4.3 对数 课件（共32张PPT）

4.3 对数
4.3.1 对数的概念
4.3.2 对数的运算
第四章 指数函数与对数函数
复习引入
在4.2.1的问题1中，我们假设经过????年后的游客人次为2001年的????倍，那么得到两者的关系为：????=1.11????(????∈[0,+∞)).通过指数幂运算，我们能从????=1.11????中求出????年后B地景区的游客人次约为2001年的倍数????.反之，如果要求经过多少年游客人次是2001年的2倍，3倍，4倍，…，那么该如何解决呢？
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问题1：根据????=1.11????(????∈[0,+∞))，分析需要经过多少年游客人次是2001年的2倍呢？3倍，4倍，…????倍？
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问题1：根据????=1.11????(????∈[0,+∞))，分析需要经过多少年游客人次是2001年的2倍呢？3倍，4倍，…????倍？
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2=1.11????
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已知底数
已知幂值
求指数
上述问题实际上就是从2=1.11????，3=1.11????，4=1.11????，…????=1.11????中分别求出????，即已知底数和幂的值，求指数.这就是本节要学习的对数.
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一般地，如果????????=????(????>0且????≠1)，那么数????叫做以????为底????的对数，记作：
????=????????????????????，其中????叫做对数的底数，????叫做真数.
注：真数????>0.
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例如，由于4=1.11????，所以????就是以1.11为底4的对数，记作????=????????????1.14；再如，由于32=9，所以以3为底9的对数是2，记作????????????39=2.
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“????????????”是拉丁文????????????????????????????h????(对数)的缩写.
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根据对数的定义，我们可以得到指对互换的关系：
????????=????(????>????，????≠????)?????=????????????????????(????>????).
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由指数与对数互换的关系式，我们可以得到关于对数的如下结论：
①负数和0没有对数；
②????????????????1=0，????????????????????=1.
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请你利用对数与指数间的关系证明这两个重要结论.
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同学们可以通过查询互联网，进一步了解无理数、常用对数和自然对数.
其实对数最初是为了解决生活中遇到的问题而出现并发展的，因此在科技、经济以及社会生活中经常使用以无理数????=2.71820…(????为无限不循环小数，即无理数)为底数的对数，以????为底的对数称为自然对数，并把????????????????????为底记为????????????.另外，我们将以10为底的对数叫做常用对数，并把????????????10????为底记为????????????.
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例析
例1.把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式：
(1)54=625; (2)2?6=164; (3)(13)????=5.73;
(4)????????????1216=?4; (5)????????0.01=?2; (6)????????10=2.303.
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????????=?????????=????????????????????
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解：(1)????????????5625=4; (2)log2164=?6; (3)log135.73=m;
?????????(4)(12)?4=16; (5)10?2=0.01; (6)????2.303=10.
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例析
例2.求下列各式中????的值：
(1)????????????64????=?23; (2)????????????????8=6;
(3)????????100=????; (4)?????????????2=????.
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解：(1)∵????????????64????=?23,∴????=64?23=4?2= 116.
(2)∵????????????????8=6,∴????=816=(23)16=212=2.
(3)∵????????100=????,∴10????=100=102,????=2.
(4)∵?????????????2=????,∴????2=?????????,∴????=?2.
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????????=?????????=????????????????????
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在引入对数之后，自然应研究对数的运算性质.你认为可以怎样研究？
问题2：我们知道了对数与指数间的关系，能否利用指数幂运算性质得出相应的对数运算性质呢？设????=????????，????=????????，请同学们根据指数幂运算性质探究????????的值，并用对数形式表示出????和????.
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∵????????????????=????????+????，∴????????=????????+????.
根据对数与指数间的关系可得：
????????????????????=????，????????????????????=????，
∴????????????????(????????)=????????????????????????+????=????+????=????????????????????+????????????????????.
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????????????????(????????)=????????????????????+????????????????????
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问题3：同样地，同学们可以仿照上述过程，由????????÷????????=?????????????,自己推出对数运算的其他性质.
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设????=????????，????=????????，
∵????????÷????????=?????????????,∴????????=?????????????.
根据对数与指数间的关系可得：
????????????????????=????，????????????????????=????，
∴????????????????????????=?????????????????????????????=?????
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活动4：同样地，同学们可以仿照上述过程，由(????????)????=????????????，你还能推出对数运算的其他性质吗？
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????????????????????????=????????????????????????
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设????=????????，????=????????，
∵(????????)????=????????????，∴????????=????????????.
根据对数与指数间的关系可得：
????????????????????????=????????????????????????????=????????=????????????????????????.
