《新学案》2015年春高中数学苏教版选修1-1名师导学：第二章 圆锥曲线与方程（含解析）

第 2　 章 圆锥曲线与方程　　　
第1课时　圆锥曲线
　 教学过程
一、 问题情境
2011年9月29日,中国成功发射了“天宫一号”飞行器,你知道“天宫一号”绕地球运行的轨迹是什么吗
二、 数学建构
椭圆是物体运动的一种轨迹,物体运动的轨迹有很多,常见的还有直线、圆、抛物线等.
一个平面截一个圆锥面,当平面经过圆锥面的 ( http: / / www.21cnjy.com )顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆.当我们改变平面的位置时,截得的图形也在发生变化.请观察图1.
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(图1)
对于第一种情形,可在截面的两侧分别放置一个 ( http: / / www.21cnjy.com )球,使它们都与截面相切(切点分别为F1,F2),且与圆锥面相切,两球与圆锥面的公共点分别构成圆O1和圆O2(如图2).
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(图2)
设M是平面与圆锥面的截线上任一点,过点M作 ( http: / / www.21cnjy.com )圆锥面的一条母线分别交圆O1和圆O2于P,Q两点,则MP和MF1,MQ和MF2分别是上、下两球的切线.
因为过球外一点所作球的切线的长都相等,
所以MF1=MP,MF2=MQ,
故MF1+MF2=MP+MQ=PQ.
因为PQ=VP-VQ,而VP,VQ是常数(分别为两个圆锥的母线的长),所以PQ是一个常数.
也就是说,截线上任意一点到两个定点F1,F2的距离的和等于常数.
通过分析,给出椭圆的概念:
一般地,平面内到两个定点F ( http: / / www.21cnjy.com )1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.
问题1　为什么常数要大于F1F2
解　因为动点与F1,F2构成三角形,三角形的两边之和大于第三边,所以MF1+MF2>F1F2.
问题2　若MF1+MF2=F1F2,动点M的轨迹是什么
解　线段F1F2.
问题3　若MF1+MF2解　不存在.
双曲线的概念:
一般地,平面内到两个定点F1,F2的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离的差的绝对值等于常数(小于F1F2的正数)的点的轨迹叫做双曲线,两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点的距离叫做双曲线的焦距.
说明:(1)常数要小于F1F2.
(2)若|MF1-MF2|=F1F2,动点M的轨迹是以F1,F2为端点向外侧的两条射线.
(3)若|MF1-MF2|>F1F2,动点M的轨迹不存在.
抛物线的概念:
一般地,平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
说明:定点F不能在定直线l上,否则所得轨迹为过点F且与直线l垂直的一条直线.
椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线.
三、 数学运用
【例1】　已知定点P(0,3)和定直线l:y+3=0,动圆M过点P且与直线l相切,求证:圆心M的轨迹是一条抛物线. (见学生用书P15)
[处理建议]　让学生仔细审题,作出图形,再引导学生对照抛物线的定义寻找相等关系,使问题得以解决.
[规范板书]　证明　设圆M的半径为r,点M到直线l的距离为d.
∵动圆M过点P且与l相切,∴MP=r,d=r,∴MP=d.
而点P不在l上,∴由抛物线的定义知圆心M的轨迹是一条抛物线.
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　(例2)
[题后反思]　本题要紧扣抛物线的定义,主要注意两点:①到定点的距离等于到定直线的距离;②定点不在定直线上.
【例2】　(教材第27页习题2.1 ( http: / / www.21cnjy.com )第3题)如图,圆F1在圆F2的内部,且点F1,F2不重合,求证:与圆F1外切且与圆F2内切的圆的圆心C的轨迹为椭圆. (见学生用书P16)
[处理建议]　让学生仔细审题,明确需要解决什么问题,再引导学生根据椭圆的定义寻找“到两定点的距离之和为定值”的关系,使问题得以解决.
[规范板书]　证明　设圆F1,F2 ( http: / / www.21cnjy.com )的半径分别为r1,r2,动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2-t,消去t得CF1+CF2=r1+r2(一个大于F1F2的常数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的椭圆.
[题后反思]　要证明某点的运动轨迹,可以先考 ( http: / / www.21cnjy.com )虑动点是否满足圆锥曲线的定义.本题要紧紧抓住到两定点的距离之和为定值的动点的轨迹是椭圆这一定义.
变式1　如图,已知动圆C与圆F1,F2均外切(圆F1与圆F2相离),试问:动点C的轨迹是什么曲线
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(变式1)
[处理建议]　从例2的解法中联想思考,寻找动点满足的几何性质是什么.
[规范板书]　解　双曲线的一支.证明如下:
设圆F1,F2的半径分别为 ( http: / / www.21cnjy.com )r1,r2(r1>r2),动圆C的半径为t.依题意有CF1=r1+t,CF2=r2+t,消去t得CF1-CF2=r1-r2(一个小于F1F2的正数),所以动圆圆心C的轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线的一支.
[题后反思]　应引导学生 ( http: / / www.21cnjy.com )学会利用圆锥曲线的定义直接得出轨迹.本题还有其他方式的变式:当两圆相离时,动圆与两圆均内切或与一圆内切与另一圆外切,其动圆圆心的轨迹均为双曲线的一支.
变式2　(1)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
(2)动圆与圆C1:x 2+y 2=1和C2:(x-4) 2+y 2=4都内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
(3)动圆与圆C1:x 2+y 2=1内切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4外切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
(4)动圆与圆C1:x 2+y 2=1外切,与圆C2:(x-4) 2+y 2=4内切,则动圆圆心的轨迹是双曲线的一支.
*【例3】　已知圆F的方程为(x-2) ( http: / / www.21cnjy.com ) 2+y 2=1,动圆P与圆F外切且和y轴相切.求证:动圆的圆心P在一条抛物线上运动,并请写出这条抛物线的焦点坐标及准线方程.
[处理建议]　因为要证明圆心P的轨迹是抛物线,所以可引导学生通过画图找到定点和定直线.
[规范板书]　证明　设圆P的半径为r, ( http: / / www.21cnjy.com )它与y轴相切于T,则PF=r+1,PT=r,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点,直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.
[题后反思]　三种圆锥曲线的概念都 ( http: / / www.21cnjy.com )与距离有关:椭圆和双曲线的概念描述的都是点到点的距离;抛物线的概念描述的是点到点的距离,同时还有点到线的距离.圆与直线相切,能够联想到抛物线的条件.
变式　点P到定点F(2,0)的距离比它到y轴的距离大1,求点P的轨迹.
[处理建议]　引导学生考虑本题条件与哪种圆锥曲线的定义一致.
[规范板书]　解　过点P作PT⊥y轴,垂 ( http: / / www.21cnjy.com )足为T,所以PF=PT+1,作直线l:x=-1,PT的延长线交直线l于A,则PF=PA,故点P到定点F的距离等于它到直线l的距离,所以点P在以F(2,0)为焦点、直线l:x=-1为准线的抛物线上运动.
[题后反思]　本题依然是属于动点到定 ( http: / / www.21cnjy.com )点和到定直线的距离,但不相等的问题,关键是将不等关系转化为相等关系,可以培养学生类比推理、归纳猜想、转化等数学思维能力.[2]
四、 课堂练习
1.已知双曲线的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),则此双曲线的焦距为　6　.
2.已知点A(0,-2),B(2,0),动点M满足|MA-MB|=2a(a为正常数).若点M的轨迹是以A,B为焦点的双曲线,则常数a的取值范围为(0,).
提示　因为AB=2,由双曲线的定义知0<2a<2,即03. 若动圆M过点(3,2),且与直线3x-2y-1=0相切,则点M的轨迹是抛物线.
4. 已知椭圆的两个焦点分别为F1,F2,O为F1F2的中点,P为椭圆上任一动点,取线段PF1的中点Q,求证:动点Q的轨迹也是一个椭圆.
证明　设PF1+PF2=m(定值),且m>F1F2,
则QF1+QO=PF1+PF2=m>F1F2=F1O,所以点Q的轨迹是一个椭圆.
五、 课堂小结
1.圆锥曲线可通过平面截圆锥面得到.当 ( http: / / www.21cnjy.com )平面经过圆锥面的顶点时,可得到两条相交直线;当平面与圆锥面的轴垂直时,截得的图形是一个圆;当平面平行于圆锥面的轴时,截得的图形是双曲线;当平面平行于圆锥面的母线时,截得的图形是抛物线;当平面既不平行、不垂直于圆锥面的轴也不平行于圆锥面的母线时,截得的图形是椭圆.
2.掌握三种圆锥曲线的定义,并注意:椭圆中常数大于两个定点间距离,双曲线中常数小于两个定点间距离.
3.会用圆锥曲线的定义判断动点的轨迹.
第2课时　椭圆的标准方程(1)
　 教学过程
一、 问题情境
汽车贮油罐的横截面的外轮廓线的形状像椭圆,把一个圆压扁了,也像椭圆,它们究竟是不是椭圆呢
是否是椭圆应该看其是否符合椭圆 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本特征(性质),那么又该如何研究椭圆的性质呢 回忆解析几何研究问题的基本方法,研究椭圆,先建立椭圆的方程.
二、 数学建构
回顾椭圆的概念:
一般地,平面内到两个定点F1,F2的距 ( http: / / www.21cnjy.com )离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点,两个焦点的距离叫做椭圆的焦距.
特别地:
当MF1+MF2=F1F2时,动点M的轨迹是线段F1F2;　　
当MF1+MF2构建椭圆方程:
设椭圆的两个焦点分别为F1,F2,它们之间的距离为2c,椭圆上任意一点到F1,F2的距离的和为2a(2a>2c).
以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂 ( http: / / www.21cnjy.com )直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图1),则F1,F2的坐标分别为(-c,0),(c,0).
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(图1)
设P(x,y)为椭圆上任意一点,根据椭圆的定义知
PF1+PF2=2a,
即+=2a.[2]
将这个方程移项后两边平方,得(x+c)2+y2=4a2-4a+(x-c)2+y2,
即a2-cx=a.
两边再平方,得a4-2a2cx+c2x2=a2x2-2a2cx+a2c2+a2y2,
整理得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).
因为a2-c2>0,所以可设a2-c2=b2(b>0),于是得b2x2+a2y2=a2b2,
两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).
由上述过程可知,椭圆上的点的坐标(x,y)都满足上面这个方程,并且满足上面这个方程的点(x,y)都在已知的椭圆上.
这样,上面这个方程就是所求椭圆的方程,它的焦点为F1(-c,0),F2(c,0).
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　(图2)
问题1　如果将椭圆的焦点建立在y轴上,即焦点为F1(0,-c),F2(0,c)(如图2),你能快速得出椭圆的方程吗
解法一　两个椭圆关于直线y=x对称,故只需要将方程+=1(a>b>0)中的x,y互换即可得到方程+=1(a>b>0).
解法二　从定义出发,将+=2a变换为+=2a.
可化简得到a2x2+(a2-c2)y2=a2(a2-c2).
设a2-c2=b2(b>0),于是得a2x2+b2y2=a2b2,
两边同时除以a2b2,得+=1(a>b>0).
所以,当焦点在y轴上时,我们可以得到焦点为F1(0,-c),F2(0,c)的椭圆的方程为+=1(a>b>0).
以上两种方程都叫做椭圆的标准方程(其中b2=a2-c2).
问题2　如何判断椭圆标准方程中焦点的位置
解　看标准方程形式下x2与y2下方(即分母)哪个大,焦点即在对应的坐标轴上.
巩固练习　求下列椭圆的焦点坐标:
(1) +=1;
(2) 16x2+7y2=112.
[规范板书]　解　(1) c2=25-16=9,所以c=3,故焦点坐标为(-3,0)和(3,0).
(2) 方程可化为+=1,所以c2=16-7=9,所以c=3,故焦点坐标为(0,-3)和(0,3).
