2023-2024 学年度上期高 2025 届期中考试
高二数学参考答案与评分标准
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一．单选题：本大题共8小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1 2 3 4 5 6 7 8
C A B D D A B C
二．多选题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，至少有两个是
符合题目要求的，全选对得 5分，部分选对得 2分，有错选得 0分.
9 10 11 12
AC AD BD ACD
第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）
三．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 2 14. 38 15. x= 0或 y=-4或 4x- 3y= 0或 3x+ 4y+ 10= 0 5（任写一条即可） 16. 2 .
四．解答题：．本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本大题满分 10分）
【解】(1) ∵△ABC的周长为 14且 BC = 6，∴ AC + AB = 8> BC = 6,
根据椭圆的定义可知，点A的轨迹是以B( 3,0),C(3,0)为焦点，以 8为长轴长的椭圆，
x2 y2
故顶点A的轨迹方程为 16 + 7 = 1， 4分
x2 y2
又A为三角形的顶点，故所求的轨迹方程为 16 + 7 = 1 y≠ 0 . 5分
(2) ∵AB⊥AC，∴ AB 2+ AC 2= BC 2= 36.①
2
∵ x + y
2
A点在椭圆 16 7 = 1 y≠ 0 上，且B( 3,0),C(3,0)为焦点,
∴ AC + AB = 8,故 AC 2+ AB 2+ 2 AC AB = 64.② 7分
1
由①②可得， AC AB = 14,故S= 2 AC AB = 7.
∴ΔABC的面积为 7. 10分
18．（本大题满分 12分）
【解】(1)因为四面体OABC的所有棱长都是 1，所以该四面体为正四面体，
DE=DA+AB+BE= 12 OA+OB-OA+
1
2 OC -OB
=- 12 OA+
1
2 OB+
1
2 OC， 3分
而且OA OB=OB OC =OA OC = 12 ，
·1·
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
又P -6,0 ，Q 6,0 ，
MP
由 = 2可得： x+ 6 2+ y2= 4 x- 6 2+ y2 ， 8分
MQ
化简得 x- 10 2+ y2= 64， 10分
x- 4 2+ y2= 20
联立 x- 10 2+ y2= ,解得M64
10 , 4 11 10 4 113 3 或 3 ,- 3 . 12分
21.（本大题满分 12分）
【解】(1)分别以AC,AB,AA1所在直线为 x,y,z轴，建立空间直角坐标系，
A1(0,0,3),C(2,0,0),M (0,1,0),P 1,1, 32 ,Q(a,a,3), 2分
则A1C = (2,0,-3),A1M = (0,1,-3),PQ= a- 1,a- 1, 32 .
设面A1CM
的法向量n= (x, A C n= 0 2x- 3z= 0y,z),则
1 ,即 A M n= 0 - .y 3z= 01
令 z= 2, 得n= 3,6,2 . 4分
因为PQ 平面A1CM，所以PQ⊥n
,即PQ n = 0.
所以 3(a- 1) + 6(a- 1) + 3= 0,得 a= 23 ，A
2 2 2 2
1Q= 3 , 3 ,0 ,所以 A1Q = 3 . 6分
A1Q 2
因为A1N= 2， = ，A1N 3
所以Q为A1N靠近N三等分点处时，有PQ 平面A1CM .
A1Q (2)设 = λ(0< λ< 1),则A Q= λA
A N 1 1
N = (λ,λ,0).
1
所以PQ=PA1+A1Q=PA + λA N = (λ- 1,λ- 1, 31 1 2 ),PB= (-1,1,-
3
2 ).
3
(λ- 1)x+ (λ- 1)y+ z= 0
设平面BPQ的法向量为n= ( , , ), PQ n= 0x y z 则 ,即 2 .PB n = 0 -x+ y- 32 z= 0
令 z= 4(1- λ), 得n= 3λ,3(2- λ),4(1- λ) . 8分
注意到平面ABC的法向量为 (0,0,1),直线AC的方向向量为 (1,0,0),
2 106
若选择① 平面BPQ与平面ABC的夹角余弦值为
53
,
n (0,0,1)= = 4(1- λ)则 cosθ 2 1061 = . n 34λ2- 68λ+ 52 53
即 4λ2- 8λ+ 3= 0(0< λ< 1).
