第三章 3.3 第1课时
一、选择题
1．不在3x＋2y＜6表示的平面区域内的点是( )
A．(0,0) B．(1,1)
C．(0,2) D．(2,0)
[答案] D
[解析] 将点的坐标代入不等式中检验可知，只有(2,0)点不满足3x＋2y＜6.
2．不等式组，表示的区域为D，点P1(0，－2)，点P2(0,0)，则( )
A．P1?D，P2?D B．P1?D，P2∈D
C．P1∈D，P2?D D．P1∈D，P2∈D
[答案] A
[解析] P1点不满足y≥3.P2点不满足y＜x.和y≥3
∴选A．
3．已知点P(x0，y0)和点A(1,2)在直线l：3x＋2y－8＝0的异侧，则( )
A．3x0＋2y0>0 B．3x0＋2y0<0
C．3x0＋2y0<8 D．3x0＋2y0>8
[答案] D
[解析] ∵3×1＋2×1－8＝－3<0，P与A在直线l异侧，∴3x0＋2y0－8>0.
4．图中阴影部分表示的区域对应的二元一次不等式组为( )
A． B．
C． D．
[答案] A
[解析] 取原点O(0,0)检验满足x＋y－1≤0，故异侧点应为x＋y－1≥0，排除B、D．
O点满足x－2y＋2≥0，排除C．
∴选A．
5．不等式x2－y2≥0表示的平面区域是( )
[答案] B
[解析] 将(±1,0)代入均满足知选B．
6．不等式组表示的平面区域是一个( )
A．三角形 B．直角梯形
C．梯形 D．矩形
[答案] C
[解析] 画出直线x－y＋5＝0及x＋y＝0，
取点(0,1)代入(x－y＋5)(x＋y)＝4>0，知点(0,1)在不等式(x－y＋5)(x＋y)≥0表示的对顶角形区域内，再画出直线x＝0和x＝3，则原不等式组表示的平面区域为图中阴影部分，它是一个梯形．
二、填空题
7．已知x，y为非负整数，则满足x＋y≤2的点(x，y)共有________个．
[答案] 6
[解析] 符合条件的点有(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(2,0)共6个．
8．用三条直线x＋2y＝2,2x＋y＝2，x－y＝3围成一个三角形，则三角形内部区域(不包括边界)可用不等式表示为________．
[答案]
三、解答题
9．画出不等式组表示的平面区域．
[解析] 不等式x＋y－6≥0表示在直线x＋y－6＝0上及右上方的点的集合，x－y≥0表示在直线x－y＝0上及右下方的点的集合，y≤3表示在直线y＝3上及其下方的点的集合，x＜5表示直线x＝5左方的点的集合，所以不等式组 表示的平面区域为如图阴影部分．
10．经过点P(0，－1)作直线l，若直线l与连结A(1，－2)、B(2,1)的线段总有公共点，求直线l的斜率k的取值范围．
[解析]
由题意知直线l斜率存在，设为k.
则可设直线l的方程为kx－y－1＝0，
由题知：A、B两点在直线l上或在直线l的两侧，所以有：
(k＋1)(2k－2)≤0
∴－1≤k≤1.
一、选择题
1．在平面直角坐标系中，若点A(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，则t的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－1，＋∞) D．(0,1)
[答案] B
[解析] 在直线方程x－2y＋4＝0中，令x＝－2，则y＝1，则点P(－2,1)在直线x－2y＋4＝0上，又点(－2，t)在直线x－2y＋4＝0的上方，如图知，t的取值范围是t>1，故选B．
2．不等式组表示的平面区域是( )
A．两个三角形 B．一个三角形
C．梯形 D．等腰梯形
[答案] B
[解析] 如图
∵(x－y＋1)(x＋y＋1)≥0表示如图(1)所示的对顶角形区域．且两直线交于点A(－1,0)．故添加条件－1≤x≤4后表示的区域如图(2)．
3．不等式组表示的平面区域的面积是( )
A．18 B．36
C．72 D．144
[答案] B
[解析] 作出平面区域如图．
交点A(－3,3)、B(3、9)、C(3，－3)，
∴S△ABC＝[9－(－3)]×[3－(－3)]＝36.
4．在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为( )
A．－5 B．1
C．2 D．3
[答案] D
[解析] 画出表示的平面区域如图，直线l：y＝ax＋1过定点(0,1)，由于ax－y＋1≥0与
围成平面区域的面积为2，∴a>0，令x＝1得y＝a＋1，∴×(a＋1)×1＝2，∴a＝3.
