《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-1名师导学：第三章 空间向量与立体几何（含解析）
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| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-1名师导学：第三章 空间向量与立体几何（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 1.2MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-21 10:10:58 | ||
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文档简介
第 3 章 空间向量与立体几何
第1课时 空间向量及其线性运算
教学过程
一、 问题情境
必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.
问题1 游客的实际位移是什么 可以用什么数学概念来表示
解 是向量,即+=.
(图1)
(图2)
问题2 如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么 还是向量吗 它与上面的位移向量相同吗 为什么
生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内.
师:这就是我们今天要学习研究的内容——空间向量.(点题)
师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容 用什么方法
二、 数学建构
问题3 空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些 [1]
1.概念梳理
平面向量 空间向量
定义 既有大小又有方向的量
表示法 几何表示: 字母表示:a,
向量的模 向量的大小
相等向量 方向相同且大小相等的向量
相反向量 方向相反且大小相等的向量
单位向量 模长等于1的向量
2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算)
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(图1)
加法:a+b=+=;
减法:a-b=-=;
数乘:λa=(λ∈R).
3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律)
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(图2)
(1)加法交换律:a+b=b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).
4.共线(平行)向量
(1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
记作:a ∥b.
规定:零向量与任意向量共线.
(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.
三、 数学运用
【例1】 (教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.
(1)+;(2)++;
(3)--.[2] (见学生用书P49)
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(例1)
[规范板书] 解 (1)+=.
(2)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以++=+=.
(3)--=-=.
向量,,,如图所示.
变式 (1)++…+= ;
(2)++…++= 0 .
[题后反思] 注意:若有多个向量参与运算,按照“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算.
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是上底面A1B1C1D1的中心.若=m+n+,求m,n的值.[3] (见学生用书P50)
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(例2)
[处理建议] 引导学生将问题转化为向量如何用向量,,表示,即可求得m,n的值.
[规范板书] 解 因为点E是上底面A1B1C1D1的中心,所以=(+)=(+)=+.又因为+=,所以m=n=.
[题后反思] 逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.
【例3】 设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,求实数k的值. (见学生用书P50)
[处理建议] A,B,D三点共线即=λ,转化为向量共线问题进而求得k的值.
[规范板书] 解 =5e1+4e2,=-e1-2e2,故=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.∵A,B,D三点共线,∴=λ,即e1+ke2=λ(6e1+6e2).∵e1,e2是不共线的向量,∴ ∴k=1.
[题后反思] 点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“a=λb”和向量运算法则来解题.
四、 课堂练习
1.化简:+++= 0 .
2.下列等式中正确的有 ⑤ .
①0+a=a;②0·a=0;③3·0=0;④a-a=0;⑤|0|=0.
3. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,G为△A1BD的重心.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
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(第3题)
解 =+=+(+)=
+(-)+(-)=++=a+b+c.
五、 课堂小结
1.本节课的主要学习内容为空间向量的基本概念、线性运算及其运算律.
2.学习过程中运用类比的思想,掌握平面向量与空间向量的异同点.
第2课时 共面向量定理
教学过程
一、 问题情境
问题1 在平面向量中,向量b与向量a(a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关系呢
问题2 观察长方体,你能发现空间向量之间有什么关系 [1]
二、 数学建构
如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,而,,在同一平面内,此时,我们称,,是共面向量.
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(图1)
1.共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.
问题3 你能从长方体中尝试找出几组共面向量 [2]
问题4 向量=+,向量=+,那么向量与向量,共面吗 若=x+y(x,y∈R),你能得到什么结论 [3]
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使 p=xa+yb.
证明 (必要性)向量a,b不共线,当向量p ( http: / / www.21cnjy.com )与向量a,b共面时,它们可以平移到同一个平面内,根据平面向量的基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.
(充分性)对于空间的三个向量p,a,b,其中a,b不共线.如果存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb,那么在空间任意取一点M,作=a,=b,=xa,过点A'作=yb(如图),则=+=xa+yb=p,于是点P在平面MAB内,从而,,共面,即向量p与向量a,b共面.
(图2)
与平面向量一样,p=xa+yb,这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示.
三、 数学运用
【例1】 已知向量,分别在两条异面直线上,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. (见学生用书P51)
[处理建议] 根据共面向量定理,只需证明存在实数x,y,使得=x+y.
[规范板书] 证明 =++,=++,两式相加得2=+++++.又∵+=0,+=0,∴2=+,即=+,∴,,共面.
[题后反思] 证明向量共面问题,只需找出向量之间的线性表示关系,即符合共面向量定理.
【例2】 (教材第85页例2)设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系=x+y+z(其中x+y+z=1),试问:P,A,B,C四点是否共面 (见学生用书P52)
[处理建议] 通过分析,将判断P,A,B,C四点是否共面转化为空间向量是否共面.即要判断P,A,B,C四点是否共面,可考察三个共起点的向量,,是否共面.
[规范板书] 解 由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-z-y,
则=(1-z-y)+y+z=+y(-)+z(-),
所以-=y(-)+z(-),即=y+z.
由A,B,C三点不共线,可知和不共线,所以,,共面且具有公共起点A,从而P,A,B,C四点共面.
变式 如果将x+y+z=1整体代入,由(x+y+z)=x+y+z出发,你能得到什么结论
[规范板书] 解 将x+y+z=1整体代入,得x+y+z=0,则P,A,B,C四点共面.
[题后反思] (1) 联系平面向量,对于空间中任意一点O,满足向量关系=x+y(其中x+y=1)的三点P,A,B是否共线类比联想到空间四点共面的判断方法.
