参考答案：
1．B 2．C 3．B 4．A 5．A 6．A 7．B 8．D
9．ACD 10．BD 11．BD 12．ABD
2 2 3
13 x y． 1,5 14． 1 15．8 16． ,116 12 4
17．(1) 2,2 (2) 3x 4y 14 0
A m,n m 1, n 2M 【详解】（1）设点 ，则 AB中点 的坐标为 2 2 ，
由题意知点 A在直线 x 7y 12 0上，点M 在直线2x y 1 0上，
m 7n 12 0
m 2,
所以 2 m 1 n 2
解得
1 0
n 2. 2 2
即点 A的坐标为 2,2 ．……………………5分
（2）设点 B关于直线 x 7y 12 0的对称点为 B ，则由角的对称性知点 B 在直线 AC
上，
x, y x 1 y 2 设点 B 的坐标为 ，则点BB 的中点坐标为 , ，
2 2
y 2 1 1 x 1 7 x 2,
则 解得 即点 B 的坐标为 2,5 ．……………8分
x 1 y 2 y 5,
7 12 0
2 2
5 2 3
直线 AB 的斜率为 k 2 2 4 ，
3
所以直线 AB 即 AC的方程为 y-2= (x+ 2)，即3x 4y 14 0．………10分
4
18．(1) x2 y2 1 (2) 7
【详解】（1）令 F1,F2 分别是左右焦点，则 | DF1 | | DF2 | 2a 2，得 a 1，
y2
双曲线的方程为 x2 1 ，将点D 2, 3 3代入上式，得：4 2 1,b2 b
b 1,c2 a2 b2 2,c 2，
答案第 1页，共 5页
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双曲线的标准方程为 x2 y2 1 ；……………………4分
（2）不妨设点 P在第一象限，由双曲线的几何性质知： | PF1 | | PF2 | 2 ，
PF1 PF2 6 ，解得 | PF | 4,| PF | 2 ，……………………7分
PF1 PF 2
1 2
2
在△ PF1F2中， | F1F2 | 2 2 ，
设PF1与PF2 的夹角为 ，由余弦定理得：
cos | PF1 |
2 | PF2 |
2 | F1F2 |
2 3 7
, sin ，……………………10分
2 | PF1 || PF2 | 4 4
S 1 PF F |PF1 ||PF2 | sin
1
4 7 2 7 .……………12分
1 2 2 2 4
19．(1)C : (x 3)2 (y 2)2 25 ； (2)5( 2 1)
3 1 1
（1）由题设 A,B中点为D( , )且 k
2 2 AB
3，而CD AB，故 kCD = - ，3
所以直线CD为 y
1 1
( x 3 )，即 x 3y 3 0，.……………3分
2 3 2
x 3y 3 0 x 3
联立 ，可得 ，即C (3, 2)，而 r |CA | |CB | 5，
x y 1 0 y 2
所以圆C : (x 3)2 (y 2)2 25 ..………………………7分
| 3 2 5 |
（2）由（1）知：C (3, 2)，则C到 x y 5 0的距离 d 5 2 5，………
2
10分
所以直线与圆相离，则 | PQ |min d r 5( 2 1) .………………………12分
20．(1)抛物线C的标准方程为 y2 4x，准线方程为 x= 1 (2) y x 1
【详解】（1）由题意将点D 1, 2 代入抛物线方程可知 ( 2)2 2p，解得
p 2 .……………………2分
答案第 2页，共 5页
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所以抛物线C的标准方程为 y2 4x，焦点F 1,0 ，
因此准线方程为 x= 1 .……………………4分
（2）由（1）得直线 l的方程为 y k x 1 (k 0) .
