2023年秋季学期广西示范性高中高二期中联合调研测试
&在△1aC中，A-号，仙边上伯商等于5，则cmC=()
数学
入9
c月
D.14
二、多选题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合
本卷满分：150分，考试川时：120分钟
题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
注意事项：
9.下列命题为真命题的是()
【.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题日的答案标号涂黑。如
人若a>60,则时活
B.若aab
需改动，用橡皮擦干净后，耳选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
C.若a>b,则la>
D.若a>2,则a+4
写在本试卷上无效。
226
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
[ex<0
10.函数f()=
r-4+2x之0：记@==m(a≠)，则下列说法正确的是〔】
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
A.当m=2时，a+b=4
B.当m=2时，a+b=2
项是符合题目要求的，
C.当m-2时，ab的值可能为h2
D.当m=2时，ab的值可能为-h2
1+24=()
1.2-i
1L.如图，平行六面体ABCD-A,B,CD的底面ABCD是菱形，且AB=AA,=2,
仑
A.-i
B.-1-i
C.i
D.-1+i
∠BAD=∠AAB=∠AAD=60,则下列说法正确的是()
u
2.设集合U=R,M={xx<2,N={x-lA.AC=A正+AD+AAB.AC,与BD所成的角大小为60
A.{x|x<2或x≥3}B.{x|x23},C.x|x≤-1或x22}D.{xx>-1}
3.在△ABC中，D是BC边上的中点，则AB=()
C.AG=2/6
D.点A到平面48D的距离为2,6
3
(第1思)D
A2D-A元B.D-2A元C.2而+元
D.4D+2AC
4.已知非零向量a,万，c,则“a=万”是“a·e=万：c"的(）
12.设椭圆号+上
云+京-1(a>b>0)与双线若-
a
=1的离心率分别为4，心，椭侧的右顶点为A
A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
双尚线的渐近线方程为少一士5：】
之x,椭圆与双曲线在x轴上方相交于E,F两点，则()
5.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，(x)=x-3x2,则f(-)=()
A,-2
B.2
C.-4
D.4
6.已知圆C:x2+y2=1,圆C2:x-3+0心-4奶=16，则下列说法正确的是(）
a号5
5
A圆C,与圆C,公共弦所在直线的方程为3x+4y-5=0
B.圆C与圆C,有两条公切线
cee手
C.x=-1是圆C与圆C,的一条公切线
D.直线AE、F分别交y轴于点P(0小(0,6)，若b=I,则yr%=1
D.圆C与圆C上均恰有两点到直线3x+4y-5=0的距离为2
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
7已知椭圆c:号+上
言+左=1a>b>0)的离心率为写，F、5分别为C的左、右焦点，P为C
13.若直线(：ax+y+2=0与直线：x+(a-2)y+1=0垂直，则a=
上一点，若△P明的面积等于4，且co∠房-子，则C的方程为()
14.底面半径为4的圆锥被平行于其底面的平面所被，截去一个底面半径为2，高为3的圆锥，
B号片
c
所得圆台的体积为
D.1816
高二明中联合调研测试（数学）第1项共4页
高二期中联合四研测试（数学）第2页共4页
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数学参考答案
1～8：CDAABCCD 9.BD 10.AD 11.ACD 12.ACD
13. 14. 15. 16.
1.【答案】C
1 2i (1 2i)(2 i) 2 5i 2i 2 5i
【解析】 i .
2 i (2 i)(2 i) 4 i 2 5
2.【答案】D
【解析】 UM {x | x 2}， UM N {x | x 1} .
3.【答案】A
【解析】 D是 BC边上的中点 AD
1
AB AC2 ，即 AB 2AD AC .
4.【答案】A
【解析】
a b a c b c
，反之， a c,b c满足 a c b c 0，但 a,b未必相等，故“ a b”是
“ a c b c ”的充分不必要条件.
