字代入字母公式中进行计算。
2.理解方程的意义和等式的性质，能用综合运用等式的性质1、 性质2解简易方程。
3.初步理解和掌握列方程解决简单的实际问题的步骤和方法。
（二）教学难点
1.正确地运用含有字母的式子表示常用的数量关系， 学会求简单的含有字母式子的值。
2.理解解方程的原理，掌握正确的解方程格式以及检验方法。
3.借助直观图和生活经验经历通过数量之间的等量关系列方程的过程， 初步建立方程意识和建模思想。
四、单元整合框架及说明
整合指导思想定位：
会用数学的眼光观察现实世界
会用数学的思维思考现实世界
会用数学的语言表达现实世界
这是数学课程的核心素养内容。理解用字母表示的一般性，形成初步的代数思维。用字母表示的教学要设计合理的实际情境，引导学生会用字母或含有字母的式子表达实际情境中的数量关系、性质和规律。运用数和字母表达数量关系，通过运算或推理解决问题，形成与发展学生的符号意识、推理意识和初步的应用意识。
本单元教科书编写的基本特点主要体现在：
有意识地渗透数学的思想方法。
在本单元的教学中，教材借助具体的情境，通过逐一列举渗透用字母表示数量关系的优越性，启发学生在抽象概括数量关系的过程中理解结论的一般性，体会字母、 符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
（2）以等式的基本性质为基础来解方程。
为了能够让学生顺利的解方程，教材在编排上引入了等式的基本性质，并以此为基础引导学生利用等式的性质1和等式的性质2解方程，让学生充分经历解方程的过程，促进学生同时考虑等号的两边，从整体上理解方程的含义，不仅利于学生理解方程所揭示的等量关系，还有助于逐步感悟方程的实质、等价思想和建模思想。
五、单元课时规划
单元划分依据 □课程标准 教材章节 □知识结构
课程内容模块 数与代数 □图形与几何 统计与概率 □综合与实践
单元数量 5
单元主题 单元名称 主要内容 课时
数与代数 简易方程 用字母表示数（一） 1
用字母表示数（二） 1
用字母表示数（三） 1
用字母表示数（四） 1
方程的意义 1
等式的性质 1
解方程（一） 1
解方程（二） 1
解方程（三） 1
实际问题与方程（一） 1
实际问题与方程（二） 1
实际问题与方程（三） 1
实际问题与方程（四） 1
实际问题与方程（五） 1
重点渗透的数学思想方法 抽象 符号化 分类 集合 对应 演绎 归纳 类比 转化 数形结合 □极限 模型 方程 □函数 统计 分析 综合 比较 □假设 □其他
课时 学习目标 评价形式 评价标准
5.1《用字母表示数（一）》 目标： 会用含有字母的式子表示简单的数量关系，初步了解含有字母的式子中省略乘号的书写方法；能正确地根据字母的取值求含有字母式子的值。 任务一：用含有字母的式子表示爸爸的年龄 → 任务二：用含有字母的式子表示人在月球上能举起的物体质量 → 1.根据数量关系先列表给出数的式子，然后用含有字母的式子表示爸爸的年龄，并初步理解字母的取值范围。 2.列出用具体的数表示的式子，提出用含字母式子表示一般情况的问题，并思考x的取值范围，并提出代入求值的问题。
5.2《用字母表示数（二）》 目标： 学会用字母表示运算定律和计算公式，理解一个数的平方的含义。经历用字母表示运算定律和计算公式的过程，并能将数字代入字母公式中进行计算。 任务一：用含有字母的式子表示运算律 → 任务二：用字母表示正方形的面积和周长公式 → 1.在回忆整理的同时，尝试用字母表示运算律。 2.回忆图形的面积、周长公式，用字母表示，引出“平方”的读写法。仿照样例，代入公式求值。
5.3《用字母表示数（三）》 目标： 经历运用含有字母的式子表示生活中稍复杂的数量关系的过程，使学生认识用字母表示数的意义和作用，能用字母表示数。 任务一：分析数量关系，用含有字母的式子表示数量关系 → 任务二：迁移类推，用代入法求值 → 1.根据已有知识经验，尝试用含有字母的式子表示大杯里的果汁还剩多少克。 2.运用代入法求值，明确式子中字母的取值范围。