设 A x1, y1 ,B x2 , y2 ，如图所示：
y k x 1 2 2 2 2
联立直线 l和抛物线方程 2 ，消去 y得 k x 2k 4 x k 0 .
y 4x
2
2 x x 2k 4易得 16k 16 0，且 1 2 2 .……………………7分k
2
由抛物线焦点弦公式可知 AB AF BF AA1 BB1 x1 1 x2 1
4k 4
.
k2
4k 2 4
所以 2 8，解得 k 1或 k 1（舍去）.……………………10分k
故直线 l的方程为 y x 1 .……………………12分
2
21．(1) x y2 1
3
【详解】（1）解:由题知设右焦点 F的坐标为 (c,0) ,
双曲线 C的渐近线方程为bx ay 0 ,
bc bc
右焦点 F到其中一条渐近线的距离为 b2 2 c ,a b
可得b 1,……………………2分
答案第 3页，共 5页
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b
又由 tan
, 可得
a 6 a = 3b
, 有 a 3,c 2 , ……………………4分
x2
故双曲线 C的标准方程为 y2 1 ;……………………5分
3
x2
（2）证明:由（1）知,双曲线 C的方程为C : y2 1 ,右焦点 F (2,0) ,
3
因直线 l与 x轴不垂直且斜率不为 0 ,设直线 l与 x轴交于点 (t , 0 ) ,
直线 l的方程为 y k(x t)(k 0) , 设M x1, y1 ,N x2 , y2 ,则M x1, y1 ,
y k x t
由 x2 消去 y并整理得 1 3k 2 x2 6tk 2x 3k 2t2 3 02 ,…………7分
y 1 3
2
显然有1 3k 2 0且 6tk 2 4 1 3k 2 3k 2t2 3 0,
2 2 2
k 2 1 t2 3 k 2 1 0 , x x 6tk ,x x 3k t 3化简得 且 则 1 2 2 1 2 2 ,…………9分3 1 3k 1 3k
FM x1 2, y1 ,FN x2 2, y2 ,而M ,F ,N三点共线,即 FM ∥FN ,
则 y1 x2 2 y2 x1 2 ,因此 k x1 t x2 2 k x2 t x1 2 ,
又 k 0 ,有 x1 t x2 2 x2 t x1 2 0 ,
整理得 2x1x2 (t 2) x1 x2 4t 0 ,
3k 2t2 3 2
于是得 2 (t 2)
6tk
4t 0 t 3
1 3k
2
1 3k
2 , 化简得 ,…………10分
2
即直线 l : y
3 3
k x
,k 0
过定点 ,0 , 所以直线 l经过 x轴上的一个定点
2 2
3 ,0 ．……………………12分
2
2
22 x．(1) y2 1； (2)是，2.
4
2 1
2 2
2 1
【详解】（1）选择①，椭圆长轴长 2a 3 3 0 3 3 0 4 ，
2 2
答案第 4页，共 5页
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则a 2，短半轴长b a2 ( 3)2 1，……………………2分
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1. ……………………4分
4
c
选择②，由椭圆半焦距 c 3 3，离心率 e ，得长半轴 a 2，短半轴
2 e
b a2 ( 3)2 1，
x2
所以椭圆 E的方程为 y2 1.
4
（2）由（1）知 A 0,1 ， B 0, 1 ，D 2,0 ，设Q x0 , y0 ， x0 0， y0 0，则有
x20 y2 1，……………………6分
4 0
y 1
直线 l 0的方程为 x 2，直线 AQ的方程为 y x 1x ，0
y 1
直线 BQ的方程为 y 0 x 1x ，……………………8分0
2y0 2 xN (2, 1) M ( 0 , 0) 2 y0 2于是得 x ， y 1 ，观察图知点 N在 x轴上方，因此
DN 1，
0 0 x0
OM x 0
y 1， ……………………10分0
x 2 2
OM 2 DN 0
2y 2 x 4(y 1) x 4y 4
则 2( 0 1) 2 0 0 2 0 0 2y0 1 x0 y0 1 x0 x0 (y0 1)
，
所以 OM 2 DN 为定值 2 .……………………12分
答案第 5页，共 5页
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