江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期中模拟数学试题（含解析）

南京市2023-2024学年高二上学期期中模拟数学试题
本卷共150分 时间：120分钟
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在直角梯形中，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆弧的中点为，若，其中，则的值为（ ）
A. B． C． D．
2.的内角的对边分别为，若，则外接圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
3.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C.是方程的一个根 D.满足的最小正整数为3
5.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6.函数在上的零点个数为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
7.已知圆和两点，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8.已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是 （ ）
A.在中，若，则是等腰三角形
B.在中，是的充要条件
C.函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
D.在中，若，则的面积为或
10.已知圆过点且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是( )
A.满足条件的圆的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆有且只有一个
C.点在满足条件的圆上
D.满足条件的圆有且只有两个,它们的圆心距为
11.如图，在正四面体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
12.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为
C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形
D．的面积为定值
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 .
14.化简的值为 .
15.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积
为1, ,则此球的表面积等于_________.
16.已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为.若,则该双曲线的离心率为_________.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知圆过点，．
⑴求线段的垂直平分线所在的直线方程；
⑵若圆的圆心在直线上，求圆的方程．
18.（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为，若．
⑴求；
⑵若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
19.（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱中，，为的中点，．
求证：⑴平面；⑵．
20.（本小题满分12分）
在某单位的食堂中，食堂每天以元/斤的价格购进米粉，然后以元/碗的价格出售，每碗内含米粉斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以元/斤的价格卖给养猪场．根据以往统计资料，得到食堂一天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了斤米粉，以（单位：斤）（其中）表示米粉的需求量，（单位：元）表示利润．
⑴计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；
⑵将表示为的函数；
⑶根据直方图估计该天利润不少于元的概率．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，当的值为时，求直线的方程.．
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，，满足，且线段为直径的圆过点
⑴求椭圆的标准方程；
⑵为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
参考答案
一．单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.在直角梯形中，，分别为，的中点，以为圆心，为半径的圆弧的中点为，若，其中，则的值为（ ）
A. B． C． D．
答案：A
解析：因为以为圆心，为半径的圆弧的中点为，所以，
又，
，因为
，所以，解得，则，故选A．
2.的内角的对边分别为，若，则外接圆的面积是（ ）
A． B． C． D．
答案：D
解析：因为，所以由正弦定理，
得，由，所以，又，所以，解得，所以外接圆的面积是
．故选D.
3.直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
解析：因为直线分别与轴，轴交于两点，所以，则，因为点在圆上，所以圆心为，则圆心到直线距离，所以点到直线的距离的范围为，
所以．故选A.
4.设复数，其中是虚数单位，是的共轭复数，则下列结论中错误的是（ ）
A. B.
C.是方程的一个根 D.满足的最小正整数为3
答案：B
解析：A选项中，，所以A正确；B选项中，，
，则，所以B错误；C选项中，将代入方程成立，所以C正确；D选项中，由得，，所以D正确.故选B.
5.齐王有上等，中等，下等马各一匹；田忌也有上等，中等，下等马各一匹．田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马．现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，若有优势的马一定获胜，则齐王的马获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：设齐王上等、中等、下等马分別为，，，田忌上等、中等、下等马分别为，，，现从双方的马匹中随机各选一匹进行一场比赛，基本事件有，，，，，，，，，共种，
有优势的马一定获胜，齐王的马获胜包含的基本事件有，，，，，，共种，所以齐王的马获胜的概率为．故选C．
6.函数在上的零点个数为 （ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
答案：B
解析：，令，则
或，因为，所以，共3个零点.故选B.
7.已知圆和两点，若圆上存在一点，使得，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：C
解析：取，则，所以满足条件的点一定在的外接圆上，又该圆圆心为，半径，要使得圆上存在一点，使得，所以圆与圆有交点，则，即，
又，解得.故选C.
8.已知椭圆的左顶点和右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，，若，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：由题意知，，两点关于原点对称，设，则，所
以①，因为点在椭圆上，所以②，由①②可得，，则，所以，所以，即，与联立得，，所以
.故选B.
二．多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的是 （ ）
A.在中，若，则是等腰三角形
B.在中，是的充要条件
C.函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
D.在中，若，则的面积为或
答案：BCD
解析：A选项中，因为，所以，即，所以为等腰三角形或直角三角形，所以A错误；B选项中，由，得，则由正弦定理得，，反之亦成立，所以B正确；C选项中，由函数的图象向左平移个单位，得，所以C正确；D选项中，由正弦定理得，，即，得，则或，所以或，所以的面积为或，所以D正确.故选BCD.
10.已知圆过点且与两坐标轴均相切,则下列叙述正确的是( )
A.满足条件的圆的圆心在一条直线上
B.满足条件的圆有且只有一个
C.点在满足条件的圆上
D.满足条件的圆有且只有两个,它们的圆心距为
答案：ACD
解析：因为圆和两个坐标轴都相切,且过点,所以设圆心坐标为,所以圆心在直线上，所以A正确；圆的方程为,把点的坐标代入可得,解得,则圆心坐标为,所以满足条件的圆有且仅有两个,所以B错误；圆的方程分别为，
,将点代入可知满足,所以C正确；它们的圆心距为,所以D正确．故选ACD.
