绝密★启用前
2023-2024学年度高二年级期中测试
数学(B)
本试卷共4页，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、潍考证号等填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题月的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写
在本试卷上无效。
3.考试纬束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。请将正确答案的序号填涂在答题卡上。}
1.在空间直角坐标系中，点(1，-2,3)关于x轴对称点的坐标是
A.(-1,2,3)
B.(-1,2,-3)
C.(1,2,-3)
D.(1,-2,-3)
2.已知直线x+时-3=0的倾斜角的余弦值为百，则实数m的值为
A.-2
B.-2
2
G②
2
D.2
3.已知A〔2,1,3)，B(2,-1,6),C(3,5,6),则A在AB方向上的投影向量为
A.(0,-23
13,13
o,28,3
c0品
23
D.(0,-1313
4.一条光线从点P(5,8)射出，与y轴相交于点Q(0,-1),则反射光线所在直线在x轴上的截
距为
A多
B哥
c号
n-号
5.若{a,b,c构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是
A.a-b,.2a+b-c,34-c
B.4-b,2a+b-e,4+5b-3c
C.a-b,a+b-c,2b-c
D.a-b,a+b-c,5a+b-3c
6.开普制第一定律也称椭圆定律、轨道定律，其内容如下：每一行星沿各自的椭圆轨道环绕太
阳，而太阳则处在椭圆的一个焦点上.将某行星H看作一个质点，H绕太阳的运动轨迹近似
成曲线艺+士=1(m>0>0,行星H在运动过程中距离太阳最近的距离称为近日点距离，
m R
距离太阳最远的距离称为远日点距离.若行星H的近日点距离和远日点距离之和是62（距
离单位：亿千米)，近日点距离和远日点距离之积是16，则m+=
A.32+4
B.32+16
C.34
D.88
7.已知圆M:(x+1)2+(y-2a)2=(2-1)2与圆N:(x-a)2+y2=(2+1)2有两条公切线，
则实数a的取值范围是
A.(-1,1)
B(-子0)u(号，)
c.(-1,)
n.(-子-1u(3,)
8,已知椭圆C,”+=1(@>6>0)的离心率为)，点A,B是椭圆C的长轴顶点，直线x=m
(-a
14
+
的最小值为
A子
B.43
3
c.83
3
D.23
二、选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。请将正确答案的
序号填涂在答题卡上。}
9.下列命题正确的是
A直线+2-4=0与直线2x+4灯+1-0之间的距离是
B.已知空间向量m=(3,1,3),n=(-1,入，-1)，且m上，则实数入=6
C.已知A(2,4),8(1,),若直线1：c+y+k-2=0与线段B有公共点，则∈[-号
D.与圆(x-2)2+y2=3相切，且在x轴y轴上的截距相等的直线有两条
10.如图，在三棱柱ABC-A1B,C1中，M,N分别是AB,B,C,上的点，且BM=2A,M,C,N=
2B,N.设AB=a,AC=b,AA,=c,若∠BAC=90°，∠BAA,=∠CAA=60°，AB=AC=AA1=1,
则下列说法中正确的是
A=a++
A
C
B.1=
3
C.cos =1
6
D.A,B⊥AC
11.画法几何的创始人一法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交
点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C:
:+花=1（红>b>0)的离心率为号，乃1，F:分别为椭圆的左、右焦点，A,B为椭圆上两个
点，直线l的方程为bx+ay-a2-2=0.下列说法正确的是
A.C的蒙日圆的方程为x2+y2=362
B.对直线l上任意点P时满足P·P>0
C.记点A到直线1的距离为d,则d-A,的最小值为456
3
D.若矩形MNGH的四条边均与C相切，则矩形MNGH面积的最大值为6b2二年级期中测试———数学（Ｂ）答案与解析
一、选择题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。请将正确答案的序号填涂在答题卡上。）
１．【答案】Ｃ
【解析】在空间直角坐标系中，点（１，－２，３）关于ｘ轴对称的点坐标为（１，２，－３）．故选：Ｃ．
２．【答案】Ａ
【解析】由题意可知直线 ｘ＋ｍｙ－３＝０的斜率一定存在，设倾斜角为 α，则斜率为 －１ｍ＝
ｔａｎα，由ｃｏｓα＝槡６３，得ｔａｎα＝
槡２
２，因此ｍ＝－槡２．故选：Ａ．
３．【答案】Ｄ
?→ ?→
【解析】易知ＡＣ＝（１，４，３），ＡＢ＝（０，－２，３），
?Ａ→Ｃ ?Ａ→所以 · Ｂ＝１×０＋４×（－２）＋３×３＝１．
? ?Ａ→Ｂ ＝ ０２＋－２２＋３２＝ １３ Ａ
→Ｃ ?Ａ→· Ｂ １ １３
因为 槡 （ ） 槡 ，所以
槡
?Ａ→
＝ ＝
Ｂ １３ １３
，
槡
?→ ?→
故ＡＣ ?在Ａ→Ｂ １３ＡＢ １?→ ２ ３上的投影向量为槡１３ ?→ ＝１３ＡＢ＝（０，－ＡＢ １３
，１３）．
故选：Ｄ
４．【答案】Ｂ
