《新学案》2015年春高中数学苏教版选修1-1名师导学：第三章 导数及其应用（含解析）

第 3　 章 导数及其应用　　　
第1课时　平均变化率
　 教学过程
一、 问题情境
某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:
时　间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
　　“气温陡增”这一句生活用语用数学方法如何刻画
二、 数学建构
问题1　“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么 (形与数两方面)[1]
问题2　如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度 [2]
解　通过讨论,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.
概念理解
1. 具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用==,应注意分子、分母的匹配.
2. 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.
巩固概念
问题3　回到问题1中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.
解　从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.25.
从形的角度:比较斜率大小.[3]
三、 数学运用
【例1】　设函数y=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:
(1) 自变量的增量Δx;
(2) 函数的增量Δy;
(3) 函数的平均变化率. (见学生用书P41)
[规范解答]　解　(1) Δx=1.1-1=0.1.
(2) Δy=f(1.1)-f(1)=1.12-1-(12-1)=0.21.
(3) ==2.1
[题后反思]　求平均变化率时关键在于分清Δx与Δy分别指的是什么.
变式　甲、乙两人投入相同的资金经营某商品,甲用5年时间获利10万元,乙用5个月时间获利2万元,如何比较和评价甲、乙两人的经营成果
[处理建议]　学生讨论、判断,并且由学生给出理由或举出实例.
[规范板书]　解　甲、乙获利的平均变化率分别为,,因为<,且甲、乙投入相同的资金,所以可以认为乙的经营成果较好.
【例2】　(教材第69页例4)已知函数f ( http: / / www.21cnjy.com )(x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率. (见学生用书P42)
[处理建议]　可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.
[规范板书]　解　函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2.
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2.
函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2.
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.
[题后反思]　一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于斜率k.
变式　已知某质点的运动方程为s=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于　5　.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
【例3】　如图,路灯距地面8m,一身高1. ( http: / / www.21cnjy.com )6m的人沿路灯下方的直路以84m/min的速度从A点走向B点,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)
[处理建议]　先由学生讨论,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,侧重于理解人影长度的变化速率的意义.
[规范板书]　解　84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,行走时间为x.根据相似三角形的性质,有=,得y=x.人影长度的变化速率v===.
[题后反思]　几何类应用题需先观察图形,结合图形求解.
*【例4】　已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.
[处理建议]　引导学生利用平均变化率的概念解题.
[规范板书]　解　在[1,4]上的平均变化率为=10.
在[1,2]上的平均变化率为=6.
在[1,1.5]上的平均变化率为=5.
变式　已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.
[规范板书]　解　在[1,2]上的平均变化率为=-.
*【例5】　求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
[处理建议]　本题与前面几个例题的区别在于由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.
[规范板书]　解　当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为
=3+3x0Δx+Δx2.
变式　求函数f(x)=在区间内的平均变化率.
[规范板书]　解　===.
四、 课堂练习
1. 国庆黄金周七天期间,本市某大型商场的 ( http: / / www.21cnjy.com )日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场国庆黄金周期间日营业额的平均变化率是　400　万元/天.
提示　利用平均变化率的概念.
2. 函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是　5　.
提示　一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.
3. 函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为　2　.
提示　由=3,得m=2.
4. 已知正方形原来的边长 ( http: / / www.21cnjy.com )为4m,现在边长以2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t到t+1正方形的面积增加了　20+8t　m2.
提示　S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t (m2).
五、 课堂小结
1. 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.
2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.
第2课时　曲线上一点处的切线
　 教学过程
一、 问题情境
平均变化率近似地刻画了曲线在某个区间上 ( http: / / www.21cnjy.com )的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 (点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法,如下图:
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
问题1　观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象
( http: / / www.21cnjy.com )
　(图2)
解　曲线在点P附近看上去几乎成了一 ( http: / / www.21cnjy.com )条直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.
问题2　“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置吗 又为什么说是“几乎”
解　点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.
问题3　怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢 以图3为例.
解　随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[2]
概念生成
动画演示,观察点Q的运动、直线PQ的运动、直线PQ斜率的变化,生成概念.
( http: / / www.21cnjy.com )(图3)　　 ( http: / / www.21cnjy.com )(图4)
Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;
当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.[3]
问题4　对比平均变化率这一近似刻画 ( http: / / www.21cnjy.com )曲线在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么 我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢
由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即为切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[4]
三、 数学运用
【例1】　用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线. (见学生用书P43)
(例1图(1))　　　　(例1图(2))
(1) 初中平面几何中圆的切线的定义是什么
(2) 图(1)中和图(2)中切线与曲线公共 ( http: / / www.21cnjy.com )点的个数分别是多少 公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论 你能否用函数曲线的切线举出反例
[处理建议]　让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.
[规范板书]　解　(1) 与圆只有一个公共点的直线称为圆的切线.
(2) 图(1)中1个.图(2)中2个.不适用.
[题后反思]　强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[5]
变式　曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点
[规范板书]　解　2个.
【例2】　(教材第71页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线的斜率. (见学生用书P44)
[处理建议]　为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.
[规范板书]　解　设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为kPQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.
[题后反思]　本题教学手法 ( http: / / www.21cnjy.com )可以多样化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.
变式　已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.
[规范板书]　解　设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为kPQ==,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.
【例3】　已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l的方程. (见学生用书P44)
[处理建议]　应用平行直线的斜率关系和距离公式.
[规范板书]　解　==-.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.
设直线l的方程为4x+y+c=0,由题得=,解得 c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.
[题后反思]　进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1) 求差商;(2) 当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3) 曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).　
变式　若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.
[处理建议]　本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.
[规范板书]　解　设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.
由 可求得a=-.
*【例4】　试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
[处理建议]　本题应设出切点(x0,),求出相应的切线方程,再根据此方程过点P(3,5),利用待定系数法求出x0.
[规范板书]　解　设所求切线的切点坐标为(x0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.
[题后反思]　学生解答本题时会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6.
变式　求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.
[规范板书]　解　设所求切线的切点坐标为(x0,),==3+3x0Δx+Δx2,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在
切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=3(-1-x0),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.
[题后反思]　学生解答本题时会误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.
四、 课堂练习
1. 在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出点P处的切线的有　②④　.(填序号)
(第1题)
2. 求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.
解　设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为kPQ==.当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.
3. 已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),且过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.
解　利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)处的切线斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.
五、 课堂小结
1. 知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.
2. 思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想割线逼近切线.
3. 总结我们经历过的“以直代曲”、“无限逼近”的生活实例和数学实例.[6]
第3课时　瞬时速度与瞬时加速度
　 教学过程
一、 问题情境
在物理学中,运动物体的位 ( http: / / www.21cnjy.com )移与所用时间的比称为平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢 先看实例.
跳水运动员在从10m跳台腾空到入水的过 ( http: / / www.21cnjy.com )程中,不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]
二、 数学建构
问题1　求出运动员在2s到2.1s内(即t∈[2,2.1])的平均速度.
解　==-13.59m/s.
问题2　利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.
解　t∈[2,2.01],=-13.149;t∈[2,2.001],=-13.1049;t∈[2,2.0001],=-13.10049;t∈[1.9,2],=-12.61;t∈[1.99,2],=-13.051;t∈[1.999,2],=-13.0951.
问题3　观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么 [2]
解　-13.1.
