第二章 2.3 第1课时
一、选择题
1．设Sn为等差数列{an}的前n项和，S8＝4a3，a7＝－2，则a9＝( )
A．－6 B．－4
C．－2 D．2
[答案] A
[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．
??.
∴a9＝a1＋8d＝－6.
2．四个数成等差数列，S4＝32，a2?a3＝1?3，则公差d等于( )
A．8 B．16
C．4 D．0
[答案] A
[解析] ∵a2?a3＝1?3，∴＝，∴d＝－2a1.
又S4＝4a1＋d＝－8a1＝32，∴a1＝－4，
∴d＝8.
3．等差数列{an}中，a3＋a7－a10＝8，a11－a4＝14.记Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，则S13＝( )
A．168 B．156
C．152 D．286
[答案] D
[解析] ∵，∴，
∴，∴S13＝13a1＋d＝286.
4．在等差数列{an}和{bn}中，a1＝25，b1＝15，a100＋b100＝139，则数列{an＋bn}的前100项的和为( )
A．0 B．4475
C．8950 D．10 000
[答案] C
[解析] 设cn＝an＋bn，则c1＝a1＋b1＝40，c100＝a100＋b100＝139，{cn}是等差数列，∴前100项和S100＝＝＝8950.
5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( )
A．5 B．4
C．3 D．2
[答案] C
[解析] 设等差数列为{an}，公差为d，
则，
∴5d＝15，∴d＝3.
6．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，
则＝( )
A．1 B．－1
C．2 D．
[答案] A
[解析] ＝＝×＝1，故选A．
二、填空题
7．已知数列{an}的通项公式an＝－5n＋2，则其前n项和Sn＝________.
[答案] －
[解析] ∵an＝－5n＋2，
∴an－1＝－5n＋7(n≥2)，
∴an－an－1＝－5n＋2－(－5n＋7)＝－5(n≥2)．
∴数列{an}是首项为－3，公差为－5的等差数列．
∴Sn＝＝＝－.
8．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝72，则a2＋a4＋a9＝________.
[答案] 24
[解析] ∵S9＝＝72，
∴a1＋a9＝16，即a1＋a1＋8d＝16，
∴a1＋4d＝8，
又a2＋a4＋a9＝a1＋d＋a1＋3d＋a1＋8d
＝3(a1＋4d)＝3×8＝24.
三、解答题
9．已知等差数列{an}．
(1)a1＝，a15＝－，Sn＝－5，求n和d；
(2)a1＝4，S8＝172，求a8和D．
[解析] (1)∵a15＝＋(15－1)d＝－，
∴d＝－.
又Sn＝na1＋·d＝－5，
解得n＝15，n＝－4(舍)．
(2)由已知，得S8＝＝，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，∴d＝5.
10．设{an}是等差数列，前n项和记为Sn，已知a10＝30，a20＝50.
(1)求通项an；
(2)若Sn＝242，求n的值．
[解析] (1)设公差为d，
则a20－a10＝10d＝20，
∴d＝2.
∴a10＝a1＋9d＝a1＋18＝30，
∴a1＝12.
∴an＝a1＋(n－1)d＝12＋2(n－1)＝2n＋10.
(2)Sn＝＝
＝n2＋11n＝242，
∴n2＋11n－242＝0，
∴n＝11.
一、选择题
1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( )
A．S7 B．S8
C．S13 D．S15
[答案] C
[解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝＝13a7为常数．
2．等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝2，S4＝10，则S6等于( )
A．12 B．18
C．24 D．42
[答案] C
[解析] ∵S2，S4－S2，S6－S4成等差数列，
∴2(S4－S2)＝S2＋S6－S4，
∴2(10－2)＝2＋S6－10，∴S6＝24.
3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则等于( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列．
设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k，
∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k，
∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，
∴＝＝.
4．(2013·新课标Ⅰ理，7)设等差数列{an}的前n项和为Sn，Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝( )
A．3 B．4
C．5 D．6
[答案] C
[解析] 本题考查数列的前n项和Sn与通项an的关系及等差数列的定义．
Sm－Sm－1＝am＝2，Sm＋1－Sm＝am＋1＝3，
∴d＝am＋1－am＝3－2＝1.
Sm＝a1m＋·1＝0， ①
am＝a1＋(m－1)·1＝2，
∴a1＝3－m. ②
②代入①得3m－m2＋－＝0，
∴m＝0(舍去)，m＝5，故选C．
二、填空题
5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若＝a1＋a200，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝________.