5.【答案】B
【解析】 因为函数 f (x)是定义在R上的奇函数，所以 f ( 1) f 1 13 3 12 2．
6.【答案】C
【解析】由条件可得：圆C : x2 y21 1的圆心为C1(0,0) ,半径 r1 1；圆C2 : (x 3)
2 (y 4)2 16的圆心
为C2 (3,4) ,半径 r2 4 .
C1C2 3
2 42 5 r1 r2 圆C1与圆C2 外切，选项 A,B错误；
对于选项 C，圆心C1(0,0)到直线 x 1的距离 d1 0 1 1 r1 ；圆心为C2 (3,4)到直线 x 1的距离
d2 3 1 4 r2，所以 x 1是圆C1与圆C2 的一条公切线，选项 C正确；
5
对于选项 D，圆心C1(0,0)到直线3x 4y 5 0的距离 d3 1 r1，所以圆C : x
2 2
32 42 1
y 1上有
且仅有一点到直线的距离为 2，选项 D错误.
7.【答案】C
1 x2 y2
【解析】由椭圆离心率为 可设 a 3m,c m(m 0)，则椭圆C的方程为 2 2 1 .3 9m m
由椭圆的定义可得： PF1 PF2 2a 6m, F1F2 2c 2m ,
在 F1PF2 中， cos
3
F1PF2 , F
2
1F2 PF
2
1 PF
2
2 2 PF1 PF2 cos F1PF5 2
2
F F 21 2 PF1 PF2 2 PF1 PF2 1 cos F1PF2 ,
即 4m2 36m2 2 PF PF
3 2
1 2 1 PF1 PF2 10m
5
2
由 cos F
3
1PF2 , F1PF2 0, 得： sin
3 4
F1PF2 1 cos
2 F1PF 1
，
5 2 5 5
S 1 1 2 4 2 2 F PF PF1 PF2 sin F1PF2 10m 4m 4 ，解得：m 1，1 2 2 2 5
x2 y2
所以椭圆C的方程为 1 .
9 8
8.【答案】D
【解析】设垂足为 D， AB c ,则CD 3 c．
3
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 1页，共 7页
{#{QQABBYAUggAAAhBAAAgCAwXwCAKQkBACCIoORFAIsAIBQQNABAA=}#}
π
在直角△ACD中， A ， tan A
CD 1
，所以 AD c，从而 DB
2
c．
3 AD 3 3
2 2
在直角△BCD中， BC CD2
DB2 3 2 7 c c
c ，
3 3 3
sin B DC 3 ,cosB DB 2从而可得： ．
BC 7 BC 7
π
在△ABC C π
中， B3
，故
π 1 3 1 2 3 3 cosC cos( B) cosB sin B
1 7
3 2 2
.
2 7 2 7 2 7 14
9.【答案】BD
a b 0 1 1【解析】对于选项 A， ，选项 A错误；
a b
对于选项 B， 因为 a b 0 a2 ab，选项 B正确；
对于选项 C，当 a 1,b 1时，满足 a b，但 a b ，选项 C错误;
对于选项 D a 2 a 4 (a 4 4 4，当 时， 2) 2 2 (a 2) 2 6 ，当且仅当 a 2 时，
a 2 a 2 a 2 a 2
即 a 4时，等号成立，选项 D正确．
10.【答案】AD
【解析】结合图 10可知：当m 2时， a,b是一元二次方程
x2 7 4x 2的两个不等实根，则 a b 4，选项 A正确；
2
1 x 1 2 7 1
当m 时， e 或 x 4x ，
2 2 2 2
解得： x ln 2或 x 1或 x 3，
所以 ab所有可能的取值为： ln 2， 3ln 2， 3，选项 D正确.