概念生成
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移s(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
问题4　类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念
解　一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]
三、 数学运用
【例1】　(教材第74页例2)设一辆轿 ( http: / / www.21cnjy.com )车在公路上做加速直线运动,假设ts时的速度为v(t)=t2+3,求t=t0 时轿车的加速度a. (见学生用书P45)
[处理建议]　利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.
[规范板书]　解　在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为====2t0+Δt,当Δt→0时,→2t0,即a=2t0.
所以,当t=t0 时轿车的瞬时加速度为2t0.
变式　物体运动的速度v(单位:m/s)与时间t(单位:s)的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.
解　在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为===8+Δt,当Δt→0时,→8,即a=8.
所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8 m/s2.
【例2】　一个做直线运动的物体,其位移S(单位:m)与时间t (单位:s)的关系是S=3t-t2. (见学生用书P46)
(1) 求此物体的初速度;
(2) 求此物体在t=2时的瞬时速度;
(3) 求t=0到t=2时的平均速度.
[处理建议]　初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.
[规范板书]　解　在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为===(3-2t0)-Δt,当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.
(1) 初速度v(0)=3.
(2) t=2时的瞬时速度v(2)=-1.
(3) t=0到t=2时的平均速度==-2.
[题后反思]　本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.
变式　一个质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t的单位为s,S的单位是m.
(1) 计算[t,t+Δt]内的平均速度v;
(2) 求当t=0,1,2,3时刻的瞬时速度.
[规范板书]　解　(1) 在t到t+Δt的时间内,质点的平均速度为===8-8t-4Δt.
(2) 由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以ts时质点的瞬时速度为(8-8t) m/s.
t=0时的瞬时速度为8 m/s;t ( http: / / www.21cnjy.com )=1 时的瞬时速度为0 m/s;t=2 时的瞬时速度为-8 m/s;t=3 时的瞬时速度为-16 m/s.
【例3】　某容器里装有1 L纯酒精,如果以0.1L/s的速度往容器里注水,求酒精浓度在t时刻的变化率. (见学生用书P46)
[处理建议]　本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义做铺垫.
[规范板书]　解　酒精浓度c随时间t变化的关系式为c(t)==,
在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为===.当Δt→0时,→.
所以,t 时刻酒精的瞬时变化率为.
[题后反思]　通过本题的讲解,让学生进一步体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.
变式　设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为库仑,t的单位为s,求t=3时的电流强度.
[处理建议]　某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.
[规范板书]　解　在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.当Δt→0时,→4t+3.
所以t=3时的电流强度为15A.
*【例4】　一物体的运动方程是S=5t+t2(位移S的单位:m;时间t的单位:s),则下述四个结论中正确的是①②④.(填序号)
①物体在时间段[0,1]内的平均速度是 m/s;
②物体在t=1时的瞬时速度是8 m/s;
③物体在时间段0 s到1 s内经过的位移是8m;
④物体在时间段0 s到1 s内经过的位移是 m.
[处理建议]　本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.
变式　若做直线运动的物体的速度v(单位: ( http: / / www.21cnjy.com )m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3时的瞬时加速度是6 m/s2.　
提示　前3s内的平均加速度是=3 m/s2.　
在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度是===2t+Δt,当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.
[题后反思]　易误以为前3 s内的平均加速度是= m/s2.
四、 课堂练习
1. 一质点沿直线运动,其运动方程为 ( http: / / www.21cnjy.com )y=-2x2+1(位移y的单位为m,时间x的单位为s),则该质点从x=1到x=2的平均速度为　-6　 m/s.
提示　==-6 (m/s).
2. 已知一物体的运动方程是S=t3+2t(位移S的单位为m,时间t的单位为s),则瞬时速度为14 m/s的时刻是　2　s.
提示　在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为
===3tΔt+3t2+2.当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t的瞬时速度为3t2+2.由题意,3t2+2=14,解得t=2 s.
3. 某物体的运动方程为S=t4-3(位移S的单位为m,时间t的单位为s),则t=5时该物体的瞬时速度为125 m/s.
提示　在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为
===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.所以,t s时刻的瞬时速度为t3,由题意,当t=5时,瞬时速度为125 m/s.
五、 课堂小结
1. 平均速度的定义.
2. 瞬时速度的定义.
3. 求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]
第4课时　瞬时变化率——导数(1)
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率. (见学生用书P47)
[处理建议]　让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:①求差商f(x0+Δx)-f(x0);②当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;③曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.
[规范板书]　解　==
-.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.
[题后反思]　本题应注意分子有理化思想的应用,再用逼近思想处理.
变式　已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.
[规范板书]　解　设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为kAB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,kAB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.
【例2】　物体自由落体的运动方程为S=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求该物体在t=3时的瞬时速度.(见学生用书P48)
[处理建议]　瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.
[规范板书]　解　取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.
[题后反思]　如何求t=3时的瞬时加速度呢
变式　设一物体在时间t(单位s)内所经过的路程为S(单位m),并且S=4t2+2t-3,试求物体在运动开始及第5s末的瞬时速度.
[规范板书]　解　在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,
当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻ts的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.
【例3】　如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.
(见学生用书P48)
[处理建议]　曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x,x3+x-10).
==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1.由题意,3x2+1=4,得x=1或-1.所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.
变式　已知曲线y=x2上过某一点的切线满足下列条件,求此点坐标.
(1) 平行于直线y=4x-5;
(2) 垂直于直线2x-6y+5=0;
(3) 与x轴成135°倾斜角.
[处理建议]　利用导数的概念及两直线的位置关系.
[规范板书]　解　设P(x0,y0) 是满足条件的点.
==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.
(1) 因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4,得x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2) 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1,得x0=-,y0=,即P.
(3) 因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,则2x0=-1,得x0=-,y0=,即P-,.
*【例4】　设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.
[处理建议]　利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程求解.
[规范板书]　解　利用导数的定义可得f ( http: / / www.21cnjy.com )'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.
变式4　已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.
[处理建议]　利用导数的几何意义:函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率.
[规范板书]　解　由题意, 得.
二、 课堂练习
1. 如图,直线l是过曲线上P, Q两点的直线,当点Q沿曲线向点P靠近时,直线l的斜率　变大　.(填“变大”或“变小”)
( http: / / www.21cnjy.com )(第1题)
2. 已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为　1　.
提示　将点(2,8)代入切线方程可得a=1.
3. 质点沿x轴运动,设距离为 ( http: / / www.21cnjy.com )x(单位:m),时间为t(单位:s),运动方程为x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为10t0+5Δt m/s;当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0 m/s;当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为10 m/s2;当t=t0时,质点的瞬时加速度为10 m/s2.
提示　当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt;
当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0m/s;
当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10 m/s2;　
当t=t0时,质点的瞬时加速度为10m/s2.
三、 课堂小结
1. 求曲线上一点处的切线的方法.
2. 运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.
3. 导数的定义及几何意义.
第5课时　瞬时变化率——导数(2)
　 教学过程
一、 问题情境
跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程 ( http: / / www.21cnjy.com )中,不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢
二、 数学建构
问题1　高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示
解　如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
问题2　将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢
解　如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.
概念生成
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]
巩固概念
问题3　导数f'(x0)的几何意义是什么
解　导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
问题4　通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤.
解　① 求Δy;② 求;③当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.
问题5　f'(x)是不是一个函数
解　若函数y=f(x)在区间(a,b)内任 ( http: / / www.21cnjy.com )一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.
问题6　运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么 运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么
解　瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数;瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.