二、填空题
5．点P(1，a)到直线x－2y＋2＝0的距离为，且P在3x＋y－3＞0表示的区域内，则a＝________.
[答案] 3
[解析] 由条件知，＝，∴a＝0或3，又点P在3x＋y－3＞0表示的区域内，∴3＋a－3＞0，
∴a＞0，∴a＝3.
6．不等式表示的平面区域的面积是________．
[答案] 6
[解析] 作出平面区域如图△ABC，A(－1,0)、B(1,2)、C(1，－4)，S△ABC＝·|BC|·d＝×6×2＝6.
(d表示A到直线BC的距离．)
三、解答题
7．求由约束条件确定的平面区域的面积S和周长C．
[解析] 可行域如图所示，其四个顶点为O(0,0)，B(3,0)，A(0,5)，P(1,4)．过点P作y轴的垂线，垂足为C，则AC＝1，PC＝1，
OC＝4，OB＝3，AP＝，PB＝＝2，得周长C＝AO＋BO＋AP＋PB＝8＋＋2.
∵S△ACP＝AC·PC＝，
S梯形COBP＝(CP＋OB)·OC＝8，∴面积S＝S△ACP＋S梯形COBP＝.
8．画出不等式(x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示的平面区域．
[解析] (x＋2y＋1)(x－y＋4)＜0表示x＋2y＋1与x－y＋4的符号相反，因此原不等式等价于两个不等式组与在同一直角坐标内作出两个不等式组表示的平面区域，就是原不等式表示的平面区域．
在直角坐标系中画出直线x＋2y＋1＝0与x－y＋4＝0，(画成虚线)取原点(0,0)可以判断．
不等式x＋2y＋1＞0表示直线x＋2y＋1＝0的右上方区域，x＋2y＋1＜0表示直线x＋2y＋1＝0的左下方区域；x－y＋4＜0表示直线x－y＋4＝0的左上方区域，x－y＋4＞0表示直线x－y＋4＝0的右下方区域．
所以不等式组表示的平面区域，即原不等式表示的平面区域如图所示．
课件39张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修5 不等式第三章3.3 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题第三章第1课时 二元一次不等式(组)与平面区域观察下列不等式：
(1)x＋y－1>0；
(2)x＋2y－1>0且2x－3y＋2<0.
以上不等式，各有________个未知数，并且未知数的最高次数是________．
[答案] 2 1两个 1[答案] C
[解析] 选项C中，y的最高次数是2，不符合二元一次不等式的定义，故选C．2．二元一次不等式(组)表示的平面区域．
(1)在平面直角坐标系中，画出直线l：x＋y－2＝0，和点A(0,1)、B(0,2)、C(1,2)、D(2,3)、E(－1，－2)、F(－3，0)、G(0，－5)、H(3,5)、M(0,0)、N(4,0)，
观察这些点，哪些在直线l的上方？哪些在直线l的下方？并将点的坐标代入F(x，y)＝x＋y－2中，看在l上方的点，与在l下方的点，使F(x，y)的值都取怎样的符号，你能由此得出什么结论？
自己再取一些点试试看，为什么会有这种现象？如图：
C、D、H、N都在直线l的上方，它们都使F(x，y)>0，A、M、E、F、G都在直线下方，它们都使F(x，y)<0，这是因为由x＋y－2＝0，得y＝－x＋2，使y＝－x＋2成立的点都在直线l上，使y>－x＋2成立的点都在l的上方，使y<－x＋2成立的点都在l的下方．
(2)由上面探索可知，二元一次不等式Ax＋By＋C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所有点组成的平面区域，对于在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x、y)，实数Ax＋By＋C的符号都_______，所以只需在此直线的某一侧任取一点(x0，y0)把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号可判断Ax＋By＋C＞0表示直线的哪一侧．特别地当C≠0时，常把原点作为测试点．C＝0时常取(1,0)作为测试点．相同
(3)直线Ax＋By＋C＝0把平面内不在直线l上的点分成两部分．我们把直线l叫做这两部分的边界．不等式Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示的平面区域不包括边界，我们把直线画成_______；不等式Ax＋By＋C≥0(或≤0)表示的平面区域包括边界，把边界画成_______．
虚线实线[分析] (1)中的直线3x－y＝0过原点，判断区域时可代入点(1,0)．(2)中方程先变形为2x＋y－3≤0后再求解．[解析] (1)画出直线3x－y＝0(画成虚线)，将点(1,0)代入3x－y得3×1－0>0，∴不等式3x－y>0表示的平面区域与点(1,0)位于直线3x－y＝0的同侧，如图所示．(2)将y≤－2x＋3变形得2x＋y－3≤0，先画出直线2x＋y－3＝0(画成实线)．
将点(0,0)代入2x＋y－3得－3<0，
∴2x＋y－3≤0表示的区域与点(0,0)位于直线2x＋y－3＝0的同侧，如图所示．[解析] 先画直线2x＋y－6＝0(画成实线)，把原点(0,0)，代入2x＋y－6.