[题后反思]　求椭圆的焦点坐标需将椭圆的方程化为标准形式.
三、 数学运用
【例1】　已知方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,求k的取值范围. (见学生用书P17)
[处理建议]　引导学生思考焦点在x轴上的椭圆的标准方程满足的条件.
[规范板书]　解　因为椭圆焦点在x轴上,
故所以7[题后反思]　学生可能会忽视前两个条件(不等式),题目解答完毕注意总结此时应需要3个条件(不等式).
变式　若上述方程表示一个椭圆,求k的取值范围.
[处理建议]　让学生思考条件改变时,解题过程中哪个环节会发生变化.
[规范板书]　解　由题意可得
所以4[题后反思]　学生可能会进行 ( http: / / www.21cnjy.com )分类直接得到结果,亦可能用上述方法解答,但会忽视第三个条件,此时不妨反问:若k-4>0,10-k>0,k-4=10-k,则方程表示的曲线是什么 答:圆.[3]
【例2】　(根据教材第30页练习第2题改编)求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a=4,b=3,焦点在x轴上;
(2) b=1,c=;
(3) 两个焦点分别是F1(-2,0),F2(2,0),且过点P(2,-3). (见学生用书P18)
[处理建议]　引导学生首先分析焦点的位置,然后再找出标准方程中a,b的值.
[规范板书]　解　(1) 因为焦点在x轴上,故椭圆的标准方程为+=1.
(2) 因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,
①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+y2=1;
②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+x2=1.
(3) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
所以解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
[题后反思]　椭圆的标准方程中只有两个参量,因此只需要两个条件就可以求出椭圆的标准方程,而a,b,c三个量之间的关系是知二求一.[4]
【例3】　(教材第29页例2)将圆x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+y2=4上的点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,求所得曲线的方程,并说明它是什么曲线.(见学生用书P18)
[处理建议]　先让学生直观感受变换后的曲线形状,再探究如何解决问题.
[规范板书]　解　设所得曲线上任一点的坐标为(x,y),圆x2+y2=4上的对应点的坐标为(x',y'),由题意可得
因为x'2+y'2=4,所以x2+4y2=4,即+y2=1.
这就是变换后所得曲线的方程,它表示一个椭圆.
[题后反思]　学生很容易得到变换后的曲 ( http: / / www.21cnjy.com )线是椭圆,但无法从定义给出证明,引导学生从方程的角度考虑问题,从而进一步说明解析几何研究问题的方法是从方程的角度来研究的.本例求变换后所得曲线方程采用的方法是“坐标转移法”,即利用中间变量求曲线方程.
*【例4】　(教材第31页例1)已知一个 ( http: / / www.21cnjy.com )贮油罐横截面的外轮廓线是一个椭圆,它的焦距为2.4m,外轮廓线上的点到两个焦点距离的和为3m,求这个椭圆的标准方程.
[处理建议]　引导学生先建立合适的直角坐标系,设出椭圆的标准方程,根据题意得到椭圆方程中的基本量.
[规范板书]　解　以F1F2所在直线为x轴,线段F1F2的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系xOy(如图).
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(例4)
设这个椭圆的标准方程为+=1(a>b>0).
根据题意知2a=3,2c=2.4,即a=1.5,c=1.2,
所以b2=a2-c2=1.52-1.22=0.81.
因此,这个椭圆的标准方程为+=1.
[题后反思]　本题是为了巩固对椭圆的标准方程的理解.在没有已知坐标系的情况下,需要建立合适的坐标系.
四、 课堂练习
1.求下列椭圆的焦点坐标:
(1) +=1;
(2) 3x2+4y2=12.
解　(1) 焦点坐标分别为(0,-3)和(0,3).
(2) 焦点坐标分别为(-1,0)和(1,0).
2. 若方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是(4,5).
提示　因为椭圆的焦点在y轴上,所以解得43.求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) a=,c=1;
(2) 两个焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),且b=1;
(3) 焦点在y轴上,焦距为4,且经过点M(3,-2).
解　(1) 因为a=,c=1,所以b2=a2-c2=4.
①当椭圆的焦点在x轴上时,椭圆的标准方程为+=1;
②当椭圆的焦点在y轴上时,椭圆的标准方程为+=1.
(2) 由题意知椭圆的焦点在x轴上,且c=2,b=1,所以a2=5.
所以椭圆的标准方程为+y2=1.
(3) 因为椭圆的焦点在y轴上,故可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),且c=2.
所以解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
五、 课堂小结
1. 椭圆的标准方程有两种形式:
①焦点在x轴上:+=1(a>b>0);
②焦点在y轴上:+=1(a>b>0).
2. 注意椭圆的标准方程中“标准”的含义:
①椭圆的中心在坐标原点;
②椭圆的焦点在坐标轴上(两个焦点均在x轴上或均在y轴上);
③椭圆的标准方程有两种形式,即焦点在x轴上的方程以及焦点在y轴上的方程.
第3课时　椭圆的标准方程(2)
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　求经过点(-,1),(-,-)的椭圆的标准方程. (见学生用书P19)
[处理建议]　可分两种情况分别设出焦点在x轴 ( http: / / www.21cnjy.com )上的椭圆的标准方程和焦点在y轴上的椭圆的标准方程,代入点坐标求出a,b的值;在不明确焦点位置的情况下,也可设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B).
[规范板书]　解法一　①当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则解得所以所求椭圆的标准方程是+=1.
②当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),则解得不满足a>b>0,故舍去.
所以所求椭圆的标准方程是+=1.
解法二　设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B),则解得
所以所求椭圆的标准方程是+=1.
[题后反思]　解决此类问题最基本的方法是分类讨论.实际上解法二是对解法一中x2及y2的系数进行换元得到的.[1]
【例2】　已知椭圆+=1的左、右焦点分别是F1,F2,PQ是过F1的一条弦,求△PQF2的周长. (见学生用书P20)
[处理建议]　请学生思考△PQF2的周长中包含哪些线段,这些线段与椭圆定义中的几何条件有哪些联系.
[规范板书]　解　由题意知a=5,c=3.P,Q是椭圆上的点,则PF1+PF2=2a=10,QF1+QF2=2a=10.
因此,△PQF2的周长为PQ+PF2+QF2=PF1+PF2+QF1+QF2=4a=20.
[题后反思]　抓住椭圆的定义,因为定 ( http: / / www.21cnjy.com )义中的几何条件就是椭圆上的点到两个焦点的距离之和为2a.若PQ是椭圆上不过焦点F1的一条弦,试问:△PQF2的周长是定值吗
变式1　若P是椭圆+=1上一点,F1,F2是它的两个焦点,Q(5,2),求△PQF2的周长l的取值范围.
[处理建议]　将△PQF2的周长的最值转化为PQ+PF2的最值.
[规范板书]　解　因为△PQF2的周长l=PQ+PF2+QF2,又F2(3,0),所以QF2=2,所以△PQF2的周长取最小值时PQ+PF2也取最小值,易得PQ+PF2>QF2=2,所以l>4.
因为在椭圆中PF1+PF2=2a,所以PF2=2a-PF1,所以PQ+PF2=PQ+2a-PF1=PQ-PF1+2a,所以PQ+PF2取最大值时PQ-PF1也取最大值,易得PQ+PF2=PQ-PF1+2a所以l<2+2+10.
综上,4变式2　已知M(2,2),N(3,0)是椭圆+=1内两点,P是椭圆上一点,求PM+PN的最大值与最小值.
[规范板书]　解　设椭圆的左焦点为F1.
因为在椭圆中PF1+PN=2a,所以PN=2a-PF1,
所以PM+PN=PM+2a-PF1=PM-PF1+2a.
又因为|PM-PF1|≤MF1,
所以-MF1≤PM-PF1≤MF1,又MF1=,
所以-≤PM-PF1≤,
所以10-≤PM+PN≤10+,
所以PM+PN的最大值为10+,最小值为10-.
[题后反思]　进一步理解椭圆定义中的几何条件是焦半径的一种重要的转化方式,同时也是对此知识点的巩固训练.[2]
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　(例3)
【例3】　如图,P是椭圆+=1上一点,F1和F2是其焦点,且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积. (见学生用书P20)
[处理建议]　请学生思考:椭圆定义中能用到的几何条件有哪些 △F1PF2的面积又该如何表示才能与已知条件联系起来
[规范板书]　解　在椭圆+=1中,a=,b=2,所以c==1.又因为点P在椭圆上,
所以PF1+PF2=2a=2. ①
由余弦定理知P+P-2PF1·PF2·cos30°=F1=(2c)2=4. ②
①式两边平方得P+P+2PF1·PF2=20.　 ③
③-②得(2+)PF1·PF2=16,
所以PF1·PF2=16(2-),
所以=PF1·PF2sin30°=8-4.
变式　如图,已知椭圆E:+=1(a>b>0)的焦点为F1与F2,点P在椭圆上,∠F1PF2=θ.
求证:△PF1F2的面积S=b2tan.
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(变式)
[处理建议]　由特殊到一般,问题的处理方式基本相同.
[规范板书]　证明　设PF1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sinθ,又F1F2=2c,
由余弦定理有(2c)2=+-2r1r2cosθ=(r1+r2)2-2r1r2-2r1r2cosθ=(2a)2-2r1r2(1+cosθ),
于是2r1r2(1+cosθ)=4a2-4c2=4b2,
所以r1r2=.
这样即有S=·sinθ=b2=b2tan.
[题后反思]　解与△PF1F2(P为椭圆上一点)有关的问题,常用正弦定理或余弦定理,并结合PF1+PF2=2a来解决.有些圆锥曲线问题用定义去解决比较方便.如本题,设PF1=r1,PF2=r2,则S=r1r2sinθ.若能消去r1r2,问题即可解决.
*【例4】　已知P是椭圆+y2=1上的任意一点,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点.
(1) 求PF1·PF2的最大值;
(2) 求PF+PF的最小值;
(3) 求∠F1PF2的最大值.
[处理建议]　让学生思考:已知的几何条件是什么 要求的是两焦半径之积的最值,两者如何建立联系
[规范板书]　解　由题意知a=2,b=1,所以c=,PF1+PF2=2a=4.
(1) PF1·PF2≤=4;
(2) PF+P≥=8;
(3) 因为cos∠F1PF2=
　　　　=
　　　　=
　　　　=-1,
由(1)知PF1·PF2≤4,所以cos∠F1PF2≥-1=-,当且仅当PF1=PF2时“=”成立,即P为椭圆短轴的一个端点.
又因为∠F1PF2∈[0,π),所以∠F1PF2的最大值为120°.
[题后反思]　运用余弦定理处理焦点三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形也是焦半径问题中常用的方法之一,结合基本不等式可以得到关于焦半径表达式的取值范围,同时也为后面求离心率的取值范围作铺垫.强调∠F1PF2取最大值时点P的位置在椭圆短轴的端点处.
变式　已知椭圆+y2=1(a>1)的焦点是F1,F2,若椭圆上存在一点P,满足PF1⊥PF2,求a的取值范围.
[规范板书]　解　设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2=4(a2-1).
又m2+n2≥,所以4(a2-1)≥2a2,所以a2≥2,所以a的取值范围是[,+∞).
[题后反思]　训练学生利用基本不等式寻求椭圆基本量的不等关系,从而得到a的取值范围.
二、 课堂练习
1.根据下列条件求椭圆的标准方程:
(1) 已知点P在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P到两焦点的距离分别为和,过点P作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点;
(2) 经过点A(0,2)和B.
解　(1) 设椭圆的标准方程是+=1或+=1(a>b>0).
由题意知2a=PF1+PF2=2,所以a=.
在方程+=1中令x=±c,得|y|=;
在方程+=1中令y=±c,得|x|=.
