3.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时） 课件（共29张PPT）

3.2.1 双曲线及其标准方程（第1课时）
第 三 章 圆锥曲线的方程
人教A版2019选修第一册
学习目标
1.了解双曲线的定义．
2.了解双曲线的几何图形和标准方程．
3.能利用双曲线的定义和待定系数法求双曲线的标准方程.
01情景导入
PART ONE
复习导入
1.椭圆的定义:
平面内与两个定点|F1F2|的距离的和等于常数(大于|F1F2| )的点的轨迹叫做椭圆.
2.椭圆的标准方程:
问题：如果把椭圆定义中“距离的和”改为“距离的差”那么动点的轨迹会发生怎样的变化？
情景导入
双曲线也是具有广泛应用的一种圆锥曲线，如发电厂冷却塔的外形、通过声音时差测定定位等都要用到双曲线的性质。本节我们将类比椭圆的研究方法研究双曲线的有关问题。
02 双曲线及其标准方程
PART ONE
双曲线及其标准方程
探究： 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F1、F2处，把笔尖放于点M，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？
提示：如图，曲线上的点满足条件：|MF1|－|MF2|＝常数；如果改变一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常数，可得到另一条曲线．
双曲线及其标准方程
① 两个定点F1、F2——双曲线的焦点;
② |F1F2|=2c ——焦距.
o
F
2
F
1
M
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a （小于︱F1F2︱）的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
双曲线的定义
集合语言表示：P＝{M| ,0<2a<|F1F2|}
||MF1|-|MF2||＝2a
双曲线及其标准方程
思考1:双曲线的定义中，常数为2???? ，0<2a<|F1F2|为什么？
?
提示:若2a＝|F1F2|，则动点的轨迹是以F1或F2为端点的射线；

若2a＞|F1F2|，则动点的轨迹不存在．
若2a＝0，则动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
思考2:双曲线的定义中，为什么要加“绝对值”三个字？没有“绝对值”三个字呢？
提示:若去掉定义中的“绝对值”三个字，则动点的轨迹只能是双曲线的一支．
F1
F2
M
F1
F2
M
双曲线及其标准方程
探究：类比椭圆标准方程的过程，我们如何建立适当的坐标系，得到双曲线的方程？
(1)建系：以经过两焦点F1和F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．
(2)设点：设M(x，y)是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c(c>0)，那么双曲线的焦点F1，F2的坐标分别是(－c,0)，(c,0)．
x
y
o
F1
F2
P
双曲线及其标准方程
(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，
可得 (????+????)2+y2 －(?????????)2+y2＝±2a.
(4)化简：移项，平方后可得:(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)．
令c2－a2＝b2，得双曲线的标准方程为????2????2－y2????2＝1(a＞0，b＞0)．
?
我们把上述方程叫做双曲线的标准方程，它表示焦点在x轴上，焦点坐标分别是F1(-c, 0), F2(c, 0)的双曲线，这里c2=a2+b2.
双曲线及其标准方程
思考：类比焦点在y轴上的椭圆的标准方程，焦点在y轴上的双曲线的标准方程是什么？
双曲线的焦距为2c，焦点分别为F1（0，-c）,F2(0，c),a,b意义这时双曲线的方程是????2????2
????2????2＝1(a＞0，b＞0)
?
这个方程也是双曲线的标准方程。
双曲线及其标准方程
a2＋b2
F1(－c,0)，F2(c,0)
F1(0，－c)，F2(0，c)
双曲线及其标准方程
思考：怎样区分焦点在不同位置的两类双曲线的方程？它与椭圆的区分方法有何不同？
提示：椭圆由分母常数的大小判定，双曲线由各项前面的符号判定.
思考：双曲线的标准方程与椭圆的标准方程在形式上有什么区别？a、b、c之间的关系有何不同？
提示：a、b、c之间的关系：椭圆是????2=????2+????2，双曲线是c2＝a2＋b2
（记忆方法：椭圆的焦点在顶点之内，所有ca）
?
03 双曲线及其标准方程应用
PART ONE
双曲线及其标准方程
D
双曲线及其标准方程
练习1.双曲线????210?y22＝1的焦距为(　　)
A．32　　　B．4 2 C．3 3 D．43
?
练习2.已知双曲线a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为________．
双曲线及其标准方程
C
双曲线及其标准方程
例2.根据下列条件，求双曲线的标准方程．
(1)经过点P(3，?????????????)，Q(－????????????，5)；
?
解：　(1)法一：若焦点在x轴上，设双曲线的方程为????????????????－????????????????＝1(a>0，b>0)，
由于点P(3，?????????????)，Q(－????????????，5)在双曲线上，所以?????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????=????，解得 ????????=?????????????????=?????,(舍去)．
若焦点在y轴上，设双曲线的方程为????????????????－????????????????＝1(a>0，b>0)，
将P、Q两点坐标代入可得?????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????=????,解得 ????????=????????????=????????,?
所以双曲线的标准方程为?????????????????????????????＝1.综上，双曲线的标准方程为?????????????????????????????＝1.
?
双曲线及其标准方程
法二：设双曲线方程为????2????＋y2????＝1(mn<0)．
∵P、Q两点在双曲线上，
∴8????+22516????=12569????+25????=1,解得????=?16????=9
∴所求双曲线的标准方程为y29?????216＝1.
?
双曲线及其标准方程
(2)法一：依题意可设双曲线方程为????2????2－y2????2＝1(a>0，b>0)．
则有????2+????2=625????2?4????2=1,解得????2=5????2=1,双曲线的标准方程为????25－y2＝1.
?
法二∵焦点在x轴上，c＝6，∴设所求双曲线方程为????2λ－y26?λ＝1(其中0<λ<6)．
∴25λ－46?λ＝1，∴λ＝5或λ＝30(舍去)．
∴所求双曲线的标准方程是????25－y2＝1.
?
(2)c＝6，经过点(－5,2)，焦点在x轴上．
?
双曲线及其标准方程
类题通法
用待定系数法求双曲线标准方程的步骤
(1)定位：确定双曲线的焦点位置，如果题目没有建立坐标系，一般把焦点放在x轴上；
(2)设方程：根据焦点的位置设相应的双曲线标准方程(当焦点在两个坐标轴上都有可能时，一般设为Ax2＋By2＝1(AB＜0))；
(3)定值：根据题目的条件确定相关的系数的方程，解出系数，代入所设方程．
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
双曲线及其标准方程
B
双曲线及其标准方程
BCD
双曲线及其标准方程
04课堂小结
PART ONE
课堂小结