因为2×0＋0－6＝－6<0，
所以(0,0)在2x＋y－6≤0表示的平面区 域内，不等式2x＋y－6≤0表示的区域如图所示． 二元一次不等式表示的平面区域
[方法总结] 由于在直线Ax＋By＋C＝0的同一侧的所有点(x，y)，使实数Ax＋By＋C的符号相同，所以只须在此直线的某侧任取一点(x0，y0)，把它的坐标代入Ax＋By＋C，由其值的符号即可判断Ax＋By＋C＞0(或＜0)表示直线的哪一侧，当C≠0时，常把原点作为此特殊点．此题也可先把不等式－x＋2y－4＜0化为x－2y＋4＞0，因为A＞0，B＜0，所以x－2y＋4＞0表示直线x－2y＋4＝0右下方的平面区域．[解析] 先画直线－x＋2y－4＝0(画成虚线)，取原点(0,0)，代入－x＋2y－4，因为0＋2×0－4＜0，所以，原点在－x＋2y－4＜0表示的平面区域内，所以，不等式－x＋2y－4＜0表示的区域如图所示．[分析] 不等式组表示的平面区域是各不等式所表示的平面点集的交集，因而是各个不等式所表示的平面区域的公共部分． 二元一次不等式组表示的平面区域 [解析] 不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及右下方的点的集合，x＋y＋1≥0表示直线x＋y＋1＝0上及右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及左方的点的集合，所以不等式组表示的平面区域为图中阴影部分(包括边界)．[解析] 不等式2x－y－1≥0表示的平面区域是直线2x－y－1＝0下方区域(包括直线上的点)；不等式x>－y即x＋y>0，表示的区域是直线x＋y＝0上方区域(不包括直线)；x≤3表示的区域为直线x＝3的左侧区域(包括直线)；不等式组表示的区域为三个平面区域的公共部分，如图中的阴影部分．[答案] B二元一次不等式组表示的平面区域 [答案] 2[分析] 利用直线方程的点斜式，可求得边界所在的直线方程，取△ABC内的特殊点检验，可得所求不等式组．由平面区域求二元一次不等式(组) [解析] 如图所示，则直线AB、BC、CA所围成的区域就是所求△ABC的区域，直线AB、BC、CA的方程分别为x＋2y－1＝0，x－y＋2＝0,2x＋y－5＝0.[解析] 直线x＋y＋2＝0，x＋2y＋1＝0,2x＋y＋1＝0表示的三角形区域如图阴影部分所示．[错解] 作出直线2y－5x－10＝0，即5x－2y＋10＝0.
将(0,0)代入5x－2y＋10可得5×0－2×0＋10>0，
∴所示区域为含有(0,0)的一侧，如图所示．[辨析] 取特殊点检验时，应代入原式(2y－5x－10)，而不能代入变形后的(5x－2y＋10)进行检验．
[正解] 设F(x，y)＝2y－5x－10，作出直线2y－5x－10＝0.
∵F(0,0)＝2×0－2×0－10＝－10<0，
∴所求区域为不含(0,0)的一侧，如图所示．第三章 3.3 第2课时
一、选择题
1．目标函数z＝2x－y，将其看成直线方程时，z的意义是( )
A．该直线的截距
B．该直线的纵截距
C．该直线的纵截距的相反数
D．该直线的横截距
[答案] C
[解析] z＝2x－y可变化形为y＝2x－z，所以z的意义是该直线在y轴上截距的相反数，故选C．
2．若x≥0，y≥0，且x＋y≤1，则z＝x－y的最大值为( )
A．－1 B．1
C．2 D．－2
[答案] B
[解析] 可行域为图中△AOB，当直线y＝x－z经过点B时，－z最小从而z最大∴zmax＝1.
3．已知x、y满足约束条件，则z＝2x＋4y的最小值为( )
A．5 B．－6
C．10 D．－10
[答案] B
[解析] 可行域为图中△ABC及其内部的平面区域，当直线y＝－＋经过点B(3，－3)时，z最小，zmin＝－6.
4．若x、y∈R，且，则z＝x＋2y的最小值等于( )
A．2 B．3
C．5 D．9
[答案] B
[解析] 不等式组表示的可行域如图所示：
画出直线l0：x＋2y＝0，
平行移动l0到l的位置，
当l通过点M时，z取到最小值．
此时M(1,1)，即zmin＝3.