依题意并结合图形知=,所以b2=,
即椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(2) 设经过点A(0,2),B的椭圆的方程为mx2+ny2=1,则解得所以椭圆的标准方程为 x2+=1.
2.已知△ABC的顶点B,C在椭圆+y2=1上,顶点 A 是椭圆的一个焦点,且椭圆的另外一个焦点在边BC上,则△ABC的周长是　4　.
提示　设椭圆的另一个焦点为F,则由椭圆的定义知BA+BF=2,且CF+AC=2,所以△ABC的周长为BA+BF+CF+AC=4.
3.已知P是椭圆+=1上一点,F1,F2是其焦点.若∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为.
提示　设PF1=m,PF2=n,
则cos60°=,
所以=.
又m+n=2a=20,c=6,所以mn=,
所以S=mn·sin60°=.
三、 课堂小结
1.待定系数法求椭圆的标准方程,注意系数的设法.
2.灵活运用椭圆的定义PF1+PF2=2a求焦点三角形的周长及面积,注意在焦点三角形中灵活使用余弦定理及基本不等式.
第4课时　椭圆的几何性质(1)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　方程+=1表示什么样的曲线 你能利用以前学过的知识画出它的图形吗
解　方案1　列表、描点、连线进行作图,在取点的过程中想到了椭圆的范围问题.
方案2　求出椭圆曲线与坐标轴的四个交点,联想椭圆曲线的形状得到图形.
方案3　只作第一象限内的图形,联想椭圆形状,利用对称性得到其他象限内的图形.[1]
问题2　与直线方程和圆的方程相对比,椭圆的标准方程+=1(a>b>0)有什么特点 [2]
解　①椭圆方程是关于x,y的二元二次方程;
②方程的左边是平方和的形式,右边是常数1;
③方程中x2和y2的系数不相等.
二、 数学建构
1.结合椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆曲线的范围.
方案1　+=1变形为=1-≤1,即x2≤a2,所以-a≤x≤a.同理可得-b≤y≤b.
方案2　椭圆的标准方程表示两个非负数的和为1,那么这两个数都不大于1,所以≤1,所以-a≤x≤a.同理可以得到y的范围是-b≤y≤b.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
方案3　还可以用三角换元,设=cosθ,=sinθ,利用三角函数的有界性,也可以得到x,y的范围.
这说明椭圆位于直线x=±a和y=±b所围成的矩形内(如图1).
2.继续观察椭圆标准方程的特点,利用方程研究椭圆的对称性.[3]
在椭圆的标准方程中,把x换成-x,方程并 ( http: / / www.21cnjy.com )不改变,这说明当点P(x,y)在椭圆上时,它关于y轴的对称点P'(-x,y)也在椭圆上,所以椭圆关于y轴对称.同理,把y换成-y,或同时把x,y分别换成-x,-y时,方程都不变,所以椭圆关于x轴和原点都是对称的.
因此,坐标轴是椭圆的对称轴,原点是椭圆的对称中心.椭圆的对称中心叫做椭圆的中心.
3.再次观察椭圆标准方程的特点,利用方程求出椭圆曲线与对称轴的交点坐标.
在椭圆的标准方程中,令x=0,得y ( http: / / www.21cnjy.com )=±b,这说明点B1(0,-b),B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点.同理,点A1(-a,0),A2(a,0)是椭圆与x轴的两个交点,这四个点是对称轴与椭圆的交点,称为椭圆的顶点.
线段A1A2,B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴,它们的长分别等于2a和2b,a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长.
在椭圆的定义中,2c表示焦距,这样,椭圆方程中的a,b,c就有了明显的几何意义.
问题3　在椭圆标准方程的推导过程中令a2-c2=b2能使方程简单整齐,其几何意义是什么
解　c表示半焦距,b表示短半轴长,因此,连结顶点B2和焦点F2,可以构造一个直角三角形OB2F2,在Rt△OB2F2内,O+O=B2,即c2+b2=a2.
△OB2F2称为椭圆的特征三角形.
4.圆的形状都是相同的,而椭圆却有些 ( http: / / www.21cnjy.com )比较“扁”,有些比较“圆”,椭圆的“圆扁”取决于哪些因素 用什么样的量来刻画椭圆的“圆扁”程度比较合适
方案1　用几何画板演示.
方案2　可以用比值来刻画,当越大,椭圆越圆;当越小,椭圆越扁.
方案3　还可以用比值来刻画,当越大,椭圆越扁;当越小,椭圆越圆.
一般地,我们用比值来刻画椭圆的“圆扁”程度.
离心率:焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率,记为e,即e=.
因为a>c>0,所以0问题4　比值与之间的关系如何
解　=,此式可变形为=1-或=1-=1-e2.
再结合图形分析离心率的大小对椭圆形状的影响:
(1) 当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;
(2) 当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.
5. 类比焦点在x轴上的情况,若椭圆的焦点在y轴上,其几何性质如何
焦点在x轴上与焦点在y轴上椭圆的几何性质对比:
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 |x|≤a,|y|≤b |x|≤b,|y|≤a
对称性 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称 关于x轴、y轴成轴对称;关于原点成中心对称
顶点坐标 (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b) (b,0),(-b,0),(0,a),(0,-a)
焦点坐标 (c,0),(-c,0) (0,c),(0,-c)
半轴长 长半轴长为a,短半轴长为b,a>b 长半轴长为a,短半轴长为b,a>b
离心率 e= e=
a,b,c的关系 a2=b2+c2 a2=b2+c2
三、 数学运用
【例1】　(教材第33页例1)求椭圆+=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.[4] (见学生用书P21)
[处理建议]　由椭圆的方程确定a,b,c的值,从而使问题得以解决.交待清楚作图的几种方法.
[规范板书]　解　根据椭圆的方程+=1,得a=5,b=3,c==4,
所以椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0)和F2(4,0),顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).
将方程变形为y=±,根据y=算出椭圆第一象限内的几个点的坐标,如下表所示.
x 0 1 2 3 4 5
y 3 2.94 2.75 2.4 1.8 0
　　先描点画出第一象限的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).
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　(例1)
[题后反思]　本例是对椭圆几何性质的一 ( http: / / www.21cnjy.com )般检测性训练.一般地,椭圆的画法只需要描出几个点,然后用光滑曲线连结即可,必要时将焦点位置标出.强调快速、较准确地画出椭圆图象是今后学习的一个必要的基本技能.
【例2】　求适合下列条件的椭圆的标准方程:
(1) 经过点P(-3,0),Q(0,-2);
(2) 焦点在x轴上,长轴长等于20,离心率等于;
(3) 焦点在y轴上,长轴长是短轴长的3倍,且椭圆经过点P(3,0). (见学生用书P22)
[处理建议]　根据条件,寻找椭圆方程中的基本量.
[规范板书]　解　(1) 由题意知a=3,b=2,长轴在x轴上,所以椭圆的标准方程为+=1.
(2) 由题意知2a=20,e=.
所以a=10,c=8,所以b=6.
又因为焦点在x轴上,
所以椭圆的标准方程为+=1.
(3) 由题意知焦点在y轴上,所以b=3.
又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,
所以椭圆的标准方程为+=1.
[题后反思]　运用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时,要熟记离心率公式.
变式　在(2)、(3)问中将焦点位置的条件去掉,结论如何 [5]
[处理建议]　当焦点位置不确定时,应引导学生分焦点在x轴上或在y轴上两种情况讨论.
[规范板书]　解　(2) 由题意知2a=20,e=,所以a=10,c=8,所以b=6.
所以椭圆的标准方程为+=1或+=1.
(3) 当焦点在x轴上时,a=3,
又因为长轴长是短轴长的3倍,所以b=1,
所以椭圆的标准方程为+y2=1;
当焦点在y轴上时,b=3,
又因为长轴长是短轴长的3倍,所以a=9,
所以椭圆的标准方程为+=1.
因此,所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1.
[题后反思]　焦点位置发生变 ( http: / / www.21cnjy.com )化时,a,b对应的值也就不一样了,椭圆的某些几何性质也发生了变化,尤其要紧扣其定义,比如离心率是焦距与长轴长的比值.
*【例3】　已知椭圆x2+my2=1的离心率为,求m的值.
[处理建议]　首先应将椭圆方程化为标准方程形式,然后根据方程的特征求解.
[规范板书]　解　将椭圆方程化为x2+=1.
若焦点在x轴上,则a2=1,b2=,==1-,得m=4;
若焦点在y轴上,则b2=1,a2=,=m=1-=,得m=.
综上,m=4或.
[题后反思]　已知离心率求参数的值是椭圆几何性质的简单运用,含参问题求离心率应考虑焦点的位置.
四、 课堂练习
1.求下列椭圆的长轴长和短轴长、焦距、离心率、顶点和焦点坐标:
(1) 25x2+4y2-100=0;
(2) x2+4y2-4=0.
解　(1) 椭圆方程可化为+=1,所以a=5,b=2,c=.
所以长轴长为10,短轴长为4,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(±2,0)和(0,±5),焦点坐标为(0,±).
(2) 椭圆方程可化为+y2=1,所以a=2,b=1,c=.
所以长轴长为4,短轴长为2,焦距为2,离心率e=,顶点坐标为(±2,0)和(0,±1),焦点坐标为(±,0).
2.下列各组椭圆中,哪一个更接近于圆
(1) +=1与25x2+16y2=400;
(2) 3x2+4y2=12与+=1.
解　(1) 椭圆+=1的离心率为,椭圆25x2+16y2=400的离心率为,故第二个椭圆更接近于圆.
(2) 椭圆3x2+4y2=12的离心率为,椭圆+=1的离心率为,故第一个椭圆更接近于圆.
3.若椭圆的长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的离心率是 　.
提示　=1-e2,所以e=.
4.根据下列条件,求椭圆的标准方程:
(1) 中心在原点,焦点在x轴上,长轴长、短轴长分别为10和8;
(2) 中心在原点,一个焦点坐标为(0,4),长轴长为10;
(3) 对称轴都在坐标轴上,短半轴长为8,离心率为.
解　(1) +=1;
(2) +=1;
(3) +=1或+=1.
五、 课堂小结
1.椭圆的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率等).
2.通常用椭圆的离心率e刻画椭圆的“圆扁”程度,其中0(1) 当e接近1时,c越接近a,从而b越接近0,因此椭圆越扁;
(2) 当e接近0时,c越接近0,从而b越接近a,因此椭圆越圆.
第5课时　椭圆的几何性质(2)
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　(教材第33页例 ( http: / / www.21cnjy.com )2)如图(1),我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F2为一个焦点的椭圆.已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面439km,远地点B(离地面最远的点)距地面2 384km,AB是椭圆的长轴,地球的半径约为6 371km,求卫星运行的轨道方程.[1] (见学生用书P23)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1(1))
[处理建议]　引导学生先建立适当的直角坐标系,再分析题意寻求a,b,c的关系,从而求出a,b的值.
[规范板书]　解　如图(2),以直线AB为x轴,线段AB的中垂线为y轴,建立直角坐标系,AB与地球交于C,D两点.
设椭圆的方程为+=1(a>b>0).
( http: / / www.21cnjy.com )
　(例1(2))
由题意知AC=439,BD=2 384,F2C=F2D=6371.
a-c=OA-OF2
=F2A
=6 371+439
=6 810,
a+c=OB+OF2
=F2B
=6 371+2 384=8 755,
解得a=7 782.5,c=972.5.
所以b==≈7 721.
因此,卫星运行的轨道方程为+=1.
[题后反思]　椭圆上的点到焦点距离的最大值 ( http: / / www.21cnjy.com )为a+c,最小值为a-c.利用a,b,c之间的关系,求出a,b的值得到椭圆的方程.本题旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.
【例2】　已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点,若△ABF2为正三角形,求椭圆的离心率. (见学生用书P24)
[处理建议]　引导学生根据题意画出图形,将“△ABF2为正三角形”转化为关于a,b,c的关系式,从而得到关于离心率e的方程.