【解析】Ｐ（５，８）关于ｙ轴的对称点为Ｐ′（－５，８），则反射光线所在直线为Ｐ′Ｑ．
ｋ ＝８＋１ ９因为 Ｐ′Ｑ －５－０＝－５，所以反射光线所在直线的方程为ｙ＋１＝－
９
５ｘ．
令ｙ＝０，得反射光线所在直线在ｘ轴上的截距为－５９．
故选：Ｂ
５．【答案】Ｂ
【解析】对于Ａ选项，因为ａ－ｂ＋２ａ＋ｂ－ｃ＝３ａ－ｃ，所以ａ－ｂ，２ａ＋ｂ－ｃ，３ａ－ｃ共面，故Ａ错误；
ｘ＋２ｙ＝１
对于Ｂ选项，设ｘ（ａ－ｂ）＋ｙ（２ａ＋ｂ－ｃ）＝ａ＋５ｂ－３ｃ，则{－ｘ＋ｙ＝５，此方程组无解，即不存－ｙ＝－３
在实数ｘ，ｙ，使得ａ－ｂ，２ａ＋ｂ－ｃ，ａ＋５ｂ－３ｃ共面，所以ａ－ｂ，２ａ＋ｂ－ｃ，ａ＋５ｂ－３ｃ不共面，
故Ｂ正确．
对于Ｃ选项，因为－（ａ－ｂ）＋ａ＋ｂ－ｃ＝２ｂ－ｃ，所以ａ－ｂ，ａ＋ｂ－ｃ，２ｂ－ｃ共面，故Ｃ错误；
对于Ｄ选项，因为２（ａ－ｂ）＋３（ａ＋ｂ－ｃ）＝５ａ＋ｂ－３ｃ，所以 ａ－ｂ，ａ＋ｂ－ｃ，５ａ＋ｂ－３ｃ共
面，故Ｄ错误；
故选：Ｂ
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
书
６．【答案】Ｃ
ｘ２ ｙ２ ２ ２
【解析】曲线ｍ＋ｎ＝１（ｍ＞ｎ＞０
ｘ ｙ
）为椭圆，根据椭圆方程ｍ＋ｎ＝１（ｍ＞ｎ＞０），
得长半轴ａ＝槡ｍ，半焦距ｃ＝槡ｍ－ｎ，
近日点距离为ａ－ｃ＝槡ｍ－槡ｍ－ｎ，远日点距离为ａ＋ｃ＝槡ｍ＋槡ｍ－ｎ，
近日点距离和远日点距离之和是（槡ｍ－槡ｍ－ｎ）＋（槡ｍ＋槡ｍ－ｎ）＝６槡２，
近日点距离和远日点距离之积是（槡ｍ－槡ｍ－ｎ）（槡ｍ＋槡ｍ－ｎ）＝１６，
解得ｍ＝１８，ｎ＝１６，则ｍ＋ｎ＝３４．
故选：Ｃ
７．【答案】Ｄ
【解析】圆Ｍ：（ｘ＋１）２＋（ｙ－２ａ）２＝（槡２－１）
２与圆Ｎ：（ｘ－ａ）２＋ｙ２＝（槡２＋１）
２有两条公切
线，所以圆Ｍ与圆Ｎ相交，
圆Ｍ的圆心为Ｍ（－１，２ａ），半径为槡２－１，圆Ｎ的圆心为Ｎ（ａ，０），半径为槡２＋１．
依题意可得（槡２＋１）－（槡２－１）＜ ＭＮ ＜（槡２＋１）＋（槡２－１），
即２＜槡（ａ＋１）
２＋（－２ａ）２＜２槡２，
{５ａ
２＋２ａ－３＞０ ７ ３
即 ，解得ａ∈（－５，－１）∪（５ａ２＋２ａ－７＜０ ５
，１）．
故选：Ｄ
８．【答案】Ｃ
【解析】由题意，不妨设Ａ（－ａ，０），Ｂ（ａ，０），
ｍ２ ｙ
２
０
不妨设Ｐ（ｍ，ｙ０），Ｑ（ｍ，－ｙ０），则 ＋ａ２ ｂ２
＝１，
ｙ －ｙ －ｙ２ ｂ２ ａ２－ｃ２ｋ＝ ０ ０ ０则 １ ｍ＋ａ，ｋ２＝ｍ－ａ，ｋ１ｋ２＝ ２ ２＝ ２＝ ２ ＝１－ｅ
２＝３，
ｍ －ａ ａ ａ ４
故ｋ１，ｋ２同号，
１ ４ １ ４ ４ ８３
故 ｋ＋ｋ ＝｜ｋ｜＋
槡
１ ２ １ ｜ｋ｜
≥２ ｋｋ＝３，当且仅当４｜ｋ１｜＝｜ｋ２｜＝槡３时取等号，２ 槡１ ２
１＋４ ８即 的最小值为 槡３ｋ１ ｋ２ ３
，
故选：Ｃ
二、选择题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分。在每小题给出的四个选项中，有多项是符
合题目要求的，全部选对的得５分，有选错的得０分，部分选对的得２分。请将正确答案的
序号填涂在答题卡上。）
９．【答案】ＢＣ
【解析】对于 Ａ选项，直线 ｘ＋２ｙ－４＝０?２ｘ＋４ｙ－８＝０，因此两平行直线的距离 ｄ＝
－８－１ ＝９槡５２ １０，故Ａ错误；２２＋４２槡
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
对Ｂ选项，由于ｍ⊥ｎ，所以ｍ·ｎ＝３×（－１）＋１×λ＋３×（－１）＝λ－６＝０?λ＝６，故Ｂ正确；
对Ｃ选项，由ｌ：ｋｘ＋ｙ＋ｋ－２＝０得：ｌ：ｙ－２＝－ｋ（ｘ＋１），
∴直线ｌ恒过定点Ｃ（－１，２）；
∵ｋ ＝４－２ ２ ２－１ １ＡＣ ２＋１＝３，ｋＢＣ＝－１－１＝－２，
结合图象可知：－ｋ∈[ｋＢＣ，ｋＡＣ]，
∴ｋ∈[－２ １３，２]，故Ｃ正确；
对Ｄ选项，当直线过原点时，显然切线存在斜率，设方程为ｙ＝ｋｘ，
圆心（２，０）到直线ｋｘ－ｙ＝０的距离等于半径槡３，
２ｋ
即 ＝槡３，解得ｋ＝±槡３，直线方程为ｙ＝槡３ｘ或ｙ＝－２ 槡３ｘ，
槡１＋ｋ
当直线不过原点时，设直线方程为ｘ＋ｙ－ａ＝０（ａ≠０），圆心到直线的距离等于半径，
２－ａ
即 ＝槡３，解得ａ＝２±槡６，
槡２
此时直线方程为ｘ＋ｙ－（２±槡６）＝０，
综上所述，与圆（ｘ－２）２＋ｙ２＝３相切，且在ｘ轴、ｙ轴上的截距相等的直线有四条，故Ｄ错误．
故选：ＢＣ
１０．【答案】ＡＣ
【解析】因为ＢＭ＝２Ａ１Ｍ，Ｃ１Ｎ＝２Ｂ１Ｎ，
?Ａ→Ｎ＝?ＡＢ→＋?所以 １ １ １ Ｂ
→
１Ｎ＝
?Ａ→Ｂ＋１?３Ｂ
→
１Ｃ１＝
?Ａ→Ｂ＋１ ?→３（ＡＣ－
?Ａ→Ｂ ＝２?Ａ→Ｂ＋１?→） ３ ３ＡＣ，
?Ａ→Ｍ＝１?→ １ ?→ ?→１ ３Ａ１Ｂ＝３（ＡＢ－ＡＡ１），
?Ｍ→Ｎ＝?Ａ→Ｎ－?Ａ→Ｍ＝２?Ａ→Ｂ＋１?→所以 １ １ ３ ３ＡＣ－
１ ?→ ?→
３（ＡＢ－ＡＡ１）＝
１?Ａ→Ｂ＋１?Ａ→Ｃ＋１?→ １ １３ ３ ３ＡＡ１＝３ａ＋３ｂ＋
１
３ｃ，故Ａ正确；
因为 ａ＝ ｂ＝ ｃ＝１，ａ·ｂ＝０，ａ·ｃ＝ｂ·ｃ＝１２，
?→２
所以ＭＮ ＝１ １（ａ＋ｂ＋ｃ）２＝ （ａ２＋ｂ２＋ｃ２９ ９ ＋２ａ·ｂ＋２ａ·ｃ＋２ｂ·ｃ）＝
１ ５
９（３＋２）＝９，
?Ｍ→所以 Ｎ ＝槡５３，故Ｂ错误；
?→ ?→ ?→
因为ＡＢ１＝ＡＢ＋ＡＡ＝ａ＋ｃ
?ＢＣ→＝?１ ， １ Ｂ
→Ｃ＋?ＢＢ→＝?Ａ→１ Ｃ－
?Ａ→Ｂ＋?Ａ→Ａ１＝ｂ－ａ＋ｃ，
?Ａ→所以 １Ｂ
?