5.4《用字母表示数（四）》 目标： 进一步学习用含有字母的式子来表示数量关系和化简，学会根据字母所取的值求含有字母的式子的值。 任务一：摆三角形所用小棒的根数 → 任务二：摆正方形所用小棒的根数 → 任务三：摆正方形和三角形共用小棒的根数 → 1.通过观察找到规律，并尝试用含有字母的式子表示摆三角形所用小棒的根数。 2.通过观察找到规律，并尝试用含有字母的式子表示摆正方形所用小棒的根数。 3.借助前面的结论，并尝试用含有字母的式子表示摆正方形和三角形共用小棒的根数。
5.5《方程的意义》 目标： 借助天平的平衡关系，初步理解方程的意义，明确方程与等式的关系，会写出简单的方程。 任务一：认识等式 → 任务二：探究方程的意义 → 任务三：认识方程 → 1.了解天平测量物体的方法后，并借助天平列出式子，认识等式。 2.借助天平列出等式——不等式——等式。 3.用方程表示生活情境中简单的数量关系，理解方程的意义。
5.6《等式的性质》 目标： 通过观察天平称重的具体情境，类比等式变形的过程，抽象出等式的性质，初步理解等式的基本性质。 任务一：探究等式的性质1 → 任务二：探究等式的性质2 → 1.通过观察发现平衡的天平两边加上（或减去）同样的物品，天平保持平衡。 2.逐步感悟到天平保持平衡的变化规律，自己总结出等式的性质2。
5.7《解方程（一）》 目标： 初步理解“方程的解” 与“解方程” 的含义，掌握解方程的方法。 任务一：探究方程的解法 → 任务二：检验方程的解 → 借助天平演示，展现了解方程的完整思考过程，并借助等式的性质1解方程。 2.采用代入法检验方程的解。
5.8《解方程（二）》 目标： 灵活运用等式的性质解方程的步骤和过程，掌握解方程的方法。进一步掌握解方程的书写格式和解方程的策略。 任务一：学习形如 ax＝b方程的解法 → 任务二：解形如a－x＝b 的方程 → 1.借助天平尝试解方程。 2.尝试解减数是未知数的方程。
5.9《解方程（三）》 目标： 学会解形如ax±b=c和a（x±b）=c类型的方程。进一步熟悉解方程的策略和书写格式。 任务一：探究形如ax±b=c方程的解法 → 任务二：探究形如a（x±b）=c方程的解法 → 1.借助直观图得出ax+b=c的方程，并经历解方程的过程，理解并掌握解形如ax±b=c方程的方法。 2.把小括号内的式子看作一个整体或根据乘法分配律来解形如a（x±b）=c的方程。
5.10《实际问题与方程（一）》 目标： 初步理解和掌握列方程解决简单的实际问题的步骤和方法。 任务一：获取知识，理解题意 → 任务二：用方程解决问题 → 1.通过观察交流，理解题意。 2.找出图中的等量关系，尝试列出方程。
5.11《实际问题与方程（二）》 目标： 根据等式的基本性质，解如ax±b=c的方程，初步学会列方程解决“几倍多（少） 几”的实际问题。 任务一：获取知识，理解题意 → 任务二：用方程解决问题 → 任务三：总结归纳 → 1.通过观察交流，理解题意。 借助前面找出的等量关系，尝试列出方程并求解。 3.结合前面的解题过程总结归纳列方程解决实际问题的步骤。
5.12《实际问题与方程（三）》 目标： 理解有关两数之积的数量关系，掌握根据具体情境列出形如a（x±b）=c的方程来解决实际问题。 任务一：获取信息，分析题意 → 任务二：用方程解决问题 → 1.通过观察交流，理解题意。 2.借助前面找出的等量关系，尝试列出方程并求解。
5.13《实际问题与方程（四）》 目标： 初步学会解决含有两个未知数的实际问题，会设未知数。 任务一：获取信息，分析题意 → 任务二：用方程解决问题 → 1.通过观察交流，获取数学信息，知道所求的问题。 2.根据获取的数学信息列出等量关系，并讨论设未知数，进而尝试列出方程并求解。
5.14《实际问题与方程（五）》 目标： 理解相遇问题的意义及特点；学会用画线段图等方法分析数量关系，并列方程解决相遇问题。 任务一：阅读与理解 → 任务二：分析与解答 → 任务三：回顾与反思 → 1.通过观察交流，获取数学信息，知道要解决的数学问题。 2.借助线段图找出的等量关系，尝试列方程解答此题。 3.说出自己的感悟，梳理出知识点。
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