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　(例2)
[规范板书]　解　设F1(-c,0),则A,所以AF1=.
因为△ABF2为正三角形,所以2c=,即b2=2ac,所以(a2-c2)=2ac,
两边同时除以a2,整理得e2+2e-=0,解得e=或-(舍去).所以e=.
[题后反思]　求离心率的关键是能得到关于a,b,c之间的一组关系,通过化简变形得到关于的方程,将换成e解关于e的方程即可.
变式1　已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是椭圆的上顶点.若△F1BF2为等腰直角三角形,求椭圆的离心率.
[处理建议]　同例2的解题思路,强化求离心率的关键点.
[规范板书]　解　根据题意可得b=c,即b2=c2,所以a2-c2=c2,即a2=2c2,所以e=.
[题后反思]　本题主要训练学生求离心率的思路和方法,并为下一个变式求离心率的范围作铺垫.
变式2　已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,B是椭圆上一点.若∠F1BF2为直角,求椭圆的离心率的范围.
[处理建议]　让学生思考,比较变式2与变式1的异同,加深对离心率的值和离心率的范围的认识.
[规范板书]　解法一　设BF1=m,BF2=n,则m+n=2a,m2+n2=4c2.
又m2+n2≥,所以4c2≥2a2,所以e2≥,所以e≥.又0解法二　因为在椭圆上当点B为短轴的端点时,点B对两焦点的张角最大,设A是短轴的另一个端点,则∠F1AF2≥90°,所以b≤c,即a2-c2≤c2,所以e∈.
[题后反思]　求离心率的范围除了要寻求a,b ( http: / / www.21cnjy.com ),c之间的关系外,还需要找到不等关系.建立不等关系的基本方式有:①直接得到a,b,c之间的不等关系;②利用基本不等式找到线段之间或基本量之间的不等关系;③椭圆上点的横、纵坐标的取值范围,利用|x0|≤a,|y0|≤b(有界性),得到不等关系;④利用焦半径的取值范围是[a-c,a+c],得到不等关系.
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　(变式3)
变式3　如图,F1,F2分别是椭圆+=1(a>2)的左、右焦点,如果在椭圆上存在一点P,使∠F1PF2=120°,求a的取值范围.
[处理建议]　本题和变式2的解决方法完全相同,在时间允许的情况下可以让学生动手独立用两种方法完成,也可以作为课后练习.
[规范板书]　解法一　设PF1=m,PF2=n,则m+n=2a.因为∠F1PF2=120°,
所以=-,即=-,4a2-2mn-4c2=-mn,所以mn=4b2.
因为(m+n)2≥4mn,则4a2≥16b2,
所以2a≥4b,即a≥2b,
所以a≥4,即a∈[4,+∞).
解法二　设B为椭圆短轴的一个端点,根据∠F1BF2≥120°,于是有a≥2b=4,即a∈[4,+∞).
[题后反思]　本题旨在帮助学生进一步掌握对焦 ( http: / / www.21cnjy.com )半径的处理方式以及椭圆上的点对两焦点的张角的最大值的理解和应用.特别强调是对两焦点的张角而不是对长轴两端点的张角.
*【例3】　已知P为椭圆+=1(a>b>0)上任意一点(异于顶点),椭圆短轴的两个端点分别是B1,B2.若直线PB1,PB2分别与x轴交于点M,N,求证:OM·ON为定值.
[处理建议]　本题有一定难度 ( http: / / www.21cnjy.com ),旨在让学生接触解析几何中的定值问题,课堂中能将上述2例讲清并给足学生充足时间做好课堂练习,教学目标就已经完成.
[规范板书]　证明　设点P的坐标 ( http: / / www.21cnjy.com )为(x0,y0),由题意不妨设B1(0,-b),B2(0,b),则直线PB1的方程为(y0+b)(x-x0)-x0(y-y0)=0,直线PB2的方程为(y0-b)(x-x0)-x0(y-y0)=0.
因为y0≠±b,分别令y=0,得xM=,xN=-.
所以OM·ON=|xM·xN|==.
因为+=1,所以b2=a2(b2-),
故OM·ON=a2为定值.
[题后反思]　本例属于椭圆中的定值问题,根据椭圆的几何性质,充分利用点在椭圆上及椭圆的方程来解决问题,进一步理解用方程解决几何问题的思想.
二、 课堂练习
1.若椭圆的焦距、短轴长、长轴长组成一个等比数列,则椭圆的离心率为.
提示　由题意得ac=b2,所以ac=a2-c2,所以=1-,解得e==.
2.已知椭圆的焦距为2,离心率不小于,则它的长轴长的取值范围是(2,4].
提示　由题意得c=1,e=≥,所以a≤2.又a>c=1,所以2a∈(2,4].
3.已知F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1且垂直于x轴的直线与椭圆交于A,B两点.若以AB为直径的圆恰好过点F2,求椭圆的离心率.
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　(第3题)
解　如图,设F1(-c,0),则A,所以AF1=.因为以AB为直径的圆恰好过点F2,所以2c=,即b2=2ac,所以a2-c2=2ac,两边同时除以a2,整理得e2+2e-1=0,解得e=-1.
4.已知F2是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,O为坐标原点,椭圆上存在一点P,使PF2=OF2,则椭圆的离心率的取值范围是.
提示　由题意知c≥a-c,所以a≤2c,所以e=≥.又e<1,所以e∈.
三、 课堂小结
1.椭圆几何性质的简单应用.
2.如何求椭圆的离心率及离心率的取值范围:
(1) 求离心率的关键是找出a,b,c之间的一个关系式;
(2) 求离心率的取值范围的关键是找出a,b,c之间的一个不等关系式,或根据题意先找不等的几何关系等.
第6课时　双曲线的标准方程
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　前面学习椭圆时研究了椭圆的哪些问题
解　椭圆的标准方程及椭圆的标准方程的求法,并利用椭圆的标准方程研究了椭圆的几何性质.
问题2　下面我们来学习双曲线,应该先研究什么问题呢
解　先研究双曲线的标准方程,如何求双曲线的标准方程呢 如何建立直角坐标系
二、 数学建构
1.标准方程的推导
设双曲线的焦距为2c,双曲线上任意一点到焦点F1,F2的距离的差的绝对值等于常数2a(c>a>0).
类比求椭圆标准方程的方法由学生来建立直角坐标系.
以直线F1F2为x轴,线段F1F2的中垂线 ( http: / / www.21cnjy.com )为y轴建立直角坐标系,则F1(-c,0),F2(c,0).设P(x,y)为双曲线上任意一点,由双曲线定义知|PF1-PF2|=2a,
即|-|=2a.[1]
在化简到(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)时,结合双曲线定义中2a<2c,可知c2-a2是正数,与椭圆的标准方程的化简中令b2=a2-c2对比,可以令b2=c2-a2 ,使化简后的标准方程简洁美观,最后得到焦点在x轴上的双曲线标准方程是-=1(其中a>0,b>0,c2=a2+b2).
若焦点在y轴上,则焦点是F1(0,-c),F2(0,c),由双曲线定义得|-|=2a,
与焦点在x轴上的双曲线方程|-|=2a比较,它们的结构有什么异同点
解　结构相同,只是字母x,y交换了位置.
故求焦点在y轴上的双曲线方程时,只需把焦点在x轴上的双曲线标准方中x,y互换即可,易得-=1(其中a>0,b>0,c2=a2+b2).
2.双曲线标准方程的特点
(1)双曲线的标准方程分焦点在x轴上和焦点在y轴上两种:
当焦点在x轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0);
当焦点在y轴上时,双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
(2)a,b,c有关系式c2=a2+b2成立,且a>0,b>0,c>0,其中a与b的大小关系可以为a=b,ab.
3.根据双曲线的标准方程判断焦点的位置
从椭圆的标准方程不难看出,椭圆的焦点位 ( http: / / www.21cnjy.com )置可由方程中含字母x2,y2项的分母的大小来确定,分母大的项对应的字母所在的轴就是焦点所在的轴,而双曲线是根据项的正负来判断焦点所在的位置,即x2项的系数是正的,那么焦点在x轴上;y2项的系数是正的,那么焦点在y轴上.
三、 数学运用
【例1】　求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)经过点A(0,2),B(2,-5);
(2)a=2,且经过点P(2,-5).[2] (见学生用书P25)
[处理建议]　类比椭圆标准方程的求 ( http: / / www.21cnjy.com )法,用待定系数法可分别设出焦点在x轴上和焦点在y轴上的椭圆的标准方程;也可直接设其方程为mx2+ny2=1(mn<0).[3]
[规范板书]　(1)解法一　设双曲线的方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则由条件可知解得
故所求双曲线的方程为-=1.
解法二　由题意可知a=2,且双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的方程为-=1.又双曲线过点(2,-5),代入解得b2=16,所以方程为-=1.
(2)①当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,由其经过点(2,-5),所以-=1,此方程无解,故焦点不可能在x轴上.
②当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,由其经过点(2,-5),所以-=1,所以b2=16,所以双曲线的方程为-=1.
综上,双曲线的方程为-=1.
[题后反思]　待定系数法是求双曲线标准方程的基本方法,需熟练掌握.采用待定系数法前需明确焦点的位置,若焦点位置不明,则往往需要分类讨论.
变式　求c=5,且经过点(3,4)的双曲线的标准方程.
[规范板书]　解　当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,则解得a2=45(舍去)或a2=5,所以b2=20;
当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,则解得a2=40(舍去)或a2=10,所以b2=15.
综上,双曲线的方程为-=1或-=1.
[题后反思]　还有其他的方法吗 类比椭圆中类似问题——双曲线的定义.
当焦点在x轴上时,焦点坐标为 (±5,0),所以2a=|2-4|=2,a2=5,b2=c2-a2=20,双曲线的方程为-=1;
当焦点在y轴上时,焦点坐标为(0,±5),所以2a=2,a2=10,b2=15,双曲线的方程为-=1.
【例2】　求下列动圆的圆心M的轨迹方程:
(1) 与☉C:(x+2)2+y2=2内切,且过点A(2,0);
(2) 与☉C1:x2+(y-1)2=1和☉C2:x2+(y+1)2=4都外切;
(3) 与☉C1:(x+3)2+y2=9外切,且与☉C2:(x-3)2+y2=1内切.[4] (见学生用书P26)
[处理建议]　根据两圆内切、外切的条件,找出相关线段之间的关系,再由圆锥曲线的定义确定点M的轨迹及轨迹方程.
[规范板书]　解　设动圆M的半径为r.
(1) 因为☉C与☉M内切,点A在☉C外,
所以MC=r-,MA=r,因此有MA-MC=,
所以点M的轨迹是以C,A为焦点的双曲线的左支,即M的轨迹方程是2x2-=1.
(2) 因为☉M与☉C1,☉C2均外切,
所以MC1=r+1,MC2=r+2,因此有MC2-MC1=1,
所以点M的轨迹是以C2,C1为焦点的双曲线的上支,即M的轨迹方程是4y2-=1.
(3) 因为☉M与☉C1外切,且☉M与☉C2内切,
所以MC1=r+3,MC2=r-1,因此MC1-MC2=4,
所以点M的轨迹是以C1,C2为焦点的双曲线的右支,即M的轨迹方程是-=1(x≥2).
[题后反思]　定义法是求双曲线标准方程的基本方法,需熟练掌握.
*【例3】　已知A,B两地相距800 m,一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2 s,设声速为340 m/s.
(1) 爆炸点应在什么样的曲线上
(2) 求曲线的方程.[5]
[处理建议]　引导学生联想双曲线的定义,并建立合适的直角坐标系.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[规范板书]　解　(1) 由声速 ( http: / / www.21cnjy.com )及A,B两处听到爆炸声的时间差,可知A,B两处与爆炸点的距离的差,因此爆炸点应位于以A,B为焦点的双曲线上.
