2023一2024学年度第一学期期中教学质量检测
5
高三数学试题
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：
1,容题前，考生务必用0.5老米黑色签字笔将自已的姓名、座号、考生号、县区和科类填写
到答题卡和试卷规定的位置上。
2.第I卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目.的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3,第Ⅱ卷必须用0,5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的
位置：如需改动，先划掉（来的答案，然后再写上新的容案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带。
不按以上要求作答的答案无效。
第I卷选择题〔60分)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共0分。在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的。
1,设集合A=z0
任o,则An8
A.[-1,4]
B.[-1,5)
C.(0,4]
D.(0,4)
2.在平面直角坐标系xOy巾，已知角c的始边是x轴的非负半轴，终边经过点P(一1,2)，
则c0s(元一a)=
停
及⑤
C、
D.一6
5
5
3.设复数满足2十22=3+i,则子=
A.1+i
B.-1+i
C.-1-i
D.1-i
4,定义在R上的函数f(x),满足f(x)=f(一x),且在（一∞，0门为增函数，则
A.f(eos2023m)B.f(2赢)C.f()f(log2022)D.f(1oga2022)高三数学试题第1页（共4页）
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口
Q夸克扫描王
5.已知命题：3x∈1,4]，log2x<2x+a,则力为假俞题的一个充分不必要条件是
A.a>-1
B.a-11
C.a<-1
D.a<-11
6.函数f:)=si(2x+名)向右平移m(m>0)个单位后，所得函数5x)是偶函数，则m的最
小值是
A-君
B合
c
n
7.已知x>0,y>0,且x十2y=1,则3+9”的最小值为
A.2w3
B.3②
C.3w3
D.2w②
&.已知0A号
B.-
n-号
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.已知向量4=(2，m),方=(-1,2)，且(a-2)⊥方，则下列说法正确的是
A.m=3
B.a.6=10
C向量a与方夹角是牙
D.a-61=5
10.已知40，则下列结论正确的是
A>
B.abb
C.a
D.√a-a>√B-b
11.已知数列{a,)的前n项和为S。,a1=2,(n一2)S。+1十2a+1=nSn,m∈N·,下列说法正确的是
A.a2=4
B片}为常数列
C.a,=15
D.Sn=n2+n
12.已知a>1,函数f(x)=xa-1,g(x)=xlogex一1，若f(b)=g(c)=0(h,c>0),则下列成
立的是
A.b<1,c1
B.bc=1
C.b十c=2
D.b+2c>3
高三数学试题第2页（共4页）
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高三数学试题参考答案
一、单项选择题
DACB DCAB
二、多项选择题
9.BCD 10.ACD 11.ABD 12.ABD
三、填空题
13.7π 14.4 15.3 15 16.36
四、解答题
17.(1)因为 an 为等差数列
因为a2+a5+a8=3a5=15,所以a5=5
因为S5=15,所以5a3=15,所以a3=3
所以2d=5-3=2,所以d=1,…………………………………………………………… 3分
所以an=3+n-3=n ……………………………………………………………………… 4分
( a2)由(
n
1)知,an=n,所以b
n
n= n= n,…………………………………………………… 5分2 2
所以 1 2 3 nSn= 1+ 2+ 3+…+ ,2 2 2 2n
1 1 2 3 n-1 n
2Sn= 2+ +2 23 24
+…+ n +2 2n+1
,
所以 1 1 1 1 … 1 nSn- Sn= + 2+ 3+ + n- n+1, ………………………………………… 8分2 2 2 2 2 2
1( 11- n)2
所以1 2 n 1 n
2Sn= 1 - n+1=1- n-2 2 2n+1
,
1-2
所以 2 n 2+nSn=2- n- n=2- n ………………………………………………………… 10分2 2 2
18.(1)∵x∈ ,π ,
π 1
0 2 ∴2x+ ∈
π,7π , π ,
6 6 6
∴-
2
≤sin 2x+6 ≤1
∴f x 的最大值为2+m,∴2+m=6,∴m=4,∴
π
f x =2sin 2x+ +4 ………6 4分
由π π 3π π 2π
2+2kπ≤2x+
, ,得 , ,
6≤2+2kπk∈Z 6+kπ≤x≤3+kπk∈Z
∴f x 的单调递减区间为
π 2π
6+kπ
,
3+kπ
,k∈Z …………………………………… 8分
高三数学试题参考答案 第1页 (共4页 )
{#{QQABDYAUogAAAABAAAgCAw3gCAGQkBGCCAoOwEAIsAIBwAFABAA=}#}
(2)∵f x ≤3,即sin π2x+ 1≤- ,所以7π π 11π6 2 6+2kπ≤2x+6≤ 6 +2kπ,k∈Z
所以π 5π+kπ≤x≤ +kπ,k∈Z,故x 的取值集合为 π 5π2 6 2+kπ
, , …… 分
6+kπ k∈Z 12
19.解:(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞),f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)
f'(x)=2ae2x+(a-2)ex-1=(aex-1)(2ex+1)……………………………………… 1分
①若a≤0,则f'(x)<0
所以f(x)在(-∞,+∞)单调递减 ……………………………………………………… 3分
②若a>0,由f'(x)=0得x=-lna
当x∈(-∞,-lna)时,f'(x)<0
当x∈(-lna,+∞)时,f'(x)>0
所以f(x)在(-∞,-lna)单调递减,在(-lna,+∞)单调递增 ……………………… 5分
综上:a≤0时,f(x)在(-∞,+∞)单调递减;
a>0时,f(x)在(-∞,-lna)单调递减;
在(-lna,+∞)单调递增.………………………………………………………………… 6分
(2)法一:当a≥1时,g a =a(e2x+ex)-2ex-x≥e2x-ex-x ……………………… 9分
设h(x)=e2x-ex-x,h'(x)=2e2x-ex-1=(2ex+1)(ex-1)
由h'(x)=0得x=0
当x∈(-∞,0)时,h'(x)<0
当x∈(0,+∞)时,h'(x)>0
所以h(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增 ………………………………… 11分
所以h(x)min=h(0)=0
所以,当a≥1,f(x)≥0 ………………………………………………………………… 12分
法二:由(1)知,a≥1时,f(x)在(-∞,-lna)单调递减;在(-lna,+∞)单调递增.
