2023~2024学年第二学期期中学业质量监测
参考答案与评分建议
202311
一、 选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1． 直线 x 3y 6 0 在 x 轴、y 轴上的截距分别为
A．6，2 B． 6，2 C． 6， 2 D．6， 2
【答案】B
2． 若方程 x 2 y 2 mx + 2y + 1 = 0 ( m∈R )表示半径为 1 的圆，则 m
A．1 B．2 C． 1 或 1 D． 2 或 2
【答案】D
2 y 2
3． 椭圆 x 1的内接矩形的最大面积为
4 2
A．4 2 B． 2 C．4 D．2
【答案】A
4． 方程 x2 ( y 2 )2 x2 ( y 2 )2 2 可化简为
y2 y2
A． x2 1 B． x2 1 (x 0)
3 3
2 2
C． y2 x 1 D． y2 x 1 (y 0)
3 3
【答案】D
5． 抛物线 y 2 16x 的焦点到圆 C：x 2 ( y 3 ) 2 = 1 上点的距离的最小值为
A．0 B．4 C．5 D．6
【答案】B
6． 已知双曲线 C 的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为 y 2x，则 C 的离心率为
A． 3 B． 5 C． 3 或 6 D． 5 或 5
2 2
【答案】D
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y2
7. 设椭圆 C：x2 1 ( 0 < b < 1 )的左焦点为 F，下顶点为 B，点 P 在 C 上，则| PF | | PB |
b2
的最大值为
A．1 B．b C．3 D．3b
【答案】C
8． 已知圆 C：( x 1) 2 y 2 80，点 P 在直线 l：y k x 7 ( k∈R )上．若存在过点 P 的直线
5
与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB| 16， AP 11 PB ，则 k 的取值范围是
3 4 3 4
A．[ 4，3 ] B．( ∞， 4 ]∪[ 3， ∞ )
4 3 4 3
C．[ 3，4 ] D．( ∞， 3 ]∪[ 4， ∞ )
【答案】B
二、选择题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
9． 下列结论中，不正确的是
A．若直线的斜率越大，则其倾斜角越大
B．若圆与圆没有公共点，则两圆外离
C．直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线
D．将已知三点的坐标代入圆的一般式方程，所得三元一次方程组必有唯一一组解
【答案】ABD
10．已知圆 M：x 2 y 2 4y 5 = 0，则下列关于圆 M 的结论正确的是
A．点( 3，1 )在圆 M 内
B．圆 M 关于直线 x y 0 对称
C．圆 M 与圆 O：x 2 y 2 = 1 相切
D．若直线 l 过点( 1，0 )，且被圆 M 截得的弦长为 4 2 ，则 l 的方程为 3x 4y 3 0
【答案】BC
x2 y
2
11．已知双曲线 E： 1，则
4 5
A．E 的焦距为 6
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B．E 的虚轴长为 5
C．E 上任意一点到 E 的两条渐近线的距离之积为定值
D．过点( 2，1 )与 E 有且只有一个公共点的直线共有 3 条
【答案】AC
12．已知直线 l1，l2的斜率分别为 2， 1 ，直线 l 与直线 l1，l2 围成一个等腰三角形，且顶角为
2
钝角，则直线 l 的斜率可能是
A． 11 B． 1 C． 2 D．1
2 11
【答案】ACD
三、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2 y 2
13．若方程 x 1表示双曲线，则实数 t 的取值范围是_______．
1 t t
【答案】( 0，1 )
14．写出一个圆心在 y = x 上，且与直线 y = x 和圆( x 3) 2 ( y 3) 2 = 2 都相切的圆的方程：
_______．
【答案】答案不唯一，( x 1) 2 ( y 1) 2 = 2 或( x 2) 2 ( y 2) 2 = 8
15．已知直线 l 过抛物线 C：y 2 = 2px ( p＞0 )的焦点，与 C 相交于 A，B 两点，且|AB|= 10．