(2) 通过确定的数量关系来研究几何位置关系,体现了数形结合的思想.
【例3】 如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC.(见学生用书P52)
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(例3)
[处理建议] 本题要证PB∥平面AEC,可转化为证明向量与平面AEC内某一向量平行或两个不共线向量共面,且PB不在平面AEC内.
[规范板书] 证法一 连结BD,交AC于点O,再连结EO.∵底面ABCD是菱形,∴O是BD的中点.又∵E是PD的中点,∴OE是△DBP的中位线,∴∥.又∵PB 平面AEC,EO 平面AEC,∴PB∥平面AEC.
证法二 ∵底面ABCD是菱形,∴=.
又∵E是PD的中点,∴=2,∴=++=2++=(+)+(+)=+.
又与不共线,∴,,共面.
而PB 平面AEC,∴PB∥平面AEC.
[题后反思] 可以通过添加辅助线(证法一) ( http: / / www.21cnjy.com ),用综合法证明;也可以用向量的方法进行证明(证法二).通过比较这两种方法,让学生感知用空间向量的知识来求解立体几何问题,逐步认识空间向量的解题功能.
四、 课堂练习
1. 若点P与不共线的三点A,B,C共面,且对于空间任意一点O,都有=+2+λ,则λ=-.
2.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.
证明 因为+=5(e1+e2),所以=(+),所以,,共面且共起点,即A,B,C,D四点共面.
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,A1D1的中点,问:,与是否共面
解 =++=-+=(+)-=-.又,不共线,根据共面向量定理可知向量,,是共面向量.
五、 课堂小结
1.本节课的主要学习内容是向量共面的基本概念及共面向量定理.
2.运用共面向量定理证明线面平行及四点共面.
第3课时 空间向量基本定理
教学过程
一、 问题情境
1.在教材第83页例2中,若F是D'B'的三等分点或四等分点,则能否用i,j,k表示 若F是D'B'上的任意一点,则能否用i,j,k表示
2.空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗 如何表示
二、 数学建构
由上例归纳,可得到一般性结论:
1.空间向量基本定理
如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3.
证明 (存在性)如图,设e1,e2,e3不共面,过点O作=e1,=e2,=e3,=p.
(图1)
过点P作直线PP'∥OC,交平面OAB于点P';
在平面OAB内,过点P'作直线P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB相交于点A',B'.
于是,存在三个实数x,y,z,使=x=xe1,=y=ye2,=z=ze3,
所以=++=x+y+z,所以p=xe1+ye2+ze3.
(唯一性)假设还存在x',y',z'且x'≠x,使p=x'e1+y'e2+z'e3,
即xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,
所以(x-x')e1+(y-y')e2+(z-z')e3=0.
因为x≠x',所以e1=·e2+·e3,
所以e1,e2,e3共面,此与已知矛盾.所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.
推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z.
2.基底
如果三个向量e1,e2,e ( http: / / www.21cnjy.com )3不共面,那么空间的每一个向量都可由e1,e2,e3线性表示,我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,向量e1,e2,e3叫做基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.
三、 数学运用
【例1】 (教材第88页例1)如图,在正方体OADB-CA'D'B'中,E是AB与OD的交点,M是OD'与CE的交点,试分别用向量,,表示向量和. (见学生用书P53)
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(例1)
[规范板书] 解 因为=+,
所以=+=++.
由△OME∽△D'MC,
可得OM=MD'=OD',
所以==++.
[题后反思] 重视平面几何知识在解题过程中的灵活应用.
【例2】 如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向量,,表示向量. (见学生用书P54)
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(例2)
[规范板书] 解 因为M,N分别是对边OA,BC的中点,所以=,=+,则=+=+=+(-)=+=++.
[题后反思] 运用空间向量的线性运算,将空间向量转化为平面向量.
【例3】 已知向量{e1,e2,e3} ( http: / / www.21cnjy.com )为空间的一个基底,试问:向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面 并说明理由. (见学生用书P54)
[处理建议] 用反证法,先假设a,b,c共面,再根据共面向量定理看是否满足共面的条件.
[规范板书] 解 假设a,b,c共面.由共面向量定理可知,存在三个不全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,即x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2+3e3)+z(2e1-e2-4e3)=0,亦即(3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.由e1,e2,e3不共面,得解得不妨令x=-1,则y=7,z=5.于是a=7b+5c,所以a,b,c三向量共面.
[题后反思] 以向量{e1,e2,e3}为空间的一个基底表示向量a,b,c,重点考查共面向量定理和线性运算.运用了方程的思想.
四、 课堂练习
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心.若=+x+y,则x-y= 0 .
提示 因为=+=+=+(+),所以x=y=,则x-y=0.
2.“向量a,b,c不共面”是“{a,b,c}为基底”的充要条件.
3.已知是空间的一个基底,给出下列四组向量:①;②;③{a+2b,2b+3c,3a-9c};④.其中能构成空间的一个基底的有 ①②④ .
提示 ③不能构成空间的一个基底,因为-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.
4. 已知{a,b,c}是空间的一个基底,若pa+qb+c与a+pb+qc共线,则实数p= 1 ,q= 1 .
五、 课堂小结
1.本节课主要学习了空间向量的基本定理及其推论、基底的概念.
2.运用代数的方法判断向量是否共面.