·ＢＣ→１＝（ａ＋ｃ）·（ｂ－ａ＋ｃ）＝ａ·ｂ＋ｂ
１
·ｃ－ａ２＋ｃ２＝２
?→２ ?→
因为ＡＢ＝（ａ＋ｃ）２＝ａ２＋ｃ２１ ＋２ａ·ｃ＝３，所以 Ａ１Ｂ ＝槡３，
? ２ＢＣ→ ＝（－ａ＋ｂ＋ｃ）２＝ａ２＋ｂ２１ ＋ｃ
２－２ａ·ｂ－２ａ·ｃ＋２ｂ·ｃ＝３ ?，所以 ＢＣ→１ ＝槡３，
１
所以ｃｏｓ＜?Ａ→ ?１Ｂ，ＢＣ
→＞＝ ２ ＝１１ ６，故Ｃ正确；３×３
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
?Ａ→Ｂ＝?Ａ→Ｂ－?Ａ→因为 １ Ａ１＝ａ－ｃ
?→
，Ａ１Ｃ１＝ｂ，
?Ａ→所以 １Ｂ
?→
·Ａ１Ｃ１＝（ａ－ｃ）·ｂ＝ａ·ｂ－ｂ·ｃ＝０－１×１×
１ １
２＝－２≠０，故Ｄ错误．
故选：ＡＣ
１１．【答案】ＡＤ
【解析】对于Ａ选项，过Ｑ（ａ，ｂ）可作椭圆的两条互相垂直的切线：ｘ＝ａ，ｙ＝ｂ，
所以Ｑ（ａ，ｂ）在蒙日圆上，则蒙日圆方程为：ｘ２＋ｙ２＝ａ２＋ｂ２；
ｃ ｂ２ ２
由ｅ＝ 槡ａ＝ １－ ２＝２得：ａ
２＝２ｂ２，
槡 ａ
所以Ｃ的蒙日圆方程为：ｘ２＋ｙ２＝３ｂ２，故Ａ正确；
对于Ｂ选项，由ｌ方程知：ｌ过Ｐ（ｂ，ａ），
又Ｐ满足蒙日圆方程，所以Ｐ（ｂ，ａ）在圆ｘ２＋ｙ２＝３ｂ２上，
当Ａ，Ｂ Ｐ ?→ ?→恰为过 （ｂ，ａ）椭圆的两条互相垂直的切线的切点时，ＰＡ·ＰＢ＝０，故Ｂ错误；
对于Ｃ选项，因为Ａ在椭圆上，所以 ＡＦ１ ＋ ＡＦ２ ＝２ａ，
即ｄ－ ＡＦ２ ＝ｄ－（２ａ－ ＡＦ１ ）＝ｄ＋ ＡＦ１ －２ａ；
当Ｆ１Ａ⊥ｌ时，ｄ＋ ＡＦ１ 取得最小值，最小值为Ｆ１到直线ｌ的距离，
－ｂｃ－ａ２－ｂ２ －ｂ２Ｆ ｌ ｄ′＝ ＝ －２ｂ
２－ｂ２ ＝４３又 １到直线 的距离 槡ｂ，
ａ２＋ｂ２ ３ｂ ３槡 槡
所以（ｄ－ ＡＦ ＝４槡３２ ）ｍｉｎ ３ｂ－２ａ，故Ｃ错误；
对于Ｄ选项，当矩形ＭＮＧＨ的四条边均与Ｃ相切时，蒙日圆为矩形ＭＮＧＨ的外接圆，
∴矩形ＭＮＧＨ的对角线为蒙日圆的直径，
设矩形ＭＮＧＨ的长和宽分别为ｘ，ｙ，则ｘ２＋ｙ２＝１２ｂ２，
２ ２
∴矩形ＭＮＧＨ ｘ＋ｙ的面积Ｓ＝ｘｙ≤ ＝６ｂ２２ （当且仅当ｘ＝ｙ＝槡６ｂ时取等号），
即矩形ＭＮＧＨ面积的最大值为６ｂ２，故Ｄ正确．
故选：ＡＤ
１２．【答案】ＡＢＤ
【解析】对于Ａ选项，（法一）Ｄ１Ａ１⊥平面ＡＢＢ１Ａ１，
Ｖ １ １ １ ２Ｂ－ＡＤ ＝Ｖ１Ｅ Ｄ －ＡＢＥ＝３Ａ１Ｄ１·Ｓ△ＡＢＥ＝３×２×２×２×１＝１ ３，
在正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中，以点Ｄ为原点，ＤＡ，ＤＣ，ＤＤ１所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴
建立如图所示的空间直角坐标系，
则Ａ（２，０，０），Ｂ（２，２，０），Ｂ１（２，２，２），
Ｅ（２，２，１），Ｄ１（０，０，２），Ｃ１（０，２，２）
?Ｄ→Ａ＝ ２０ －２ ?ＤＣ→＝ ０２０ ?→１ （，， ）， １ １ （，，），ＡＥ＝（０，２，１）
设平面ＡＤ１Ｃ１的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
ｎ ?Ｄ→{ · １Ａ＝２ｘ－２ｚ＝０则 ? ，ｎ·Ｄ１Ｃ→１＝２ｙ＝０
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
取ｚ＝１，则ｘ＝１，ｙ＝０，
得ｎ＝（１，０，１），
?→
则点Ｅ到平面ＡＤ１Ｃ１的距离为：ｄ＝
ＡＥ·ｎ
ｎ ＝
１＝槡２
２ ２
，
槡
而ＡＤ１⊥Ｄ１Ｃ１，
Ｓ １ １△ＡＤＣ ＝２ＡＤ１·Ｄ１Ｃ１＝２×２槡２×２＝２槡２，１１
Ｖ ＝Ｖ ＝１Ｓ ·ｄ＝１×２２×槡２ ２Ｄ１－ＡＣ１Ｅ Ｅ－ＡＤ１Ｃ１ ３ △ＡＤ１Ｃ１ ３ 槡 ２＝３，
ＶＢ－ＡＤ１Ｅ＝ＶＤ１－ＡＣ１Ｅ，故Ａ正确；
（法二）都以△ＡＤ１Ｅ作为底面，
三棱锥Ｂ－ＡＤ１Ｅ的高即为点Ｂ到平面ＡＤ１Ｅ距离ｄ１，