5．设x、y满足约束条件，则目标函数z＝x＋y( )
A．有最小值2，无最大值 B．有最大值3，无最小值
C．有最小值2，最大值3 D．既无最小值，也无最大值
[答案] A
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如下图，由z＝x＋y，得y＝－x＋z，令z＝0，画出y＝－x的图象．
当它的平行线经过点A(2,0)时，z取得最小值，最小值为2；无最大值．故选A．
6．(2013·四川文，8)若变量x、y满足约束条件
，且z＝5y－x的最大值为a，最小值为b，则a－b的值是( )
A．48 B．30
C．24 D．16
[答案] C
[解析] 本题考查了线性规划中最优解问题．作出不等式组表示的平面区域如图．
作直线l0：y＝x，平移直线l0.
当l0过点A(4,4)时可得zmax＝16，∴a＝16.
当l0过点B(8,0)时可得zmin＝－8，∴b＝－8.
∴a－b＝16－(－8)＝24.
二、填空题
7．若非负变量x、y满足约束条件，则x＋y的最大值为________．
[答案] 4
[解析] 本题考查线性规化的最优解问题．
由题意知x、y满足的约束条件.
画出可行域如图所示．
设x＋y＝t?y＝－x＋t，t表示直线在y轴截距，截距越大，t越大．
作直线l0：x＋y＝0，平移直线l0，当l0经过点A(4,0)时， t取最大值4.
8．在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则|OM|的最小值是________．
[答案]
[解析] 本题考查不等式组表示平面区域及点到直线距离问题．
不等式组所表示平面区域如图，由图可知|OM|的最小值即O到直线x＋y－2＝0的距离．
故|OM|的最小值为＝.
三、解答题
9．求z＝3x＋5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件.
[解析] 作出可行域为如图所示的阴影部分．
∵目标函数为z＝3x＋5y，
∴作直线l0：3x＋5y＝0.当直线l0向右上平移时，z随之增大，在可行域内以经过点A(，)的直线l1所对应的z最大．类似地，在可行域内，以经过点B(－2，－1)的直线l2所对应的z最小，∴zmax＝17，zmin＝－11，∴z的最大值为17，最小值为－11.
10．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个与55个，所用原料为A、B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2.用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个．问A、B两种规格金属板各取多少张，才能完成计划，并使总的用料面积最省？
[解析] 设A、B两种金属板分别取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为
.
目标函数z＝2x＋3y.
作出以上不等式组所表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
z＝2x＋3y变为y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上截距为且随z变化的一族平行直线．
当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小．解方程组 ，得M点的坐标为(5,5)．
此时zmin＝2×5＋3×5＝25 (m2)．
答：当两种金属板各取5张时，用料面积最省.
一、选择题
1．若变量x、y满足，则z＝3x＋2y的最大值是( )
A．90 B．80
C．70 D．40
[答案] C
[解析] 作出可行域如图所示．
解方程组，
得.
∴zmax＝3×10＋2×20＝70.
2．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝2x＋3y＋1的最大值为( )
A．11 B．10
C．9 D．8.5
[答案] B
[解析] 作出不等式组表示的可行域，如下图的阴影部分所示．
又z＝2x＋3y＋1可化为y＝－x＋－，
结合图形可知z＝2x＋3y＋1在点A处取得最大值．
由，得.故A点坐标为(3,1)．
此时z＝2×3＋3×1＋1＝10.
3．不等式组表示的平面区域内的整点个数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
[答案] B
[解析] 不等式y－2x≤0表示直线y－2x＝0的右下方区域(含边界)，x＋2y＋3＞0表示直线x＋2y＋3＝0右上方区域(不含边界)，5x＋3y－5＜0表示直线5x＋3y－5＝0左下方区域，所以不等式组表示的平面区域是上述三区域的公共部分，即如图所示的△ABC区域．
可求得A(－，－)、B(，)、C(，－)，所以△ABC区域内的点(x，y)满足－≤x＜，－＜y＜.
∵x、y∈Z，∴0≤x≤2，－2≤y≤0，且x、y∈Z.
经检验，共有三个整点(0,0)，(1，－1)，(2，－2)．
4．已知变量x、y满足约束条件，则z＝x＋2y的最小值为( )
A．3 B．1
C．－5 D．－6
[答案] C
[解析] 本题考查二元一次不等式组表示的平面区域，线性目标函数最值．
由画出可行域如图．
令z＝0画出l0：x＋2y＝0，平移l0至其过A点时z最小，由，得A(－1，－2)，
∴zmin＝－1＋2×(－2)＝－5.