因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.
(2)如图,建立直角坐标系xOy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB的中点重合.设爆炸点P的坐标为(x,y),
则PA-PB=340×2=680,即2a=680,a=340.
又AB=800,
所以2c=800,c=400,b2=c2-a2=44 400.
因为PA-PB=680>0,所以x>0.
故所求曲线的方程为-=1(x>0).
[题后反思]　解此类实际问题的关键是“ ( http: / / www.21cnjy.com )能根据条件联想、构造出合适的数学模型”,这种构造转化是以熟练掌握基础知识为前提的.对圆锥曲线而言,必须熟悉其相关定义.定义既是建构数学知识的基石,也是解答数学问题的重要工具.因此,在研究某些几何或实际问题时,若能活用双曲线的定义,则不仅可深化学生对双曲线概念的理解,还能提高其分析问题、解决问题的能力.本例亦可扩展为“确定爆炸点的位置”,参见本课时学生用书(课后练习本)第12题.
四、 课堂练习
1.写出下列曲线的焦点坐标:
(1)-=1;(2)3x2-y2=1;
(3)-=-1;(4)+=1;
(5)3x2+y2=12.
解　(1)(±,0);(2);
(3)(0,±4);(4)(±1,0);(5)(0,±2).
2.根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2);
(2)过点P1(3,-4)和P2 ,且中心在坐标原点,焦点在坐标轴上.
解法一　(1)设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)若双曲线的焦点在y轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).
因为点P1,P2在双曲线上,
所以 解得
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
若双曲线的焦点在x轴上,设其标准方程为-=1(a>0,b>0).
依题意得此时无解.
综上,双曲线的标准方程为-=1.
解法二　(1) 设双曲线的方程为-=1(16-k>0,4+k>0),
所以-=1,
解得k=4.
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2) 设双曲线的方程为mx2-ny2=1(mn>0).
依题意得解得
故所求双曲线的标准方程为-=1.
3.已知关于x,y的二次方程(4- ( http: / / www.21cnjy.com )m)x2+(16-m)y2=m2-14m+48表示双曲线,则m的取值范围是{m|4提示　由题意知解得
所以44.若椭圆+=1与双曲线x2-=1有相同的焦点,且椭圆与双曲线交于点P,求椭圆及双曲线的方程.
解　两方程联立消去y,得x2=m+b,代入P,得·=m+b,即8m=b.又椭圆与双曲线有相同的焦点,所以10-m=1+b,即解方程组得故椭圆的方程为+y2=1,双曲线的方程为x2-=1.
五、 课堂小结
1. 双曲线的标准方程和标准方程的求法(定义法、待定系数法).
2. 在解决双曲线的有关问题时可与椭圆中的相应问题进行类比来解决.
第7课时　双曲线的几何性质(1)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　前面的课根据椭圆的标准方程研究了椭圆的哪几种性质
解　范围、对称性、顶点、离心率.
问题2　椭圆+=1(a>b>0)的具体几何性质是什么
问题3　现在能根据双曲线的标准方程研究双曲线的几何性质吗
二、 数学建构
类比椭圆+=1(a>b>0)的几何性质,探讨双曲线-=1(a>0,b>0)的几何性质:范围、对称性、顶点、离心率.(程序是:学生:自我思考→得出初步结论→小组讨论→得出满意结论→回答所得结论(与大家交流);教师:启发诱导→点拨释疑→补充完善)
(1)范围:观察双曲线的草图,可以直观看出曲线在坐标系中的范围.
双曲线在两条直线x=±a的外侧.注意:从双曲线的方程如何验证
从标准方程-=1可知-1=,由此双曲线上点的坐标都适合不等式≥1,即x2≥a2,|x|≥a,即双曲线在两条直线x=±a的外侧.
(2)对称性:双曲线-=1关于每个坐标轴和原点都是对称的,坐标轴是双曲线的对称轴,原点是双曲线-=1的对称中心,双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.
(3)顶点:双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点.
在双曲线-=1的方程中,对称轴是x轴、y轴,所以令y=0得x=±a,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0),它们是双曲线-=1的顶点,线段A1A2叫做双曲线的实轴,它的长为2a,a叫做双曲线的实半轴长.令x=0,没有实根,因此双曲线和y轴没有交点.我们定义点(0,±b)为虚轴的端点B1,B2,它们的连线段B1B2叫做双曲线的虚轴,它的长为2b,b叫做双曲线的虚半轴长.实轴与虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
等轴双曲线的性质:①渐近线方程为y=±x;②渐近线互相垂直;③离心率e=.等轴双曲线可以设为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时焦点在x轴上,当λ<0时焦点在y轴上.
列表:
　　　　方程性质　　　　 +=1(a>b>0) -=1(a>0,b>0)
范围 -a≤x≤a,-b≤y≤b x≥a或x≤-a,y∈R
对称性 关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心) 关于坐标轴、原点都是对称的(对称轴、对称中心)
顶点 四个,A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b) 两个,A1(-a,0),A2(a,0)
离心率 e=<1,反映椭圆圆扁程度 e=>1
　　注意:在作图时,我们常常把虚轴的两个端点画上(为确定渐近线),但要注意它们并非是双曲线的顶点.
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　(图1)
(4)渐近线的发现与论证:根据双曲线的上述性质,能较为准确地把双曲线-=1画出来吗 (能)
通过列表描点,能把双曲线的顶点及附近的点,比较精确地画出来,但双曲线向何处伸展就不很清楚.
我们能较为准确地画出曲线y=,这是为什么 (因为当双曲线伸向远处时,它与x轴、y轴无限接近)此时,x轴、y轴叫做曲线y=的渐近线.
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(图2)
对渐近线并不陌生,例如:
直线x=kπ+(k∈Z)是正切函数y=tanx图象的渐近线.
双曲线有没有渐近线呢 如果有,又该是怎样的直线呢
引导猜想:在研究双曲线范围时,由双曲线的标准方程-=1可解出y=±=±x.　
当x无限增大时,就无限趋近于零,也就是说,这时双曲线y=±x与直线y=±x无限接近.[1]
这使我们有理由猜想直线y=±x为双曲线的渐近线.
直线y=±x恰好是过实轴端点A1,A2,虚轴端点B1,B2,作平行于坐标轴的直线x=±a,y=±b所成的矩形的两条对角线,那么,如何证明双曲线上的点沿曲线向远处运动时,与渐近线越来越接近呢
显然,根据双曲线的对称性,只要考虑双曲线在第一象限就可以了.
学生探讨证明方法,教师可给予适当提示,寻找不同的证明方法,找学生板演其推理过程,对于基础好一点的学生,可能会得到如下三种证法.[2]
证法一　如图2,设M(x0,y0)为第一象限内双曲线-=1上的任一点,则y0=,M(x0,y0)到渐近线ay-bx=0的距离为
d===(x0-)=·.点M向远处运动,随着x0增大,d就逐渐减小,点M就无限接近于直线y=x.
证法二　如图3,设Q为渐近线上与M(x0,y0)有相同横坐标的点,于是yQ=x0.
MQ=yQ-y0=(x0-)=·=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MQ逐渐减小.
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(图3)　
证法三　如图3,设P为渐近线上与M(x0,y0)有相同纵坐标的点,于是
xP=y0,x0=a=,MP=x0-xP=(-y0)=·=.点M沿曲线向远处运动,随着x0增大,MP逐渐减小.
解决了双曲线向远处伸展时的趋向问题,从而可较准确地画出双曲线,比如画双曲线-=1,先作双曲线矩形,画出其渐近线,就可随手画出比较精确的双曲线.[3]
(5)离心率:与椭圆一样,双曲线的焦距与实轴长的比值e=叫做双曲线的离心率.
显然,e>1.a,b,c,e间的关系:e=>1,c2=a2+b2,e====.
由图3可知,双曲线夹在两条渐近线y=±x之间,这说明的大小决定了双曲线开口的大小.越大,即e=越大,双曲线的开口就越大;越小,即e=越小,双曲线的开口就越小.
(6)画双曲线的草图具体做法是:画出 ( http: / / www.21cnjy.com )双曲线的渐近线,先确定双曲线的顶点及第一象限内任意一点的位置,然后过这两点并根据双曲线在第一象限从渐近线下方逐渐接近渐近线的特点画出双曲线的一部分,最后利用双曲线的对称性画出完整的双曲线.
三、 数学运用
【例1】　(教材第43页例1)求双曲线-=1的实轴长、虚轴长、焦距、焦点坐标、离心率及渐近线方程.[4] (见学生用书P27)
[处理建议]　先请学生回顾双曲线的标准方程的结构特点,得出a,b,c的值,再对照几何性质解题.
[规范板书]　解　由题意知a2=4,b2=3,所以a=2,b=,c==.
所以实轴长为2a=4,虚轴长为2b=2,焦距为2c=2,焦点坐标为(±,0),离心率为,渐近线方程为y=±x.
[题后反思]　学生易将实轴长与实半轴长、虚轴长与虚半轴长混淆,此处需提醒学生注意.
【例2】　根据下列条件,求双曲线的标准方程:
(1)实轴长为4,且过点A(2,-5);
(2)与双曲线-=1有共同渐近线,且过点(-3,2);
(3)与椭圆x2+4y2=64共焦点,且一条渐近线方程为x-y=0.[5] (见学生用书P28)
[处理建议]　先请学生回顾椭圆的标准方程的基本求法,然后类比得出求双曲线标准方程的基本方法.
[规范板书]　解　(1)当焦点在x轴上时,设双曲线的方程为-=1,又其过点A(2,-5),代入无解;
当焦点在y轴上时,设双曲线的方程为-=1,又其过点A(2,-5),代入解得b2=16.
所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)解法一　双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,
令x=-3,则y=±4,因为2<4,所以点(-3,2)在射线y=-x(x≤0)及x轴负半轴之间,所以双曲线焦点在x轴上.
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0),
则
解得
所以双曲线的方程为-=1.
解法二　设双曲线的方程为-=λ(λ≠0),
所以-=λ,
所以λ=,
所以双曲线的方程为-=1.
(3)解法一　由于双曲线的一条渐近线方程为x-y=0,则另一条渐近线方程为x+y=0.
可设双曲线的方程为x2-3y2=λ(λ>0),即-=1,
由椭圆方程+=1可知,c2=48.
又双曲线与椭圆共焦点,则λ+=48.
所以λ=36,故所求双曲线的方程为-=1.
解法二　由双曲线与椭圆共焦点,可设双曲线的方程为-=1(16<λ<64).
由渐近线方程x-y=0可得,=.
所以λ=28.
故所求双曲线的方程为-=1.
[题后反思]　(1) 渐近线方程为±=0的双曲线方程可表示为-=λ(λ≠0);
(2)与双曲线-=1共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0).当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上.与双曲线-=1共焦点的双曲线方程为-=1(a2+k>0,b2-k>0),与椭圆+=1(a>b>0)共焦点的双曲线方程可设为-=1(b2变式　求离心率为,虚半轴长为2的双曲线的标准方程.
[规范板书]　解　由题意知b=2,e=,所以=,所以a2=,
所以所求双曲线的方程为-=1或-=1.
　(例3(1))
　　
*【例3】　双曲线型自然通风塔的外形, ( http: / / www.21cnjy.com )是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面(如图(1)),它的最小半径为12 m,上口半径为13 m,下口半径为25 m,高为55 m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程.(结果精确到1 m)[6]
[处理建议]　建立合适的 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系是解本题的关键.需着力启发学生注意: 通风塔有三个特殊的截口圆:上口、下口、最小的一个截口,最小截口圆的圆心是双曲线的中心,直径是双曲线的实轴.因此,以最小截口直径所在直线为x轴,圆心为坐标原点建立直角坐标系,则双曲线的方程具有最简单的形式.
