4.2.2 指数函数的图象和性质 课件（共28张PPT）

4.2.2 指数函数的图象和性质
第四章 指数函数与对数函数
活动引入
上一节我们类比幂函数，得到了指数函数的概念.接下来，我们可以继续类比研究幂函数性质的过程和方法，进一步研究指数函数.首先画出指数函数的图象，然后借助图象研究函数的性质.
我们先从简单的函数????=2????开始.
活动1：请同学们完成????,????的对应值表，并用描点法画出函数????=2????的图象.
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新知探索
活动1：请同学们完成????,????的对应值表，并用描点法画出函数????=2????的图象.
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
????
…
…
?2
14
?1
12
0
1
1
2
2
4
…
…
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
…
…
…
…
新知探索
活动2：为了得到指数函数????=????????(????>0，且????≠1)的性质，我们还需要画出更多的具体指数函数的图象进行观察.请同学们继续画出函数????=(12)????的图象.
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{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}????
????
…
…
?2
4
?1
2
0
1
1
12
2
14
…
…
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
…
…
…
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新知探索
问题1：将函数????=2????的图象与函数????=(12)????的图象进行比较，它们有什么关系？这个关系能推广到一般吗？
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????=2????的图象与函数????=(12)????的图象关于????轴对称.因为????=(12)????=2?????，点(????,????)与点(?????,????)关于????轴对称，所以函数????=2????图象上任意一点????(????,????)关于????轴的对称点????’(?????,????)都在函数????=(12)????上，反之亦然.
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新知探索
活动3：为了探究底数互为倒数时，指数函数图象的性质，我们尝试在同一直角坐标系下，多画几组图象.
由此可知，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于????轴对称.根据这种对称性，就可以利用一个函数的图象，画出另一个函数的图象，比如利用函数????=2????的图象，画出????=(12)????的图象.
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活动4：选取底数????(????>0，且????≠1)的若干个不同的值，在同一直角坐标系内画出相应的指数函数的图象.观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出指数函数????=????????(????>0，且????????≠1)的值域和性质吗？
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新知探索
根据网络画板作图，选取底数????的若干值，用信息技术画图，发现指数函数????=????????的图象按底数????的取值，可分为01两种类型.因此，指数函数的性质也可以分01两种情况进行研究.
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不难看出:这些图象都经过点(0,1)；其定义域都是????;值域是(0,+∞)；
当01时，????=????????在????上单调递增.
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新知探索
根据函数图象以及“网络画板”动画演示，我们其实还能观察到指数函数其它的一些性质.
在????轴的右侧，底数越大，图象越高，简称“底大图高”.
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活动5：请同学思考，将指数函数????=????????(????>0，且????????≠1)的图象上下或者左右平移后，指数函数的解析式会发生什么样的变化呢？
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将指数函数????=????????的图象上移(或下移)????个单位长度后，会得到????=????????±????的图象.
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新知探索
将指数函数????=????????的图象左移(或右移)????个单位长度后，会得到????=????????±????的图象.
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一般地，指数函数的图象和性质如下表所示：
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????????>????
图象
定义域
????
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)，即????=0时，????=1
减函数
增函数
当????>0时，0当????<0时，????>1.
当????>0时，????>1；
当????<0时，0????=????????与????=(1????)????的图象关于????轴对称
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
图象
定义域
值域
性质
减函数
增函数
例析
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.72.5，1.73；(2)0.8?2，0.8?3；(3)1.70.3，0.93.1.
?
解：(1)∵????=1.7????在定义域上单调递增
而2.5<3，∴1.72.5<1.73.
(2)∵????=0.8????在定义域上单调递减
而?2>?3，∴0.8?2<0.8?3.
(3)∵????=1.7????在定义域上单调递增
而0.3>0,∴1.70.3>1.70=1
又∵????=0.9????在定义域上单调递减
而3.1>0,∴0.93.1<0.90=1
综上，1.70.3>0.93.1.
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由例3可以看到，利用指数函数的单调性，通过自变量的大小关系可以判断相应函数值的大小关系.
例析
例4.如图，某城市人口呈指数增长.
(1)根据图象，估计该城市人口每翻一番所需的时间(倍增期)；
(2)该城市人口从80万人开始，经过20年会增长到多少万人？
解：(1)观察图象，发现该城市人口经过20年约为10万人，经过40年约为20万人，即由10万人口增加到20万人口所用的时间约为20年，所以该城市人口每翻一番所需的时间约为20年.