[答案] 100
[解析] ∵＝a1＋a200，且A、B、C三点共线，
∴a1＋a200＝1，
∴S200＝＝100.
6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于________．
[答案] 14
[解析] 对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.
三、解答题
7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和．
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则
Sn＝na1＋D．
由已知得
①×10－②整理得d＝－，代入①得，a1＝，
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝110
＝－110.
8．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列{}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn.
[解析] 设等差数列{an}的公差为d，则
Sn＝na1＋n(n－1)D．
∵S7＝7，S15＝75，∴，即，
解得a1＝－2，d＝1.
∴＝a1＋(n－1)d＝－2＋(n－1)，
∵－＝，
∴数列{}是等差数列，其首项为－2，公差为，
∴Tn＝n2－n.
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修5 数 列第二章2.3 等差数列的前n项和第二章第1课时 等差数列的前n项和1.请你快速算出1＋3＋5＋7＋…＋99＝________.
2．二次函数y＝2x2＋x的图象开口________，最小值为________．
3．在等差数列{an}中，a11＋a13＝a9＋________.有关等差数列的前n项和的基本运算 等差数列前n项和性质的应用 等差数列前n项和公式的实际应用 an与Sn关系的应用 第二章 2.3 第2课时
一、选择题
1．记等差数列{an}的前n项和为Sn.若d＝3，S4＝20，则S6＝( )
A．16 B．24
C．36 D．48
[答案] D
[解析] 由S4＝20,4a1＋6d＝20，解得a1＝?S6＝6a1＋×3＝48.
2．已知{an}为等差数列，a1＋a3＋a5＝105，a2＋a4＋a6＝99，Sn是等差数列{an}的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是( )
A．21 B．20
C．19 D．18
[答案] B
[解析] 由题设求得：a3＝35，a4＝33，∴d＝－2，a1＝39，∴an＝41－2n，a20＝1，a21＝－1，所以当n＝20时Sn最大．故选B．
3.＋＋＋…＋＝( )
A． B．
C． D．
[答案] B
[解析] 原式＝(－)＋(－)＋…＋(－)＝(－)＝，故选B．
4．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列{}的前100项和为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．
∵a5＝5，S5＝15
∴＝15，∴a1＝1.
∴d＝＝1，∴an＝n.
∴＝＝－.
则数列{}的前100项的和为：T100＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.
故选A．
5．设等差数列{an}的前n项的和为Sn，若a1>0，S4＝S8，则当Sn取得最大值时，n的值为( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] 解法一：∵a1>0，S4＝S8，∴d<0，且a1＝d，∴an＝－d＋(n－1)d＝nd－d，由，得，∴5解法二：∵a1>0，S4＝S8，
∴d<0且a5＋a6＋a7＋a8＝0，
∴a6＋a7＝0，∴a6>0，a7<0，
∴前六项之和S6取最大值．
6．设{an}是等差数列，Sn为其前n项和，且S5S8，则下列结论错误的是( )
A．d<0 B．a7＝0
C．S9>S5 D．S6与S7均为Sn的最大值
[答案] C
[解析] 由S50，由S6＝S7知a7＝0，
由S7>S8知a8<0，C选项S9>S5即a6＋a7＋a8＋a9>0，∴a7＋a8>0，显然错误．
二、填空题
7．设Sn是等差数列{an}(n∈N*)的前n项和，且a1＝1，a4＝7，则S5＝________.
[答案] 25
[解析] 由得，
∴S5＝5a1＋×d＝25.
8．(2014·北京理，12)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．
[答案] 8
[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n项和．
由等差数列的性质，a7＋a8＋a9＝3a8，a7＋a10＝a8＋a9，于是有a8>0，a8＋a9<0，故a9<0，故S8>S7，S90公差d<0，{an}是一个递减的等差数列，前n项和有最大值，a1<0，公差d>0，{an}是一个递增的等差数列，前n项和有最小值．
三、解答题
9．设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.
(1)求{an}的通项公式；
(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn取最大值的n的值．
[解析] (1)设公差为d，由已知得，解得.∴an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋11.
(2)由(1)知Sn＝na1＋d＝10n－n2＝－(n－5)2＋25，
∴当n＝5时，Sn取得最大值．
10．已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5＋a7＝26，{an}的前n项和为Sn.