二、填空题
5．在△ABC中，三个顶点分别为A(2,4)、B(－1,2)、C(1,0)，点P(x，y)在△ABC的内部及其边界上运动，则y－x的取值范围为________．
[答案] [－1,3]
[解析] 画出三角形区域如图，易知kAB＝<1，
令z＝y－x，则y＝x＋z，作出直线l0：y＝x，平移直线l0，当经过点C时，zmin＝－1，当经过点B时，zmax＝3，
∴－1≤z≤3.
6．已知点M、N是所围成的平面区域内的两点，则|MN|的最大值是________．
[答案]
[解析] 不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，
∵直线x－y＋1＝0与直线x＋y＝6垂直，
直线x＝1与y＝1垂直，
∴|MN|的最大值是|AB|＝＝.
三、解答题
7．咖啡馆配制两种饮料，甲种饮料每杯含奶粉9 g，咖啡4 g，糖3 g；乙种饮料每杯含奶粉4 g，咖啡5 g，糖10 g，已知每天原料的使用限额为奶粉3 600 g，咖啡2 000 g，糖3 000g.如果甲种饮料每杯能获利0.7 元，乙种饮料每杯能获利1.2元，每天在原料的使用限额内饮料能全部售出，若你是咖啡馆的经理，你将如何配制这两种饮料？
[解析] 经营咖啡馆者，应想获得最大的利润，设配制饮料甲x杯，饮料乙y杯，
线性约束条件为，
利润z＝0.7x＋1.2 y，因此这是一个线性规划问题，作出可行域如图，因为－<－<－<－，所以在可行域内的整数点A(200,240)使zmax＝0.7×200＋1.2×240＝428(元)，
即配制饮料甲200杯，乙240杯可获得最大利润．
8．设x、y满足条件.
(1)求u＝x2＋y2的最大值与最小值；
(2)求v＝的最大值与最小值．
[解析] 满足条件的可行域如图所示(阴影部分)．
(1)令x2＋y2＝u表示一组同心圆(圆心为点O)，且对同一圆上的点，x2＋y2的值都相等．
由图可知(x，y)在可行域内取值，当且仅当圆O过C点时，u最大，过点(0,0)时，u最小．
由，解得.
∴C(3,8)，∴umax＝32＋82＝73，umin＝02＋02＝0.
(2)v＝表示可行域内的点(x，y)和定点D(5,0)的连线的斜率，
由图可知kBD最大，kCD最小．
由，解得.
∴B(3，－3)．
∴vmax＝＝，vmin＝＝－4.
课件44张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修5 不等式第三章3.3 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题第三章第2课时 线性规划的概念战国时期的齐国大臣田忌与国王赛马，用自己的下等马对国王的上等马，用自己的上等马对国王的中等马，用自己的中等马对国王的下等马，这样田忌以2?1取得了胜利，这个故事讲述了规划的威力．实际生产生活中，我们常常希望以最少的投入获得最大的回报．线性规划提供了解决优化问题的有效工具.某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产甲种产品1 t需耗A种矿石10 t、B种矿石5 t、煤4 t；生产乙种产品1 t需耗A种矿石4 t、B种矿石4 t、煤9 t．工厂在生产这两种产品的计划中要求消耗A种矿石不超过300 t、B种矿石不超过200 t、煤不超过360 t．列出满足生产条件的关系式，并画出平面区域．[分析] 如表
1.简单的线性规划问题
不等式组是一组自变量x，y的约束条件，这组约束条件都是关于x，y的一次不等式，所以称为线性约束条件．线性约束条件除了用一次不等式表示外，有时也用一次方程表示．[答案] B[解析] 本题考查了不等式组表示平面区域，目标函数最值求法．
画出可行域如图：
作l0：2x＋y＝0.
所以当直线z＝2x＋y过A(2,0)时z最大，过B(1,0)时z最小，zmax＝4，zmin＝2.[答案] 3求线性目标函数的最值问题 [分析] 由于所给约束条件及目标函数均为关于x、y的一次式，所以此问题是简单线性规划问题，使用图解法求解．
[解析] 作出不等式组表示的平面区域(即可行域)，如图所示．
把z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，得到斜率为－2，在y轴上的截距为z，随z变化的一族平行直线．
由图可看出，当直线z＝2x＋y经过可行域上的点A时，截距z最大，经过点B时，截距z最小．[答案] C[解析] 作出可行域(如图阴影部分所示)．
作出直线l：2x＋3y＝0.