问题7　如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)
解　f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.
三、 数学运用
【例1】　(教材第75页例3)已知 f(x)=x2+2.
(1) 求f(x)在x=1处的导数;
(2) 求f(x)在x=a处的导数. (见学生用书P49)
[处理建议]　本题要求学生表述格式规范化.
[规范板书]　解　(1) 因为===2+Δx,当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.
(2) 因为=
==2a+Δx,当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.
[题后反思]　巩固强化导数的 ( http: / / www.21cnjy.com )内涵,使学生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.
变式　求函数y=在x=2处的导数.
[规范板书]　解　因为===-,当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.
【例2】　在曲线y=x3上点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.
(见学生用书P50)
[处理建议]　曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.
[规范板书]　解　设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.
由题意,3x2=3,得x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.
[题后反思]　本题利用导数的几何意义求解.
【例3】　已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P50)
[处理建议]　学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,本题应给予学生充分的时间思考.
[规范板书]　解　因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.
[题后反思]　f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.
变式　已知成本c与产量q的函数关系为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).
[规范板书]　解　==3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.
[题后反思]　c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.
*【例4】　已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).
[处理建议]　本题利用导数的概念进行推导.
[规范板书]　解　=
.当Δx→0时,无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.
变式　已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).
[规范板书]　解　=2x+1.
当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.
四、 课堂练习
1. 若函数y=f(x)在点x∈(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法中正确的是　④　.(填序号)
①在x=x0处的导数为f'(x0);
②在x=1处的导数为f'(1);
③在x=-1处的导数为f'(-1);
④在x=0处的导数为f'(0).
2. 设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=　1　.
提示　f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.
3. 函数f(x)=2x2+3x的导数f'(x)=　4x+3　.
提示　因为==4x+3+2Δx.
当Δx→0时,→4x+3,即f'(x)=4x+3.
五、 课堂小结
1. 导数的几何意义.
2. 导数的物理意义.
3. 由定义求导数的步骤.
第6课时　常见函数的导数
　 教学过程
一、 问题情境
前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢
二、 数学建构
问题1　回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤
解　给定函数y=f(x),计算=,当Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).
问题2　根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.
①f(x)=kx+b(k,b为常数).
解　因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.
特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.
②f(x)=x2.
解　因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.
③f(x)=x3.
解　因为===
3x2+3x(Δx)+(Δx)2,当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.
④f(x)=.
解　因为===,当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.
⑤f(x)=.
解　因为===,当Δx→0时,→,所以f'(x)=
.
问题3　你能根据问题2中的①~⑤发现什么结论
几个常用函数的导数:
(kx+b)'=　k　(k,b为常数);
C'=　0　(C为常数);
x'=　1　;
(x2)'=　2x　;
(x3)'=3x2;
'=-;
()'=.
对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出):
(xα)'=αxα-1(α为常数);
(ax)'=axlna(a>0,且a≠1);
(lox)'=logae=(a>0,且a≠1);
(ex)'=　ex　;
(ln x)'= 　;
(sinx)'=cosx;
(cosx)'=-sinx.[1]
三、 数学运用
【例1】　求曲线y=cosx在点处切线的方程.(见学生用书P52)
[处理建议]　利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.
[规范板书]　解　y'=-sinx,所以在点处切线的斜率k=-sin=-,即切线方程为x+2y-π-1=0.
[题后反思]　求一些常见函数的导数可直接利用公式.
变式　求曲线y=在点处的切线的方程.
[规范板书]　y'=-,故点处的切线斜率为-,则切线方程为y-=-(x-2),即x+4y-4=0.
【例2】　若直线y=4x+b是函数y=x2图象上的一条切线,求b及切点坐标. (见学生用书P52)
[处理建议]　设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x0,).由f'(x0)=2x0=4,得x0=2,所以切点坐标为(2,4),故b=-4.
[题后反思]　本题应抓住切点的双重性:点既在曲线上也在切线上.
变式　若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x0,a).由f'(x0)=3a=3,得a=1.又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,将a=1代入,解得x0=-,则a=4.
【例3】　在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线xln4-y+3=0.(见学生用书P52)
[处理建议]　利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x0,),由f'(x0)=ln2=ln4,得x0=1,即该点坐标为(1,2).
[题后反思]　过一点有切线,但该点不一定是切点;但本题有其特殊性,切线只可能与曲线有一个交点,所以对于本题,这个点即为切点.
变式　在抛物线y=x2上求一点P,使点P到直线x-y-1=0的距离最短,并求出这个最短距离.
[规范板书]　解　设切点P的坐标为(x0,).由f'(x0)=2x0=1,得x0=,则曲线在点P处切线方程为4x-4y-1=0,所以它与已知直线的距离d==,所以点P的坐标为,d=.
四、 课堂练习
1. 已知四个命题:①曲线y=x3在原点处没有切线;②若函数f(x)=,则f'(x)=0;③速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数;④函数y=x5的导数值恒非负.其中正确的命题是　③④　.(填序号)　
提示　根据导数的概念及常见函数的导数公式解答.
2. 设f(x)=sinx,则f'(x)=cosx,f'= 　.
提示　利用常见函数的导数公式求解.
3. 若质点的运动方程是S=(S的单位为m,t的单位为s),则质点在t=3时的速度为- m/s.
提示　速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数,所以v(t)=-4t-5,则质点在t=3时的瞬时速度为-m/s.
五、 课堂小结
1. 熟记常见函数导数公式.
2. 灵活应用导数解决相关问题.
第7课时　函数的和、差、积、商的导数
　 教学过程
一、 问题情境
1. 分别求下列函数的导数.
(1) y=x2;(2) y=x;(3) y=x2+x.
你能从以上计算结果中发现什么结论
解　前两个函数的和(即第三个函数)的导数,等于这两个函数导数的和.
2. 你能证明上述结论吗
解　因为==2x+Δx+1,当Δx→0时,→2x+1,所以y'=2x+1.
3. 两个函数的差的导数,等于这两个函数导数的差吗
[题后反思]　从具体函数入手,利用导数 ( http: / / www.21cnjy.com )的定义求出两个函数和的导数,在此基础上,作出猜想,给出两个函数和、差的求导法则,学生容易理解.两个函数的和的求导法则的推导,不要求学生掌握,可指导学生课外探究.
二、 数学建构
问题1　已知f'(x),g'(x),则[f(x)+g(x)]'等于什么 [1]
解　一般地,函数和的求导法则:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和.
问题2　可以怎么验证大家呈现的结论是否正确呢 [2]
问题3　你能证明吗 [3]
问题4　已知f'(x),g'(x),则[f(x)-g(x)]'[f(x)g(x)]',等于什么
函数的和(差)的求导法则　两个函数的和 ( http: / / www.21cnjy.com )(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
函数的积的求导法则　两个函数的积的导数, ( http: / / www.21cnjy.com )等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).
函数的商的求导法则　两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即=(g(x)≠0).
对法则的理解:
(1) 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数的和、差、积、商不一定不可导.
(2) [Cf(x)]'=Cf'(x)(C为常数).
(3) 求导法则的证明不作要求.
三、 数学运用
【例1】　(教材第83页例2)求下列函数的导数:
(1) f(x)=x2+sinx;
(2) g(x)=x3-x2-6x+2. (见学生用书P53)
[处理建议]　先由学生写出解题过程,让其他学 ( http: / / www.21cnjy.com )生点评.教师在学生的交流中,了解学生的思维过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误,同时强调书写格式的规范.