若线段 AB 的中点的横坐标为 3，则 p = _______；直线 l 的斜率为_______．
( 第一空 2 分，第二空 3 分 )
【答案】4， 2
2 y2
16．已知椭圆 C： x 1 ( a＞b＞0 )的左焦点为 F，离心率为 1 ，C 上一点 A 关于 x 轴的
a2 b2 2
对称点为 B．若△ABF 的周长的最大值为 16，则 C 的短轴长为_______．
【答案】4 3
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10 分）
已知直线 l1： ax 2y 4 0，直线 l2：bx 2y 1 0 ，其中 a，b 均不为 0．
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（1）若 l1 l2 ，且 l1 过点( 1，1 )，求 a，b；
（2）若 l1∥l2 ，且 l1 在两坐标轴上的截距相等，求 l1与 l2之间的距离．
解：（1）当 l1过点( 1，1 )时，a 2 4 0，所以 a 2． …… 2 分
因为 l1 l2 ，所以
a b 1，即 ab 4，于是b 2 ． …… 4 分
2 2
（2）因为 l1： ax 2y 4 0在两坐标轴上的截距相等，所以 2 4 ，故 a 2．
a
…… 6 分
又 l1∥l ，所以
a
2
b ，所以b 2． …… 8 分
2 2
设 l1 ： 2x 2y 4 0 与 l2 ： 2x 2y 1 0之间的距离为 d，
则 d 1 ( 4) 5 2 ，所以 l1 与 l2 之间的距离为 5 2 ． …… 10 分
22 22 4 4
18．（12 分）
在平面直角坐标系 xOy 中，分别求满足下列条件的动点 M 的轨迹方程，并说明方程表示
何种曲线．
（1）动点 M 到点 A( 2，0 )的距离是到点 B( 2，0 )的距离的 3 倍；
（2）动点 M 到点 F( 2 3 ，0 )的距离与到直线 x 8 3 的距离之比为 3 ．
3 2
解：设动点 M( x，y )．
（1）因为动点 M 到点 A( 2，0 )的距离是到点 B( 2，0 )的距离的 3 倍，所以|MA|＝3|MB|．
所以 (x＋2)2＋y2＝3 (x－2)2＋y2， …… 2 分
即 (x 2)2 y2 9 (x 2)
2 y2 ，化简得 x
2＋y2－5x＋4＝0，
所以动点 M 的轨迹方程为 x2＋y2－5x＋4＝0 该方程，表示圆． …… 6 分
（2）因为动点 M 到点 F( 2 3 ，0 )的距离与到直线 x 8 3 的距离之比为 3 ，
3 2
(x－2 3)2＋y2 3
所以 ＝ 2 ， …… 8 分 8 3
|x－ 3 |
x2 y2
即 (x 2 3)2 y2 3 (x 8 3 )2 ，化简得16＋4＝1， 4 3
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x2 y2
所以动点 M 的轨迹方程为16＋4＝1，该方程表示椭圆． …… 12 分
19．（12 分）
已知直线 l：3x 4y 5 0 与圆 C：x 2 y 2 6x 2y a 5 0 相切．
（1）求实数 a 的值及圆 C 的标准方程；
（2）已知直线 m：k x y 2 0 与圆 C 相交于 A，B 两点，若△ABC 的面积为 2，求直
线 m 的方程．
解：（1）将圆 C：x 2 y 2 6x 2y a 5 0 化为标准方程，
得(x－3)2＋(y－1)2＝5－a，故圆心 C( 3，1 )，半径为 5－a． …… 2 分
因为直线 l：3x 4y 5 0 与圆 C 相切，
|3×3－4×1＋5|
所以 ＝ 5－a， …… 4 分
32＋42
解得 a＝1，
所以圆 C 的标准方程为(x－3)2＋(y－1)2＝4． …… 6 分
（2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 d．
1
则|AB|＝2 4－d2，所以 S△ABC＝2|AB|×d＝d 4－d
2＝2，解得 d＝ 2． …… 8 分
|3k－1＋2|
故 d＝ ＝ 2， …… 10 分
k2＋1
1
解得 k＝－1 或 k＝7．
所以直线 m 的方程为 x＋y－2＝0 或 x－7y＋14＝0． …… 12 分
20．（12 分）
2 y2
已知双曲线 E： x 1 ( a＞0，b＞0 )的左、右焦点分别为F1，F2，斜率为 2 的直线
a2 b2
l 与 E 的一条渐近线垂直，且交 E 于 A，B 两点，| | AF2 | | AF1 | | 4．