三棱锥Ｄ１－ＡＣ１Ｅ的高即为点Ｃ１到平面ＡＤ１Ｅ距离ｄ２，
ＢＣ１∥ＡＤ１，
ＢＣ１?平面ＡＤ１Ｅ，
ＡＤ１?平面ＡＤ１Ｅ，
所以ＢＣ１∥平面ＡＤ１Ｅ，
即ｄ１＝ｄ２，
得ＶＢ－ＡＤＥ＝Ｖ１ Ｄ１－ＡＣＥ，故Ａ正确；１
对于Ｂ选项，
若 Ｄ１Ｐ ＝槡５，
连接ＤＰ，Ｄ１Ｄ⊥平面ＡＢＣＤ，
则△Ｄ１ＤＰ为直角三角形，
又∵ ＤＤ１ ＝２，
∴ ＤＰ ＝槡ＤＰ
２
１ － ＤＤ
２
１ ＝槡５－４＝１，
即点Ｐ在以Ｄ为圆心，ＤＰ为半径的圆上，此时点Ｐ的轨迹为弧ＦＥ，
∴ ＢＰｍｉｎ＝ ＢＤ － ＤＰ ＝２槡２－１，故Ｂ正确；
对于Ｃ选项，按照Ａ选项的建系方法
连接ＡＣ，ＢＤ，ＢＤ１，Ａ１Ｐ，
则Ｂ（２，２，０），Ａ１（２，０，２），Ｄ１（０，０，２），Ｄ（０，０，０），
设Ｐ（ｘ，ｙ，０），ｘ，ｙ∈［０，２］，
?
则Ａ→１Ｐ＝（ｘ－２
?→
，ｙ，－２），ＢＤ＝（－２，－２，０），
当Ａ１Ｐ⊥ＢＤ，
?
有Ａ→Ｐ ?→１ ·ＢＤ＝－２（ｘ－２）－２ｙ＋０＝－２ｘ－２ｙ＋４＝０，
则ｙ＝２－ｘ，此时Ｐ（ｘ，２－ｘ，０），
?
又∵Ａ→１Ｐ＝（ｘ－２，２－ｘ，－２
?→
），ＢＤ１＝（－２，－２，２），
设直线Ａ１Ｐ与直线ＢＤ１所成角为θ，
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
)
?→
?→ ?→ Ａ１Ｐ
?ＢＤ→·
∴ｃｏｓ ＝ ｃｏｓ＜ＡＰＢＤ ＞ ＝ １θ １ ， １ ?Ａ→１Ｐ
?
· ＢＤ→１
－２（ｘ－２）－２（２－ｘ）－４
＝ ＝ ２
槡（ｘ－２）
２＋（２－ｘ）２＋４·槡１２ ２（ｘ－２）２槡 ＋４·槡３
当ｘ＝２时，ｃｏｓθ ２ ３有最大值，此时ｃｏｓθ＝ ＝槡，故Ｃ错误．
槡４· ３槡３
对于Ｄ选项，按照Ａ选项的建系方法，设Ｑ（ｘ，ｙ，ｚ），
∵ ＱＢ ＝２ＱＢ１ ，
∴（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＋ｚ２＝４［（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＋（ｚ－２）２］，
∴３ｘ２－１２ｘ＋３ｙ２－１２ｙ＋３ｚ２－１６ｚ＋４０＝０，
∴ｘ２＋ｙ２＋ｚ２－４ｘ－４ｙ－１６３ｚ＋
４０
３＝０，
∴（ｘ－２）２＋（ｙ－２）２＋ ｚ－８ １６（ ３）
２＝９，
∴Ｑ Ｅ２２８ ４的轨迹是以 （，，３）为球心，３为半径的球面，
由Ａ（２，００ ?→，），Ｍ（０，２，１），则ＡＭ＝（－２，２，１）是平面α的一个法向量，
又因为Ｃ（０，２０ ?Ｃ→，），Ｅ＝（２ ８，０，３），
?Ａ→Ｍ ?→ －４＋
８
∴ ·ＣＥ ３ ４球心Ｅ到平面α的距离ｄ＝ ?→ ＝ ＝ ，ＡＭ 槡４＋４＋１ ９
∴ １６ １６ ８２平面α截球面的截面圆的半径为ｒ＝ 槡槡９
－８１＝ ９，
∴Ｑ ８点的轨迹长度为２π× 槡２＝１６槡２π９ ９ ，故Ｄ正确；
故选：ＡＢＤ
三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分。把答案填在答题卡的横线上。）
１３． ２ ＋∞ ∪ ７【答案】（３， ） ｛２４｝
【解析】ｌ：ｋｘ－ｙ－３ｋ＋４＝０?ｋ（ｘ－３）－（ｙ－４）＝０，即ｌ过定点Ａ（３，４），
ｙ＝槡９－ｘ
２?ｘ２＋ｙ２＝９（ｙ≥０），即曲线ｙ＝槡９－ｘ
２为原点为圆心，３为半径的上半圆，
如图所示，设ｌ：ｋｘ－ｙ－３ｋ＋４＝０与曲线 ｙ＝槡９－ｘ
２切于点 Ｃ，曲线 ｙ＝ ２槡９－ｘ与横轴负半
轴交于点Ｂ，
ｋ ＝ ４－０ ２ ４－３ｋ则 ＡＢ ３－－３ ＝３， ＝３?ｋＡＣ＝
７
２４，（ ） ２
槡ｋ＋１
ｋ∈ ２ ７故 （３，＋∞）∪｛２４｝．
２
故答案为：（３，＋∞ ∪
７
） ｛２４｝．
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
１４．【答案】槡３
?Ｐ→Ｑ＝２ｘ?Ｐ→Ａ＋ｙ?Ｐ→【解析】因为 Ｂ＋（１－２ｘ－ｙ?）Ｐ→Ｃ，
?→ ?