[规范板书]　解　如图(2),建立 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系xOy,使小圆的直径AA'在x轴上,圆心与坐标原点重合.这时,上、下口的直径CC',BB'平行于x轴,且CC'=26,BB'=50.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3(2))
　　　
设双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
由题及建立的坐标系可知点C的坐标为(13,y),点B的坐标为(25,y-55).因为点B,C在双曲线上,
所以-=1, ①
且-=1. ②
由②得 y= (负值舍去).
代入①,得-=1,
解得b≈25.
所以所求双曲线的方程为-=1.
[题后反思]　本例是一个 ( http: / / www.21cnjy.com )有实际意义的曲线问题.解这类问题时,需要做好以下两点:(1)选择适当的坐标系;(2)将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表达出来.
四、 课堂练习
1.已知双曲线的实轴长与虚轴长之和等于其焦距的倍,且一个顶点坐标为(0,2),则双曲线的标准方程是-=1.
提示　由条件可知双曲线的焦点在y轴上,a=2,则2+b=c.又c2=4+b2,所以(2+b)2=8+2b2,即b2-4b+4=0,解得b=2.
2.以直线y=±x为渐近线,一个焦点坐标是(0,2)的双曲线方程为-x2=1.
提示　由条件可知双曲线的焦点在y轴上,因此可设双曲线的方程为-x2=λ2(λ≠0),因此4λ2=4,解得λ2=1,故所求双曲线的方程为-x2=1.　
3.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的,则该双曲线的渐近线方程是x±y=0.
提示　双曲线-=1(a>0,b>0)的一个焦点到一条渐近线的距离为b.由=,得b=c,即b2=(a2+b2),可解得=,因此其渐近线方程为x±y=0.
4.若双曲线tx2-y2+1=0的一条渐近线与直线2x+y+1=0垂直,则双曲线的离心率是 　.
提示　双曲线tx2-y2+1=0的渐近线方程为y=± x,所以 =,所以t=,所以所求双曲线的方程为y2-=1.
五、 课堂小结
1. 双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率等).
2. 已知双曲线的渐近线方程为± =0时,可设双曲线的方程为- =λ(λ>0时焦点在x轴上,λ<0时焦点在y轴上).
第8课时　双曲线的几何性质(2)
　 教学过程
上节课,我们以焦点在x轴上的双曲线的标准方程-=1为例,研究了双曲线的简单几何性质,请完成以下的表格:
双曲线 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形 ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
定义 平面内,到两个定点F1,F2的距离 ( http: / / www.21cnjy.com )之差的绝对值为常数2a(0<2a标准方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
几何性质 实轴长 2a
虚轴长 2b
焦距 2c
基本量的关系 a2+b2=c2
离心率
范围 x≥a或x≤-a,y∈R y≥a或y≤-a,x∈R
顶点坐标 (±a,0) (0,±a)
焦点坐标 (±c,0) (0,±c)
渐近线方程 y=±x y=±x
对称性 对称中心 (0,0)
对称轴 x轴、y轴
双曲线上的点到中心距离的取值范围 (从此以下本节课研究后补充)
双曲线一支上的点到该侧焦点的距离的取值范围
双曲线一支上的点到异侧焦点的距离的取值范围
　　对照椭圆,双曲线还有几个最值需要我们研究(先说出你的猜想,然后再作判断或证明).
一、 数学运用
【例1】　(教材第43页例2)已知双曲线的中心在坐标原点,焦点在y轴上,焦距为16,离心率为,求双曲线的方程.[1] (见学生用书P29)
[处理建议]　本题的基本量a,b,c之间的关系比较清晰,引导学生首先求出a,b,然后判断焦点的位置.
[规范板书]　解　根据题意知2c=16,所以c=8.又e==,所以a=6,所以b2=c2-a2=28.
又因为中心在坐标原点,焦点在y轴上,所以双曲线的方程为-=1.
[题后反思]　本例是一道简单的、 ( http: / / www.21cnjy.com )典型的由双曲线的几何性质确定其标准方程的问题,熟练掌握双曲线标准方程的基本量a,b,c,e间的关系是解此类问题的关键.
变式1　已知双曲线的焦点在y轴上,焦距为16,渐近线方程为y=±x,求双曲线的方程.
[规范板书]　解　因为双曲线的焦点在y轴上,所以可设双曲线的方程为-=1,则渐近线方程为y=±x.
因为渐近线方程为y=±x,所以=,即a2=3b2.又a2+b2=c2=64,解得
故双曲线的方程为-=1.
变式2　已知双曲线的焦距为16,渐近线方程为y=±x,求双曲线的标准方程.
[规范板书]　解　①若双曲线的焦点在x轴上,则可设双曲线的方程为-=1,所以渐近线方程为y=±x.
因为渐近线方程为y=±x,所以=,所以b2=3a2.又a2+b2=c2=64,所以
故双曲线的方程为-=1.
②若双曲线的焦点在y轴上,则可设双曲线的方程为-=1,则渐近线方程为y=±x.
因为渐近线方程为y=±x,所以=,所以a2=3b2.又a2+b2=c2=64,解得
故双曲线的方程为-=1.
综上,所求双曲线的方程为-=±1.
变式3　求一条渐近线方程为3x+4y=0,且经过点的双曲线的标准方程.
[规范板书]　解　依题可设双曲线的方程为-=λ(λ≠0).又双曲线经过点,所以-=λ,解得λ=1,因此双曲线的标准方程为-=1.
【例2】　已知双曲线-=1(0[处理建议]　利用点到直线的距离公式寻找关于a,c的关系式,即可求得离心率e.
[规范板书]　解　因为直线l过(a,0),(0,b)两点,
所以直线l的方程为bx+ay-ab=0.
由原点到直线l的距离为c,得=c,故3c2(a2+b2)=16a2b2.
将b2=c2-a2代入上式,整理得3c4-16a2c2+16a4=0.
两边同除以a4后令=x,得3x2-16x+16=0,
解得x=4或x=.
因为e==,故e=2或e=,
又由条件0,故e=舍去,所以e=2.
[题后反思]　在方程的求解过程中适当换元可以简化计算,另外要关注题中的约束条件0*【例3】　已知F1,F2是双曲线-y2=1的两个焦点,点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,求△F1PF2的面积.[2]
[处理建议]　请学生类比椭圆相关问题进行分析(双曲线的定义结合余弦定理).
[规范板书]　解　设PF1=m,PF2=n,则易得mn=2.
故=mn=1.
[题后反思]　若把90°换成60°呢
方法不变,同样应用双曲线的定义结合余弦定理可得易得mn=4.
故=mnsin60°=.
此类问题属双曲线的焦点三角形问题,可类比椭圆相关问题来解决,其解决方法为:在△F1PF2中,应用双曲线的定义及余弦定理(或正弦定理).
二、 课堂练习
1.已知曲线+=1,当m∈[-2,-1]时,该曲线的离心率e的取值范围是 　.
提示　e=,m∈[-2,-1].
2.求中心在坐标原点,对称轴为坐标轴,一个焦点坐标是(-4,0),一条渐近线方程是3x-2y=0的双曲线的方程及离心率.
解　因为双曲线的一条渐近线方程是3x-2y=0,
所以可设双曲线的方程为-=λ(λ≠0).
因为双曲线的一个焦点坐标是(-4,0),
所以由-=1(λ>0),得4λ+9λ=16.
所以λ=.
所以双曲线方程为-=1,
离心率e==.
3.已知双曲线-=1的一条渐近线方程为y=x,则该双曲线的离心率e为或.
提示　分m>0,n>0和m<0,n<0两种情况讨论.
4.已知F是双曲线x2-a2y2= ( http: / / www.21cnjy.com )a2(a>0)的右焦点,P为双曲线右支上一点,则以PF为直径的圆与圆x2+y2=a2的位置关系是　外切　.
提示　如图,设A为双曲线的左焦点,B为PF的中点,则2OB=AP=PF+2a,即OB=PF+a,圆心距等于两个圆的半径之和.
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(第4题)
　　
三、 课堂小结
1.双曲线的离心率、渐近线方程之间的关系.
2.双曲线的其他问题与椭圆类似,应将椭圆、双曲线的类似问题结合在一起来理解、掌握.
第9课时　抛物线的标准方程
　 教学过程
一、 问题情境
回顾椭圆、双曲线标准方程的推导过程,结合抛物线的定义,提出问题: 如何建立直角坐标系来推导抛物线的方程
二、 数学建构
1.回顾抛物线的定义:平面 ( http: / / www.21cnjy.com )内与一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.定点F叫做抛物线的焦点,定直线l叫做抛物线的准线.
注:(1) 定点F不在这条定直线l上;
(2) 若定点F在这条定直线l上,则点的轨迹是什么
2.推导抛物线的标准方程
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(图1)
如图1,建立直角坐标系,设KF=p(p>0),那么焦点F的坐标为,准线l的方程为x=-.设抛物线上的点M(x,y),则有=,化简得 y2=2px(p>0).
方程y2=2px(p>0)叫做抛物线的标准方程.
它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点是F,准线方程是x=- .
一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,如图,分别建立直角坐标系.设出KF=p(p>0),则图象对应的抛物线标准方程依次如下:
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(图2)
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(图3)
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(图4)
如图2,x2=2py(p>0),焦点:F,准线l:y=-;
如图3,y2=-2px(p>0),焦点:F,准线l:x=;
如图4,x2=-2py(p>0),焦点:F,准线l:y=.
不同学生会有不同的坐标系的建立方法,因此也可以将四种不同的坐标系的建立方法都写出后,分别请同学上黑板完成方程的推导.
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(图5)
由第一个图得到焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为y2=2px;
由第二个图得到焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为y2=-2px;
由第三个图得到焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为x2=2py;
由第四个图得到焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为x2=-2py.
这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程列表如下:
图　形 标准方程 焦点坐标 准线方程
图1 y2=2px(p>0) x=-
图3 y2=-2px(p>0) x=
图2 x2=2py(p>0) y=-
图4 x2=-2py(p>0) y=
　　问题1　这四个方程都是抛物线的标准方程,那么根据方程能否区分焦点的位置 (在x轴上,还是y轴上 在正半轴上,还是负半轴上 )
引导学生得出结论:一次定轴(焦点所在的坐标轴),符号定向.
(1)焦点在x轴上时,标准方程为y2=2mx,焦点坐标为,准线方程为x=-;
(2)焦点在y轴上时,标准方程为x2=2my,焦点坐标为,准线方程为y=-.
m中含有“符号”,|m|表示焦点到准线的距离.
三、 数学运用
【例1】　已知抛物线的方程为y=2ax2(a<0),写出它的焦点坐标及准线方程.[1] (见学生用书P31)
[处理建议]　先引导学生将抛物线的一般方程化为标准方程,再让学生根据定义自主求解.
[规范板书]　解　将抛物线方程变形为x2=,因为a<0,所以它表示的曲线是对称轴为y轴、开口向下的抛物线,其标准方程为x2=-2py(p>0),即2p=-,得=-,故其焦点坐标为,准线方程为y=-.
[题后反思]　解题时,应首先检查所给方程是否为标准形式,只有将方程化为标准形式之后,才能顺利确定相关的基本量.
【例2】　若抛物线的焦点F在x轴上,点A(m,-3)在抛物线上,且AF=5,求该抛物线的标准方程.[2] (见学生用书P32)
[处理建议]　引导学生先用待定系数法设出抛物线的方程,再根据其定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离,最后由点在抛物线上,联立方程求解.
[规范板书]　解　设抛物线的方程为y2=2px或y2=-2px(p>0).
当y2=2px(p>0)时,由点A(m,-3)在抛物线上,得(-3)2=2pm,即m=. ①
再由抛物线的定义,得m+=5. ②
联立方程①②,得+=5,即p2-10p+9=0,解得p=1或9,此时抛物线的标准方程为y2=2x或y2=18x.