（1）求 E 的方程；
（2）设点 P 为线段 AB 的中点，求直线 OP 的方程．
2 y2
解：（1）因为在双曲线 E： x 1 (a＞0，b＞0)中，||AF2|－|AF1||＝4，
a2 b2
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所以 2a＝4，即 a＝2． …… 2 分
2
双曲线 E： x
2
y
b
1的渐近线方程为 y＝± x，
a2 b2 a
b 1
因为斜率为 2 的直线 l 与 E 的一条渐近线垂直，所以a＝2，所以 b＝1．
…… 4 分
x2
所以 E 的方程为4－y
2＝1． …… 5 分
y2－y1 1
（2）设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 kAB＝ ＝ ． x2－x1 2
x1＋x2 y1＋y2 y2＋y1
线段 AB 的中点 P 的坐标为( 2 ， 2 )，则 kOP＝ ． …… 7 分 x2＋x1
x2 1 y
2
1
a2－b2＝1①
又点 A，B 在双曲线 E 上，所以 ， x2 2
2
y2
a2－b2＝1②
(x2－x1)(x2＋x1) (y2－y1)(y2＋y1)
②－①得， a2 － b2 ＝0，
b2
两边同时除以(x2－x1)(x2＋x1)并整理，得 kOP·kAB＝a2． …… 10 分
1
又 kAB＝2，a＝2，b＝1，所以 kOP＝8．
1
所以直线 OP 的方程为：y＝8x． …… 12 分
21．（12 分）
设直线 x y 1 与椭圆 C：m x 2 n y 2 1 ( m > 0，n > 0 ) 相交于 A，B 两点，点 M 为
线段 AB 的中点，且直线 OM 的斜率为 1 ( O 为坐标原点 )．
2
（1）求 C 的离心率；
（2）若点 D 的坐标为( n，0 )，且∠ODA ∠ODB，求 C 的方程．
解：（1）设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，M( x0，y0 )，C 的离心率为 e．
mx2＋ny2＝11，
联立方程组 并消去 y，得(m＋n)x2－2nx＋n－1＝0．
x＋y＝1
2 2n n－1所以判别式 Δ＝4n －4(m＋n)(n－1)＞0，x1＋x2＝ ，x1x2＝ ．…… 2 分 m＋n m＋n
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1 n m
因为点 M 为线段 AB 的中点，所以 x0＝2(x1＋x2)＝ ，y0＝ ． m＋n m＋m
1 y m 1
因为直线 OM 的斜率为2，所以kOM＝
0 ＝n＝2． …… 4 分 x0
1 1
－
2 m n m 1 1 2所以 e ＝ 1 ＝1－n＝1－2＝2，所以椭圆的离心率为 2 ． …… 6 分
m
（2）由∠ODA＝∠ODB，知kAD＋kBD＝0．
y1 y2
所以 ＋ ＝0，即(x －n)(1－x )＋(x －n)(1－x )＝0． …… 8 分
x1－n x2－n
2 1 1 2
整理得，(x1＋x2)－2x1x2＋(x1＋x2－2)n＝0．
2n n－1 2n
所以 －2× ＋( －2)n＝0，化简得 mn 1． …… 10 分
m＋n m＋n m＋n
2
又由（1）知，n＝2m ( m > 0，n > 0 )，联立方程组解得，m＝ 2 ，n＝ 2．
2
经检验，满足 Δ＞0，所以 C 的方程为： x22 ＋ 2y
2＝1． …… 12 分
22．（12 分）
已知动圆 M 与 y 轴相切，且与圆 N：( x 3 ) 2 y 2 9 外切，记动圆 M 的圆心轨迹为 E．
（1）求 E 的方程；
（2）设过点 O ( 0，0 )且互相垂直的两条直线与 E 分别交于点 A，B，证明：直线 AB 过
定点．
解：（1）设动圆的圆心 M 坐标为(x0，y0)．
因为动圆 M 与 y 轴相切，所以圆 M 的半径为|x0|，且|x0|≠0． …… 1 分
由圆 N：(x－3)2＋y2＝9，知 N(3，0)，半径为 3．
因为动圆 M 与圆 N 外切，所以 (x0－3)2＋y 20 ＝|x0|＋3． …… 3 分
当 x0＞0 时， (x0－3)2＋y 20 ＝x0＋3，化简得y 20 ＝12x0；
当 x0＜0 时， (x0－3)2＋y 20 ＝－x0＋3，化简得 y0＝0．
12x，x＞0；
综上，轨迹 E 的方程为：y2＝ …… 5 分
0 ，x＜0．