11.如图，在正四面体中，分别是的中点，则下列结论正确的是（ ）
A.直线与所成角为
B.直线与所成角为
C.直线与平面所成角的正弦值为
D.直线与平面所成角的正弦值为
答案：ABC
解析：A选项中，连接，因为为中点，则由正四面体可知，，又为中点，所以，即直线与所成角为，所以A正确；B选项中，取中点，连接,则，所以直线与所成角即为直线与所成角，设正四面体棱长为，所以在中，，所以为等腰直角三角形，即直线与所成角为，所以B正确；C选项中，由，所以直线与平面所成角的平面角即为，在中，，则，即直线与平面所成角的正弦值为，所以C正确；D选项中，由C选项可得，直线与平面所成角的正弦值为，所以D错误.故选ABC.
12.已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的动弦过点，过点且垂直于弦的直线交抛物线的准线与点，则下列结论正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．的最小值为
C．过两点分别作与准线垂直，则为直角三角形
D．的面积为定值
答案：ABC
解析：由椭圆的方程可知椭圆的右焦点坐标为，即抛物线的右焦点为，所以
，所以抛物线的标准方程为，所以A正确；
①当直线的斜率不存在时，易得，所以；
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
，由，得，所以，
，所以
，又直线的方程为，由，得，
所以，所以，
综上所得，的最小值为，所以B正确；由抛物线定义知，所以，又因为，所以，
，所以，所以
为直角三角形，所以C正确；当直线的斜率不存在时，易得，，则，
当直线的斜率存在时，，显然不为定值，所以D错误.故选ABC.
三．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知单位向量满足，若与的夹角为，则实数 .
答案：
解析：因为与的夹角为，所以
，即，解得，又，所以.
14.化简的值为 .
答案：
解析：
15.已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积
为1, ,则此球的表面积等于_________.
答案：
解析：设球的半径为，如图所示
在,则为直角三角形,解得
三棱锥的各顶点都在同一球面上，所以与球心的连线垂直于平面ABC，
且平面，若该棱锥的体积为1，所以,解得.
故，解得，所以.
16.已知是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上且不与顶点重合，过作的角平分线的垂线，垂足为.若,则该双曲线的离心率为_________.
答案：
解析：不妨设点在第一象限，延长交于，由题意可得，，则为中点.因为点在双曲线的第一象限上，所以，又为中点，所以
，即，又因为，所以，所以该双曲线的离心率为.
四．解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
已知圆过点，．
⑴求线段的垂直平分线所在的直线方程；
⑵若圆的圆心在直线上，求圆的方程．
解析：⑴因为线段的斜率，所以的垂直平分线的斜率，
因为中点，即为点，所以的垂直平分线的方程为，即．
⑵因为圆心一定在的垂直平分线上，又在直线上，联立直线得
，解出，所以圆心，
又，
所以圆的方程为．
18.（本小题满分12分）
已知的内角的对边分别为，若．
⑴求；
⑵若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．
解析：⑴因为由正弦定理得，
因为，所以，由，可得，
所以．因为，所以，因为，所以．
⑵由题意及⑴知的面积，又由正弦定理得
．
因为为锐角三角形，所以，由⑴知，
所以，所以，则，所以．
因此，面积的取值范围是．
19.（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱中，，为的中点，．
求证：⑴平面；⑵．
解析：⑴连接，交与，连接．在直棱柱中，，所以四边形为平行四边形，所以为中点，因为为中点，所以，因为
，所以.
⑵连接，在直棱柱中，因为，所以四边形为正方形，所以.又因为，所以，因为，
，所以，因为，所以，因为，，所以
，因为，所以.
20.（本小题满分12分）
在某单位的食堂中，食堂每天以元/斤的价格购进米粉，然后以元/碗的价格出售，每碗内含米粉斤，如果当天卖不完，剩下的米粉以元/斤的价格卖给养猪场．根据以往统计资料，得到食堂一天米粉需求量的频率分布直方图如图所示，若食堂某天购进了斤米粉，以（单位：斤）（其中）表示米粉的需求量，（单位：元）表示利润．
⑴计算当天米粉需求量的平均数，并直接写出需求量的众数和中位数；
⑵将表示为的函数；
⑶根据直方图估计该天利润不少于元的概率．
解析：⑴由频率分布直方图知
，
所以平均数为，众数为，中位数为．
⑵一斤米粉的售价是元，
当时，；
当时，，
故．
⑶设利润不少于元为事件，
利润不少于元时，即，解得，
即，
由直方图可知，当时，，
故该天食堂利润不少于元的概率为．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上．
⑴求椭圆的标准方程；
⑵设直线与椭圆相交于，两点，与圆相交于，两点，当的值为时，求直线的方程.．
解析：⑴因为在椭圆上，所以，又，，所以，所以，因为，，
所以，故所求椭圆的标准方程为．
⑵设，，由，消去，得，
所以，，，
所以，
设圆的圆心到直线的距离为，则，
所以，
所以，
因为，所以，解得，
经验证符合题意，故所求直线的方程为或.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的左 右焦点分别为，，满足，且线段为直径的圆过点
⑴求椭圆的标准方程；
⑵为坐标原点，若直线与椭圆交于，两点，直线的斜率为，直线的斜率为，当的面积为定值1时，是否为定值？若是，求出的值；若不是，请说明理由.
解：⑴设，因为线段为直径的圆过点，所以.
所以
所以所以将代人
解得所以椭圆的标准方程为
⑵当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，
设则①.又所以②.
由①②得所以
当直线的斜率存在时，设直线的方程为
联立得，
所以，
所以
所以③.又
，因为点到直线的距离，
所以=
即
解得，代入③式，得
综上可知，当的面积为定值1时，是定值.