平移直线l到l′的位置，使直线l通过 可行域中的A点(如图)
这时直线在y轴上的截距最小，z取得 最小值．[分析] 先作出不等式组所表示的可行域，需要注意的是这里的x，y是整数，故只是可行域内的整数点，然后作出与直线7x＋5y＝0平行的直线再进行观察．简单的线性规划中的整数解 [解析] 由题意知，作出可行域如图所示．[答案] D非线性目标函数的最值问题 [解析] (1)作出可行域，如图．
并求出点A、B的坐标分别为(1,3)、(3,1)．
[方法总结] 求非线性目标函数的最值，要注意分析目标函数所表示的几何意义，通常与截距、斜率、距离等联系，是数列结合的体现．[错解] 由题意，作出可行域如图所示．[辨析] 作图不准确．目标函数变形后对应的直线画的方向不准确，导致求最优解时，对应点的位置找错．
[方法总结] 在求目标函数的最优解时，必须准确地作出可行域以及目标函数对应的直线，最为关键的是弄清楚这些直线斜率之间的关系.第三章 3.3 第3课时
一、选择题
1．若变量x、y满足约束条件，则z＝x－2y的最大值为( )
A．4 B．3
C．2 D．1
[答案] B
[解析] 先作出可行域如图．
作直线x－2y＝0在可行域内平移，当x－2y－z＝0在y轴上的截距最小时z值最大．
当移至A(1，－1)时，zmax＝1－2×(－1)＝3，故选B．
2．设变量x、y满足约束条件，则目标函数z＝3x－y的取值范围是( )
A．[－，6] B．[－，－1]
C．[－1,6] D．[－6，]
[答案] A
[解析] 本题考查了线性规划的基础知识及数形结合的思想．根据约束条件，画出可行域如图，作直线l0：3x－y＝0，将直线平移至经过点A(2,0)处z有最大值，经过点B(，3)处z有最小值，即－≤z≤6.
3．设z＝x－y，式中变量x和y满足条件，则z的最小值为( )
A．1 B．－1
C．3 D．－3
[答案] A
[解析] 作出可行域如图中阴影部分．直线z＝x－y即y＝x－z.经过点A(2,1)时，纵截距最大，∴z最小．zmin＝1.
4．变量x、y满足下列条件，则使z＝3x＋2y最小的(x，y)是( )
A．(4,5) B．(3,6)
C．(9,2) D．(6,4)
[答案] B
[解析] 检验法：将A、B、C、D四选项中x、y代入z＝3x＋2y按从小到大依次为A、B、D、C．然后按A→B→D→C次序代入约束条件中，A不满足2x＋3y＝24，B全部满足，故选B．
5．已知x、y满足约束条件，则z＝x＋y的最大值是( )
A． B．
C．2 D．4
[答案] B
[解析] 画出可行域为如图阴影部分．
由，解得A(，)，
∴当直线z＝x＋y经过可行域内点A时，z最大，且zmax＝.
6．(2014·广东理，3)若变量x，y满足约束条件
，且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝( )
A．5 B．6
C．7 D．8
[答案] B
[解析] 作出可行域如图，
由得∴A(－1，－1)；
由得∴B(2，－1)；
由得∴C(，)．
作直线l：y＝－2x，平移l可知，当直线y＝－2x＋z，经过点A时，z取最小值，当ymin＝－3；当经过点B时，z取最大值，zmax＝3，
∴m＝3，n＝－3，∴m－n＝6.
二、填空题
7．已知x、y满足约束条件，则z＝3x＋2y的最大值为________．
[答案] 5
[解析] 作出可行域如图，当直线z＝3x＋2y平移到经过点(1,1)时，z最大∴zmax＝5.
8．已知x、y满足，则x2＋y2的最大值为________．
[答案] 25
[解析] 画出不等式组表示的平面区域，如图中的阴影部分所示．
由图知，A(－3，－4)，B(－3,2)，C(3,2)，
则|OA|＝＝5，
|OB|＝＝，
|OC|＝＝.
设P(x，y)是不等式组表示的平面区域内任意一点，
则x2＋y2＝()2＝|OP|2，
由图知，|OP|的最大值是|OA|＝5，则x2＋y2最大值为|OA|2＝25.
三、解答题
9．制造甲、乙两种烟花，甲种烟花每枚含A药品3 g、B药品4 g、C药品4 g，乙种烟花每枚含A药品2 g、B药品11 g、C药品6 g．已知每天原料的使用限额为A药品120 g、B药品400 g、C药品240 g．甲种烟花每枚可获利2 元，乙种烟花每枚可获利1 元，问每天应生产甲、乙两种烟花各多少枚才能获利最大．
[解析] 设每天生产甲种烟花x枚，乙种烟花y枚，获利为z元，则，作出可行域如图所示．
目标函数为：z＝2x＋y.