所以ＰＱ－Ｐ→Ｃ＝２ｘ?Ｐ→Ａ－２ｘ?Ｐ→Ｃ＋ｙ?Ｐ→Ｂ－ｙ?Ｐ→Ｃ ?Ｃ→Ｑ＝２ｘ?Ｃ→Ａ＋ｙ?Ｃ→， Ｂ，
?Ｃ→所以 Ｑ ?，Ｃ→Ａ?Ｃ→，Ｂ共面，
又Ａ，Ｂ，Ｃ为底面圆周上三点，所以点Ｑ为平面ＡＢＣ上一点，由已知ＰＯ⊥平面ＡＢＣ，
?
所以 Ｐ→Ｑ≥ ?Ｐ→Ｏ，
?→
又圆锥ＰＯ的轴截面是边长为２的等边三角形，所以 ＰＯ ＝槡３，
?
所以 Ｐ→Ｑ的最小值为槡３，
故答案为：槡３．
１５．【答案】５０槡１０
【解析】以点Ｃ为坐标原点，ＡＢ所在直线为ｘ轴建立平面直角坐标系，
ｘ２ ｙ２
设椭圆的方程为 ＋ ２２ ２＝１（ａ＞ｂ＞０），且ｃ＝槡ａ－ｂ
２，
ａ ｂ
由小华与灯Ｂ的最短距离为５０ｍ，得ａ－ｃ＝５０，
又｜ＡＢ｜＝２ｃ＝４００，则ｃ＝２００，ａ＝２５０．
由于点Ｍ与灯Ａ，Ｂ的距离之比为３∶２，
所以可设点Ｍ与灯Ａ，Ｂ的距离分别为３ｋ，２ｋ，ｋ＞０，
由椭圆的定义可知３ｋ＋２ｋ＝２×２５０＝５００，解得ｋ＝１００，
所以 ＭＡ ＝３００ｍ，ＭＢ ＝２００ｍ，
ＭＡ２＋ ＭＢ２－ ＡＢ２ｃｏｓ∠ＡＭＢ＝ ＝３００
２＋２００２－４００２ １
所以 ２× ＭＡ × ＭＢ ２×３００×２００ ＝－４．
?Ｍ→Ｃ＝１ ?Ｍ→由 ２（ Ａ＋
?Ｍ→Ｂ），
?→ １ ?→ ?→ ２
得 ＭＣ２ ＝[ ２（ＭＡ＋ＭＢ）]
＝１( ?Ｍ→Ａ２＋ ?Ｍ→Ｂ２＋２ ?Ｍ→Ａ ?４ Ｍ
→Ｂｃｏｓ∠ＡＭＢ) ＝２５０００
所以｜ＭＣ｜＝５０槡１０，即此时小华与灯Ｃ的距离为５０槡１０ｍ．
１６．【答案】［１０－２槡２，１０＋２槡２］
【解析】因为（ｘ－５）２＋ｙ２＝９，所以圆Ｍ的圆心坐标Ｍ（５，０），半径Ｒ＝３，
设圆心到直线ＡＢ的距离为ｄ，
由圆的弦长公式，可得｜ＡＢ｜＝２槡９－ｄ
２，
即２ ２槡９－ｄ＝２槡７，解得ｄ＝槡２，
设ＡＢ的中点为Ｎ，ＭＮ ＝槡２，
所以点Ｎ的轨迹表示以Ｍ（５，０）为圆心，以槡２为半径的圆，
所以点Ｎ的轨迹方程为（ｘ－５）２＋ｙ２＝２，
?Ｏ→Ａ＋?Ｏ→Ｂ ＝ ２?Ｏ→Ｎ ＝２ ?→因为 ＯＮ，
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
又因为｜ＯＭ｜＝５，所以｜ＯＭ｜－２≤ ?Ｏ→槡 Ｎ≤｜ＯＭ｜＋槡２，
５－２≤ ?→即 槡 ＯＮ≤５＋槡２，
?Ｏ→Ａ＋?即 Ｏ→Ｂ的取值范围为［１０－２槡２，１０＋２槡２］．
四、解答题（本大题共６小题，共７０分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
１７．（１０分）
解：（１）因为ｌ１：ａｘ＋ｂｙ＋４＝０，ｌ２：（ａ－１）ｘ＋ｙ＋ｂ＝０，且ｌ１⊥ｌ２，
所以ａ（ａ－１）＋ｂ＝０，
又直线ｌ１过点（６，－１），所以６ａ－ｂ＋４＝０，
所以ｂ＝６ａ＋４，
即ａ（ａ－１）＋（６ａ＋４）＝０，
即ａ２＋５ａ＋４＝０，
{ａ＝－１所以 或ｂ＝－２ {ａ＝－４； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!ｂ＝－２０
（２）因为ｂ＝３，则ｌ１：ａｘ＋３ｙ＋４＝０，ｌ２：（ａ－１）ｘ＋ｙ＋３＝０，
①当ｌ１∥ｌ
３
２时，由ａ＝３（ａ－１）得ａ＝２，此时ｌ１为３ｘ＋６ｙ＋８＝０，ｌ２为ｘ＋２ｙ＋６＝０，ｌ３为２ｘ
＋３ｙ＋５＝０，ｌ１∥ｌ２都与ｌ３相交，不能构成三角形； ５分!!!!!!!!!!!!!!!