11.【答案】ACD
【解析】对于选项 A， AC1 AC CC1 AB AD CC1 AB AD AA1 ,
选项 A正确；
对于选项 B， AB AD AA1 AB AA1 AD 2 2cos60
0 2，
2 2 AC1 BD AB AD AA1 AD AB AB AD AD AA1 AD AB AD AB AA1 AB 2 22 2 22 2 2 0，AC1与 BD所
成的角大小为 90 ，选项 B错误；
对于选项 C，
2 2 2 2 2
AC1 AB AD AA1 AB AD AA1 2AB AD 2AB AA1 2AD AA 2 2 21 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24，
AC1 2 6，选项 C正确；
对于选项 D，由 B选项知： AC1 BD，同理可得： AC1 A1B，又 A1B BD B ，
AC1 平面 A1BD， AC1 是平面 A1BD的一个法向量，
2又 AC1 AA1 AB AD AA1 AA1 AB AA1 AD AA1 AA1 2 2 22 8 ,
AC1 AA1 8 2 6
点 A到平面 A1BD的距离为 d ，选项 D正确.AC1 2 6 3
12.【答案】ACD
y 5 x a 5【解析】由双曲线的渐近线方程 可知： ，
2 b 2
2 2
A e a b 1 b
2
4 5
对于选项 ， 1 1 ，选项 A正确；a a 5 5
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 2页，共 7页
{#{QQABBYAUggAAAhBAAAgCAwXwCAKQkBACCIoORFAIsAIBQQNABAA=}#}
B e a
2 b2 a
2 5
对于选项 ， 2
1 1
3
，选项 B错误；
b b 4 2
x2 y2 b2 a2 x2
对于选项 C，设 E x0 , y0 ,F x0 , y0 ，则 0 0 2 0
a2 b2
1，即 y0 ，a2
b2 a2 x20
2
椭圆的右顶点为 A a,0 ， y0 y y 2k k 0 b
2 4
AE AF
0 a ，选项 C正确；
x a x 2 2
2
0 0 a a x a x
2 a 2 5
0 0
y
D AE : y 0对于选项 ，直线 x a y
ay0 yy AF : y 0 x a y
x a 与 轴的截距为 P x a ；直线 x a 与 轴0 0 0
ay
y 0 ay
2 2 2
0 ay0 a y0 2 b 2
的截距为 P y y a b 1 x a ，所以 P Q x a x a a 2 x 2 a 2 ,选项 D正确.0 0 0 0
13.【答案】1
【解析】由 l1 l2得： a 1 1 a 2 0，解得： a 1 .
14.【答案】 28
3 2 1 2 1 2
【解析】设原圆锥的高为 h，则 ， h 6，V V V 4 6 2 3 28
h 4 截得圆台 原圆锥 截得圆锥
.
3 3
15.【答案】8
2
【解析】由函数 f (x) cos( x ) 0, 的最小正周期为 得：T ,解得： 2，
2
因为函数 y f (x)
图象关于直线 x 对称，所以 cos 2 (
)
1，即 k ,k Z，12 12 6
又 ， f (x) cos(2x )，
2 6 6
x 2 ,2 t 2x 4 ,4
，结合函数 y cost的图象得所求零点个数为8 .6 6 6
16. 2 10【答案】
5
【解析】设 AF2 3t(t 0)，则 F2B 2t, AF1 AB 5t ,
由双曲线的定义可得： AF1 AF2 2t 2a t a，
AF2 3a, F2B 2a, AF1 AB 5a ，
5a 2 3a 2 2c 2 5a 2 AF F , AF B 5a
2 2a 2 c 2 8
对于 1 2 1 有 cos A
，整理得： ，
2 5a 3a 2 5a 5a a 5
2 10双曲线的离心率为 ．
5
17.解：（1）法一：设与直线 l： x y 2 0，即 y x 2平行的直线方程为 y x （b b 2)，……1分
将点 A 3, 1 代入方程得： 1 3 b，解得： b 4，……3分（代入方程 1分，结果 1分）