[规范板书]　解　(1) f'(x)=(x2+sinx)'=(x2)'+(sinx)'=2x+cosx.
(2) g'(x)==3x2-3x-6.
[题后反思]　根据函数的和(差)求导法则的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数,再用导数公式进行运算.
变式　求y=2x3-3x2+5x-4的导数.
[规范板书]　解　y'=(2x3-2x2+5x-4)'=6x2-6x+5.
【例2】　(教材第83页例3)求下列函数的导数:
(1) h(x)=xsinx;
(2) S(t)=. (见学生用书P54)
[规范板书]　解　(1) h'(x)=(xsinx)'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx.
(2) S'(t)====.
[题后反思]　例2中的第(2)题还有其他解法:S'(t)==1-.
例2第二种解法可由学生的探究活动产生,教师作适当的点拨.
归纳根据函数的积商的求导法则求导的一般步骤,同时注意说明解法不唯一.要求学生正确运用公式.
变式1　用两种方法求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.
[规范板书]
解法一　y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9.
解法二　y=6x3-4x2+9x-6,y'=18x2-8x+9.
变式2　求y=的导数.
[规范板书]　解　y'==
=.
变式3　求y=xlnx的导数.
[规范板书]　解　y'=x' ln x+x(ln x)'=ln x+1.
变式4　求y=在点x=3处的导数.
[规范板书]
解　y'====,所以y'===-.
【例3】　已知函数f(x)的导数是f'(x),则函数[f(x)]2的导数为2f'(x).这个结论对吗
(见学生用书P54)
[处理建议]　可将[f(x)]2看作f(x)·f(x),再利用函数积的求导法则求[f(x)]2的导数.
[规范板书]　解　{[f(x)]2}'=[f(x)f(x)]'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)≠2f'(x),所以上述结论错误.
[题后反思]　本题的实质是复合函数的求导,有兴趣的同学可以研究一下复合函数求导的规律.
四、 课堂练习
1. 函数y=x2cosx的导数y'=2xcosx-x2sinx.
2. 函数y=的导数y'=.
3. 若曲线y=2ax2+1过点(,3),则此曲线在该点的切线方程是4x-y-1=0.
4. 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a=　1　,b=　1　.
五、 课堂小结
1. 函数的和、差、积、商的求导法则.
2. 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.
3. 求导法则的证明不作要求.
第8课时　单调性
　 教学过程
一、 问题情境
导数和单调性都是对函数上升和下降的变化趋势的刻画,导数与函数的单调性有什么关系呢
二、 数学建构
问题1　由函数f(x)在区间(a,b) ( http: / / www.21cnjy.com )上是增函数,对于任意x1,x2∈(a,b),当x1解　导数大于0与函数递增密切相关.
问题2　函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,你又能推出什么结论呢
解　导数小于0与函数递减密切相关.
问题3　怎样用数学语言刻画导数的正负与函数的单调性的关系 [3]
解　一般地,我们有以下结论:对于函数y= ( http: / / www.21cnjy.com )f(x),如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.
问题4　你能结合具体函数图象说明上述结论吗
解　以y=x2-4x+9为例.
从函数的图象可以看出:在区间(2, ( http: / / www.21cnjy.com )+∞)上,切线的斜率为正,函数y=f(x)在区间(2,+∞)上为增函数;在区间(-∞,2)上,切线的斜率为负,函数y=f(x)在区间(-∞,2)上为减函数.
问题5　函数f(x)在某区间上单调递 ( http: / / www.21cnjy.com )增(或单调递减),那么在该区间上必有f'(x)>0或f'(x)<0吗 上述条件和结论对调后,还正确吗 如果不正确,你能举出反例吗 [4]
概念理解
1. 如果某个区间内恒有y'=0,则f(x)为常数.
2. y'>0(或y'<0)是函数在区间上单调递增(或单调递减)的充分不必要条件.
三、 数学运用
【例1】　(教材第87页例3)确定函数f(x)=sinx,x∈(0,2π)的单调减区间. (见学生用书P56)
[规范板书]　解　f'(x)=cosx.令f'(x)<0,即cosx<0,又x∈(0,2π),所以x∈.故所求的的单调减区间为.
[题后反思]　本题也可直接利用函数的图 ( http: / / www.21cnjy.com )象得出,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一般性的方法.学习数学,是为了分析问题、解决问题的,从三个例题可让学生体会到导数在研究函数单调性中的有效性和一般性.
【例2】　求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间. (见学生用书P56)
[处理建议]　用定义判断函数单调性比较困难时,一般用导数来研究.
[规范板书]　解　函数的定义域为(0,+∞),f'(x)=6x-=.由f'(x)>0得x>,由f'(x)<0得0∴ 函数f(x)的单调增区间为,单调减区间为.
[题后反思]　任何函数问题,定义域都是解题的前提.
变式　求证:当x<0时,ex-x>1.
[规范板书]　证明　设f(x)=ex-x,则f'(x)=ex-1.
当x<0时,f'(x)<0,则f(x)=ex-x在区间(-∞,0)上是减函数.
故当x<0时,f(x)>f(0),即ex-x>1.
【例3】　若函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R)在[2,+∞)上的导数的值不是负数,求实数a的取值范围. (见学生用书P56)
[规范板书]　f'(x)=2x-(x≠0,a∈R).∵ f'(x)在[2,+∞)上不是负数,∴ 2x-≥0,即≤2x,a≤2x3.∵ x≥2,∴ 2x3≥16,∴ a≤16.
[题后反思]　恒成立问题优先考虑用“参变分离”来处理.
*【例4】　已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),且f(x)的单调递减区间是(0,4).
(1) 求k的值;
(2) 当x>k时,求证:2>3-.
[规范板书]　解　(1) f'(x)=3kx2-6(k+1)x=3kx,k>0. 由题意,f'(x)=0的两根为0和4,故=4,解得k=1.
(2) 令g(x)=2+-3,g'(x)=-.当x>1时,g'(x)>0,g(x)=2+-3在(1,+∞)上递增.又因为g(1)=0,x>k=1,所以g(x)>0,则2>3-.
四、 课堂练习
1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调增区间是.
2. 若函数f(x)=x3-ax2+1在区间(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为[3,+∞).
3. 求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.
解　单调增区间为,单调减区间为.
4. 已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,求实数a的取值范围.
解　f'(x)=3x2-a, ( http: / / www.21cnjy.com )函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是增函数,则当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x∈[1,+∞)时a≤3x2恒成立,得a≤3.又a>0,所以0五、 课堂小结
1. 导数的正负与函数单调性之间的关系.
2. 利用导数判断函数单调 ( http: / / www.21cnjy.com )性的一般步骤:(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) 求出函数的导数;(3) 解不等式f'(x)>0,得函数的单调增区间,解不等式f'(x)<0,得函数的单调减区间.
3. 求函数的单调区间,利用导数不是唯一的 ( http: / / www.21cnjy.com )方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.对于不熟悉的函数,常常利用导数来研究函数的单调性.
第9课时　极大值与极小值(1)
　 教学过程
一、 问题情境
观察给定函数图象在点P和Q两侧图象的单调性变化:
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高.
Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1]
二、 数学建构
问题1　上述结论可以怎样用数学语言来描述 [2]
解　极大值点:已知函数f(x),设x1是定义 ( http: / / www.21cnjy.com )域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)极小值点:已知函数f(x),设x2是定义域内 ( http: / / www.21cnjy.com )一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.