②当ｌ１∥ｌ３时，由３ａ＝６得ａ＝２，此时ｌ１为２ｘ＋３ｙ＋４＝０，ｌ２为ｘ＋ｙ＋３＝０，ｌ３为２ｘ＋３ｙ＋５
＝０，ｌ１∥ｌ３都与ｌ２相交，不能构成三角形； ６分!!!!!!!!!!!!!!!!!!
③当ｌ２∥ｌ
５
３时，由３ａ－３＝２得ａ＝３，此时ｌ１为５ｘ＋９ｙ＋１２＝０，ｌ２为２ｘ＋３ｙ＋９＝０，ｌ３为２ｘ
＋３ｙ＋５＝０，ｌ２∥ｌ３都与ｌ１相交，不能构成三角形； ７分!!!!!!!!!!!!!!!
３ {ａｘ＋３ｙ＋４＝０④当 ｌ１，ｌ２，ｌ３ 交于一点时，ａ≠ ２，则由 解得 ｌ与 ｌ的交点（ａ－１）ｘ＋ｙ＋３＝０ １ ２
Ｍ － ５ －ａ＋４（２ａ－３，２ａ－３），将Ｍ代入到ｌ３方程解得ａ＝１； ９分!!!!!!!!!!!!!!
５
综上所述：ｂ＝３时，ｌ１，ｌ２，ｌ３三条直线能围成三角形得ａ的取值范围为（－∞，１）∪（１，３）∪
５ ３ ３
（３，２）∪（２，２）∪（２，＋∞）． １０分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
１８．（１２分）
解：（１）∵ＰＢ⊥底面ＡＢＣＤ，ＣＤ?底面ＡＢＣＤ，
∴ＰＢ⊥ＣＤ，
∵ＰＤ⊥ＣＤ，ＰＢ∩ＰＤ＝Ｐ，ＰＢ，ＰＤ?平面ＰＢＤ，
∴ＣＤ⊥平面ＰＢＤ，
∵ＢＤ?平面ＰＢＤ，
∴ＢＤ⊥ＣＤ，
∵底面ＡＢＣＤ为直角梯形，ＡＤ∥ＢＣ，ＡＢ⊥ＢＣ，ＡＢ＝ＡＤ＝１，
∴在直角三角形ＡＢＤ中，ＢＤ＝ ＡＢ２槡 ＋ＡＤ
２＝槡２，∠ＡＢＤ＝
π
４，
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
ＣＢＤ ∠ＣＢＤ＝π在直角三角形 中， ４，ＢＣ＝
ＢＤ ＝２， ２分
ｃｏｓπ
!!!!!!!!!!!!!!
４
设ＡＣ∩ＢＤ＝Ｇ，连接ＡＣ，ＥＧ
则△ＣＢＧ∽△ＡＤＧ，
∴ＡＧ ＡＤ １ ＡＥＧＣ＝ＢＣ＝２＝ＥＰ，
∴ＰＣ∥ＥＧ，
又ＥＧ?平面ＥＢＤ，ＰＣ?平面ＥＢＤ，
∴ＰＣ∥平面ＥＢＤ； ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）∵ＰＢ⊥底面ＡＢＣＤ，ＢＣ，ＢＡ?底面ＡＢＣＤ，
∴ＰＢ⊥ＢＣ，ＰＢ⊥ＢＡ，
∵底面ＡＢＣＤ为直角梯形，
∴ＡＢ⊥ＢＣ，
以Ｂ为坐标原点，ＢＣ，ＢＡ，ＢＰ所在直线分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴建立如图所示的空间直角坐标
系Ｂｘｙｚ，
则Ｐ（０，０，１），Ａ（０，１，０），Ｄ（１，１，０）， ６分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
∴?Ｂ→Ｐ＝（０，０１ ?→ ?→，），ＰＡ＝（０，１，－１），ＢＤ＝（１，１，０），
∴?Ｂ→Ｅ＝?Ｂ→Ｐ＋?Ｐ→Ｅ＝?Ｂ→Ｐ＋２?→３ＰＡ＝
２ １
（０，３，３），
设平面ＥＢＤ的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
{ｎ ?Ｂ→Ｅ＝２· ３ｙ＋１３ｚ＝０∴ ，取ｚ＝２，则ｘ＝１，ｙ＝－１，
ｎ ?·Ｂ→Ｄ＝ｘ＋ｙ＝０
则平面ＥＢＤ的一个法向量为ｎ＝（１，－１，２）， ９分
!!!!!!!!!!!!!!!!!
π
设直线ＰＤ与平面ＥＢＤ所成角大小为θ，θ∈［０，２］，
∵?Ｐ→Ｄ＝（１，１，－１），
?→
∴ｓｉｎθ＝ ｃｏｓ＜?Ｐ→Ｄｎ＞ ＝ ＰＤ·ｎ ＝ －２ ＝槡２， ?→ ， １１分!!!!!!!!!!!!ＰＤ· ｎ 槡６×槡３ ３
得ｃｏｓθ＝槡１－ｓｉｎ
２θ＝槡７３，
故直线ＰＤ与平面ＥＢＤ ７所成角的余弦值为槡３． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!
１９．（１２分）
解：（１）由ｘ２＋（λ－２）ｘ＋ｙ２＋２λｙ＋１－λ＝０，
得ｘ２－２ｘ＋１＋ｙ２＋λ（ｘ＋２ｙ－１）＝０，
令ｘ＋２ｙ－１＝０，得（ｘ－１）２＋ｙ２＝０，解得ｘ＝１，ｙ＝０，
所以圆Ｃ过定点，且定点的坐标为（１，０） ３分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）当λ＝２时，圆Ｃ的标准方程为ｘ２＋（ｙ＋２）２＝５，即ｘ２＋ｙ２＋４ｙ－１＝０，
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
根据切线的性质知切点分别为Ａ，Ｂ，都在以ＰＣ为直径的圆上，设ＰＣ中点为Ｄ，即为圆心，
圆Ｄ的方程为ｘ（ｘ－１）＋（ｙ＋２）（ｙ－３）＝０，即ｘ２＋ｙ２－ｘ－ｙ－６＝０，
则ＡＢ为圆Ｃ、圆Ｄ两圆的公共弦，
两圆方程相减得直线ＡＢ得方程为ｘ＋５ｙ＋５＝０． ６分
!!!!!!!!!!!!!!!