∴f(x)min=f(-lna)=ae-2lna+(a-2)e-lna+lna
1
=lna+1- ≥0 …………………………………………………………………………a 10
分
∴a≥1时,f(x)≥0.……………………………………………………………………… 12分
20.(1)因为a2 *n=an+1(n∈N ),所以log 22an=log2an+1,即2log2an=log2an+1 …………… 2分
所以 log2an 是以1为首项2为公比的等比数列 ……………………………………… 3分
所以log2an=2n-1
1-2n所以Sn= =2n-1 …………………………………………………………………… 分1-2 5
( n-1 n-1 n2)由(1)知an=22 ,所以22 ≤t≤22 ,
所以bn=an+1-an+1 …………………………………………………………………… 7分
n
所以Tn=a2-a1+1+a3-a2+1+...+an+1-an+1=an+1-a1+n=22 -2+n…… 10分
高三数学试题参考答案 第2页 (共4页 )
{#{QQABDYAUogAAAABAAAgCAw3gCAGQkBGCCAoOwEAIsAIBwAFABAA=}#}
所以log(T -6)=log 2
8
2 8 2 =28=256 ………………………………………………… 12分
21.(1)因为D 为BC 上一点,满足BD=2CD
所以 1 1SΔABC=3SΔACD,所以2AB
·ACsin∠BAC=3× AD·2 ACsin∠DAC
………… 3分
因为∠BAC+∠DAC=π,所以sin∠BAC=sin∠DAC
所以AB=3AD …………………………………………………………………………… 5分
(2)由(1)知AB=3AD,设AD=m,则AB=3m
又因为BC=3AC,D 为BC 上一点,BD=2CD,设CD=n,则BD=2n,AC=n …… 6分
( )2 2 ( )2 2
在 中, 2n +m - 3m n -2m
2
ΔABD cos∠ADB= 2×2nm = mn
2 2 2 2
在 n +m -n mΔACD 中,cos∠ADC= 2nm =2mn
n2-2m2所以 m
2
+ =0 ……………………………………………………………………mn 2mn 9
分
所以2n2=3m2 …………………………………………………………………………… 10分
(3m)2在 中, +n
2-(3n)2 9m2-8n2 6
ΔABC cos∠BAC= …………………… 分2×3mn = 6mn =-6 12
lna lnx
22.(1)由f(x)≥g(x)得 ≥ , ………………………………………………………… 1分a x
设 () lnx( ),则 () 1-lnxhx = x≥4 h'x = 2 ,………………………………………………x 2
分
x
令h'(x)=0,得x=e,故h(x)在 4,+∞ 上单调递减,
所以h(x)max=h()
ln4
4 = ,………………………………………………………………… 3分4
lna lnx
≥ 等价于
lna ln4
≥h(x) ,max= 即a x a 4 h
(a)≥H(4)
又因为ln4 ln2= ,
lnx
4 2 y=
在(
x 1
,e)上单调递增,在(e,+∞)上单调递减 ………………… 4分
所以ln2 lna ln4≤ ≤ ,即2 a 4 2≤a≤4
故a 的取值范围为 2,4 …………………………………………………………………… 5分
(2)因为g(x)=alnx,即g(x+2)=aln(x+2)
所以G(x)=g(x+2)
1 2 1+ x -2x=aln(x+2)+ x2-2x,其定义域为(2 2 -2
,+∞),
2
则 () a x +a-4G'x = , ,…………………………………………… 分x+2+x-2= x+2 x>-2 6
因为方程G'(x)=0有两根为x1,x2,即x2+a-4=0的两根为x1,x2,且-2所以,0<4-a<4,即0高三数学试题参考答案 第3页 (共4页 )
{#{QQABDYAUogAAAABAAAgCAw3gCAGQkBGCCAoOwEAIsAIBwAFABAA=}#}
所以x2=-x1,a=x1x2+4,且x2∈(0,2),
所以G(-x1)=G(x2),a=x1x2+4=4-x22,…………………………………………… 8分
要证x2+G(x2)>x1-G(-x1),只需证G(-x1)+G(x2)>x1-x2,即证G(x2)+x2>
0,
即证 1aln(x +2)+ x22 2-x2>0,即证(2-x2) (
1
2 x2+2
)ln(x2+2)- x
2 2 >0
,…… 9分
因为x2∈(0,2),只需证(
1
x2+2)ln(x2+2)- x2>0, ………………………………2 10
分
令t(x)
1
=(x+2)ln(x+2)- x,2 x∈
(0,2),
则t'(x)=ln(x+2)
1 1
+ ,………………………………………………… 分2>ln2+2>0 11
所以,t(x)在(0,2)上单调递增,且t(0)=2ln2>0,
故t(x)>t(0)>0,所以x2+G(x2)>x1-G(-x1) ………………………………… 12分
高三数学试题参考答案 第4页 (共4页 )
{#{QQABDYAUogAAAABAAAgCAw3gCAGQkBGCCAoOwEAIsAIBwAFABAA=}#}