同理可求得y2=-2x或y2=-18x.
故所求抛物线的标准方程为y2=2x或y2=-2x或y2=18x或y2=-18x.
[题后反思]　本例采用待定系数法来求抛物线的标准方程,需熟练掌握.
【例3】　已知F是抛物线y2=x的焦点,A,B是抛物线上两点,且AF+BF=3,求线段AB的中点M到y轴的距离. (见学生用书P32)
[处理建议]　引导学生利用抛物线的定义将与焦点有关的线段长度问题进行转化,再结合图形求解.
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　(例3)
[规范板书]　解　因为y2=x,所以p=.如图,过点M作MM1⊥准线l于点M1,交y轴于点N,过点A作AA1⊥准线l于点A1,过点B作BB1⊥准线l于点B1.于是有MN=MM1-=(AA1+BB1)-=(AF+BF)-=×3-×=.
[题后反思]　部分与抛物线焦点有关的线段长度问题利用定义转化后,才能顺利建立关系式.
*【例4】　平面上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,求动点P的轨迹方程.
[处理建议]　先让学生根据题意直接求解,再根据抛物线的定义引导学生用定义法求解.
[规范板书]　解法一　(直译法)设点P(x,y),则由题意可得-|x|=1,
化简整理得y2=2|x|+2x.
当x≤0时,y=0;当x>0时,y2=4x.
综上,动点P的轨迹方程为y2=4x和y=0(x≤0).
解法二　(定义法)①由题意可得 ( http: / / www.21cnjy.com )平面上的动点P到定点F(1,0)的距离与P到x=-1的距离相等,再根据抛物线的定义可知,动点P的轨迹方程为y2=4x;
②射线y=0(x≤0)上的动点P到定点F(1,0)的距离比P到y轴的距离大1,也符合题意.
综上,动点P的轨迹方程为y2=4x和y=0(x≤0).
[题后反思]　采用定义法求轨迹方程时,往往需要兼顾曲线的一般性与特殊性,否则极易漏解.画草图来帮助分析不失为好的解题策略.
变式　动点P到点A(0,8)的距离比到直线l:y=-7的距离大1,求动点P的轨迹方程.
[规范板书]　解　由题意可得动点P到点A(0 ( http: / / www.21cnjy.com ),8)的距离与到直线l:y=-8的距离相等,因此点P的轨迹为以A为焦点,直线y=-8为准线的抛物线,故所求的轨迹方程为x2=32y.
四、 课堂练习
1.抛物线x=4ay2的焦点坐标是.
2.已知抛物线经过点P(4,-2),则其标准方程为y2=x或 x2=-8y .
提示　①焦点在x轴上,设抛物线的方程 ( http: / / www.21cnjy.com )为y2=mx,将点的坐标代入方程得到m=1;②焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=my,将点的坐标代入方程得到m=-8.
3.与椭圆4x2+5y2=20有相同的焦点,且顶点在坐标原点的抛物线的方程是y2=±4x .
4. 已知抛物线的顶点在 ( http: / / www.21cnjy.com )坐标原点O,焦点F在x轴上,过F作垂直于x轴的直线l与抛物线交于A,B两点.若△OAB的面积等于4,求此抛物线的标准方程.
解　当抛物线的焦点在x轴的正半轴上时,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),易得FA=FB=p,所以·2p·=4,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x;同理,当抛物线的焦点在x轴的负半轴上时,抛物线的方程为y2=-4x.故所求抛物线的方程为y2=±4x.
五、 课堂小结
1.抛物线的四种形式,及其分别对应的图形、标准方程、焦点坐标、准线方程.
2.抛物线的标准方程的求 ( http: / / www.21cnjy.com )法是“先定型,后计算”.所谓“定型”是指确定类型,也就是确定抛物线的焦点所在的坐标轴是x轴还是y轴,是正半轴还是负半轴,从而设出相应的标准方程;“计算”就是指根据题目的条件求出方程中参数p的值.
第10课时　抛物线的几何性质(1)
　 教学过程
一、 问题情境
上节课,我们学习了抛物线的定义和标准 ( http: / / www.21cnjy.com )方程,下面请同学回忆抛物线的定义及其标准方程,以及和方程对应的焦点坐标、准线方程.(板书时,有意识填在表格中)
在研究标准方程的同时得到抛物线的焦半径公式,即抛物线上的任意一点P(x,y)到焦点的距离.(对应填在表格中)
对照前面椭圆和双曲线的研究,下面我们研究什么呢 ——抛物线的简单几何性质.(板书)
二、 数学建构
1.抛物线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、准线)
标准方程 图形 顶点坐标 对称轴 焦点坐标 准线方程
y2=2px(p>0) (0,0) x轴 x=-
y2=-2px(p>0) (0,0) x轴 x=
x2=2py(p>0) (0,0) y轴 y=-
x2=-2py(p>0) (0,0) y轴 y=
　　注意强调p的几何意义:表示焦点到准线的距离.
经过抛物线y2=2px(p>0)的焦点F且垂直于x轴的直线和抛物线交于M1,M2两点,线段M1M2叫做抛物线的通径.不难求得抛物线的通径长为2p.
2.与椭圆、双曲线的几何性质比较,抛物线的几何性质有下列特点:
(1)抛物线可以无限延伸,但无渐近线.
(2)抛物线只有一个顶点、一条对称轴;没有对称中心,它不是中心对称图形;离心率为1,是固定的.
(3)抛物线的开口大小与离心率无关,与p的大小有关,p越大则开口越大,反之则开口越小.
(4)抛物线的焦点与准线分别在顶点的两侧,且它们到顶点的距离相等,均为.
三、 数学运用
【例1】　过抛物线y2=2mx的焦点F作x轴的垂线交该抛物线于A,B两点,且AB=6,求m的值. (见学生用书P33)
[处理建议]　引导学生通过通径的定义自主解题.
[规范板书]　解　由题意可知AB为抛物线的通径,且AB=6,
所以2|m|=6,即m=±3.
[题后反思]　本例由抛物线的几何性质来求参数的值,其中涉及抛物线的通径,属基础题.
【例2】　过抛物线y=4x2的焦点F作 ( http: / / www.21cnjy.com )直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若y1+y2=5,求AB的长. (见学生用书P34)
[处理建议]　利用抛物线的定义将过焦点的弦进行转化,从而使问题得以解决.
[规范板书]　解　因为y=4x2,即x2=y,故2p=,即p=.
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(例2)
如图,过点A作AA1垂直准线于点A1,过点B作BB1垂直准线于点B1.
于是AB=AF+BF=AA1+BB1=y1++y2+=y1+y2+p=5+=.
[题后反思]　凡是求过抛物线焦点的弦的问题,均可利用抛物线的定义进行转化.
【例3】　(教材第49页例2)汽车前灯的 ( http: / / www.21cnjy.com )反光曲面与轴截面的交线是抛物线,灯口直径为197 mm,反光曲面的顶点到灯口的距离为69 mm.由抛物线的性质可知,当灯泡安装在抛物线的焦点处时,经反光曲面反射后的光线是平行光线.为了获得平行光线,应怎样安装灯泡 (结果精确到1 mm)(见学生用书P34)
[处理建议]　引导学生自行读题,分析题设条件,建立适当的坐标系,独立完成问题,旨在培养学生的阅读理解能力和仔细审题的意识.
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　(例3)
[规范板书]　解　如图,在车灯的一个轴截面上建立直角坐标系xOy,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),灯应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69,过C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197,所以点A的坐标为.将点A的坐标代入方程y2=2px,解得p≈70.3,它的焦点坐标为(35,0).因此,灯泡应安装在距顶点约35 mm处.
[题后反思]　本例是一个有实际意义的抛 ( http: / / www.21cnjy.com )物线应用问题.解此类问题时,需解决两个问题:(1) 建立适当的坐标系;(2) 将实际问题中的条件借助坐标系用数学语言表示出来.
*【例4】　已知A,B为抛物线y2=4x上的点,F为抛物线的焦点.若=2,求直线AB的方程.[1]
[处理建议]　显然,线段AB为过焦点的弦,运用抛物线的定义将AB转化为AM+BN,再根据题设条件求解直角梯形的底角.
[规范板书]　解　当直线AB的倾斜角为锐角时,设抛物线的准线为l.
因为向量,同向,所以AF=2BF,所以设BF=m,则AF=2m.
作AM⊥l于M,作BN⊥l于N.
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(例4)
由抛物线的定义可知,AM=2m,BN=m.
过点B作BC⊥AM于C,在Rt△ABC中,cos∠CAB==,tan∠CAB=2.
由抛物线对称性可知,直线AB的方程是y=±2(x-1),
即2x±y-2=0.
[题后反思]　本题借助于抛物线的定义将过焦点 ( http: / / www.21cnjy.com )的弦长等问题转化到直角梯形中予以解决.抛物线的定义揭示了抛物线上动点到焦点的距离与其到准线距离之间的数量关系.灵活运用定义,往往可以简化运算.特别是在解决有关焦点弦问题时,其思路简洁、明了,值得关注.
四、 课堂练习
1.已知抛物线的顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,焦点在直线3x-4y-12=0上,则此抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.
提示　若焦点在x轴上,则由解得即焦点坐标为(4,0),此时抛物线的方程为y2=16x;若焦点在y轴上,则由解得即焦点坐标为(0,-3),此时抛物线的方程为x2=-12y.综上,所求抛物线的方程为y2=16x或x2=-12y.
2. 已知抛物线型拱桥的拱顶离水面2 m,水面宽4 m.当水面宽4 m时,水面下降了　2　m.
提示　以拱顶为坐标原点,水平直线为x轴,建立直角坐标系.设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则点(2,-2)在抛物线上,解得p=1,故抛物线的方程为x2=-2y.当x=2时,y=-4,故水面下降了2 m.
3.有一个正三角形的两个顶点在抛物线y2=2x上,另一个顶点是坐标原点,则这个三角形的边长是　12　.
提示　由对称性,设正三角形为△AOB,A(x1,y1),B(x1,-y1).由∠AOx=30°,得=tan30°=,即y1=x1,代入y2=2x得x1=6,所以OA==12.
4.已知抛物线的顶点在坐标原点,焦点在y轴上,抛物线上的点P(-3,m)到焦点的距离为5,求此抛物线的方程.
解　设抛物线的方程为x2=2ay(a≠0),
则准线方程为y=-.
由题意得
解得或或
或
即得抛物线的方程为x2=2y,x2=-2y,x2=18y,x2=-18y.
五、 课堂小结
1. 本节课学习了抛物线的几何性质.
2. 借助于抛物线的定义,将抛物线上的点到焦点的距离转化为该点到准线的距离,从而解决焦点弦等问题.
第11课时　抛物线的几何性质(2)
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　若点A的坐标为(3, ( http: / / www.21cnjy.com )2),F为抛物线y2=2x的焦点,P是抛物线上一动点,求当PA+PF取得最小值时点P的坐标.[1] (见学生用书P35)
[处理建议]　显然,无法直接求PA ( http: / / www.21cnjy.com )+PF的最小值,问题需要转化.引导学生先画图、分析、讨论,再借助于抛物线的定义将PF转化为PQ,最终由“点到直线的最短距离是垂线段”解决问题.
[规范板书]　解　如图,过点P向准线作垂线,垂足为Q,则由抛物线的定义可知PF=PQ,
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(例1)
所以PA+PF=PA+PQ.
于是,问题转化为求当PA+PQ取得最小值时点P的坐标,即在抛物线上求一点P,使其到点A和准线的距离之和最小.
由点到直线距离的最小性可知,其最小值是过点A向准线x=-作垂线(垂足为B)时垂线段AB的长度.
所以当PA+PF最小时,点P的纵坐标为2,从而得点P的坐标是(2,2).
[题后反思]　借助于抛物线的定义将PF等量转化为PQ是求解本题的关键,这样的转化在抛物线问题中随处可见,需掌握.