第4课时 空间向量的坐标表示
教学过程
一、 问题情境
问题1 空间向量基本定理是什么
问题2 我们如何选择基底 空间向量如何用坐标表示
二、 数学建构
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(图1)
问题3 如图1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置 [1]
问题4 确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢
问题5 如何用一组实数来表示电灯的位置
解 通过类比联想,容易知道需要三个 ( http: / / www.21cnjy.com )数.在地面上建立直角坐标系xOy,则地面上任一点的位置只需两个数x,y就可确定.为了确定不在地面上的电灯的位置,需要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个数z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面xOy上的射影的两个数分别为4和5,到地面的距离为3,则可以用有序数组(4,5,3)确定这个电灯的位置(如图2).
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(图2)
问题6 如何用坐标表示空间向量呢 能表示所有的空间向量吗
1.空间向量的坐标表示
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(图3)
如图3,在空间直角坐标系O-xyz ( http: / / www.21cnjy.com )中,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i,j,k作为基向量,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(x,y,z).
2.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点A(x,y,z),向量是确定的,容易得到=xi+yj+zk,因此,向量的坐标为=(x,y,z).这就是说,当空间向量a的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量a的坐标.
3.空间向量坐标运算法则
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1 ( http: / / www.21cnjy.com ),b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;
(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
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(例1)
4.空间向量平行的坐标表示
a∥b(a≠0) b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3(λ∈R).
三、 数学运用
【例1】 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求向量和的坐标. (见学生用书P55)
[处理建议] 求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标.
[规范板书] 解 由已知可得E,F,C1(0,1,1),G.∵H是C1G的中点,∴H.故=,=.
[题后反思] 求向量的坐标,应先建立恰当的空间直角坐标系,然后得到起点和终点的坐标,最后得出向量的坐标.
【例2】 (教材第90页例1)已知a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求a+b,a-b,3a. (见学生用书P56)
[处理建议] 引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题.
[规范板书] 解 a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4).
a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12).
3a=3×(1,-3,8)=(3,-9,24).
[题后反思] 空间向量的坐标运算,需要准确、熟练,为后续学习奠定基础.
【例3】 在正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求证:平面MNP∥平面A1BD. (见学生用书P56)
[处理建议] 先建立适当的直角坐标系,再寻求相关空间向量的坐标,从而确定它们之间的关系,以算代证.
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(例3)
[规范板书] 证明 如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),N,M,P0,,0,于是=(0,1,1),=(-1,0,1),=,=,显然有=,=,所以∥,∥.
又因为MN 平面MNP, ( http: / / www.21cnjy.com )A1D 平面MNP,所以A1D∥平面MNP.同理A1B∥平面MNP.又因为A1D∩A1B=A1,所以平面MNP∥平面A1BD.
[题后反思] 同平面向量的坐标法解题一 ( http: / / www.21cnjy.com )样,关键是如何建立适当的直角坐标系,从而运用代数的方法论证,体现了空间向量的基本思想.当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明.
四、 课堂练习
1. 已知点A(2,3,4),B(1,3,5),则=(-1,0,1).
2.若向量a=(1,-2,2),b=(3,1,-1),c=(-1,0,4),则2a+b-2c=(7,-3,-5).
3. 已知{i,j,k}为空间的一个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位正交基底,且向量a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b用坐标形式表示为(-5,7,7).
提示 因为a=(-1,1,3),b=(2,-3,-2),所以a-2b=(-5,7,7).
4.已知a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),c=(4,0,24),求证:a,b,c共面.
解 因为a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),所以a与b不共线.设c=xa+yb,则 解得 即c=a+3b,所以a,b,c共面.
五、 课堂小结
1.空间向量的坐标表示及线性运算.
2.通过空间向量的坐标表示,运用代数的方法求解空间向量的问题.
第5课时 空间向量的数量积(1)
教学过程
一、 问题情境
1.平面向量数量积(内积)的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角 ( http: / / www.21cnjy.com )是θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为零.
2.两个向量的夹角
对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(图1)
当θ=0°时,a与b同向;
当θ=180°时,a与b反向;
当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
3.向量数量积的运算律
设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
问题1 我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义,那么类比平面向量知识,空间向量的夹角和数量积又是怎么定义的 [3]
二、 数学建构
问题2 任意两个空间向量都是共面向量吗
解 是的.由于此性质,两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义.
问题3 类比平面向量夹角的定义,如何定义空间向量的夹角及其表示
解 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作;范围:0≤≤π.在这种规定下,两个向量的夹角就被唯一确定了,并且有=.
(图2)
若=0,则向量a与b同向; 若=π,则向量a与b反向;若=,则向量a与b互相垂直,记作a⊥b.
问题4 类比平面向量数量积的定义,空间向量的数量积是怎样定义的
解 已知 a,b是空间两个非零向量,则| ( http: / / www.21cnjy.com )a|·|b|·cos叫做向量a,b的数量积,记作a·b,即a·b=|a|·|b|·cos.
规定:0向量与任何向量的数量积为0.
概念理解 ①两个向量的数量积是数量,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.
②由空间向量数量积定义可知,空间两个非零向量a·b的夹角可以由cos= 求得.
问题5 空间向量数量积有哪些性质
解 (1)a⊥b a·b=0(a,b是两个非零向量);
(2)|a|2=a·a=a2.
性质理解 ①性质(1)是证明两向量垂直的依据;
②性质(2)是求向量的长度(模)的依据.
问题6 空间向量数量积运算律是什么 如何验证
解 (1)交换律:a·b=b·a.
证明 设a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ,b·a=|b|·|a|·cosθ, 所以a·b=b·a.