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( 注：遗漏 x0 < 0 的情形扣 1 分 )
（2）设直线 OA 的方程为：y＝kx，
与 y2 12x (x 0) 联立方程组，解得 x 12 ， y 12 ．
k 2 k
不妨点 A 的坐标为 12 ，12 ，于是与 OA 垂直的直线 OB 的方程为：y＝ 1 x， k 2 k k
同理可得，点 B 的坐标为 12k 2 ， 12k ． …… 7 分
12 12k
当 k 1时，直线 AB 的斜率为： k k ，此时直线 AB 的方程为：
12 12k 2 1 k
2
k 2
y 12k k x 12k 2 ． …… 9 分
1 k 2
整理得， y k x 12 ，故直线 AB 过定点(12，0)； …… 11 分
1 k 2
当 k 1时，A 12，12 ，B 12， 12 ，此时直线 AB 的方程为： x 12，故直线
AB 过点(12，0)．
综上，直线 AB 过定点(12，0)． …… 12 分
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高二年级数学试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，满分150分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将答题卷交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号、座位号用0.5毫米黑色字迹签字笔填写在
答题卷上。
3.请监考员认真核对在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、考试证号与你本人的是否相符。
4,作答选择题必须用2B铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦
干净后，再选涂其它答案。作答非选择题必须用书写黑色字迹的0.5毫米的签字笔写在
答题卷上的指定位置，在其它位置作答一律无效。
一、
选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.直线x-3y+6=0在x轴、y轴上的截距分别为
A.6,2
B.-6,2
C.-6,-2
D.6,-2
2.若方程x2+y2-mx+2y+1=0(m∈R)表示半径为1的圆，则m=
A.1
B.2
C.-1或1
D.-2或2
日，椭圆子±)=1的内接矩形的最大面积为
A.42
B.√2
C.4
D.2
4.方程Vx2+(y+2)2-Vx2+(y-22=2可化简为
A.2
3s1
B.2-￥=1x>0
3
C.广+皆-1
D.y-号=10>0
5.
抛物线y2=16x的焦点到圆C:x2+(y-3)2=1上点的距离的最小值为
A.0
B.4
C.5
D.6
6.
己知双曲线C的中心在原点，焦点在坐标轴上，渐近线方程为y=±2x,则C的离心率为
A.5
B.√5
c.5或
D.5碳盟
高二数学试卷第1页（共4页）
7设椭圆C +片-1(0的最大值为
A.1
B.b
C.3
D.3b
8.
已知圆C:（x-1)2+y2=80,点P在直线l:y=kx+7(k∈R)上，若存在过点P的直线
与圆C相交于A,B两点，且AB=16,亚=名P丽，则k的取值范围是
A【-子月1
B.←o,-是]u[手+o)
c【-季]
D.←o,-号ur+)
二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.下列结论中，不正确的是
A.若直线的斜率越大，则其倾斜角越大
B.若圆与圆没有公共点，则两圆外离
C.直线的一般式方程可以表示平面内任意一条直线
D.将已知三点的坐标代入圆的一般式方程，所得三元一次方程组必有唯一一组解
10.已知圆M:x2+y2-4y-5=0,则下列关于圆M的结论正确的是
A.·点(3,1)在圆M内
B,圆M关于直线x+y-2=0对称
C.圆M与圆O:x2+y2=1相切
D.若直线1过点(1,0)，且被圆M截得的弦长为4W2,则1的方程为3x-4y+3=0
1.已知双曲线6：等号-1，则
A.E的焦距为6
B.E的虚轴长为√5
C.E上任意一点到E的两条渐近线的距离之积为定值
D.过点(2,1)与E有且只有一个公共点的直线共有3条
12.已知直线1,2的斜率分别为2，，直线1与直线4，h围成一个等腰三角形，且顶角为
钝角，则直线！的斜率可能是
A-号
B.-1
c.-品
D.1
高二数学试卷第2页（共4页）