(1)求an及Sn；
(2)令bn＝(n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Tn.
[解析] (1)设等差数列{an}的首项为a，公差为d，
由于a3＝7，a5＋a7＝26，
∴a1＋2d＝7,2a1＋10d＝26，
解得a1＝3，d＝2.
∴an＝2n＋1，Sn＝n(n＋2)．
(2)∵an＝2n＋1，
∴a－1＝4n(n＋1)，
∴bn＝＝(－)．
故Tn＝b1＋b2＋…＋bn
＝(1－＋－＋…＋－)
＝(1－)
＝，
∴数列{bn}的前n项和Tn＝.
一、选择题
1．一个凸多边形的内角成等差数列，其中最小的内角为120°，公差为5°，那么这个多边形的边数n等于( )
A．12 B．16
C．9 D．16或9
[答案] C
[解析] an＝120＋5(n－1)＝5n＋115，
由an<180得n<13且n∈N*，
由n边形内角和定理得，
(n－2)×180＝n×120＋×5.
解得n＝16或n＝9
∵n<13，∴n＝9.
2．已知数列{an}为等差数列，若<－1，且它们的前n项和Sn有最大值，则使得Sn>0的最大值n为( )
A．11 B．19
C．20 D．21
[答案] B
[解析] ∵Sn有最大值，∴a1>0，d<0，
∵<－1，
∴a11<0，a10>0，∴a10＋a11<0，
∴S20＝＝10(a10＋a11)<0，
又S19＝＝19a10>0，故选B．
3．等差数列{an}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值为4，则抽取的项是( )
A．a8 B．a9
C．a10 D．a11
[答案] D
[解析] S11＝5×11＝55＝11a1＋d＝55d－55，
∴d＝2，S11－x＝4×10＝40，∴x＝15，
又a1＝－5，由ak＝－5＋2(k－1)＝15得k＝11.
4．设{an}是递减的等差数列，前三项的和是15，前三项的积是105，当该数列的前n项和最大时，n等于( )
A．4 B．5
C．6 D．7
[答案] A
[解析] ∵{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝15，∴a2＝5，
又∵a1·a2·a3＝105，
∴a1a3＝21，由及{an}递减可求得a1＝7，d＝－2，∴an＝9－2n，由an≥0得n≤4，∴选A．
二、填空题
5．已知{an}是等差数列，Sn为其前n项和，n∈N*.若a3＝16，S20＝20，则S10的值为________．
[答案] 110
[解析] 设等差数列{an}的首项为a1，公差为D．
a3＝a1＋2d＝16，S20＝20a1＋d＝20，
∴解得d＝－2，a1＝20.
∴S10＝10a1＋d＝200－90＝110.
6．等差数列{an}中，d<0，若|a3|＝|a9|，则数列{an}的前n项和取最大值时，n的值为______________．
[答案] 5或6
[解析] ∵a1＋a11＝a3＋a9＝0，
∴S11＝＝0，
根据二次函数图象的性质，由于n∈N*，所以当n＝5或n＝6时Sn取最大值．
三、解答题
7．一等差数列共有偶数项，且奇数项之和与偶数项之和分别为24和30，最后一项与第一项之差为10.5，求此数列的首项、公差以及项数．
[解析] 解法1：设此数列的首项a1，公差d，项数2k(k∈N*)．
根据题意，得，即
∴，解得.
由S奇＝(a1＋a2k－1)＝24，可得a1＝.
∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
解法二：设此数列的首项为a1，公差为d，项数为2k(k∈N*)，
根据题意，得即
∴解得
∴此数列的首项为，公差为，项数为8.
8．设等差数列的前n项和为Sn.已知a3＝12，S12>0，S13<0.
(1)求公差d的取值范围；
(2)指出S1，S2，…，S12中哪一个值最大，并说明理由．
[解析] (1)依题意，
即
由a3＝12，得a1＋2d＝12.③
将③分别代入②①，得，
解得－(2)由d<0可知{an}是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使an>0且an＋1<0，则Sn最大．
由于S12＝6(a6＋a7)>0，S13＝13a7<0，可得
a6>0，a7<0，
故在S1，S2，…，S12中S6的值最大．
课件40张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修5 数 列第二章2.3 等差数列的前n项和第二章第2课时 等差数列前n项和公式的应用等差数列的最值问题 裂项求和 含绝对值的数列的前n项和
