向明中学2023-2024学年高一上学期10月月考
数学（A卷）
考试时间：120分钟；
第I卷（选择题）
一、单选题
1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各式中：①；②；③；④；⑤；⑥.正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．下面选项中的两个集合相等的是（ ）
A． B．
C． D．
4．集合，，则（ ）
A． B． C． D．
5．若“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．下列说法错误的是（ ）
A．命题“，”，则：“，”
B．已知a，，“且”是“”的充分而不必要条件
C．“”是“”的充要条件
D．若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件
7．设为正实数，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．设集合，集合，若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．已知集合，集合，若，则实数的取值可以是（ ）
A．0 B．2 C． D．1
11．若，且，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知关于的不等式的解集为，则（ ）
A．
B．不等式的解集是
C．
D．不等式的解集为
第II卷（非选择题）
三、填空题
13．设：，，则是 .
14．已知，，且，则的最小值为 ．
15．高一某班共有54人，每名学生要从物理、化学、生物、历史、地理、政治这六门课程中选择3门进行学习.已知选择物理、化学、生物的学生各有至少25人，这三门学科均不选的有8人.这三门课程均选的8人，三门中任选两门课程的均至少有15人.三门中只选物理与只选化学均至少有6人，那么该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有 人.
16．若“”是“”的必要不充分条件，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
17．已知全集，集合，，求：，．
18．（1）已知，求的最小值；
（2）已知且满足，求的最小值.
19．已知关于的不等式．若时，不等式对都成立，求实数的取值范围．
20．已知关于的不等式的解集是.
(1)求，的值；
(2)若，解关于的不等式.
21．已知集合，或，为实数集．
(1)若，求实数的取值范围；
(2)若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
22．在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题中的横线上，并求解问题.已知函数.
(1)若命题：“______，”为真命题，求实数的取值范围；
(2)求关于的不等式的解集A卷参考答案
1．D
【分析】由题可得，则集合的个数即为的子集个数.
【详解】由题，，则满足上述条件的集合就是的子集，
则集合的个数是4.
故选：D
2．B
【分析】根据集合、元素之间的关系，结合集合与集合之间的有关系逐一判断即可.
【详解】①：根据子集的定义可知，显然本序号不正确；
②：根据子集的定义可知是正确的，显然本序号正确；
③：空集是任何集合的子集，所以本序号正确；
④：空集是任何集合的子集，所以本序号不正确；
⑤：集合是两个元素，是单元素集合，这两个集合不可能相等，所以本序号不正确；
⑥：显然是集合中的元素，所以，因此本序号不正确，
正确的个数是，
故选：B
3．C
【分析】根据元素与集合的关系，相等集合的定义，即可判断.
【详解】A.两个集合都是点集，两个集合的元素不相同，所以不是相等集合，故A错误；
B.集合表示数集，有2个元素，分别是1和0，集合是点集，只有1个元素，为，所以不是相等集合，故B错误；
C.，得，即，故C正确；
D.集合是空集，但集合是非空集，里面有1个元素，所以不是相等集合，故D错误.
故选：C
4．B
【分析】根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，所以.
故选：B
5．B
【解析】根据存在性命题只要存在解即可，所以对应的一元二次函数和x轴有交点即可.
【详解】“”是真命题，则
对应的一元二次函数和x轴有交点即可，
，解得或，
故选：B．
6．C
【分析】根据充分条件，必要条件，全称与特称命题的否定依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A选项，命题p：“，”，则，：“，”满足命题的否定形式，所以A正确；
对于B选项，已知a，，“且”能够推出“，“”不能推出“且”，所以B正确；
对于C选项，时，成立，反之，时，或，所以C不正确；
对于D选项，若p是q的充分不必要条件，则q是p的必要不充分条件，满足充分与必要条件的定义，所以D正确．
故选：C．
7．C
【分析】由可得，则，化简后利用基本不等式可求得结果.
【详解】因为为正实数，且，
所以，
所以，
当且仅当，即，即时等号成立.
所以的最小值为.
故选：C.
8．D
【分析】结合是否为空集进行分类讨论可求的范围．
【详解】当时，，则，即，
当时，若，则或，
解得或，
综上，实数的取值范围为．
故选：D．
9．AB
【分析】由空集的概念对选项逐一判断
【详解】是不含任何元素的集合，是任意集合的子集，表示含有一个元素的集合，
故A，B正确，C，D错误
故选：AB
10．ACD
【分析】根据题意分和两种情况讨论求解即可.