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通过刚刚的推理计算，我们得到了如下重要的对数运算性质：
如果????>????，且????≠????，????>????，????>????，那么
① ????????????????(????????)=????????????????????+????????????????????;
② ????????????????????????=?????????????????????????????????????????;
③ ????????????????????????=????????????????????????(????∈????).
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例析
例3.求下列各式的值：
(1)????????5100?; (2)????????????2(47×25).
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解：(1)????????5100=????????10015=15????????100=25.
(2)????????????2(47×25)=????????????247+????????????225
=7????????????24+5????????????22
=7×2+5×1
???????????????????????????????????????????=19.
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① ????????????????(????????)=????????????????????+????????????????????;
② ????????????????????????=?????????????????????????????????????????;
③ ????????????????????????=????????????????????????(????∈????).
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例析
例4.用????????????,????????????,????????????表示????????????2????3????.
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解：????????????2????3????=????????(????2????)?????????3????
=????????????2+?????????????????????3????
=2????????????+12?????????????13????????????.
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① ????????????????(????????)=????????????????????+????????????????????;
② ????????????????????????=?????????????????????????????????????????;
③ ????????????????????????=????????????????????????(????∈????).
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数学史上，人们经过大量努力，制作了常用对数表和自然对数表，只要通过查表就可以求出任意正数的常用对数或自然对数.现在，利用计算工具，也可以直接求出任意正数的常用对数或自然对数.这样，如果能将其他底的对数转换为以10或????为底的对数，就能方便地求出这些对数.
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活动1：
(1)利用计算工具求????????2,????????3的近似值；
(2)根据对数的定义，你能利用????????2,????????3的值求????????????23的值吗？
(3)根据对数的定义，你能用????????????????????,????????????????????表示????????????????????(????>0，且????≠1；????>0；
????>0，且????≠1)吗？
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接下来，我们来探索对数运算更多的性质.
设????????????????????=????，则????????=????，于是????????????????????????=????????????????????.
根据性质③????????????????????????=????????????????????????，
我们有：????????????????????????=????????????????????????=????????????????????，
即????=????????????????????=????????????????????????????????????????.
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对数换底公式：
????????????????????=????????????????????????????????????????
(????>0，且????≠1；????>0；????>0，且????≠1).
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活动2：通过对数换底公式，我们可以得到一些有用的推论，请尝试证明下列推论.
(1)????????????????????????????=????????????????????????????；(2)????????????????????=????????????????????????；(3)?????????????????????????????????????????=????????????????????.
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证明(1)：????????????????????????????=????????????????????????????????=????????????????????????????????=?????????????????????????????????=????????????????????????????.
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证明(2)：∵?????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????????=1，∴????????????????????=1????????????????????.
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证明(3)：?????????????????????????????????????????=?????????????????????????????????????????????????=????????????????????????=????????????????????.
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在4.2.1的问题1中，求经过多少年????地景区的游客人次是2001年的2倍，就是计算????=????????????1.112的值.由换底公式，可得????=????????????1.112=????????2????????1.11.利用计算工具，可得，????=????????2????????1.11≈6.64≈7.
由此可得，大约经过7年，B地景区的游客人次就达到了2001年的2倍.类似地，可以求出游客人次是2001年的3倍，4倍，…所需要的年数.
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例析
例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量????(单位：焦耳)与地震里氏震级????之间的关系为
????????????=4.8+1.5????.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?
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虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者的约32倍.
例析
例5.尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量????(单位：焦耳)与地震里氏震级????之间的关系为
????????????=4.8+1.5????.2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍(精确到1)?
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解：设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别为????1和????2.由????????????=4.8+1.5????，可得
?????????????????????1=4.8+1.5×9.0，????????????2=4.8+1.5×8.0 .
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于是，????????????1????2=????????????1?????????????2=(4.8+1.5×9.0)?(4.8+1.5×8.0)=1.5.
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利用计算工具可得，????1????2=101.5≈32.
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虽然里氏9.0级地震与里氏8.0级地震仅相差1级，但前者释放出来的能量却是后者
的约32倍.
练习
题型一：对数运算性质的应用
例1.(1)若????????2=????，????????3=????，则 ????????12????????15 等于（ ）.
A. 2????+????1?????+???? B. 2????+????1+????+???? C. ????+2????1?????+???? D. ????+2????1+????+????
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解：????????12????????15=????????(3×4)????????(3×5)=????????3+2????????2????????3+????????5=????????3+2????????2????????3+????????102=????????3+2????????2????????3+1?????????2=2????+????1?????+?????.
故选A.
