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17.3一元二次方程方程根的判别式(学案)
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.掌握一元二次方程根的判别式 ＝b2－4ac；
2.会用一元二次方程根的判别式在不解方程的情况下判别方程根的情况；
3.会用根的判别式由一元二次方程根的情况求方程中字母的取值范围.
4.会用根的判别式证明方程有无实数根.
学习重难点
能熟练地运用根的判别式在不解一元二次方程的情况下判定方程根的情况.
学习过程
一、课前预习
1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
2. 写出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
3.用公式法解下列方程.
（1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
（3）x2+2x+3＝0.
二、课内探究，交流学习
1.你能说出方程（1）x2－3x－4＝0；（2）x2－4x+4＝0；（3）x2+2x+3＝0解的情况吗？
2.交流、探究：
这3个一元二次方程的解为什么会出现不同的 ( http: / / www.21cnjy.com )情况呢？它们的根的情况由哪个因素来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何时有两个相等的实数根？何时没有实数根？
3.感悟新知：
（1）一元二次方程ax2+bx+c＝0（a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0）根的情况由b2－4ac来确定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式.通常用符号“ ”来表示，即 ＝b2－4ac.
（2）一般地，一元二次方程ax2+bx+c ( http: / / www.21cnjy.com )＝0（a≠0），当 ＞0时，有两个不相等的实数根；当 ＝0时，有两个相等的实数根；当 ＜0时，没有实数根.21世纪教育网版权所有
三、典例突破
例：不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2－3x－2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+x+1＝0.
解：（1）因为 ＝(－3)2－4×5×(－2)＝49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
（2）原方程可变形为：25y2－20y+4＝0
因为 ＝(－20)2－4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
（3）因为 ＝()2－4×2×1＝－5＜0，
所以原方程没有实数根.
四、名师点拨：
﹥0 方程有两个不相等的实数根；
＝0方程有两个相等的实数根；
＜0方程没有实数根；
≥0方程有实数根
五、随堂练习
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）2x2－5x－4＝0； （2）7t2－5t+2＝0；
（3）x(x+1)＝3； （4）3y2+25＝10y.
2.已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
六、达标巩固
1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根的情况（ ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是______.21教育网
3.方程(m－1)x2+2mx+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值为_______________.
4.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.
七、拓展提高：
已知关于x的方程x2+ax－2＝0.
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程中的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
七、小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
导学案参考答案
一、课前预习
1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次方程的方法吗？
答：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法.
2. 写出一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式.
（b2－4ac≥0）
3.用公式法解下列方程.
（1）x2－3x－4＝0； （2）x2－4x+4＝0；
解：a＝1，b＝－3，c＝－4， 解： a＝1，b＝－4，c＝－4，
b2－4ac＝(－3)2－4×1×(－4)＝25＞0 b2－4ac＝(－4)2－4×1×4＝0
∴ x1＝4，x2＝－1 ∴ x1＝x2＝2
（3）x2+2x+3＝0.
( http: / / www.21cnjy.com )
五、随堂练习
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）2x2－5x－4＝0；
解：(1) ∵ ＝(－5)2－4×2×(－4)＝57＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
（2）7t2－5t+2＝0；
解：∵ ＝(－5)2－4×7×2＝－31＜0，
∴原方程没有实数根.
（3）x(x+1)＝3；
解：原方程可变形为x2+x－3＝0，
∵ ＝12－4×1×(－3)＝13＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
（4）3y2+25＝10y.
解：原方程可变形为3y2－10 y+25＝0，
∵ ＝(10)2－4×3×25＝0，
∴原方程有两个相等的实数根.
2.已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
（1）有两个不相等的实数根？
（2）有两个相等的实数根？
（3）没有实数根？
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六、达标巩固
1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根的情况（ A ）
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.不能确定
2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是 k＜1 .21cnjy.com
3.方程(m－1)x2+2mx+m＝0有两个不相等的实数根，则m的取值为 m＞0且m≠0 .
4.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.
证明：∵m＞0，
∴此方程为一元二次方程，
∴ ＝[－(2m－1)]2－4m(m－2)＝4m+1，
∵m＞0，∴ 4m+1＞0，即 ＞0，
故原方程有两个不相等的实根.
七、拓展提高：
已知关于x的方程x2+ax－2＝0.
（1）当该方程的一个根为1时，求a的值及该方程中的另一个根；
（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根.
( http: / / www.21cnjy.com )
(x－1)(2x+3)＝0，
∴ x1＝1，x2＝－，
∴ 方程的另一个根为－；
（2） ＝a2－4(a－2)
＝a2－4a+8
＝(a－2)2+4
∵不论a取何实数，(a－2)2≥0，
∴(a－2)2+4＞0，即 ＞0，
∴方程有两个不相等的实数根.
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知识回顾
2.说说一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）
的求根公式.