极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值.
极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.
极大值与极小值统称为极值.
问题2　在定义域内,函数的极大值是唯一的吗 函数的极大值一定大于其极小值吗 函数的极值点可能在区间的端点产生吗 作图说明.[3]
问题3　极值点处导数有何特点 当f'(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值 [4]
问题4　函数的极值与函数的导数有怎样的关系 [5]
3. 函数极值与导数关系:
如果f'(x0)=0,且在x ( http: / / www.21cnjy.com )0的附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是极小值.
表1
x x1左侧 x1 x1右侧
f'(x) f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)<0
f(x) 增↗ 极大值f(x1) ↘减
表2
x x2左侧 x2 x2右侧
f'(x) f'(x)<0 f'(x)=0 f'(x)>0
f(x) ↘减 极小值f(x1) 增↗
　　概念理解
1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
2. 极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
3. 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
4. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.
5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
三、 数学运用
【例1】　(教材第88页例1)求f(x)=x2-x-2的极值. (见学生用书P57)
[规范板书]　解　f'(x)=2x-1,令f'(x)=0,解得x=.列表:
x 左侧 右侧
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值f ↗
　　因此,当x=时,f(x)有极小值f=-.
[题后反思]　求极值的具体步骤: ( http: / / www.21cnjy.com )(1) 求导数f'(x).(2) 求f'(x)=0的根.(3) 列表,检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值,如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
【例2】　(教材第89页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P58)
[处理建议]　让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.
[规范板书]　解　f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.列表:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值f(-2) ↘ 极小值f(2) ↗
　　因此,当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.
思考:你能画出函数及其导数的图象吗 [6]
[题后反思]　有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系.
【例3】　已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a的取值范围. (见学生用书P58)
[处理建议]　先由学生思考,再交流思路,数形结合,帮助学生理解.由函数f(x)有极大值和极小值可知f'(x)=0有两个不同的实数解.
[规范板书]　解　f'(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f'(x)=0有两个不同的实数解,则Δ=4a2+12(a-1)>0,解得a>或a<.所以a的取值范围是∪.
*【例4】　(教材第89页练习第3题)作出符合下列条件的函数的图象.
(1) f(4)=3,f'(4)=0,当x<4时f'(x)>0,当x>4时f'(x)<0;
(2) f(1)=1,f'(1)=0,当x≠1时f'(x)>0.
[处理建议]　先由学生讨论,尝试进行作图; ( http: / / www.21cnjy.com )教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的作业,由学生纠正出现的错误及处理建议,并且给出理由.[7]
解　(1) ( http: / / www.21cnjy.com )　(2) ( http: / / www.21cnjy.com )
四、 课堂练习
1. 函数f(x)=x3-12x+12的极大值是　28　,极小值是　-4　.
2. 函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则实数m的取值范围是[-,].
3. 已知函数f(x)=x3-3x2+2.
(1) 写出函数的单调区间;
(2) 讨论函数的极大值和极小值是否存在,如果存在,写出极值.
解　(1) f'(x)=3x2-6x. ( http: / / www.21cnjy.com )令f'(x)>0,则x>2或x<0;令f'(x)<0,则0(2) 存在极值,极大值为2,极小值为-2.
五、 课堂小结
1. 极值点是自变量的值,极值指的 ( http: / / www.21cnjy.com )是函数值.极值是一个局部的概念,并不意味着它在函数的整个定义域内最大或最小.函数的极值不是唯一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.
2. 极值点两侧单调性互异,极值点处导数为0;但导数为0的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.
3. 求可导函数f(x)的极值的 ( http: / / www.21cnjy.com )步骤:(1) 确定函数的定义域,求导数f'(x).(2) 求方程f'(x)=0的根.(3) 用函数的导数为0的点顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
第10课时　极大值与极小值(2)
　 教学过程
一、 问题情境
引例　已知f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1) 写出函数f(x)的单调区间;
(2) 讨论函数f(x)的极值.
解　f'(x)=3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.列表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值f(-1) ↘ 极小值f(3) ↗
　　(1) 单调减区间为(-1,3),单调增区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2) 极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.
二、 数学建构
问题1　你能作出函数f(x)=x3-3x2-9x+11的草图吗 [1]
问题2　你能从图上看出函数的哪些性质 [2]
问题3　 你能对引例进行变式,得到新的问题吗 [3]
三、 数学运用
【例1】　已知f(x)=x3-3x2-9x+11,函数g(x)=f(x)+a,根据下列条件分别求出实数a的取值范围:
(1) 有一个交点;
(2) 恰有两个交点;
(3) 有三个交点. (见学生用书P59)
[思路点拨]　通过图象理解三次函数与x轴交点的情况.
[规范板书]　解　f'(x)=3(x+1)(x-3).令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.列表:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 — 0 +
f(x) ↗ 极大值f(-1) ↘ 极小值f(3) ↗
　　极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.
(1) 曲线y=g(x)与x轴仅有一个 ( http: / / www.21cnjy.com )交点,即g(x)极小值>0或g(x)极大值<0,所以-16+a>0或16+a<0,即a>16或a<-16.
(2) 曲线y=g(x)与x轴恰有两个交点,即g(x)极小值=0或g(x)极大值=0,所以-16+a=0或16+a=0,即a=±16.
(3) 曲线y=g(x)与x轴有三个交点,即g(x)极小值<0且g(x)极大值>0,所以-16+a<0且16+a>0,即-16[题后反思]　有效利用图形语言,并注意解题的规范性.
【例2】　已知函数f(x)=x3-3x2-9x+11,根据下列条件分别求实数t的取值范围.
(1) f(x)在区间(t,t+2)上单调递减;
(2) f(x)在区间(t,t+2)上单调递增. (见学生用书P60)
[处理建议]　先由学生口答,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书]　解　(1) 由引例知所以-1≤t≤1.
(2) 由引例知t≥3或t+2≤-1,即t≤-3或t≥3.
[题后反思]　若函数f(x)=x3-3x2-9x+11在区间(t,t+2)上不单调,你能否求出实数t的取值范围
*【例3】　已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0.
(1) 求m与n的关系表达式;
(2) 求f(x)的单调区间.
[规范板书]　解　(1) f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n,由f'(1)=0得n=3m+6.
(2) 由(1)得f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1).
当m>0时,单调增区间为(-∞,1)和,单调减区间为.
当m<0时,单调增区间为,单调减区间为和(1,+∞).
[题后反思]　此题是逆向思维题,已 ( http: / / www.21cnjy.com )知极值求参数的值,解题时充分利用f'(x)=0,同时注意单调性对极值的限制.用导数解决函数的单调性和极值问题,具有一般性,解题时强调解题的规范性.
*【例4】　探究函数g(x)=-ax(x>0)的单调性和极值.
[规范板书]　解　g'(x)=-a,x>0.
当a≤0时,g'(x)>0,单调递增区间为(0,+∞),函数无极值.
当a>0时,令g'(x)>0,即 -a>0,解得0.单调增区间为,单调减区间为,函数极大值为f=.
四、 课堂练习
1. 设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为(-∞,-1).
2. 若函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R)在(-2,3)内有两个不同的极值点,求实数a的取值范围.
解　f'(x)=-3x2+2ax.由题意知f'(x)在(-2,3)上有两个不同的实数解,解得a∈(-3,0)∪.