(2)与实数相乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
证明 若λ>0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,
a·(λb)=λ|a||b|cosθ;
若λ<0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|·(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,
a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,
所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
问题7 数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c),为什么
问题8 0·a是零向量吗 0a是零向量吗
解 0·a表示零向量与向量a的数量积,它的值为0,而不是零向量;0a表示实数0与向量a的积,其结果是零向量.
三、 数学运用
【例1】 (教材第92页例1)已知|a|=4,|b|=3,a·b=12,求a与b的夹角.[4] (见学生用书P57)
[规范板书] 解 cos====,因为0≤≤π,所以=.
变式1 已知|a|=4,|b|=3,a·b=-12,则a与b的夹角= π .
提示 cos=-,由的范围得的值为.
变式2 已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 .
[题后反思] 紧扣数量积定义及其运算律、向量的夹角公式是解决此类问题的关键,注意由的范围得的值.
【例2】 (教材第92页例2)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.[5] (见学生用书P57)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[处理建议] 引导学生用向量的思想方法解决此类几何问题.要求AC1的长就是要求||,再根据已知条件求解.
[规范板书] 解 由题意可得·=0,
·=4×5×cos60°=10,
·=3×5×cos60°=7.5.
因为=++=++,
所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85,从而得到AC1的长为.
变式 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1与BD所成角的余弦值为.
[题后反思] 用向量解几何问题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量计算或证明.
【例3】 如图(1),正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点N在BB1上,且=,求证:D1N⊥AC. (见学生用书P58)
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(1))
[处理建议] 可建立适当的空间直角坐标系,用与的数量积为0来证明垂直.
[规范板书] 证明 如图(2),以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),N.∴=1,1,-,=(-1,1,0),∴·=·(-1,1,0)=-1+1+0=0,∴⊥,即D1N⊥AC.
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(2))
[题后反思] 对于求立体几何的线段长、 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直与夹角等有关问题,可通过建立适当的空间直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算及数量积的性质求解.这是解立体几何问题的一种重要方法.
*【例4】 (教材第98页习题3.1第19题)在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.
[处理建议] 引导学生用向量的方法即a⊥b a·b=0(a,b是两个非零向量)进行证明,巩固本节知识的应用.
[规范板书] 证法一 ·=(+)·(-)=·+·--·=·(--)=·(-)=·=0,所以AD⊥BC.
证法二 选取一组基底,设=a,=b,=c.
因为AB⊥CD,所以a·(c-b)=0,即a·c=b·a.
同理a·b=b·c.所以a·c=b·c,
所以c·(b-a)=0,所以·=0,即AD⊥BC.
[题后反思] 向量a,b的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量积a·b=0表示a⊥b,这是向量中的一个最重要的应用,而且我们还可以利用这一结论证明线面、面面垂直.这类问题也可以通过选择一组适当的基底求解.
四、 课堂练习
1.判断下列命题是否正确:
①若a·b=a·c,则b=c;
②若a·b=0,则a⊥b;
③(a·b)·c=a·(b·c);
④0·a=0.
解 ①②③④均不正确.
2.已知a⊥b,=,=,且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求向量a+b+c的模.
解 |a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=17+6,所以|a+b+c|=.
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,E,F分别是AB,A1C1上的点,且AE=AB,A1F=A1C1,求线段EF的长.
解 |==,所以||=.
五、 课堂小结
1.由平面向量类比出空间的两个向量的数量积的定义、性质及其运算律.
2.会用向量的方法求线段的长度,求两异面直线所成的角,以及求证空间中的两条直线垂直.
第6课时 空间向量的数量积(2)
教学过程
一、 问题情境
1.平面向量数量积的坐标表示及一些应用
(1)对于平面内两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.
(2)长度、夹角、垂直的坐标表示
①长度:a=(x,y) |a|2=x2+y2 |a|=;
②两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=;
③夹角:cosθ==;
④垂直的充要条件:a⊥b a·b=0,即x1x2+y1y2=0.(注意与向量共线的坐标表示的区别)[2]
2.类比平面向量数量积的坐标表示,思考对于空间两个非零向量,它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢
二、 数学建构
问题1 对于单位正交基底{i,j,k} ( http: / / www.21cnjy.com ),有i·i=j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k=0.设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),请同学们根据向量数量积的运算律推导a·b的坐标表示.
解 若{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则
a=(x1,y1,z1)=x1i+y1j+z1k,
b=(x2,y2,z2)=x2i+y2j+z2k,
所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·( ( http: / / www.21cnjy.com )x2i+y2j+z2k)=x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1y2k·j=x1x2+y1y2+z1z2.
从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
即两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
问题2 我们知道|a|2=a·a,即|a|=.如果a=(x1,y1,z1),那么|a|的值为多少
解 模长公式:若a=(x1,y1,z1),则|a|==.
问题3 设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),它们的夹角为,你能用坐标表示cos吗
解 由向量数量积的定义,可得
cos==.
特别地,a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
问题4 请同学们使用向量方法推导A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离公式.
解 由=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)及模长公式得||=.
两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则dA,B=.
三、 数学运用
【例1】 已知向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8).
(1)求a·b;
(2)若λ1a+λ2b与z轴垂直,求λ1,λ2满足的关系式.[3] (见学生用书P59)
[处理建议] 问题(1),引导学生根据向量数量积的坐标表示求解;问题(2),引导学生用坐标表示z轴(不唯一),再根据题设条件解题.
[规范板书] 解 (1) a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1+(-4)×8=6+5-32=-21.
(2)因为(λ1a+λ2b)·(0,0,1)=(3λ1+2λ2,5λ1+λ2,-4λ1+8λ2)·(0,0,1)=-4λ1+8λ2=0,
所以λ1-2λ2=0.