∴ λ= 12 . 12分
若选择② 直线AC与平面BPQ 3 106所成角的正弦值为 106 ,
n (1,0,0)
sinθ = = 3λ = 3 106则 2 n 34λ2- 68λ+ 52 106 .
·3·
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
即 18λ2+ 17λ- 13= 0(0< λ< 1).
∴ λ= 12 . 12分
22.（本大题满分 12分）
【解】(1)易知ΔABC 3 5为直角三角形，故外接圆的圆心为斜边AB边的中点 (0, 2 ),半径为 2 ，所以
外接圆的方程为 x2+ (y- 3 )2= 252 4 . 3分
(2) ∠ABC AC F, AB AF设 的内角平分线交 于点 根据角平分线性质定理，可知 = ,
BC CF
由结合AF+CF= 3, CF= 4 k = CF = 1所以 3 BD BC 3
∠ABC y= 1 x+ 2 x= 0, E (0, 2所以， 的内角平分线方程为 3 3 ，令 即可得点 坐标 3 ). 6分
(3)点E在经过P,D,C三点的圆上，理由如下：
y 3= k(x 2)
设直线AP的直线方程为 y 3= k(x 2)，联立直线与圆的方程 2 2x + y 3 = 25 ,2 4
可得 (1+ k2)x2+ (3k 4k2)x+ 4k2 6k 4= 0
2
注意到A,P两点是直线与圆的交点，所以 2 xP= 4k 6k 41+ k2
∴ x = 2k
2 3k 2 , P 2k
2 3k 2 3 4k
P 2 故 2 , 2 . 7分1+ k 1+ k 1+ k
y 3= k(x 2) 6k 7
联立直线AP与∠ABC的内角平分线方程 y= 1 2 ,可得 x=3 x+ 3 3k 1
∴D 6k 7 , 4k 3 . 8分3k 1 3k 1
4k 3 4k 3 3 4k - 0 3 4k
k = 3k 1
- 0
= 3k 1 = 3- 4k k = 1+ k
2
= 1+ k
2
= 4k- 3此时 1 ， 2 2 ， .6k 7
3k 1 - 2
-5 5 2k 3k 2 3k 4 3k+ 4
3k 1 + 2 - 21 k 1+ k2
3- 4k
∴ k1 = 5 =- 3k+ 4 =- 7- 5 5 ， ∴ k= 1. 10分k2 4k 3
3k+ 4
3 1 1 1
此时，点P - 2 ,- 2 ,点D - 2 , 2 .P点满足在劣弧BC上.
设经过P,D,C三点的圆的方程为 x2+ y2+mx+ny+ t= 0(m2+n2- 4t> 0),
m=- 5
4+ 2m+ t= 0
6
则 5- 3m-n+ 2t= 0，解得 n=
17
6
.
1-m+n+ 2t= 0
t=-
7
3
P,D,C x2+ y2- 5 x+ 17 7所以，经过 三点的圆的方程为 6 6 y- 3 = 0.
2
将点E(0, 3 )代入圆的方程成立，所以点E在经过P,D,C三点的圆上. 12分
·4·
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}2023-2024 学年度上期高 2025届期中考试
高二数学试卷
考试时间：120分钟 满分：150分
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.第Ⅰ卷第 1页至第 2页，第Ⅱ卷第
3页至第 4页.
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.
2.答选择题时，必须使用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干
净后，再选涂其他答案标号.
3.答非选择题时，必须使用 0.5毫米黑色墨迹签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上.
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上作答无效.
5.考试结束后，只将答题卡收回.