五、 课堂小结
1. 用导数处理函数极值中的参数讨论问题,主要有两类运用:一是对导数等于0的根的讨论;二是单调区间的判断的问题.
2. 注意领会分类讨论的思想、数形结合的思想、函数与方程的思想在解题中的灵活运用.
第11课时　函数的单调性和极值的综合
　 教学过程
一、 问题情境
函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图1所示,则函数f(x)在(a,b)内有　3　个极小值点.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
问题1　设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图2所示,则导函数y=f'(x)可能是图3中的　④　.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
问题2　怎样用数学语言刻画函数的单调性和极值
三、 数学运用
【例1】　已知函数y=x3+x2+mx+1.
(1) 若函数是R上的单调函数,求实数m的取值范围;
(2) 若函数有3个单调区间,求实数m的取值范围;
(3) 若函数在[1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.(见学生用书P62)
[处理建议]　让学生讨论、判断,并且由学生给出理由或举出实例.
[规范板书]　解　(1) ;(2) ;(3) [-5,+∞).
【例2】　已知f(x)=log3,x∈(0,+∞),是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列两个条件:①f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是1.若存在,求出a,b的值,若不存在,请说明理由. (见学生用书P62)
[处理建议]　让学生口答,教师板书,规范学生的解答.
[规范板书]　解　设g(x)=,g'(x)=1-.因为f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,所以g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.所以即 解得
经检验,a=1,b=1时,f(x)满足题设的两个条件.
[题后反思]　有效利用图形语言,帮助学生分析.
【例3】　已知函数f(x)=(x∈R,a∈R).
(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2) 当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.
(见学生用书P62)
[处理建议]　先由学生讨论,尝试进行解答;教师在学生交流中,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书]　解　(1) 当a=1时,f(x)=,f(2)=.又f'(x)=,k=f'(2)=-.
所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为6x+25y-32=0.
(2) 　f'(x)=.
①当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=a.列表:
x - a (a,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
　　所以f(x)在区间和(a,+∞)上为减函数,在区间上为增函数.函数f(x)在x1=-处取得极小值f,且f=-a2,函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
②当a<0时,令f'(x)=0,得x1=a,x2=-.列表:
x (-∞,a) a -
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
　　所以f(x)在区间(-∞,a)和上为增函数,在区间上为减函数.函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1,函数f(x)在x2
=-处取得极小值f,且f=-a2.
[题后反思]　用导数处理含字母参数的函数的极值问题,要合理分类.
四、 课堂练习
1. 如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
① 函数y=f(x)在区间内单调递增;
② 函数y=f(x)在区间内单调递减;
③ 函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④ 函数y=f(x)的单调增区间是(-2,2)∪(4,+∞).　
则上述判断中正确的是　③　.(填序号)
2. 设函数f(x)=x3-3ax+b,a≠0.
(1) 若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(2) 求函数f(x)的单调区间与极值点.
解　 f'(x)=3(x2-a).
(1) 由题意,得解得a=4,b=24.
(2) ① 当a<0时,f'(x)>0,函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数f(x)没有极值点.
② 当a>0时,由f'(x)=0,得x=±.
当x∈(-∞,-)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
此时,x=-是函数f(x)的极大值点,x=是函数f(x)的极小值点.
五、 课堂小结
1. 求单调区间必须考虑函数的定义域,根据导数的正负来确定函数的单调区间.
2. 可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.
3. 用导数处理含字母参数的函数的单调区间和极值,对字母参数进行讨论,注意对导数等于0的根进行分类讨论及单调区间的判断.
第12课时　最大值与最小值
　 教学过程
一、 问题情境
引入即时体验1中的函数y=f(x)的图象,在原有图象上标上相应的纵坐标(由教师随手给出即可),如:(a,1),(x1,2),,(x3,4),(x4,3),.
二、 数学建构
问题1　图1中函数y=f(x)在区间[a,b]上的极大值和极小值分别是多少
解　极大值是f(x1)=2,f(x3)=4,极小值是f(x2)=,f(x4)=3.
问题2　函数y=f(x)在[a,b]上的最大值是不是就是极大值呢 最小值是不是就是极小值呢
解　函数的最大值是f(b)=,它不是函数的极大值,函数的最小值是f(x2)=,它是函数的极小值.
问题3　是不是函数的最小值都是极小值呢
解　不一定,可举出反例,如:y=f(x)=x2+1(x∈[-1,1])最小值是f(±1)=2,但函数无极小值.
巩固概念
问题4　函数y=f(x)在区间[a,b]上的极值是否一定存在 最值是否一定存在呢 它们之间有着怎样的关系呢
解　回顾最值的定义以及极值的定义:
最值:如果函数y=f(x)在定义域I ( http: / / www.21cnjy.com )内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),那么f(x0)为函数在定义域I上的最大值,同样如果存在x0∈I,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),那么f(x0)为函数在定义域I上的最小值.
极值:如果函数y=f(x)在点P(x1 ( http: / / www.21cnjy.com ),f(x1))处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(即先递增后递减),这时点P附近,点P的位置最高,亦即f(x1)比它附近点的函数值都大,则称f(x1)为函数的一个极大值,同样如果点Q(x2,f(x2))处从左侧到右侧是先递减后递增,即Q点附近,点Q的位置最低,f(x2)比它附近的函数值都要小,就称f(x2)为函数的一个极小值.
总结概括
极值只是函数在局部的性质,它不一定存在,而函数y=f(x)在[a,b]上最值是相对于区间[a,b]整体而言的,它一定存在最大、最小值,而且唯一存在.但若不是在闭区间[a,b]上而是在开区间(a,b)上,也不一定存在最值,如:y=tanx,x∈时,y∈R.
总之:极值不一定是最值,最值也不一定是极值.
问题5　结合图1说说函数y=f(x)在[a,b]上的最值可能出现在哪里.
解　可能出现在极值点或者区间端点处.
问题6　今后我们如何求函数y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值呢
解　求函数y=f(x)在 ( http: / / www.21cnjy.com )[a,b]上的最大、最小值可以分为两步:(1) 求f(x)在(a,b)上的极值.(2) 将第一步中求得的极值与f(a)和f(b)比较,得到f(x)在[a,b]上的最大值与最小值.
三、 教学运用
【例1】　求函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值与最小值. (见学生用书P64)
[处理建议]　利用导数研究y=f(x)在[-3,0]上的单调性,并作出图象趋势,结合图象来判断函数的最值.
[规范板书]　解　f'(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),令f'(x)=0,得x1=-1,x2=1(舍去),列表:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0
f'(x) + 0 —
f(x) -17 ↗ 3 ↘ 1
　　由表可知f(x)max=3,f(x)min=-17.
[题后反思]　试归纳利用导数求最值的一般步骤.
【例2】　(教材P90例2)求f(x)=x+sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值. (见学生用书P65)
[处理建议]　学生讨论后由学生说出答案,教师归纳方法.
[规范板书]　f'(x)=+cosx.令f'(x)=0,　解得x1=,x2=.列表:
x 0 2π
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 0 ↗ + ↘ - ↗ π
　　由上表可知,f(x)=x+sinx在区间[0,2π]上最大值为π,最小值为0.