设所求直线方程为 y x 4……5分
法二：设所求直线方程为 x y C 0 C 2 ，……1分
将点 A 3, 1 代入方程得： 3 1 C 0 ，解得：C 4，……3分（代入方程 1分，结果 1分）
设所求直线方程为 x y 4 0 .……5分
（2）法一：圆可化成 x 2 2 y 2 2 20 ，得圆心为 2, 2 ，半径 r 2 5，……6分
2 2 2
圆心 2, 2 到直线 l的距离 d 3 22 ，……8分（代入公式 1分，结果 1分）12 1
2 2
MN 2 r2 d2 2 2 5 3 2 2 2.……10分（代入公式 1分，结果 1分）
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 3页，共 7页
{#{QQABBYAUggAAAhBAAAgCAwXwCAKQkBACCIoORFAIsAIBQQNABAA=}#}
x y 2 0
法二：联立 2 2 消 y得： x
2 2x 0，解得： x
x y 4x 4y 12 0 1
0, x2 2……7分
直线 l与圆 x2 y2 4x 4y 12 0的交点为M 0，2 ，N 2，0 .……8分
2
MN 0 2 2 0
2 2 2.……10分（代入公式 1分，结果 1分）
18.解：（1）依题意， S 11 a
2 sin 60 3 a2 ，同理 S 3 b2 S 32 ， 3 c
2 ．……2分
2 4 4 4
（公式 1分，结果 1分）
3 3 3
因为 S 2 2 21 S2 S3 3，所以 a b c 3，……3分4 4 4
即 a2 b2 c2 4，……4分
a2 b2 c2cosC 4 2 2
由余弦定理得： 2ab 3 2 3 .……6分（公式 1分，结果 1分）2
2
2
（2） cosC 2 2 ，C (0,π) sinC 1 cos 2C 1 2 2 1 ，……8分3 3 3
（公式 1分，结果 1分）
a b c
由正弦定理 ……9分
sin A sin B sinC
3 2
c2 a b
得： 2 9
sin2
，……11分（公式变形 1分，结果 1分）
C sin A sin B 2 2
3
c
0 c 3 2 c 3 2 sinC 3 2 1 2又 ， = .……12分
sinC sinC 2 2 2 3 2
a 18 1819.解：（1） 0.9，……1分
100 0.02 10 20
b 100 0.03 10 0.9 27 ．……2分
第 1、2、3组的频率依次为： 0.1,0.2,0.3，
因为 [15,35)的频率为 0.3 0.5， [15,45) 的频率为 0.6 0.5，……3分
设中位数为 x，则 x (35,45) ……4分
(x 35) 0.03 0.5 0.3，解得 x
20
35 42，……5分
3
所以中位数的估计值为 42岁．……6分
（2）由（1）可知第 2、3、4组回答正确的共有18 27 9 54人，
18
所以利用分层抽样在 54人中抽取 6人，第 2组抽取 6 2（人），记为m1,m54 2
;
3 27第 组抽取 6 3（人），记为 n1,n2 ,n3 ;第 4
9
组抽取 6 1（人），记为 s ,……8分
54 54
法一：该试验的样本空间为
{m1m2 ,m1n1 ,m1n2 ,m1n3 ,m1s,m2n1 ,m2n2 ,m2n3 ,m2s,n1n2 ,n1n3 ,n1s,n2n3 ,n2s,n3s}，……9分
记事件M “这 2人都不在第 2组”，则M {n1n2 ,n1n3 ,n1s,n2n3 ,n2s,n3s} ,……10分
n(M ) 6 2 2
故 P(M ) n( ) 15 5 ，即这 2人都不在第 2组的概率为 ．……12分5
法二：从这 6人中随机依次抽取 2人，则样本空间包含的样本点个数为 n( ) 6 5 30 ，……8分
记事件M “这 2人都不在第 2组”，则事件M 包含的样本点的个数为 n(M ) 4 3 12，…10分
P(M ) n(M ) 12 2 2故 n( ) 30 5 ，即这 2人都不在第 2组的概率为 ．……12分 5
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 4页，共 7页