作直线l：2x＋y＝0，将直线l向右上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点A(40,0)且与原点的距离最大．此时z＝2x＋y取最大值．
故每天应只生产甲种烟花40枚可获最大利润．
10．某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180t支援物资的任务，该公司有8辆载重为6t的A型卡车和4辆载重为10t的B型卡车，有10名驾驶员，每辆卡车每天往返的次数为A型卡车4次，B型卡车3次，每辆卡车每天往返的成本费A型车为320元，B型车为504元，请你给该公司调配车辆，使公司所花的成本费最低．
[解析] 设每天调出A型车x辆，B型车y辆，公司所花的成本为z元，则由题意知目标函数为z＝320x＋504y(其中x，y∈N)．作出可行域如图所示．
由图易知，当直线z＝320x＋504y在可行域内经过的整数点中，点(8,0)使z＝320x＋504y取得最小值，zmin＝320×8＋504×0＝2560，∴每天调出A型车8辆，B型车0辆，公司所花成本费最低．
一、选择题
1．已知x、y满足，则的最值是( )
A．最大值是2，最小值是1 B．最大值是1，最小值是0
C．最大值是2，最小值是0 D．有最大值无最小值
[答案] C
[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图．
表示可行域内点与原点连线的斜率．显然在A(1,2)处取得最大值2.在x轴上的线段BC上时取得最小值0，∴选C．
2．若实数x、y满足不等式组，则3x＋4y的最小值是( )
A．13 B．15
C．20 D．28
[答案] A
[解析] 作出可行域如图所示，
令z＝3x＋4y，∴y＝－x＋
求z的最小值，即求直线y＝－x＋截距的最小值．
经讨论知点M为最优解，即为直线x＋2y－5＝0与2x＋y－7＝0的交点，解之得M(3,1)．
∴zmin＝9＋4＝13.
3．已知变量x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值为( )
A．4 B．2
C．1 D．－4
[答案] B
[解析] 作出可行域如图，
作直线l0：2x＋y＝0，平移直线l0可见，当l0经过可行域内的点B(1,0)时，z取得最大值，∴zmax＝2×1＋0＝2.
4．为支援灾区人民，某单位要将捐献的100台电视机运往灾区，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装电视机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装电视机10台，若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为( )
A．2 800元 B．2 400元
C．2 200元 D．2 000元
[答案] C
[解析] 设调用甲型货车x辆，乙型货车y辆，则0≤x≤4,0≤y≤8,20x＋10y≥100，即2x＋y≥10，设运输费用为t，则t＝400x＋300y.
线性约束条件为，
作出可行域如图，则当直线y＝－x＋经过可行域内点A(4,2)时，t取最小值2 200，故选C．
二、填空题
5．已知实数x、y满足，则z＝2x＋y的最小值是________．
[答案] －1
[解析] 画出可行域如图中阴影部分所示．
由图知，z是直线y＝－2x＋z在y轴上的截距，当直线y＝－2x＋z经过点A(－1,1)时，z取最小值，此时x＝－1，y＝1，则z的最小值是zmin＝2x＋y＝－2＋1＝－1.
6．设x、y满足约束条件，则z＝2x＋y的最大值是________．
[答案] 2
[解析] 可行域如图，当直线z＝2x＋y即y＝－2x＋z经过点A(1,0)时，zmax＝2.
三、解答题
7．已知甲、乙两煤矿每年的产量分别为200万吨和260万吨，需经过东车站和西车站两个车站运往外地．东车站每年最多能运280万吨煤，西车站每年最多能运360万吨煤，甲煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为1元/t和1.5 元/t，乙煤矿运往东车站和西车站的运费价格分别为0.8 元/t和1.6 元/t.煤矿应怎样编制调运方案，能使总运费最少？
[解析] 设甲煤矿向东车站运x万吨煤，乙煤矿向东车站运y万吨煤，那么总运费
z＝x＋1.5(200－x)＋0.8y＋1.6(260－y)(万元)即z＝716－0.5x－0.8y.