（３）当λ＝２时，圆Ｃ的标准方程为ｘ２＋（ｙ＋２）２＝５，即ｘ２＋ｙ２＋４ｙ－１＝０，
将ｙ＝ｋｘ－１代入ｘ２＋ｙ２＋４ｙ－１＝０，得（１＋ｋ２）ｘ２＋２ｋｘ－４＝０．
则Δ＝４ｋ２＋１６（１＋ｋ２）＝１６＋２０ｋ２＞０恒成立，
设Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则ｘ１＋ｘ２＝
－２ｋｘｘ＝ －４， ， ９分
!!!!!!!!!!!!
１＋ｋ２ １ ２ １＋ｋ２
?→ ?→
所以ＯＭ·ＯＮ＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝ｘ１ｘ２＋（ｋｘ１－１）（ｋｘ２－１）＝（１＋ｋ
２）ｘ１ｘ２－ｋ（ｘ１＋ｘ２）＋１＝
－４（１＋ｋ２） ２ｋ２
２ ＋ ２＋１＜－２， １１分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１＋ｋ １＋ｋ
整理得ｋ２＜１，则－１＜ｋ＜１，
所以ｋ的取值范围是（－１，１） １２分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（没有Δ＞０恒成立扣１分）
２０．（１２分）
ｃ＝１ ａ２＝４
１
解：（１）法一：由题意 ２＋
９＝１ ２
ａ ４ｂ
２ ，可得{ｂ＝３， ２
ａ２＝ｂ２＋ｃ２ ｃ＝１
ｘ２ ｙ２
则椭圆Ｃ的标准方程为Ｃ：４＋３＝１， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
离心率为ｅ＝ｃ＝１ａ ２； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
法二：设椭圆的左焦点为Ｆ′（－１，０），
则由椭圆的定义知２ａ＝ ＭＦ′＋ ＭＦ ＝ ３ ３ ５ ３（１＋１）２＋（ ）２２ ＋ （１－１）
２＋（ ２
槡 槡 ２
）＝２＋２＝４，
所以ａ＝１，又ｃ＝１，得ｂ２＝ａ２－ｃ２＝３，
ｘ２ ｙ２
则椭圆Ｃ的标准方程为Ｃ：４＋３＝１， ３分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ｃ １
离心率为ｅ＝ａ＝２； ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２ ２）因为直线ＭＮ过点（３，０）且斜率不为０，
所以设方程为ｘ＝ｍｙ＋２３，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），则Ｐ（６，ｙ２），
{ｘ＝ｍｙ＋２３ ３２联立 ２ ２ ，消去ｘ得，（３ｍ２＋４）ｙ２＋４ｍｙ－３＝０，ｘ ｙ
４＋３＝１
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
Δ＞０
ｙ＋ｙ＝ －４ｍ １ ２ ３ｍ２＋４
所以 ， ７分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
－３２
ｙ１ｙ２＝
３
３ｍ２＋４
所以ｍｙ ８１ｙ２＝３（ｙ１＋ｙ２）， ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ｙ－ｙ
ＭＰ １ ２直线 方程为ｙ－ｙ２＝ｘ （ｘ－６）， ９分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!１－６
由对称性可知直线ＭＰ恒过的定点在ｘ轴上，
ｙ（ｘ－６）
所以令ｙ＝０ ｘ－６＝２ １，得 ｙ－ｙ ，且ｘ１＝ｍｙ
２
１＋
２ １ ３
，
ｙ ｍｙ＋２－６ １６ ８ １６２（ １ ３ ） ｍｙ１ｙ２－ｘ－６＝ ３
ｙ２ ３（ｙ１＋ｙ２）－３ｙ２ ８
所以 ｙ２－ｙ
＝ ｙ－ｙ ＝ ｙ－ｙ ＝－３，１ ２ １ ２ １
１０ １０
可得ｘ＝３，直线ＭＰ恒过的定点（３，０）． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!
２１．（１２分）
解：（１）因为ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ１＝４，ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，ＢＣ是圆柱底面的直径，
所以ＡＢ⊥ＡＣ，则ＢＣ＝４槡２，ＯＡ＝２槡２，
Ｂ ２ ２１Ｏ＝槡ＢＢ１＋ＢＯ ＝２槡６，
ＡＢ１＝槡ＡＡ
２
１＋ＡＢ
２
１ １ ＝４槡２，
则有Ｂ ２ ２ ２１Ｏ ＋ＯＡ＝ＡＢ１，所以Ｂ１Ｏ⊥ＯＡ；
又Ｅ为ＣＣ１的中点所以ＯＣ＝２槡２，ＣＥ＝２，ＯＥ＝ ＯＣ
２＋ＯＥ２槡 ＝２槡３，
Ｂ１Ｅ＝槡Ｂ１Ｃ
２
１＋ＣＥ
２
１ ＝６，
则有Ｂ１Ｏ
２＋ＯＥ２＝ＢＥ２１ ，所以Ｂ１Ｏ⊥ＯＥ；
又ＯＥ∩ＯＡ＝Ｏ，所以Ｂ１Ｏ⊥平面ＡＥＯ，
Ｂ１Ｏ?平面ＡＢ１Ｏ，
所以平面ＡＥＯ⊥平面ＡＢ１Ｏ； ５分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
（２）由题意可知，ＡＡ１⊥平面ＡＢＣ，∠ＢＡＣ＝９０°，
以Ａ ?Ａ→ ?为坐标原点，Ｂ，Ａ→Ｃ?Ａ→，Ａ１分别为ｘ轴，ｙ轴，ｚ轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标
系Ａｘｙｚ，
因为ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＡ１＝４，
则Ａ（０，０，０），Ｂ（４，０，０），Ｅ（０，４，２），Ｂ１（４，０，４），Ｃ（０，４，０），Ｏ（２，２，０）
?Ｂ→１Ｏ＝（－２２
?→ ?→
，，－４），ＢＯ＝（２，－２，－２），ＡＯ＝（２，２，０） ７分
!!!