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练习
例1.(2)①(????????5)2+2????????2?(????????2)2；②????????3+25????????9+35????????27?????????3????????81?????????27；
③????????????535?2????????????573+????????????57?????????????51.8.
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解：①原式=(????????5)2+(2?????????2)????????2=(????????5)2+(1+????????5)????????2
=(????????5)2+????????2?????????5+????????2=(????????5+????????2)????????5+????????2
=lg5+lg2=1.
②原式=????????3+45????????3+910????????3?12????????34????????3?3????????3=(1+45+910?12)????????3(4?3)????????3=115.
③原式=????????????5(5×7)?2(????????????57?????????????53)+????????????57?????????????595
=????????????55+????????????57?2????????????57+2????????????53+????????????57?2????????????53+????????????55
=2 ????????????55= 2.
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练习
对数式化简与求值的基本原则和方法：
基本原则：正用或逆用公式，对真数进行处理，一般本着便于真数化简的原则进行.
常用方法：
(1)“收”，将同底的两对数的和（差）收成积（商）的对数;
(2)“拆”，将积（商）的对数拆成同底的两对数的和（差）.
① ????????????????(????????)=????????????????????+????????????????????;
② ????????????????????????=???????????????????????
练习
变1.(1)（全国卷改编）设????????????????35=2，则4?????=(?????).
A.127 B.181 C.19 D.116
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解：因为????????????????35=4，所以????????????35????=4，则有5????=81.所以5?????=15????=181?.故选B.
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变1.(2)计算下列各式：
①????????????53625；②????????????2(32×42).
解：①原式=13????????????5625=13????????????554=43.
②原式=????????????232+????????????242=5+4=9.
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练习
题型二：换底公式
例2.(1)计算(????????????2125+????????????425+????????????85)(????????????52+????????????254+????????????1258)的值.
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解：(1)原式=(????????????253+????????????225????????????24+????????????25????????????28)?(????????????52+????????????54????????????525+????????????58????????????5125)
????=(3????????????25+2????????????252????????????22+????????????253????????????22)(????????????52+2????????????522????????????55+3????????????523????????????55)
????????????=(3+1+13)????????????25?(3????????????52)=13????????????25?????????????22????????????25=13.
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练习
例2.(2)已知????????????189=????，18????=5，用????，????表示????????????3645的值.
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解：(2)∵????????????189=????，18????=5
∴????????????185=????.
于是????????????3645=????????????18(9×5)????????????18(18×2)=????????????189+????????????185????????????1818+????????????182
???????????????????????????????????????????=????????????189+????????????1851+????????????182=????+????1+????????????18189=????+????2?????.
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练习
利用换底公式进行化简的原则和技巧：
原则：化异底为同底
技巧：
(1)先进行部分运算，最后再换成同底;
(2)借助换底公式一次性统一换为常用对数（自然对数），再化简、通分、求值；
(3)利用对数恒等式或常用结论，有时可熟记一些常用结论.
对数换底公式：
????????????????????=????????????????????????????????????????
(????>0，且????≠1；????>0；????>0，且????≠1).
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练习
变式2.(1)若??????????????????????????????????????????????????????????3=2，则????的值为_______.
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解：(1)由已知可得??????????????????????????????????????????????????????????3????????????=2，即????????3????????????=2，
∴????????3=2????????????，即????2=3，????=3.
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变式2.(2)计算(????????????43+????????????83)(????????????32+????????????92).
解：(2)原式=(????????3????????4+????????3????????8)(????????2????????3+????????2????????9)
=(????????32????????2+????????33????????2)?(????????2????????3+????????22????????3)=5????????36????????2×3????????22????????3=54.
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练习
例3.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度????（单位：????/????）和燃料的质量????（单位：kg），火箭（除燃料外）的质量????（单位：kg）满足????????=(1+????????)2000(??为自然对数的底数).当燃料质量????为火箭（除燃料外）质量????的两倍时，求火箭的最大速度（单位：????/????）.（????????3≈1.099）
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题型三：对数运算的综合应用
解：∵????=????????(1+????????)2000=2000????????(1+????????)，
∴????=2000????????3≈2000×1.099=2198(????/????).
故当燃料质量????为火箭（除燃料外）质量????的两倍时，火箭的最大速度为2198????/????.
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练习
变式3.酒驾是严重危害交通安全的违法行为.为了保障交通安全，根据国家有关规定：
课堂小结&作业
小结：
(1)对数的运算性质；
(2)换底公式及其推论.
作业：
(1)整理并复习课件题型；
(2)课本P126-127习题4.3 1—7题做作业本.
谢谢学习
Thank you for learning