12.5因式分解第2课时 公式法因式分解课件(共21张PPT)2023-2024学年华东师大版数学八年级上册

(共21张PPT)
12.5 因式分解
第2课时 公式法因式分解
学习目标
能熟练运用公式将多项式进行因式分解.
能找到适当的方法将多项式因式分解并分解彻底.
复习回顾
把下列各式分解因式：
3a3b2+12ab3=
a(x-y)2-b(y-x)2=
本章学习的乘法公式：
平方差公式： (a+b)(a-b) =a2-b2；
完全平方公式： (a+b)2=a2+2ab+b2，
(a-b)2=a2-2ab+b2.
3ab2(a2+4b2)；
(a-b)(x-y)2.
探究新知
试一试：
(a+2b)·(a-2b)=___________；
(a+2)·(a-2)=____________.
观察上面两个等式，可以得到：
a2-4b2=( )( )；
a2-4 =( )( ).
a+2b
a+2
a2-4b2
a2-4
a-2b
a-2
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你对因式分解的方法有什么新的发现？
把整式乘法的平方差公式，反过来就得到因式分解的公式：
a2-b2
整式乘法
因式分解
(a+b)(a-b)
根据a2-b2 = (a+b)(a-b)可知：
等式左边为两个数平方的差，
等式右边为两个数的和与这两个数的差的积.
即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的
差的积.
平方差公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以
代表单项式或多项式.
典例讲解
例1 分解因式： (1) 25x2-16y2； (2) (x+y)2-(x-2y)2.
解: (1) 25x2-16y2
=(5x)2-(4y)2
=(5x+4y)(5x-4y)；
(2) (x+y)2-(x-2y)2
=[(x+y)+(x-2y)][(x+y)-(x-2y)]
=(x+y+x-2y)(x+y-x+2y)
= 3y(2x-y) .
适用于平方差公式因式分解的多项式必须是“二项式形式”，它的每一项都为平方项且符号相反．
探究新知
试一试：
(a+2b)·(a+2b)=___________；
(a-2)·(a-2)=____________.
观察上面两个等式，可以得到：
a2+4ab+4b2=( )( )；
a2-4a+4=( )( ).
a+2b
a-2
a2+4ab+4b2
a2-4a+4
a+2b
a-2
a2±2ab+b2
(a±b)2
整式乘法
因式分解
把整式乘法的完全平方公式，反过来就得到因式分解的公式：
我们把形如a2±2ab+b2的式子叫做完全平方式.
想一想：根据整式乘法和因式分解的互逆关系，你对因式分解的方法有什么新的发现？
根据a2±2ab+b2 =(a±b)2可知：
等式左边为两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等式右边为两个数的和(或差)的平方 .
即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，
等于这两个数的和(或差)的平方 .
完全平方公式中的字母a，b不仅可以代表数，还可以代表单项式或多项式.
把乘法公式的等号两边互换位置，
就可以得到用于分解因式的公式，
用来把某些具有特殊形式的多项
式分解因式，这种因式分解的方
法叫做公式法.
例2 分解因式：
(1) x2+4xy+4y2； (2) (x-2y)2+2(x-2y)+1.
解: (1) x2+4xy+4y2
= x2+2·x ·2y + (2y)2
= (x+2y)2；
(2) (x-2y)2+2(2y-x)+1
= (x-2y)2+2(x-2y)+1
= (x-2y+1)2.
(1) 利用完全平方公式可以把完全平方式因式分解；
(2)完全平方式必须是“三项式形式”．
典例讲解
例3 分解因式：
(1) x4-y4；
(2) 4x3y-4x2y2+xy3；
(3) 3x3-12xy2.
解: (1) x4-y4
= (x2)2-(y2)2
= (x2+y2)(x2-y2)
= (x2+y2) (x+y)(x-y)；
分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解为止.
(2) 4x3y-4x2y2+xy3
= xy(4x2-4xy+y2)
= xy(2x -y)2；
(3) 3x3-12xy2
= 3x(x2-4y2)
= 3x[x2- (2y)2]
= 3x(x+2y) (x-2y) .
用公式法分解因式时，
若多项式中各项有公因式，要先提取公因式，再用
相应的公式来分解因式．
随堂练习
1. (1)下列各式中不能用平方差公式分解的是（ ）
A.-a2+b2 B.-x2-y2
C.49x2y2-z2 D.16m4-25n2
解： A、-a2+b2=b2-a2=(b+a)(b-a)；
B、 -x2-y2= -(x2+y2)是两数的平方和，不能用平方差
公式分解；
C、49x2y2-z2 =(7xy+z)(7xy-z)；
D、16m4-25n2 =(4m2 +5n)(4m2 -5n)．
B
(2) 下列各式中能用完全平方公式分解的是（ ）
①x2-4x+4; ②6x2+3x+1; ③ 4x2-4x+1;
④ x2+4xy+2y2 ; ⑤9x2-20xy+16y2
A.①② B.①③ C.②③ D.①⑤
解：①x2-4x+4=(x-2)2；③4x2-4x+1=(2x-1)2，
则能用完全平方公式分解的是①③．
B
2. 分解多项式:
(1) 4x2y-4xy2+y3； (2) x2 (x-2)+(2-x)；
(3) (x2+1)2-4x2.
解: (1) 4x2y-4xy2+y3
= y(4x2-4xy+y2)
= y(2x-y)2 ；
(2) x2 (x-2)+(2-x)
= (x-2)(x2-1)
= (x-2)(x-1)(x+1) ；
(3) (x2+1)2-4x2
= (x2+1+2x)(x2+1-2x)
= (x+1)2(x-1)2 .
3. 利用简便方法计算:
(1) 73.562-26.442； (2) 8002-2×800×799+7992.
解：
(1) 73.562-26.442
=(73.56+26.44)(73.56-26.44)
=100×47.12
=4 712；
(2) 8002-2×800×799+7992
= (800-799)2
= 12
= 1.
4. 已知x-y=1，xy=2，求x3y-2x2y2+xy3的值.
解：因为x-y=1，xy=2，
所以x3y-2x2y2+xy3
= xy(x2-2xy+y2)
= xy(x-y)2
= 2×1
= 2．
课堂小结
公式法分解因式：
平方差公式： a2-b2 = (a+b)(a-b).
完全平方公式： a2+2ab+b2 =(a+b)2，
a2-2ab+b2 = (a-b)2 ．
因式分解的步骤：
(1)先观察多项式各项是否有公因式，有公因式的要
先提公因式．
(2)当多项式各项没有公因式时，观察多项式是否
符合平方差公式或完全平方公式的特征，若符合则
利用公式法分解．
(3)当用上述方法不能直接分解时，可将其适当地
变形整理，再进行分解．
(4)每个因式必须分解到不能再继续分解为止．