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天津市第三中学2023-2024学年高二上学期期中考试（2023.11）
数学
第I卷 选择题
一、选择题（共9题，每题4分，共36分 ）
1．设P是椭圆＋＝1上一点，F1、F2是椭圆的焦点，则三角形PF1F2的周长
等于( )
A．26 B．36 C．50 D．52
2．抛物线x2=－4y的准线方程为( )
A．x＝1 B．x＝2 C．y＝1 D．y＝2
3．双曲线方程为x2－2y2＝1，则它的右焦点坐标为( )
A. B. C. D．(，0)
4．设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C: y2=2px(p>0)交于D,E两点，若OD⊥OE,
则C的标准方程为( )
A．y2=8x B．y2=2x C．y2=x D．y2=x
5．以－＝1的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆方程为( )
A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1
6．设圆C与O1:(x-1)2+y2=1外切并与O2:(x+1)2+y2=16内切，则C的圆心轨迹为( )
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为( )
A． B． C． D．
8．F1、F2是椭圆＋＝1的两个焦点，A为椭圆上一点，且∠AF1F2＝45°，则△AF1F2的面积为( )
A．7 B. C. D.
9．设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲
线的离心率为( ).
A. B. 5 C. D.
第II卷 非选择题
二、填空题（共6题，每题4分，共24分 ）
10．焦点在x轴上的椭圆的焦距为4，则___________．
11．抛物线x2=4y上一点P到焦点的距离为8，则点P到x轴的距离为_______．
12．双曲线的渐近线方程为y＝±x，它的一个焦点坐标是(0，)，则该双曲线的标准方程是__________．
13．抛物线y2=－8x关于直线y=x－1对称之后的抛物线焦点坐标是___________．
14. 如图，F1，F2分别为椭圆＋＝1的左、右焦点，点P在
椭圆上，△POF2是边长为2的正三角形，则b2的值是________．
已知双曲线(a>0,b>0)的两条渐近线与抛物线y2=2px(p>0) 的准线分别交于A,B两点，O为坐标原点，若双曲线的离心率为2，若△AOB的面积为，则p是________．
三、解答题（共4题，每题10分，共40分）
16．已知两圆M: x2+y2+2x-4y+4=0和N: x2+y2-4x-12y+4=0.
(1)分析两圆位置关系并确定公切线数量；
(2)求公切线所在直线方程.
17．已知椭圆的长轴长为2a，焦点是F1(－，0)、F2(，0)，点F1到直线x＝－的距离为，过点F2且倾斜角为45°的直线l与椭圆交于A、B两点.
(1)求椭圆的方程；
(2)求线段AB的长．
18．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，它们的离心率之和为．
(1)求双曲线的方程；
(2)过点P(3,1)的直线l与双曲线交于线段AB恰被该点平分，求直线l的方程．
19．设椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F,右顶点为A,离心率是，已知A是抛物线C2:y2＝2px(p>0)的焦点，F到抛物线C2的准线l的距离为．
(1)求C1的方程及C2的方程；
(2)设l上两点P,Q关于x轴对称，直线AP交C1于点B(异于点A)，直线BQ交x轴于点D,若△APD的面积为，求直线AP的斜率.
高 年级 试卷 (
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)天津市第三中学2023-2024学年高二上学期期中考试（2023.11）
参考答案
一、选择题
（1）B （2）C （3）C （4）B （5）A
（6）B （7）D （8）B （9）D
二、填空题
（10）4 （11）7 （12） （13）（1，-3） （14） （15）2
三、解答题
16．解：(1)M: (x+1)2+(y-2)2=1 圆心M(-1,2) 半径r1=1
N: (x-2)2+(y-6)2=36 圆心N(2,6) 半径r2=6
|MN|==5= r2- r1 所以两圆内切，只有一条公切线.
(2) M: x2+y2+2x-4y+4=0 与 N: x2+y2-4x-12y+4=0 两圆方程相减得：6x+8y=0
化简即为：3x+4y=0 所以两圆公切线直线方程：3x+4y=0.
17. 解：(1) 由已知c= 且 解得a2=4 则有 b2=a2-c2=4-3=1
椭圆方程：.
(2)直线l: y=x-
5x2-8x+8=0 设A(x1,y1) B(x2,y2) 则有 x1+x2= , x1x2=, k=1
即：|AB|== 所以线段AB长为.
解：(1)设椭圆和双曲线的离心率分别是e1和e2
椭圆中c2=a2-b2=25-9=16 即c=4，a=5, e1=,由已知e1+e2= 所以e2=2.
双曲线中 e2=, 所以a’=2 即a’2=4, 又b’2=c2-a’2=16-4=12
双曲线方程：.
(2)解法一：设直线l的方程：y-1=k(x-3) 即：y=kx+1-3k 设A(x1,y1),B(x2,y2)
, 由已知 所以 k=9
直线l的方程：y-1=9(x-3) 即：y=9x-26.
解法二：设A(x1,y1),B(x2,y2) 则有3x12-y12=12以及3x22-y22=12，两式相减
得： 3(x12-x22)=y12-y22
由已知得 所以 k=9
直线l的方程：y-1=9(x-3) 即：y=9x-26.
19. 解：（1）设F的坐标为．依题意，，，，
解得，，，于是．
椭圆方程: ， 抛物线方程: ．抛物线的通径长：2p=4.
（2）设直线AP的方程为，
由点异于点，可得点．
由，直线方程:，
令，解得，故，所以．
因为S△APD=，故，整理得，
解得，即．所以，直线AP的斜率k=.