由（１）知，平面ＯＡＥ ?→的一个法向量为Ｂ１Ｏ＝（－２，２，－４）
设平面ＡＥＢ１的一个法向量为ｎ＝（ｘ，ｙ，ｚ），
?Ａ→Ｅ＝（０，４，２ ?→），Ｂ１Ａ＝（－４，０，－４），
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
ｎ ?{ ·Ａ
→Ｅ＝２ｙ＋ｚ＝０
则 ，
ｎ ?→·Ｂ１Ａ＝ｘ＋ｚ＝０
取ｘ＝２，则ｎ＝（２，１，－２）， ９分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ｎ ?·Ｂ→Ｏ
所以ｃｏｓ＜ｎ?，Ｂ→Ｏ＞＝ １ ＝ ６ ＝槡６１ ?→ ６， １１分!!!!!!!!!!!!!ｎ· Ｂ１Ｏ 槡９·槡２４
因为二面角Ｏ－ＡＥ－Ｂ ６１为锐角，所以二面角Ｏ－ＡＥ－Ｂ 槡１的余弦值为６． １２分!!!!
２２．（１２分）
解：（１）法一：由题意知２ｃ＝２槡３，解得ｃ＝槡３， １分!!!!!!!!!!!!!!!!!
ｘｘ ｙｙ
设点Ｑ ０ ０坐标为（ｘ０，ｙ０），则过点Ｑ作椭圆的切线ｌ方程为 ２ ＋ ２ ＝１，ａ ｂ
２ ｘ
所以切线ｌ ｂ ０的斜率为－
ａ２
·ｙ，０
ｙ０ １
又Ｏ，Ｐ，Ｑ三点共线，所以ｘ＝０ ２
，
－ｂ
２ ｘ０＝－２ｂ
２ １
所以 ２·ａ ｙ
＝－ ，
０ ａ２ ２
ｂ２ １
即 ２＝４， ４分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!ａ
又ａ２－ｂ２＝ｃ２，ｃ２＝３，所以ａ２＝４，ｂ２＝１，
ｘ２
故椭圆Ｅ的标准方程为４＋ｙ
２＝１． ５分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
法二：由题意知２ｃ＝２槡３，解得ｃ＝槡３， １分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
由Ｏ，Ｐ，Ｑ三点共线，设点Ｑ坐标为（２ｙ０，ｙ０），
４ｙ２ ｙ２ ２ ２
又Ｑ ０ ０ ａｂ为椭圆Ｅ上的点，所以有 ＋ ＝１，解得ｙ２＝ ，
ａ２ ｂ２ ０ ４ｂ２＋ａ２
１
过Ｑ作椭圆的切线ｌ，切线斜率为－２，故设切线ｌ的方程为ｙ－ｙ０＝－
１
２（ｘ－２ｙ０），
{ｙ－ｙ０＝－
１
２（ｘ－２ｙ０）
联立 ２ ２ 消去ｘ得（ａ
２＋４ｂ２）ｙ２－１６ｂ２ｙｙ＋１６ｙ２ｂ２－ａ２ｂ２０ ０ ＝０，ｘ
２＋
ｙ
２＝１ａ ｂ
则Δ＝（－１６ｂ２ｙ ２０）－４（ａ
２＋４ｂ２）（１６ｙ２０ｂ
２－ａ２ｂ２）＝０，
２ ２
即１６ｙ２ ２０＝ａ＋４ｂ
２，代入ｙ２０＝
ａｂ
，
４ｂ２＋ａ２
化简得１６ａ２ｂ２＝（ａ２＋４ｂ２）２，
即（ａ２－４ｂ２）２＝０，得ａ２＝４ｂ２， ４分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
又ａ２－ｂ２＝ｃ２，ｃ２＝３，所以ａ２＝４，ｂ２＝１，
ｘ２
故椭圆Ｅ的标准方程为 ＋ｙ２＝１． ５分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}
（２）设直线ＡＢ的方程为ｙ＝ｋｘ＋ｍ，Ａ（ｘ１，ｙ１），Ｂ（ｘ２，ｙ２），
ｘ２{４＋ｙ２＝１由 ，消去ｙ得（４ｋ２＋１）ｘ２＋８ｋｍｘ＋４ｍ２－４＝０，ｙ＝ｋｘ＋ｍ
又Δ＝６４ｋ２ｍ２－４（４ｋ２＋１）（４ｍ２－４）＞０，得４ｋ２＋１＞ｍ２，
设Ｃ（ｘ３，ｙ３），则
ｘ１＋ｘ２＝－
８ｋｍ
４ｋ２
，
＋１
ｙ１＋ｙ２＝ｋｘ１＋ｍ＋ｋｘ＋ｍ＝
２ｍ
２ ２ ． ８分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!４ｋ＋１
?→
由ＯＣ＋２?Ｏ→Ｄ＝０，可得Ｏ为△ＡＢＣ的重心，
所以Ｓ△ＡＢＣ＝３Ｓ
?→ ?→
△ＯＡＢ，且ＯＣ＝－２ＯＤ＝－（ｘ１＋ｘ２，ｙ１＋ｙ２）＝（ｘ３，ｙ３），
ｘ３＝－（ｘ１＋ｘ２）＝
８ｍｋ
，
４ｋ２＋１
ｙ３＝－（ｙ１＋ｙ２）＝－
２ｍ
４ｋ２
，
＋１
８ｋｍ
（ ２
４ｋ２
）
＋１ ２ｍ
故由Ｃ（ｘ３，ｙ３）在椭圆Ｅ上，得 ４ ＋（ ）
２
２ ＝１，４ｋ＋１
得４ｍ２＝４ｋ２＋１， ９分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
ＡＢ ＝槡１＋ｋ
２ ｘ２－ｘ１
＝ １＋ｋ２ ８ｋｍ ２－４（４ｍ
２－４）
槡 （ ）槡１＋４ｋ２ １＋４ｋ２
１６（１＋４ｋ２－ｍ２＝ ２槡 ）槡１＋ｋ １＋４ｋ２
＝ １＋ｋ２ 槡４ｍ
２－ｍ２
槡 · ｍ２
＝槡３·槡１＋ｋ
２ １·｜ｍ｜
又原点Ｏ到直线ｌ的距离为ｄ＝ ｍ ， １１分
!!!!!!!!!!!!!!!!!!
２
槡１＋ｋ
所以Ｓ ＝１△ＯＡＢ ２× ＡＢ ×ｄ＝
槡３
２，
故Ｓ△ＡＢＣ＝３Ｓ
３槡３
△ＯＡＢ＝２为定值． １２分!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
{#{QQABZYCQogAIABBAAQgCAwnSCAAQkBACCCoOAEAIoAABQBFABAA=}#}