(2)因为倍增期为20年，所以每经过20年，人口将翻一番.因此，从80万人开始，经过20年，该城市人口大约会增长到160万人.
练习
题型一：指数函数的定义域和值域
例1.求下列函数的定义域和值域：
(1)????=31????+4?; (2)(32)?|????|; (3)????=1?2???? .
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解：(1)定义域：(?∞,?4)∪(?4,+∞).值域：(0,1)∪(1,+∞).
(2)定义域：????.值域：[1,+∞).
(3)定义域：(?∞,0].值域：[0,1).
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练习
指数函数定义域、值域的处理技巧：
(1)关注定义域，比如分母、奇(偶)次方根等；
(2)关注值域，有时候需要分离系数、结合二次函数的性质求解，再结合着指数函数的单调性求解值域.
练习
变1.求下列函数的定义域和值域：
(1)????=3????1+3?????; (2)????=22?????????2; (3)????=4????? 2????+1.
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解：(1)定义域为????.∵1+3????>1，∴0<3????1+3????<1，
又????=3????1+3????=1?11+3????，∴0?
(2)定义域为????.∵????=2?????????2≤1，∴????=22?????????2∈(0,2].
?
(3)定义域为????.令????=2????，则????>0，
∴????=4?????2????+1=????2?????+1=(?????12)2+34≥34.
故函数的值域为[34,+∞).
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练习
题型二：指数函数的图象及应用
例2.函数????=?????????????(????>0，且????≠1)的图象可能是：( ).
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答案：C.当????=1时，????=????1?????=0，故函数????=?????????????的图象过定点(1,0).
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练习
指数函数图象问题的处理技巧：
(1)抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象恒过定点.
(2)利用图象变换，如函数图象的平移变换（左加右减、上加下减）.
(3)利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性决定函数图象的走势.
练习
变2.已知????>1，????>?1,则函数????=????????+????图象必定不经过（ ）.
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
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答案：D.
图象恒过点(0,1+????)，
∵????>?1，∴点(0,1+????)在????轴正半轴上.
故图象不经过第四象限.
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练习
题型三：利用指数函数性质比大小
例3.比较下列各题中两个值的大小：
(1)1.70.3,0.93.1;(2)(57)?1.8,(57)?2.5;(3)0.20.3,0.30.2.
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解：(1)1.70.3>0.93.1.
(2)(57)?1.8<(57)?2.5.
(3)0.20.3<0.30.2.
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练习
比较指数式大小的类型及处理方法：
(1)底数相同，指数不同：利用指数函数的单调性来判断.
(2)底数不同，指数相同：利用底数不同的指数函数的图象的变化规律来判断.
(3)底数不同，指数不同：通过中间量来比较.
变3.已知????=(35)?13，????=(35)?14,????=(32)?34则????,????,????的大小关系是（ ）.
A.?????
练习
答案：D.
∵????=(32)?34=(23)34<1，
又????=(35)?13，????=(35)?14
∴????>????>1.
故?????
例4.求满足下列条件的????的取值范围：
(1)3?????1>9????;(2)0.2????<25;(3)?????5????>????????+7(????>0，且????≠1).
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练习
解：(1)????的取值范围是：(?∞,?1).
(2)????的取值范围是：(?2,+∞).
(3)????的取值范围是：当????>1时，????∈(?∞,?76)
当0?
题型四：利用指数函数性质解不等式
练习
指数不等式的三种求解方法：
(1)性质法：解形如????????>????????的不等式，可借助函数????=????????的单调性求解，如果????的取值不确定，需分01两种情况讨论.
(2)隐含性质法：解形如????????>????的不等式，可先将????转化为以????为底数的指数幂的形式，再借助函数????=????????的单调性求解.
(3)图象法：解形如????????>????????的不等式，可利用对应的函数图象求解.
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变4.(1)解不等式(12)3?????1≤2;
(2)已知????????2?3????+10，且????≠1)，求????的取值范围.
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练习
解：(1)????的取值范围是：[0,+∞).
(2)当0当????>1时，????的取值范围是：(?1，5).
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课堂小结&作业
课堂小结：
(1)指数函数的图象性质；
(2)求指数型函数的定义域和值域的一般方法；
(3)比较指数式大小的类型及处理方法；
(4)指数不等式的三种求解方法.
作业：
(1)整理本节课的题型；
(2)课本P118的习题4.2 1—4题&6题、10题
谢谢学习
Thank you for learning