[题后反思] z轴可以用(0 ( http: / / www.21cnjy.com ),0,1)表示,也可以用(0,0,2)等表示,这是无关紧要的,因为垂直只体现方向性,与长度无关.问题(2)为例2的理解作铺垫.
变式 已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2).若|a|=6且a⊥b,求x+y的值.
[规范板书] 解 因为a⊥b且|a|=6,所以解得或
所以x+y=1或x+y=-3.
[题后反思] 利用向量平行与垂直条件来确定向量坐标也是向量平行与垂直题目中重要的一部分,用定义列式后进行运算是需要经常训练的.
【例2】 (教材第94页例3)已知A(3,1,3),B(1,5,0).
(1)求线段AB的中点坐标和长度;
(2)求到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.[4] (见学生用书P60)
[处理建议] 问题(2),引导学生根据两点间的距离公式列出等量关系式后,教师可进一步引导学生探究空间轨迹问题.
[规范板书] 解 (1)设M是AB的中点,O是坐标原点,则
=(+)=[(3,1,3)+(1,5,0)]
=,
所以线段AB的中点坐标是.
因为=(-2,4,-3),所以线段AB的长度为||==.
(2)设P(x,y,z)到A,B两点距离相等,则
=
,
化简得4x-8y+6z+7=0.
所以到A,B两点距离相等的点P的坐标x,y,z满足的条件是4x-8y+6z+7=0.
[题后反思] 平面内到A,B两点距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线,空间内到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.若将点P的坐标满足的条件4x-8y+6z+7=0的系数构成一个向量a=(4,-8,6),与=(-2,4,-3)共线.
变式 写出到点C(1,-2,3)的距离等于4的点M(x,y,z)的坐标x,y,z满足的关系式,并说出点M的轨迹图形.
[处理建议] 引导学生写出x,y,z满足的关系式,然后启发学生类比例2及平面中的相关知识,共同探讨轨迹图形.
[规范板书] 解 (x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=16,点M的轨迹是以点C为球心、4为半径的球面.
【例3】 已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在OP(O为坐标原点)上运动,当·取得最小值时,求点Q的坐标. (见学生用书P60)
[处理建议] 根据题意可设出点Q的坐标,再由数量积的意义将·转化为函数问题,最后利用函数知识求解.
[规范板书] 解 设=λ=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-,∴当λ=时,·取得最小值-,此时Q.
[题后反思] 利用空间向量数量积的坐标表示,常可将一些综合性问题化归为函数或方程问题,从而用函数或方程知识来研究、解决问题.
*【例4】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,点G在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点.
(1) 求证:EF⊥B1C;
(2) 求EF与C1G所成角的余弦值;
(3) 求FH的长.
[处理建议] 先引导学生建立空间直角坐标系,再将几何问题转化为代数运算.
[规范板书] 解 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),C(1,0,0),E,F,G,C1(1,0,1),H.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
(1)因为=,=(0,-1,-1),
所以·=·(0,-1,-1)=0,
所以EF⊥B1C.
(2)因为=,
所以·=·=
,||==,||==,
所以cos<,>==,
所以EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)因为=,所以||==.
[题后反思] 如果建立空间直角坐标系比较容易,我们可以考虑采用坐标法求解几何问题.
*【例5】 已知三角形的三个顶点分别是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2),试求这个三角形的面积.
[处理建议] 可用公式S=||·||·sinA来求面积.
[规范板书] 解 因为=(1,2,-2),=(-2,0,-3),
所以||==3,
||==,
·=(1,2,-2)·(-2,0,-3)=-2+6=4,
所以cosA=cos<,>=
==,
所以sinA=sin<,>=
=,
所以S△ABC=||·||·sinA=.
四、 课堂练习
1. 已知向量a=(-2,1,2),b=(-6,3,-2),求a·b,|b|及(4a+3b)·(2a-3b).
解 a·b=-2×(-6)+1×3+2×(-2)=11;
|b|==7;
4a+3b=(-26,13,2),2a-3b=(14,-7,10),
所以(4a+3b)·(2a-3b)=-26×14+13×(-7)+2×10=-435.
2. 已知向量a,b,c满足2a-b=(0,7,-4),c=(-1,-1,-1),且b·c=-1,则a·c= -2 .
3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=-2或.
4.若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是2x+2y-2z-3=0.
五、 课堂小结
1.在计算和证明立体几何问题时,如果能 ( http: / / www.21cnjy.com )够在原图中建立适当的空间直角坐标系,将图形中有关量用坐标来表示,利用空间向量的坐标运算来处理,那么往往可以在很大程度上降低对空间想象的要求.
2.求向量坐标的常用方法:先设出向量坐标,再求待定系数.
第7课时 直线的方向向量与平面的法向量
教学过程
一、 问题情境
为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢
二、 数学建构
问题1 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的
解 直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线平行和垂直关系.
问题2 必修4《平面向量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的
解 直线的方向向量,并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系.
直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.
问题3 平面有“方向”吗
通过展示平面的不同位置,使学生通过观察知道平面也有“方向”.
问题4 如何用向量来刻画平面的“方向”
通过模型观察、类比研究、共同讨论寻找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.
活动1 类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗
观察发现不行,方向不确定.
活动2 与平面垂直的直线的方向向量行吗
解 行,根据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.
平面α的法向量:如果表示非零向量n的有 ( http: / / www.21cnjy.com )向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.
概念理解
与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此,平面的法向量就是平面法线的方向向量.