{#{QQABBYAUggAAAhBAAAgCAwXwCAKQkBACCIoORFAIsAIBQQNABAA=}#}
20.解：法一： SA 底面 ABCD SA AB,SA AD ,又 AB AD，
如图（第 20题）建立直角坐标系，……1分
则C 2,2,0 ,D 1,0,0 ,S 0,0,2 ,E 1,1,1 ,……2分
(1)DE 0,1,1 ……3分
易知： n 1,0,0 是平面 SAB的一个法向量，……4分
DE n 0 1 1 0 1 0 0……5分
又DE 平面 SAB……6分
DE / / SAB
平面 … …7分
(2)DC 1,2,0 ,DS 1,0,2 ，……8分
DC m 0 x 2y 0
设m x, y, z 是平面 SCD的一个法向量，则 ，即
DS m 0 x 2z 0
，……9分
取 x 2得：m 2, 1,1 ，……10分
cos n,m n m 1 2 0 ( 1) 0 1 6
n m 1 22 1 2 12 3
，……11分
故平面 SCD与平面 SAB 6的夹角的余弦值为 .……12分
3
法二：（1）取 SB的中点 F ，连接 FE,FA……1分
由 E、F分别是 SC、 SB的中点得： FE / /BC,FE
1
BC 1，……2分
2
在四边形 ABCD中， AB AD, AB BC AD / /BC，……3分
又 AD 1， FE / /AD，FE AD ，即四边形 ADEF是平行四边形，……4分
AF / /DE，又 AF 平面 SAB， DE 平面 SAB……5分
DE / /平面 SAB……6分
（2） SA 底面 ABCD SA AB,SA AD ,又 AB AD，
如图（第 20题）建立直角坐标系，
则C 2,2,0 ,D 1,0,0 ,S 0,0,2 ,E 1,1,1 ,……7分
易知： n 1,0,0 是平面 SAB的一个法向量，……8分
DC 1,2,0 ,DS 1,0,2 ，
DC m 0 x 2y 0
设m x, y, z 是平面 SCD的一个法向量，则 ，即 ，……9分
DS m 0 x 2z 0
取 x 2得：m 2, 1,1 ，……10分
cos n,m n m 1 2 0 ( 1) 0 1 6
n m 1 22 1 2 12 3
，……11分
故平面 SCD与平面 SAB 6的夹角的余弦值为 .……12分
3
法三：（1）取 SB的中点 F ，连接 FE,FA……1分
由 E、F分别是 SC、 SB的中点得： FE / /BC,FE
1
BC 1，……2分
2
在四边形 ABCD中， AB AD,AB BC AD / /BC ，……3分
又 AD 1， FE / /AD，FE AD ，即四边形 ADEF是平行四边形，……4分
AF / /DE，又 AF 平面 SAB， DE 平面 SAB……5分
DE / /平面 SAB……6分
(2)延长 BA、CD交于点G ,则平面 SCD 平面 SAB SG，
SA 底面 ABCD SA AD ,
又 AB AD，且 SA AB A AD 平面 SAB，
过点 A作 AH SG,H 为垂足，连接 DH ，则 DH SG，……7分
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 5页，共 7页
{#{QQABBYAUggAAAhBAAAgCAwXwCAKQkBACCIoORFAIsAIBQQNABAA=}#}
DHA是二面角 B SG C的平面角，……8分
由 BC 2AD可知： A是 BG的中点
在 Rt SAG中， AG BA SA 2 AH 2 ，……9分
在 Rt DAH 中， DH AD 2 AH 2 1 2 3 ，……10分
cos DHA AH 2 6 ,……11分
DH 3 3
故平面 SCD 6与平面 SAB的夹角的余弦值为 .……12分
3
a c 3
21.解：（1）由 | A1F | 3，| A2F | 1．可得： ，解得：a 1,c 2c a 1 ，……2分（列出方程组得 2分）
b c2 a2 22 12 3，……3分
2
y双曲线方程为 x2 1，……4分
3
渐近线方程为 y 3x .……5分
（2）法一：由题意可知：过直线 PQ的斜率存在.