[题后反思]　在本例中,你是如何得到x∈,2π时,f'(x)>0的呢
你能根据本例中的表格大致作出函数y=f(x)的图象吗
四、 课堂练习
1. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值:
(1) f(x)=2x-5,x∈[-6,4];
(2) f(x)=x2-2x+7,x∈[-1,5];
(3) f(x)=2sin x+x,x∈.
解　(1) f(x)max=f(4)=3,f(x)min=f(-6)=-17;
(2) f(x)max=f(5)=22,f(x)min=f(1)=6;
(3) f(x)max=f=2+,f(x)min=f-=-2-.
2. 求函数y=的值域.
解　y'=.令y'=0,得x=e.当x>e时,y'<0;当x0.所以x=e为极大值点,且y极大值=.又因为函数在定义域内只有一个极值,所以函数的值域为.
五、 课堂小结
1. 函数的极值是函数的局部性质,它不一定存在;而函数的最值是函数在整体定义域上的性质.
2. 掌握函数y=f(x)在区间[ ( http: / / www.21cnjy.com )a,b]最值的求法:(1) 求f(x)在区间(a,b)上的极值;(2) 将第一步中求得的极值与f(a)和f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大、最小值.
第13课时　导数在实际生活中的应用(1)
　 教学过程
一、 问题情境
(教材第96页练习第2题)把长为100 cm的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形的面积之和最小
(图1)
二、 数学建构
问题1　上面的问题我们在实际生活中经常会碰到类似问题,我们常常把它归结为最值问题,请同学们看一下这种解法
解　设一段长为x cm,则另一段长为(100-x) cm,故S=S1+S2=+=(x2-100x+5000).对称轴为x=50,开口向上,故当x=50时S有最小值.
问题2　这种解法是一种什么方法
解　目标函数法.
问题3　“目标函数法”是处理最值问题的常规方法,采用此法的处理步骤是什么
解　一般引入一个变量将所求目标用函数形式建构函数表达式;根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域);在所写定义域范围内求出函数的最值.
问题4　请同学们看看这种解法是否完善呢
解　缺少定义域x∈(0,100).
问题5　如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形,则目标函数表达式是什么
解　S=S1+S2=+·,x∈(0,100).
问题6　本引例构建了一个 ( http: / / www.21cnjy.com )二次目标函数最值问题,借助二次函数图象可以迎刃而解,但如果构建的函数是高次函数或其他函数时,我们可以怎样来求最值呢
解　应用导数法.导数在实际生活中有 ( http: / / www.21cnjy.com )着广泛的应用,利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.本课时我们就来学习导数在实际生活中的应用.
三、 教学运用
(例1图(1))
【例1】　如图(1),在半径为3 ( http: / / www.21cnjy.com )0cm的半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上.若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取才能使做出的圆柱形罐子的体积最大 并求最大体积. (见学生用书P66)
[处理建议]　设圆柱的高为x,或者连结OC并设∠BOC=θ,分别建立目标函数.
[规范板书]　解法一　设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V.
由AB=2=2πr,得r=,所以V=πr2h=(900x-x3),其中0由V'=(900-3x2)=0,得x=10,因此V=(900x-x3)在(0,10)上是增函数,在(10,30)上是减函数.
所以,当x=10时,V取得最大值,V的最大值为.
故取BC为10cm时,做出的圆柱形罐子的体积最大,最大体积为cm3.
(例1图(2))
解法二　如图(2),连结OC,设∠BOC=θ,圆柱底面半径为r,高为h,体积为V,则圆柱的底面半径为r=,高h=30sinθ,其中0<θ<.
V=πr2h=sinθcos2θ=(sinθ-sin3θ),设t=sinθ,则V=(t-t3).由V'=(1-3t2)=0,得t=±(负值舍去),因此V=(t-t3)在上是增函数,在上是减函数.
所以当t=时,即sinθ=时,此时BC=10,V取最大值,V的最大值为.
故取BC为10cm时,做出的圆柱形罐子的体积最大,最大体积为cm3.
[题后反思]　取不同的自变量得到的函数的解析式会不一样,研究最值的过程也会有区别.
　(例2)
【例2】　(教材第94页例3)在如图所示的电路中,已知电源的内阻为r,电动势为ε,当外电阻R多大时,才能使电功率最大 最大电功率是多少
(见学生用书P67)
[处理建议]　由学生板演.
[规范板书]　解　电功率P=I2R,其中I=为电流强度,
所以P=R=(R>0).
则P'=,令P'=0,解得R=r.
当R0;当R>r时,P'<0.
所以当R=r时,P取极大值,且是最大值,
所以Pmax=.
故当外电阻R等于内电阻r时,电功率最大,最大电功率为.[2]
[题后反思]　应用导数法解决实际生 ( http: / / www.21cnjy.com )活中的最值问题的解题步骤:引入变量将所求问题转化为目标函数;写出目标函数的定义域;在定义域范围内利用导数法求出函数最值;作答.
四、 课堂练习
1. 若水波的半径以2m/s的速度向外扩张,当半径为4m时,水波面的圆面积的膨胀率为　　　　m2/s.
解　水波的半径r=2t,圆的面积S=πr2=4πt2,则圆的面积的膨胀率S'=8πt.当半径为4m时,t=2,则S'(2)=16π.
2. 设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长为.
解　设正三角形的边长为a,直棱柱高为h,则V=a2h,所以h=,则S=a2+3a·=a2+,S'=a-,由S'=0得a=.当0时,S'>0.所以当a=时,S取得最小值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题)
3. 某班举行活动,需要张 ( http: / / www.21cnjy.com )贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报,它的版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm.如何设计海报的尺寸,才能使四周空白面积最小
解　设版心一边为xdm,则另一边为 dm,所以海报四周的空白面积S(x)=(x+2)-128.令S'(x)=0,得x=±8(负值舍去).所以当x=8时,空白面积最小,此时x+2=10,+4=20,所以应设计海报的宽为10dm,高为20dm.
五、 课堂小结
1. 我们可用导数解决用料最省(即表面积最小)、功率最大、容积最大等实际问题.
2. 应用导数解决实际问题的解 ( http: / / www.21cnjy.com )题步骤为:(1) 引入变量将所求问题转化为目标函数;(2) 写出目标函数的定义域;(3) 在定义域范围内利用导数求出函数最值.
第14课时　导数在实际生活中的应用(2)
　 教学过程
一、 问题情境
(教材第95页例5)在经济学中,生产x单位产 ( http: / / www.21cnjy.com )品的成本称为成本函数,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).
(1) 如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,那么生产多少单位产品时,边际成本C'(x)最低
(2) 如果C(x)=50x+10000,产品的单价p(x)=100-0.01x,那么怎样定价可使利润最大
二、 数学建构
问题1　我们在前面学过边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数,它们分别是什么含义 [1]
问题2　问题情境中第(1)问的边际成本函数是什么
解　C'(x)=3×10-6x2-0.006x+5.
问题3　如何求边际成本的最小值呢
解　令C'(x)=g(x),则g'(x)=6×10-6x-0.006=0,解得 x=1000.
当x<1000时,g'(x)<0,所以g(x)单调递减;
当x>1000时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增.
所以x=1000时,C'(x)最小,即边际成本最低.
问题4　如何定价能使问题情境中第(2)问的利润最大呢
解　 由p(x)=100-0.01x ( http: / / www.21cnjy.com ),则R(x)=x(100-0.01x),P(x)=R(x)-C(x)=x(100-0.01x)-(50x+10000)=-0.01x2+50x-1000.