三、 数学运用
【例1】 (教材第99页例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的法向量.[3] (见学生用书P61)
[处理建议] 可用向量数量积的定义证明与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面ACD1的法向量,再证明与此向量共线.
[规范板书] 证法一 不妨设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
所以 =(1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).
因为 ·=1×(-1)+1×1+1×0=0,所以 ⊥.同理 ⊥.
又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的法向量.
证法二 设平面ACD1的一个法向量为a=(x,y,z),
则a⊥a⊥,从而a·=0,a·=0.
因为 =(-1,1,0),=(-1,0,1),
所以
即 解得
不妨取y=z=x=1,所以a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量.
而=(1,1,1),故∥a,
所以是平面ACD1的法向量.
[题后反思] (1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,⊥平面ACD1是一个重要的结论,以前用综合法证明,这里用向量坐标法证明,可让学生分析比较各自的优点,以便今后灵活运用.
(2) 求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线;若没有,再用待定系数法.
变式 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD的一个法向量.
[规范板书] 解 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则D,C(1,1,0),S(0,0,1),
所以=(1,1,-1),=.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
所以解得
令y=1,则x=-2,z=-1,
所以n=(-2,1,-1)是平面SCD的一个法向量.
[题后反思] 求平面的法向量通常用待定系数法,由于两个三元一次方程组成的方程组的解不唯一,为方便起见,需合理取值,平面的法向量不唯一.
【例2】 已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).
(1) 写出直线BC的一个方向向量;
(2) 设平面α经过点A,且是平面α的法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.(见学生用书P62)
[处理建议] 先明确直线的方向向量和平面的法向量的定义,再由平面的法向量的定义得出线线垂直,从而确定x,y,z满足的关系式.
[规范板书] 解 (1) ∵B(2,0,0),C(0,2,-2),∴=(-2,2,-2),即=(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.
(2) ∵A(2,2,2),M(x,y,z,),∴=(x-2,y-2,z-2).
∵ ⊥α,AM α,∴⊥,
∴ (-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0,
化简得x-y+z-2=0.
[题后反思] (1) 在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示.
(2) 已知直线上一点和直线的方向向量, ( http: / / www.21cnjy.com )那么这条直线就唯一确定了.已知平面内一点和平面的法向量,那么这个平面是否唯一确定 (因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以,已知平面内一点和平面的法向量,这个平面是唯一确定的)
四、 课堂练习
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:是平面A1D1F的法向量.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系.由题意设 ( http: / / www.21cnjy.com )A(2,0,0),则F(0,1,0),E(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
所以=(0,2,1),=(-2,1,-2),
=(0,1,-2).
因为·=2×1+1×(-2)=0,
·=0,
所以AE⊥A1F,AE⊥D1F.
又A1F∩D1F=F,所以AE⊥平面A1D1F,
所以是平面A1D1F的法向量.
2.已知直线l经过点A(1,-1,2),l的方向向量a=(1,-2,3).若P(x,y,z)是l上任意一点,求x,y,z满足的关系式.
解 由题意知=(x-1,y+1,z-2).因为a=(1,-2,3)是l的方向向量,所以∥a,所以x-1=-=.所以x,y,z满足关系式为x-1=-=.
五、 课堂小结
1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
2.会用待定系数法求平面的法向量.
3.在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程表示.
第8课时 空间线面关系的判定
教学过程
一、 问题情境
在《立体几何初步》一章中,我们研究了 ( http: / / www.21cnjy.com )空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系
二、 数学建构
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.
问题1 展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示
解 l1∥l2 e1∥e2,l1⊥l2 e1⊥e2.
问题2 展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n1表示
解 l1∥α1 e1⊥n1,l1⊥α1 e1∥n1.
问题3 展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示
解 α1∥α2 n1∥n2,α1⊥α2 n1⊥n2.
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:
平行 垂直
l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2
三、 数学运用
【例1】 (教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM.[1] (见学生用书P63)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.
[规范板书] 证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=||||cos30°=2××=3.
因为∥,A1A=,M是CC1的中点,
所以||=,
所以·=||||cos180°=××(-1)=-3,
所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.
[题后反思] (1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.
变式1 在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.
[规范板书] 证明 =-,=+,
故·=·+·-·-·.
因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,
所以·=0,·=0,
故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.
变式2 在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.
[规范板书] 证明 以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A1B⊥AM.
【例2】 (教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.[2] (见学生用书P64)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2(1))
[处理建议] 在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.
[规范板书] 证明 因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2(2))
所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).
因为==(-a,b,0),==(0,-b,-c),
所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).
又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.
因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
[题后反思] 证明线面平行有两种方法: ( http: / / www.21cnjy.com )线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.
变式 如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE
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(变式(1))
[规范板书] 证明 以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),
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(变式(2))
所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).
因为=++=x++=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM∥平面ECD,所以⊥,
于是(-3x+1)b2=0,解得x=.
故当AN=AE时,MN∥平面CDE.
[题后反思] 立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.
【例3】 如图(1),在正方体ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG. (见学生用书P64)
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(例3(1))
[处理建议] 要证明平面ADE⊥平 ( http: / / www.21cnjy.com )面A1FG,只要证明AE⊥平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来证明线线垂直.
[规范板书] 证明 以D为坐标原点, ( http: / / www.21cnjy.com )DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.
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(例3(2))
∴E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.
∴=,=,=(-1,0,0).
∴·=0+-=0,·=0+0+0=0.
∴⊥,⊥.
∵A1G∩GF=G,
∴AE⊥平面A1GF.