x、y应满足，
即，
作出上面的不等式组所表示的平面区域，如图．
设直线x＋y＝280与y＝260的交点为M，则M(20,260)．把直线l0：5x＋8y＝0向上平移至经过平面区域上的点M时，z的值最小．
∵点M的坐标为(20,260)，
∴甲煤矿生产的煤向东车站运20万吨，向西车站运180万吨，乙煤矿生产的煤全部运往东车站时，总运费最少．
8．某厂有一批长为18m的条形钢板，可以割成1.8m和1.5m长的零件．它们的加工费分别为每个1元和0.6元．售价分别为20元和15元，总加工费要求不超过8元．问如何下料能获得最大利润．
[解析] 设割成的1.8m和1.5m长的零件分别为x个、y个，利润为z元，
则z＝20x＋15y－(x＋0.6y)即z＝19x＋14.4y且
，
作出不等式组表示的平面区域如图，
又由，
解出x＝，y＝，
∴M(，)，
∵x、y为自然数，在可行区域内找出与M最近的点为(3,8)，此时z＝19×3＋14.4×8＝172.2(元)．
又可行域的另一顶点是(0,12)，过(0,12)的直线使z＝19×0＋14.4×12＝172.8(元)；
过顶点(8,0)的直线使z＝19×8＋14.4×0＝152(元)．
M(，)附近的点(1,10)、(2,9)，直线z＝19x＋14.4y过点(1,10)时，z＝163；过点(2,9)时z＝167.6.
∴当x＝0，y＝12时，z＝172.8元为最大值．
答：只要截1.5m长的零件12个，就能获得最大利润．
课件47张PPT。成才之路 · 数学路漫漫其修远兮 吾将上下而求索人教A版 · 必修5 不等式第三章第三章第3课时 线性规划的应用3.3 二元一次不等式(组)
与简单的线性规划问题某加工厂用某原料由甲车间加工A产品，由乙车间加工B产品，甲车间加工一箱原料需耗费工时10小时可生产出7kgA产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一箱原料需耗费工时6h，可生产出4kgB产品，每千克B产品获利50元．甲、乙两车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费工时总和不得超过480h，你能为甲、乙两车间制定一个生产计划，使每天的获利达到最大吗？用图解法求最优解的步骤
(1)画．在直角坐标平面上画出可行域和直线ax＋by＝0(目标函数为z＝ax＋by)；
(2)移．平行移动直线________，确定使z＝ax＋by取得最大值或最小值的点；
(3)求．求出使z取得最大值或最小值的点的坐标(解方程组)及z的最大值或最小值；
(4)答．给出正确答案．
[答案] ax＋by＝0线性规划的实际应用
常见的线性规划类型
(1)给定一定数量的人力、物力资源，问怎样运用这些资源能使完成的任务最多，得到的效益最大；
(2)给定一项任务，问怎样统筹安排，使完成这项任务耗费的人力、物力资源最少．此类问题常见的有：①物资调运；②产品安排问题；③用料问题．[答案] 100 200 70[分析] 根据题意可设出该公司在甲、乙电视台做广告的时间，依据做广告总时间不超过300min，广告费不超过9万元及时间为非负数，列出不等式组，画出可行域，依据甲、乙电视台为该公司所做的每分钟广告给公司带来的收益，得到目标函数则可利用线性规划知识求解．收益最大问题(利润、收入、产量等) 易知直线z＝50x＋30y过点(15,20)时，取得最大值．
zmax＝50×15＋30×20＝1 350.
答：生产甲、乙两种产品分别为15件、20件，总收入最大是1 350千元．[答案] 2 300耗费资源(人力、物力、资金等)最少问题
作直线l：x－2y＝0，把直线l平行移动，
当直线过A(0,8)时，z＝x－2y＋126取得最小值，
zmin＝0－2×8＋126＝110，
即x＝0，y＝8时，总运费最少．
即仓库A运给甲、乙、丙商店的货物分别为0t、8t、4t，仓库B运给甲、乙、丙商店的货物分别为7t、0t、1t，此时可使得从两个仓库运货物到三个商店的总运费最少.整数最优解不是边界点的问题 要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：
今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．作出平面区域如图．令t＝a＋b，则t是直线b＝－a＋t的纵截距，显然当直线b＝－a＋t与直线a＋b＋1＝0重合时，t最大，tmax＝－1.当直线b＝－a＋t经过点(0，－4)时．t最小，∴tmin＝－4，∴－4≤t≤－1.
[辨析] 错解中忽视了点(a，b)的存在范围不包含边界．作出平面区域如图．
令t＝a＋b，则t是直线b＝－a＋t的纵截距，显然当直线b＝－a＋t与直线a＋b＋1＝0重合时，t最大，tmax＝－1.当直线b＝－a＋t经过点(0，－4)时．
t最小，∴tmin＝－4，又∵点(a，b)的范围是如图阴影部分且不含边界，∴－4