【详解】解：由题知，
因为，所以时，满足条件，此时；
当，即时，，所以或，解得或.
综上，实数 的取值可以是或或
故选：ACD
11．AC
【分析】利用基本不等式即可判断ABC，根据结合基本不等式即可判断D.
【详解】解：因为，
当且仅当时，取等号，
所以，故A正确；
对于B，，当且仅当时，取等号，故B错误；
对于C，因为，
当且仅当时，取等号，
所以，故C正确；
对于D，，
当且仅当，即时取等号，故D错误.
故选：AC.
12．AD
【分析】根据一元二次不等式的解集可判断是的两个实数根，且，判断A；利用根与系数的关系推出，即可求解以及的解集，判断B，D；由题意推出的解集为，将代入，判断C.
【详解】由题意关于的不等式的解集为，
故是的两个实数根，且，A正确；
由上述可得，即，
故，即，即，
故不等式的解集是，B错误；
由于的解集为，
故的解集为，则时，，C错误；
不等式即，即，
则或，即解集为，D正确，
故选：AD
13．，
【分析】根据存在量词命题的否定的知识求得正确答案.
【详解】命题：，，则是，.
故答案为：，
14．9
【分析】变形给定等式，再利用均值不等式求解作答.
【详解】由，，得，当且仅当时取等号，
因此，解得，即，
由，而，解得，
所以当时，取得最小值9.
故答案为：9
15．9
【分析】根据题意，设学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合，结合Venn图可知，要使区域的人数最多，其他区域人数最少即可，进而可求解.
【详解】把学生54人看成集合，选择物理的人组成集合，选择化学的人组成集合，选择生物的人组成集合，选择物理与化学但未选生物的人组成集合.
要使选择物理与化学但未选生物的学生人数最多，除这三门课程都不选的8人，则结合Venn图可知，其他区域人数均为最少，即得到只选物理与只选化学均至少6人，只选生物的最少25人，做出下图，得该班选择物理与化学但未选生物的学生至多有9人.
故答案为：9.
16．
【分析】先分别把不等式表示为集合的形式，由题意可得，从而得到关于的不等式组，解不等式组即可求解.
【详解】因为，
且，
所以由题意可得 ，
所以，，且等号不同时成立，
所以解得，即实数m的取值范围是．
故答案为：.
17．，
【分析】根据集合的交集、并集、补集的定义直接求解即可．
【详解】因为，，
所以．
因为，，
所以．
18．（1）；（2）
【分析】（1）根据题意，得到，结合基本不等式，即可求解；
（2）根据题意，得到，则，结合基本不等式，即可求解.
【详解】解：（1）因为，所以，
则，
当且仅当时，即时，等号成立，所以.
（2）由，且，可得，
则，
当且仅当时，即，即时，等号成立，
所以的最小值为.
19．.
【分析】令，由题意可得，求解不等式组得答案.
【详解】令，
∵，且不等式对都成立，
则，即，解得，
又，
∴实数k的取值范围是.
20．(1)
(2)答案见解析
【分析】（1）根据韦达定理即可求解，
（2）根据一元二次不等式解的特征，结合因式分解即可求解.
【详解】（1）由题意，知，3是关于的方程的两个实数根，由韦达定理得
，解得，即
（2）由（1）知不等式可化为，即
当时，原不等式即为，
当时，不等式可化为，
方程根为且显然有，，
当时，不等式可化为，
当时，，解得或；
当时，；
当时，，故或
综上可知，当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或；
当时，原不等式的解集为
当时，原不等式的解集为或
21．(1)
(2)
【分析】（1）解集合A中的不等式，得到集合A，由，列不等式求实数的取值范围；
（2）由题意 ，列不等式求实数的取值范围.
【详解】（1）不等式，解得，则，
或，，则，解得，
即实数的取值范围为.
（2）或，，
若“”是“”的充分不必要条件，则有 ，
当符合题意，有，解得，
当时，有，解得
所以实数的取值范围
22．(1)选①，的取值范围是，选②，的取值范围是；
(2)答案见详解
【分析】（1）由，参变分离可得，设，求出在上的最值，若选①，则，即可求出参数的取值范围，若选②，则，即可求出参数的取值范围；
（2）依题意可得，根据的取值分类讨论，即可求出不等式的解集.
【详解】（1）由，得，即，设，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
若选①，，则，即，
若选②，，则，即，
（2）由，可得，
当时，原不等式为，解得，不等式的解集为，
当时，不等式即为，
其对应方程的根为，1，
若，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
若，则，不等式的解集为，
综上，当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为.