又AE 平面ADE,
∴平面ADE⊥平面A1GF.
[题后反思] 证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.
变式 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.
[规范板书] 解 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,
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(变式)
所以=,=(-1,1,0).
而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以==.
设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).
因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以·=0,·=0,
即 解得m=.
故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.
[题后反思] 此类问题如果不用坐标法解 ( http: / / www.21cnjy.com )决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.
四、 课堂练习
1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD上一点,且PM∶MA=BN∶ND=1∶2,求证:MN∥平面PBC.
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(第1题)
证明 =++
=-++
=-(-)++(+)
=-.
在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MN∥PE.因为PE 平面PBC,所以MN∥平面PBC.
2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C⊥平面BDE.
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(第2题(1))
证明 如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题(2))
则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),
所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.
因为·=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=(1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0,
所以⊥,⊥,
所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.
因为BE∩BD=B,BE 平面BDE,BD 平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.
五、 课堂小结
综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:
1. 证明线面平行:(1) ( http: / / www.21cnjy.com )线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.
2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.
第9课时 空间的角的计算(1)
教学过程
一、 问题情境
我们知道,空间两条异面直线 ( http: / / www.21cnjy.com )所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角;斜线与平面所成的角是指斜线与它在平面内的射影所成的锐角;两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量的.这就是说,空间的角最终都可以通过转化,用两条相交直线所成的角来度量.而角的大小体现了线线、线面关系的相对方向性,能否转化为用直线的方向向量和平面的法向量来求空间的角呢
二、 数学建构
问题1 研究两条异面直线所成角的大小与这两条异面直线的方向向量的夹角关系.[3]
解 两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补.设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则有cosθ=|cosφ|=.
问题2 研究斜线与平面所成角的大小与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系.[4]
解 直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得.设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量u的夹角为φ,则有sinθ=|cosφ|=.
三、 数学运用
【例1】 (教材第107页例2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点E1在D1C1上,且D1E1=D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.[5] (见学生用书P66)
[处理建议] 引导学生分析直线E1F与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )D1AC所成的角,就是直线E1F与该平面的垂线所成角的余角.为此,要先确定平面D1AC的法向量,并复面法向量的步骤.
[规范板书] 解 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),E1,F,
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(例1)
所以=(1,1,1),=.
设与所成的角为θ.
因为·=1×+1×+1×(-1)=,||·||=× =,
则cosθ==.
因为是直线E1F的方向向量,是平面D1AC的法向量,所以E1F与平面D1AC所成的角是θ的余角,所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为.
[题后反思] (1) 通过直线的方向向量与平 ( http: / / www.21cnjy.com )面的法向量的夹角来求直线和平面所成的角,要注意当直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时,直线与平面所成的角与这个夹角互余.为了避免错误,通常直接使用问题2中的公式.
(2) 把题设中的条件“F是BC的中点”改为“CF=CB”,你能得到什么结论 本例怎样用综合法求解 试对两种方法加以比较.
变式 如图(1),已知三棱柱ABC-A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1的侧面与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N,P分别是CC1,BC,A1B1的中点.
(1)求证:PN⊥AM;
(2)若直线MB与平面PMN所成的角为θ,求cosθ的值.
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(变式(1))
[规范板书] 解 (1) 建立如图(2)所示空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,M,N,所以=,=.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(2))
因为·=0×0+1×+(-1)×=0,
所以PN⊥AM.
(2)=,=.
设平面PMN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
令y1=2,得z1=1,x1=3 ,所以n1=(3,2,1).
又=,
所以sinθ===,
故cosθ=.
【例2】 如图(1),在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. (见学生用书P67)
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(例2(1))
[处理建议] 本例没有三条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线两两垂直,所以应先引导学生建立适当的空间直角坐标系,再求出异面直线A1B与AO1的方向向量,最后应用公式求解.
[规范板书] 解 建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),
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(例2(2))
∴=(-,1,-),=(,-1,-).
∴cos<,>===-.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
[题后反思] 两条异面直线所成角的范围为,但两个方向向量的夹角的范围为[0,π],所以两条异面直线所成的角和它们方向向量的夹角相等或互补.
四、 课堂练习
1. 已知a,b分别是异面直线l1,l2的方向向量,且cos=-,则异面直线l1和l2所成角的大小为 45° .
2. 已知直线l的方向向量a=(1,-1,1),平面α的法向量b=(2,-4,1),则直线l和平面α所成角的余弦值为 .
3. 如图(1),在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
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(第3题(1))
解 (1) 以D为坐标原点,建立 ( http: / / www.21cnjy.com )如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(3,0,0),C1(0,3,3),D1(0,0,3),E(3,0,2),
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题(2))
所以=(3,0,-1),=(-3,3,3),
所以cos<,>===-,
即异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为.
(2) 因为B(3,3,0),所以=(0,-3,2).
设平面BED1F的一个法向量为n=(x,y,z),
由 得所以
则n=(x,2x,3x),不妨取n=(1,2,3).
设直线AC1与平面BED1F所成的角为α,
则sinα=|cos<,n>|==.
所以直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为.
五、 课堂小结
1.设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则cosθ=|cosφ|=.
2.设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量n的夹角φ,则sin θ=|cos φ|=.