变式　已知P是抛物线y2=4x上一个动点,F是其焦点.若点B的坐标为(3,2),求PB+PF的最小值.
[规范板书]　解　如图,过点P作PC垂直于准线,垂足为C,则由抛物线的定义可知PC=PF,所以PB+PF=PB+PC.
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(变式)
过B作BQ垂直于准线,垂足为Q,则由点到直线的最短距离是垂线段知,PB+PC≥BQ=4.故其最小值为4.
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(例2)
【例2】　求抛物线y2=4x上一动点P到点A(-1,1)的距离与它到直线x=-1的距离之和的最小值. (见学生用书P36)
[处理建议]　先利用抛物线的定义将抛物线上点到准线的距离转化为该点到焦点的距离,再根据图形求解.
[规范板书]　解　设动点P到直线x=-1的距离为d,抛物线的焦点为F,则由抛物线的定义知PF=d,F(1,0).
于是有PA+d=PA+PF≥AF==,
当且仅当P,A,F三点共线时“=”成立,因此距离之和的最小值为.
[题后反思]　先利用定义将距离进行转化,再利用不等式PA+PF≥AF解决最值问题.
【例3】　在抛物线y2=2x上求一点P,使其到直线l:x+y+4=0的距离最小,并求最小距离.[2] (见学生用书P36)
[处理建议]　先引导学生画图、分析,再对比讨论各种解法.
[规范板书]　设P(x,y)为抛物线y2=2x上任意一点,点P到l的距离为d,则d=.
解法一　令t=x+y,设直线x+y=t与抛物线y2=2x有公共点.
由得y2+2y-2t=0.
令Δ≥0,可得t≥-,所以x+y+4≥,故d≥=,即dmin=.当且仅当x+y=-时,d取最小值.
由解得
即当点P的坐标为时,d有最小值.
解法二　由平面区域知识可得x+y+4>0,故d=.
又x=,故d==≥=.
当y=-1时,x=.
即当点P的坐标为时,d有最小值.
解法三　设直线l':x+y+m=0与抛物线相切,则平行线l'与l间的距离即为抛物线上的点到直线l的最小距离.
由得y2+2y+2m=0,所以Δ=4-8m=0,得m=.
此时直线l'的方程为x+y+=0,l与l'的距离为d==.
由得
即当点P的坐标为时,d有最小值.
[题后反思]　解法一,通过对 ( http: / / www.21cnjy.com )x,y的二元一次代数式的换元,将其转化为直线,进而将条件转化为“保证直线与抛物线有公共点”,降低了思维难度;解法二,充分利用抛物线方程的结构特点,对点到直线的距离公式进行消元,将其转化为一元函数问题;解法三,利用几何图形的直观性,借助于切线解决问题.上述三种方法在处理圆锥曲线上动点到定直线距离的最小值问题时,应用广泛,需认真体会、熟练掌握.
*【例4】　定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移动,求线段AB的中点M横坐标的最小值,并求出此时点M的坐标.[3]
[处理建议]　本题可引导学生回归抛物线定义,借助定义转化问题.
[规范板书]　解　如图,设F是抛物线y2=x的焦点,连结AF,BF,过点A,B,M分别作AC,BD,MN垂直于准线,垂足分别为C,D,N,则MN=(AC+BD).
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(例4)
根据抛物线定义得AC=AF,BD=BF,
所以MN=(AF+BF)≥.
设点M的横坐标为x,则MN=x+,
所以x=MN-≥-=.
等号成立的条件是弦AB过点F,由于|AB|>2p=1,所以AB过焦点是可能的.
此时点M到y轴的最短距离是,即AB的中点M的横坐标为.
当F在AB上时,设A,B的纵坐标分别为y1,y2,则y1y2=-p2=-,
从而(y1+y2)2=++2y1y2=2×-=2,
即y1+y2=±,
所以此时AB的中点M的纵坐标为±.
所以点M的坐标为时,点M到y轴的距离最小,最小值为.
[题后反思]　(1) 在直角坐标系中,常将点 ( http: / / www.21cnjy.com )的坐标与相应线段的长(或距离)相互转化.如本题,将点M的横坐标转化为点M到y轴的距离是解本题的关键.
(2)本题利用抛物线定义构造直角梯形,将该 ( http: / / www.21cnjy.com )梯形的上、下底转化为抛物线上的点A,B到焦点F的距离,从而利用几何不等式(三角形中两边之和大于第三边)研究其最小值.
二、 课堂练习
1.已知抛物线y2=6x,定点A(2,3),F为焦点,P为抛物线上一动点,则PF+PA的最小值为 　.
提示　准线方程为x=-,最小值为.
2.已知O是坐标原点,F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,A是抛物线上一点,与x轴正方向的夹角为60°,则||=p .
提示　如图,设FA=m,则m=2(m-p),即m=2p,所以CF=p,故OA===p.
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(第2题)
3.已知A(0,-4),B(-3,2),抛物线y2=8x上的点到直线AB的最短距离为 　.
提示　直线AB:2x+y+4=0,设2x+y+t=0与抛物线y2=8x相切,消去x得y2+4y+4t=0,故Δ=0,得t=1,所以d==.
4.已知点P(4,2)在抛物线y2=4x的内部,F是抛物线的焦点,在抛物线上求一点M,使MP+MF最小,并求此最小值.
解　如图,过M作准线l的垂线MA,垂足为A,则由抛物线的定义有MF=MA,所以MP+MF=MP+MA.
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(第4题)
显然当P,M,A三点共线时,MP+MF最小.
此时,点M的坐标为(1,2),最小值为5.
三、 课堂小结
从代数或几何角度来研究抛物线的相关最值问题.
第12课时　圆锥曲线的共同性质
　 教学过程
一、 问题情境
我们知道,平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于1的动点P的轨迹是抛物线.
当这个比值是一个不等于1的常数时,动点P的轨迹又是什么曲线呢
二、 数学建构
问题1　试探讨这个常数分别是和2时,动点P的轨迹.
方案1　利用尺规作出几个特殊的点,从而猜想轨迹.
方案2　利用几何画板制作课件演示.
可以得到:当常数是时,动点P的轨迹是椭圆;当常数是2时,动点P的轨迹是双曲线.[1]
问题2　由上面问题的解决,同学可以猜想得出什么样的结论
解　平面内到一个定点F的距离和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于e的动点P的轨迹是圆锥曲线.
当0当e>1时,它表示双曲线;
当e=1时,它表示抛物线.
问题3　以上的结论是否正确呢 如何证明
解　当e=1时,结论在抛物线标准方程的推导中 ( http: / / www.21cnjy.com )已经得到证明,那么其他两种情况如何通过方程来证明呢 (思考片刻继续引导)关键在于如何建立坐标系才能使得轨迹的方程为标准方程.(思考片刻继续引导)请同学们阅读教材第55页的思考后回答下面问题.
问题4　当0解　建立适当的平面直角坐标系,使定点F(c,0),定直线l的方程为x=.设点P(x,y),则==e,化简得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)(*).因为e=∈(0,1),所以a2-c2>0,所以可令b2=a2-c2,这样方程(*)可化为+=1(a>b>0).这就证明了,当0由此可见,当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(a>c>0)时,这个点的轨迹是椭圆,方程为+=1(a>b>0, b2=a2-c2),这个常数就是椭圆的离心率.
类似地,我们可以得到:当点P到定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数(c>a>0)时,这个点的轨迹是双曲线,方程为-=1(a>0,b>0,其中b2=c2-a2),这个常数就是双曲线的离心率.
这样,圆锥曲线可以统一定义为平面内到一个定点F和到一条定直线l(F不在l上)的距离的比等于常数e的点的轨迹.
当0当e>1时,它表示双曲线;
当e=1时,它表示抛物线.
其中e是圆锥曲线的离心率,定点F是圆锥曲线的焦点,定直线l是圆锥曲线的准线.
由前面的研究可知:
点F(c,0),直线l:x=分别为椭圆+=1(a>b>0)的焦点、准线;
点F(c,0),直线l:x=分别为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点、准线.
根据图形的对称性可知,椭圆和双曲线都有两条准线,中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆+=1(a>b>0)或双曲线-=1(a>0,b>0),与焦点F1(-c,0),F2(c,0)对应的准线方程分别为x=-,x=.
三、 数学运用
【例1】　求下列曲线的焦点坐标、准线方程:
(1)25x2+16y2=400;　(2)x2-8y2=32;
(3)y2=16x.[2] (见学生用书P37)
[处理建议]　引导学生将曲线方程转化为标准形式,再让学生根据定义求解.
[规范板书]　解　(1) 由25x2+16y2=400,得+=1,因此此椭圆的焦点在y轴上,且a=5,b=4,所以c==3,故曲线25x2+16y2=400的焦点坐标为(0,±3),准线方程为y=±.
(2)由x2-8y2=32,得-=1,因此此双曲线的焦点在x轴上,且a=4,b=2,所以c==6,故曲线x2-8y2=32的焦点坐标为(±6,0),准线方程为x=±.
(3)由y2=16x,得p=8,故曲线y2=16x的焦点坐标为(4,0),准线方程为x=-4.
[题后反思]　要求圆锥曲线的准线方程、焦点坐标,必须先将曲线方程化为标准形式.
变式　已知椭圆+=1的一条准线方程为y=,求实数m的值.
[规范板书]　解　由题意可知,a2=m(m>9),b2=9,所以c=.由一条准线方程为y=可知=,解得m=25或m=.
【例2】　已知椭圆+=1上一点P到右准线的距离是2b,求点P到椭圆左焦点的距离.[3] (见学生用书P38)
[处理建议]　引导学生根据圆锥曲线的统一定义,将点到准线的距离转化为其到相应焦点的距离.
[规范板书]　解法一　由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF2=3b.由椭圆的定义可知,PF1=4b-3b=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.
解法二　由题意知,该椭圆的左、右焦点分别是(-b,0),(b,0),离心率为.设该椭圆的左、右焦点分别为F1,F2.因为椭圆两准线间的距离为b,所以P到左准线的距离为b,则由圆锥曲线的统一定义可知,=,所以PF1=b,即该点到椭圆左焦点的距离为b.
[题后反思]　椭圆和双曲线分别 ( http: / / www.21cnjy.com )有两个焦点和两条准线,在解题过程中要注意对应,即左焦点对应左准线,右焦点对应右准线(或上焦点对应上准线,下焦点对应下准线).
*【例3】　已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与C相交于A,B两点.若=3,求斜率k的值.
[规范板书]　解　设直线l为椭圆的右准线,e ( http: / / www.21cnjy.com )为离心率.如图,分别过A,B作AA1,BB1垂直于l,A1,B1为垂足,过B作BE⊥AA1于E.
由圆锥曲线的共同性质得AA1=,BB1=,由=3,得AA1=,所以cos∠BAE====,所以sin∠BAA1=,所以tan∠BAA1=,即k=.
( http: / / www.21cnjy.com )
　(例3)
*【例4】　若椭圆+=1内有一点P(1,-1),F为其右焦点,椭圆上有一点M使MP+2MF最小,则点M的坐标为.
提示　因为椭圆的离心率为,则2MF就等于点M到右准线的距离d,所以MP+2MF=MP+d.由点到直线的最短距离是垂线段得可以得到M.
[题后反思]　先用圆锥曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )的统一定义将MP+2MF的最小值转化为MP+d(d为点M到右准线的距离)的最小值,再根据“点到直线的距离中垂线段最短”将问题解决.这是处理圆锥曲线中与曲线上的动点到焦点(或准线)的距离有关的最值问题的常用方法.
四、 课堂练习
1. 若抛物线的顶点在原点,准线与椭圆+=1的准线重合,则此抛物线的方程为y2=±16x.
提示　由题意知椭圆的准线方程为x=±=±4,所以=±4,即p=±8