由P'(x)=-0.02x+50=0,解得x=2500,故当x=2500时,利润最大,即P(x)max=P(2500)=75.
答　生产1000个单位产品时,边际成本最低;当产品的单价为75时,利润最大.
三、 教学应用
【例1】　(教材第94页 ( http: / / www.21cnjy.com )例4)强度分别为a,b的两个光源A,B,它们间的距离为d.试问:在连接这两个光源的线段AB上,何处照度最小 试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比). (见学生用书P69)
[处理建议]　由学生思考交流后给出解决问题的详细答案.
　(例1)
[规范板书]　解　如图,设P在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B为3-x(0P点受A光源的照度为,即;
P点受B光源的照度为,即,
其中k为比例常数.
从而,P点的总照度为I(x)=+(0由I'(x)=-+==0,得x=2.当00.
因此,x=2时I取极小值,也是最小值.
故在两光源的连线段AB上,距光源A的距离是2处的照度最小.
【例2】　设某银行中的总 ( http: / / www.21cnjy.com )存款与银行支付给存户的利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出,问:给存户支付的年利率定为多少时,才能获得最大利润 (见学生用书P70)
[处理建议]　学生思考后请一位学生板书.
[规范板书]　解　设总存款a元,利率 ( http: / / www.21cnjy.com )为r,利润为y,则a=kr2(k为比例系数),y=90%a·10%-a·r=0.09a-ar=0.09kr2-kr3(0y'=0.18kr-3kr2=0,所以r=0.06.
当00;
当0.06因此, 当r=0.06时,y取极大值,且是最大值.
故支付给存户年利率6%时能获得最大利润.
[题后反思]　1. 从本题可以看出存款利率总是比贷款利率要低而且低得多.
2. 实际生活中希望同学们了解:银行中的潜规则往往是存款按单利计算利率,贷款按复利计算利率,因此银行永远是最大的赢家.
四、 课堂练习
1. 某旅行社在暑假期间推出如下旅游组 ( http: / / www.21cnjy.com )团办法:达到100人的团体,每人收费1000元,如果团体的人数超过100,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180.问:如何组团,可使旅行社的收费最多
解　设超过x人,0≤x≤80,则旅行社收 ( http: / / www.21cnjy.com )费y=(100+x)(1000-5x)=-5x2+500x+100000(0≤x≤80).由y'=0得x=50,当0≤x≤50时y'>0,当x>50时,y'<0,故x=50时,y取极大值,且是最大值.
故组150人的团时旅行社收费最多.
2. 如图,一矩形铁皮的长为8cm,宽 ( http: / / www.21cnjy.com )为5cm,在四个角上截去四个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问:截去的小正方形的边长为多少时,盒子容积最大
(第2题)
解　设小正方形的边长为xcm,则盒子底面长为(8-2x)cm,宽为(5-2x)cm,高为xcm.
则V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x,所以V'=12x2-52x+40,令V'=0,得x=1或x=(舍去).当00;当1故当截去的小正方形的边长为1cm时,盒子的容积最大.
五、 课堂小结
1. 本课时学习了用导数法解决了边际成本、运输成本、照度问题、银行存款利率等最优化问题的方法.
2. 在这两节课所学内容基础上,我们总结概括一下导数解决最优化问题的基本思路.
( http: / / www.21cnjy.com )
第15课时　本章复习
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　求下列函数的导数:
(1) y=(2x-1)2;　　　(2) y=x·lnx+cosx;
(3) y=3xex-2x+e; (4) y=; (见学生用书P70)
[处理建议]　由4个学生板演.
[规范板书]　解　(1) y'=8x-4.
(2) y'=1+lnx-sinx.
(3) y'=(ln3+1)·3xex-2xln2.
(4) y'=.
变式　求下列函数的导数:
(1) y=;
(2) y=;
(3) y=(x+1)(x+2)(x+3);
(4) y=+ . (见学生用书P70)
[处理建议]　由学生分组完成后汇总给出答案,讲解时侧重求导方法.
[规范板书]　解　(1) y'=.
(2) y'=-x-+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.
(3) y'=3x2+12x+11.
(4) y'=.
【例2】　若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,求a,b的值.(见学生用书P71)
[处理建议]　学生口答,教师板书.
[规范板书]　解　由题意知点(0,b)在曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )f(x)=y=x2+ax+b上,又因为y'=2x+a,所以f'(0)=a=k=1,又(0,b)在x-y+1=0上,所以b=1,所以a=1,b=1.
变式　已知函数f(x)=2x3 ( http: / / www.21cnjy.com )+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2, 0),且在点P处有公切线,求f(x),g(x)的解析式.(见学生用书P71)
[规范板书]　f'(x)=6x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )a,g'(x)=2bx.因为在点P处f(x)和g(x)有公切线,所以f'(2)=g'(2),即6×22+a=2b×2,即24+a=4b. ①
因为f(x)过点P(2,0),所以0=2×23+2a,即a=-8. ②
又因为g(x)过点P(2,0),所以0=b×22+c,即4b+c=0. ③
联立①②③,解得a=-8,b=4,c=-16.
故f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.
【例3】　设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1) 求y=f(x)的解析式;
(2) 证明:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1和直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.[1] (见学生用书P72)
[规范板书]　解　(1) f'(x)=a-,
依题意知所以
由②得=3-2a,代入①化为4a2-13a+9=0,所以a=1或a=.
又因为a∈Z,所以a=1,所以b=-1,所以f(x)=x+.
(2) 设y=f(x)上任意一点为P(x0,f(x0)),则P点处的切线方程为:y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),又f(x0)=x0+,f'(x0)=1-,所以y-x0-=(x-x0).
令x=1,则y=1+,故一个交点为1,1+.
令y=x,则交点为(2x0-1,2x0-1),另一个交点为(1,1).
所以S=×·|2x0-1-1|=2.
变式　设f(x)=a(x-5)2+6lnx,其中x∈R,曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线与y轴相交于点(0, 6).
(1) 确定实数a的值;
(2) 求函数f(x)的单调区间与极值.
(见学生用书P72)
[规范板书]　解　(1) 因为f(x)=a(x-5)2+6lnx=a(x2-10x+25)+6lnx,所以f'(x)=2a(x-5)+.
令x=1,得f(1)=16a,f'(1)=6-8a,所以曲线y=f(x)在点(1, f(1))处的切线方程为y-16a=(6-8a)(x-1),由点(0,6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=.
(2) 由(1)知,f(x)=(x-5)2+6lnx(x>0),f'(x)=x-5+=.
令f'(x)=0,解得x1= ( http: / / www.21cnjy.com )2,x2=3.当03时,f'(x)>0,故f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数;当2由此可知f(x)在x=2处取得极大值f(2)=+6ln2,在x=3处取得极小值f(3)=2+6ln3.
二、 补充练习
1. 若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.
提示　y'=,所以=,
所以a=-2.
2. 若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=　-2　.
3. 已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.
4. 已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1+f2+…+f2012=　0　.
提示　T=4,f1+f2+f3 +f4=0,则f1+f2+…+f2 012=0.
三、 课堂小结
1. 函数f(x)在点(x0,f(x0))处的导数f'(x0)即为曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线的斜率.
2. 导数的物理意义:位移S(t)的导数S'(t)即为瞬时速度,速度v(t)的导数v'(t)即为瞬时加速度.
3. 常见函数的求导公式及导数运算法则在知识梳理部分已经复习,希望同学记熟.