设直线 PQ的方程为 y 1 k x 1 ，……6分
y 1 k x 1
2 2
联立 y2 消 y得： 3 k x 2k 1 k x 1 k 2 3 0 ……7分2
x 1
3
3 k 2 0
由直线 PQ与双曲线相交于两点可得： 2
（不写不扣分）
2k 1 k 4 3 k 2 1 k
2 3 0
设 P x1, y ,Q x , y
2k 1 k
1 2 2 ，则 x1 x2 2 ，……8分3 k
若T (1,1)
2k 1 k
是线段 PQ的中点，则 2 2 1，……9分3 k
解得： k 3，……10分
2
此时， 2k 1 k 4 3 k 2 1 k
2 3 24 0 与 0矛盾，……11分
故T (1,1)不是线段 PQ的中点.……12分
法二：假设T (1,1)是线段 PQ的中点，其中 P x1, y1 ,Q x2 , y2 ，则 x1 x2 y1 y2 2，……6分
y2x 2 1 1 1①
P,Q 3在双曲线上， 2 ，……7分
2 y2
x2 1②3
y1 y2 y1 y 2① ②整理可得： 3 k 3x ，即 ，……8分1 x
PQ
2 x1 x2
直线 l的方程是 y 1 3 x 1 ，即 y 3x 2，……9分
y 3x 2
联立 2 y2 y 消 得： 3x
2 3x 2 2 3，即 6x2 12x 7 0，……10分
x 1 3
12 2 4 6 7 24 0, ……11分
故T (1,1)不是线段 PQ的中点.……12分
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 6页，共 7页
{#{QQABBYAUggAAAhBAAAgCAwXwCAKQkBACCIoORFAIsAIBQQNABAA=}#}
22.解：（1）法一：设椭圆 E的方程为mx2 ny2 1(m 0， n 0且m n)，……1分
4m 1
将 A( 2,0),B( 3,
3) 1 1 两点代入得 9 ，解得m ， n ，……3分
2 3m n 1 4 9 4
x2 y2
故椭圆 E的方程为 1 .……4分
4 9
x2 y2
法二：当焦点在 x轴时，可设椭圆 E的方程为 1(a b 0)，
a2 b2
a 2
a 2
则 3 9 ，解得： 与 a b矛盾；……b 2
分
2 2 1 3 a 4b
y x
2 y2
当焦点在 轴时，可设椭圆 E的方程为 2 2 1(a b 0)，b a
b 2
a 3 x2 y2
则 3 9 ，解得： ，此时，椭圆 的方程为 1，
2 2 1 b 2
E
4 9
b 4a
x2 y2
综上，椭圆 E的方程为 1 .……4分
4 9
(2)当直线CD斜率不存在时，直线CD的方程为 x 0，
C x y 9 5
9 5
过 作 轴的垂线交直线 的点为 P
5
0， ，直线 DP的方程为 x 0，……5分
5
当直线斜率存在时，可设直线CD方程为 y kx 5 ,……6分
y kx 5
联立 x2 y2 消 y得： 9 4k 2 x2 8 5kx 16 0 ，……7分
1
4 9
2 8 5k 4 9 4k 2 16 242 k 2 1 0 ，（不写不扣分）
C x , y ,D x , y P x 9 5 x x 8 5k ,x x 16设 1 1 2 2 ， 1，5 ，则 1 2 9 4k 2 1 2 2
，……8分
9 4k
kx x 2 5即 1 2 x1 x2 ……9分5
y 9 5
直线 DP的方程 y 9 5
2
5 x x1
，……10分
5 x2 x1
y 9 5 9 5 x y x y 9 5 9 52 2 2 1 2 x2 kx2 5 x y 9 5 9 51 2 x5 5 5 5 5 5 2 kx1x2 5x1 y x x x
x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1
y 9 5 9 5 x 2 5 x x 5x y 9 5 7 5 9 52 2 1 2 1 2 x x y
5 5 5
2 1 2
x 5 x 5 5 x 7 5 ，…11分
x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 5
7 5
直线 DP恒过定点 0, .……12分
5
高二期中联合调研测试（数学）参考答案 第 7页，共 7页
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