（b2－4ac≥0）
1.你能说出我们共学过哪几种解一元二次
方程的方法吗？
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解法
3.试试用公式法解下列方程：
（1）x2－3x－4＝0；
（2）x2－4x+4＝0；
（3）x2+2x+3＝0.
在求解的过程
中，注意观察
b2-4ac的值.
解：a＝1，b＝－3，c＝－4，
（1）x2－3x－4＝0；
b2－4ac＝(-3)2－4×1×(-4)＝25
＞0
∴ x1＝4，x2＝－1
（2）x2－4x+4＝0；
解：a＝1，b＝－4，c＝4，
b2－4ac＝(-4)2－4×1×(-4)
＝0
∴ x1＝x2＝2
（3）x2+2x+3＝0.
解：a＝1，b＝2，c＝3，
b2－4ac＝22－4×1×3＝-8
＜0
∴ 此方程无解.
想一想：
这个3个一元二次方程的解的情况？
（1）有两个不相等的实数根；
（2）有两个相等的实数根；
（3）没有实数根（无解）.
这3个一元二次方程的解为什么会出现
不同的情况呢？它们的根的情况由哪个因素
来决定呢？何时有两个不相等的实数根？何
时有两个相等的实数根？何时没有实数根？
求根公式：
观察：
b2－4ac≥0是二次根式的被开方数.
因为a≠0，所以
（1）当b2－4ac＞0时，
是正实数，
因此，方程有两个不相等的实数根：
（2）当b2－4ac＝0时，
＝0，
因此，方程有两个相等的实数根：
（3）当b2－4ac＜0时，
在实数范围内
没有意义，
因此方程没有实数根.
感悟新知：
一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的情
况由b2－4ac来确定，我们把b2－4ac叫做一元
二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）根的判别式.通
常用符号“ ”来表示，即 ＝b2－4ac.
当 ＞0时，有两个不相等的实数根；
当 ＝0时，有两个相等的实数根；
当 ＜0时，没有实数根.
一般地，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0），
例题讲解：
特别指出：当 ≥0时，有两个实数根.
不解方程，判别下列方程根的情况：
（1）5x2-3x-2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+ x+1＝0.
解：（1）因为 ＝(-3)2-4×5×(-2)＝49＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
解：原方程可变形为：
25y2-20y+4＝0
因为 ＝(-20)2-4×25×4＝0，
所以原方程有两个相等的实数根.
解：因为 ＝( )2-4×2×1＝-5＜0，
所以原方程没有实数根.
（1）5x2-3x-2＝0；
（2）25y2+4＝20y；
（3）2x2+ x+1＝0.
随堂练习
1.不解方程，判别下列方程根的情况：
(1)2x2－5x－4=0；
(2)7t2－5t+2=0；
(3)x(x+1)=3；
(4)3y2+25=10 y.
解：(1)因为 =(－5)2－4×2×(－4)=57＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(1)2x2－5x－4=0；
(2)7t2－5t+2=0；
解：因为 =(－5)2－4×7×2=－31＜0，
所以原方程没有实数根.
解：原方程可变形为x2+x－3=0，
因为 =12－4×1×(－3)=13＞0，
所以原方程有两个不相等的实数根.
(3)x(x+1)=3；
(4)3y2+25=10 y.
解：原方程可变形为3y2－10 y+25=0，
因为 =(10 )2－4×3×25=0，
所以原方程有两个相等的实数根.
2. 已知关于x的方程x2－3x＋k＝0，问k取何值时，这个方程：
(1)有两个不相等的实数根？
(2)有两个相等的实数根？
(3)没有实数根？
=0，即： 时，方程有两个相等的实数根；
＞0，即： 时，方程有两个不相等的实数根；
＜0，即： 时，方程有两个相等的实数根.
解：因为 =(－3)2－4×1×k=9－4k，
关于x的方程 x2－3x＋k＝0，
试一试：
1.关于x的一元二次方程3x2－mx－2＝0的根
的情况（ ）
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.没有实数根
D.不能确定
A
2.如果关于x的方程x2－2x+k＝0（k为常数）
有两个不相等的实数根，那么k的取值范围
是______.
k＜1
3.方程(m－1)x2+2mx+m＝0有两个不相等的实数
根，则m的取值为_______________.
m＞0且m≠0
4.求证：无论m取何值，方程m2－(2m－1)x+
m－2＝0（m＞0）都有两个不相等的实根.
证明：∵m ＞0，
∴此方程为一元二次方程，
∴ ＝[－(2m－1)]2－4m(m－2)＝4m+1，
∵m ＞0，∴ 4m+1＞0，即 ＞0，
故原方程有两个不相等的实根.
(2)一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
小结与反思
(1)一元二次方程根的判别式；
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
布置作业
课本第36页：习题1～5题.