第Ⅰ卷（选择题，共 60 分）
一．单选题：本大题共8 小题，每小题5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1 a
．已知向量 = (x,2,-2),b= (3,-4,2) a ，若 ⊥ b，则 x的值为 ( )
A． 1 B． 4 C． 4 D．-1
2．已知直线 l1:3x- 4y- 1= 0与 l2:3x- 4y+ 3= 0，则 l1与 l2之间的距离是 ( )
A 4 3 2 1． 5 B． 5 C． 5 D． 5
3．已知圆C1:(x- 2)2+ (y+ 1)2= 9与圆C2:(x+ 1)2+ (y- 3)2= 4，则圆C1与圆C2的位置关
系为 ( )
A．相交 B．外切 C．内切 D．内含
4.若直线 l1:x+ (a- 4)y+ 1= 0与 l2:bx+ y- 2= 0垂直，则 a+ b的值为 ( )
A 2 B 4 2． ． 5 C． 3 D． 4
5．已知事件A,B相互独立，且P(A) = 0.3,P(B) = 0.7，则P(AB) = ( )
A． 1 B． 0.79 C． 0.7 D． 0.21
6 ．如图，三棱锥O-ABC 中，OA= a,OB= b,OC = c，点M为BC中点，点N在侧棱
OA上，且ON= 2NA，则MN = ( )
A 2 a 1
． 3 - 2 b-
1 2
2 c B．- 3 a
+ 1 b+ 12 2 c
C - 1
． 2 a
- 2 b+ 1 1 1 1 3 2 c D． 2 a+ 2 b- 2 c
x2 y27.已知椭圆方程为 2 + 2 = 1(a> b> 0)，长轴为A1A2，过椭圆上一点M向 x轴作垂线，垂a b
MP 2
足为P，若 = 13，则该椭圆的离心率为 ( ) A1P A2P
A 3． 3 B
6
． 3 C
1
． 3 D
2
． 3
·1·
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
第Ⅱ卷（非选择题，共 90分）
三．填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13.经过A(0,2),B( 1,0)两点的直线的方向向量为 (1,k)，则 k= .
14.在一次篮球比赛中，某支球队共进行了 8场比赛，得分分别为 25，29，30，32，37，38，40，
42，那么这组数据的第 65百分位数为 .
15.写出一条与圆C1: x+ 1 2+ y+ 3 2= 1和圆C2:(x- 3)2+ (y+ 1)2= 9都相切的直线方
程： .
16.已知P为直线 y= 2上一动点，过点P作圆 x2+ y2= 1的两条切线，切点分别为B,C，则
点A(2,1)到直线BC的距离的最大值为 .
四．解答题：．本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本大题满分 10分）
已知△ABC的周长为 14，B( 3,0),C(3,0).
(1)求点A的轨迹方程；
(2)若AB⊥AC，求ΔABC的面积.
18．（本大题满分 12分）
如图，四面体OABC的所有棱长都为 1，D,E分别是OA,BC的中点，
连接DE.
(1)求DE的长；
(2)求点D到平面ABC的距离.
19．（本大题满分 12分）
现从学校的 800名男生中随机抽取 50名测量
身高，被测学生身高全部介于 155cm和 195cm
之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组
155,160 ，第二组 160,165 ， ，第八组
190,195 .右图是按上述分组方法得到的频率
分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人
数相同，第六组的人数为 4人．
(1)求第七组的频率并估计该校的 800名男生的身高的中位数；
(2)若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名男生，记事件A表示随机抽取
的两名男生不 在 同 一 组 ，求P(A)．
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{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
20．（本大题满分 12分）
已知圆C经过点A 0,2 ，B 6,4 ，且直线 x- 3y- 4= 0平分圆C的周长.
(1)求圆C的方程；
MP
(2)若P -6,
0 ，Q 6,0 ，点M是圆C上的点且满足 = 2，求点M的坐标.
MQ
21.（本大题满分 12分）
π
如图，在直三棱柱ABC A1B1C1中，∠BAC= 2 ,AB=AC= 2,AA1= 3,M是AB的中点，N
是B1C1的中点，P是BC1与B1C的交点，点Q在线段A1N上.
(1)若PQ 平面A1CM，请确定点Q的位置；
( ) A1Q2 请在下列条件中任选一个，求 的值；
A1N
①平面BPQ与平面ABC 2 106的夹角余弦值为 53 ；
②直线AC与平面BPQ 3 106所成角的正弦值为 106 .
.
22.（本大题满分 12分）
已知A(2,3),B( 2,0),C(2,0),∠ABC的内角平分线与 y轴相交于点E.
(1)求ΔABC的外接圆的方程；
(2)求点E的坐标；
(3)若P为ΔABC的外接圆劣弧BC上一动点，∠ABC的内角平分线与直线AP相交于点
D, k 7记直线CD的斜率为 k1,直线CP的斜率为 k ,当 12 =- 5 时，判断点E与经过P,D,C三k2
点的圆的位置关系，并说明理由.
·4·
{#{QQABBYCQggCAAgBAAAgCAwVQCkMQkAACAKoOgFAEsAABARFABAA=}#}