第10课时 空间的角的计算(2)
教学过程
一、 问题情境
1. 怎样用向量方法求解两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角
2. 两条异面直线所成的角可以转化为求两条 ( http: / / www.21cnjy.com )异面直线的方向向量的夹角;斜线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量(平面的“方向”)的夹角,那么类比可知二面角的平面角是否也可以转化为两个平面的“方向”即两个平面的法向量的夹角呢
二、 数学建构
问题1 二面角的大小是如何度量的
问题2 二面角的平面角θ是如何定义的 你能在图示中作出二面角的平面角吗
问题3 什么叫平面的法向量 你能在图示中作出平面α,β的法向量吗
问题4 观察图示,请研究二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角的关系.[1]
(图1)
(图2)
解 在定义了平面的法向量之后,我们就可 ( http: / / www.21cnjy.com )以用平面的法向量来求两个平面所成的角.由于平面的法向量垂直于平面,这样,两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.
二面角的取值范围是[0°,180° ( http: / / www.21cnjy.com )],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角φ相等或互补.图1中,θ=φ;图2中,θ=180°-φ.
三、 数学运用
【例1】 (教材第110页例4)已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点.
(1)求A1D与EF所成角的大小;
(2)求A1F与平面B1EB所成角的大小;
(3)求二面角C-D1B1-B的大小.[2] (见学生用书P68)
[处理建议] 先引导学生画出正确的图形,并建立适当的空间直角坐标系;再让学生根据已学知识选择适当的方法解题;最后进行点评或修正.
[规范板书] 解 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E,F.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
(1)因为=(-1,0,-1),=-,-,0,
所以||=,||=,·=.
由cos<,>==,可知向量与的夹角为60°.
因此,A1D与EF所成角的大小为60°.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB⊥平面B1C1CB,所以是平面B1EB的一个法向量.
因为=(0,1,0),=,
所以||=1,||=,·=.
由cos<,>==,可得向量与的夹角约为70.53°.
因此,直线A1F与平面B1EB所成的角约为19.47°.
(3)因为AC1⊥平面B1D1C,所以是平面B1D1C的一个法向量.
又因为AC⊥平面B1D1DB,所以是平面B1D1DB的一个法向量.
因为=(-1,1,1),=(-1,1,0),
所以||=,||=,·=2.
由cos<,>==,可得向量与的夹角约为35.26°.
根据图形可知,二面角C-D1B1-B约为35.26°.
[题后反思] 用两条异面直线的方 ( http: / / www.21cnjy.com )向向量求其所成的角,应注意角的取值范围;用向量的方法求直线与平面所成的角,应注意sinθ=|cosφ|;用向量的方法求二面角,应注意根据图形确定两个法向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补.
变式 如图(1),在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=45°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
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(变式(1))
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求平面OAB与平面OCD所成角的余弦值.
[规范板书] 解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D,P,O(0,0,2),M(0,0,1).
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(2))
(1)因为=(1,0,0),=,则cos<,>=-,故AB与MD所成的角为.
(2)=,=.
设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
即
取z=,则n=(0,4,).
易得平面OAB的一个法向量为m=(0,1,0),所以cos=,故平面OAB与平面OCD所成角的余弦值为.
【例2】 如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
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(例2(1))
(1)求证:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小. (见学生用书P69)
[处理意见] 先引导学生对规则图形建立 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系,再引导学生分别求出平面A1BD与平面C1BD的法向量,并求出这两个法向量的夹角,从而确定二面角的大小.
[规范板书] 解 (1)在矩形AA1C1C中,由于D为AA1的中点,故DC=DC1.
又AC=AA1,可得D+DC2=A1+A1D2+AD2+AC2=4AC2=C,所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.
因为BC 平面BCD,所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,DC1∩CC1=C1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1两两垂直.故以C为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,||为单位长度,
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2(2))
建立如图(2)所示的空间直角坐标系C-xyz.
因此,A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).
则=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).
设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,
则即可取n=(1,1,0).
设m=(x,y,z)是平面C1BD的一个法向量,
则即可取m=(1,2,1).
从而cos===.
故二面角A1-BD-C1的大小为30°.
[题后反思] 本题也可先确定二面角的平面角,再用向量的方法求这个二面角,但比较复杂,解题时,根据具体情况选择适当的方法.
*【例3】 如图,在正四棱柱ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,N是BC的中点,点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为θ.
(1)当θ=90°时,求AM的长;
(2)当cosθ=时,求CM的长.[3]
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 先引导学生对规则图形建立直角坐标系;再将二面角问题转化为这两个平面法向量的夹角问题;最后根据题设条件解题.
[规范板书] 解 以D为坐标原点,DA为x轴的正半轴,DC为y轴的正半轴,DD1为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),A1(1,0,2),N,C(0,1,0),D(0,0,0).
设M(0,1,z),所以=(1,0,2),=,=(0,1,z).
设平面A1DN的一个法向量为n=(x0,y0,z0),则·n=0,·n=0,所以
取x0=2,则y0=-1,z0=-1,即n=(2,-1,-1).
设平面MDN的一个法向量为m=(x1,y1,z1).
(1)由题意知·n1=0,·n1=0,n·n1=0,
所以
取x1=2,则y1=-1,z1=5,z=,所以M,所以AM=.
(2)由题意知·n1=0,·n1=0,=,即
取x1=2,则y1=-1,z1=2,z=,
所以CM=.
[题后反思] 用坐标法求二面角时,要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意平面的法向量有两种指向,由图形确定两个法向量所成的角与二面角的平面角是相等还是互补.无论是直接求二面角还是应用二面角解决其他问题都要判断.
四、 课堂练习
1. 若平面α的法向量a=(-1,-1,1),平面β的法向量b=(2,0,1),则平面α与β所成角的余弦值为 .
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-A1B-D的余弦值为 .
3. 如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1) 设=λ,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,求λ的值;
(2) 若D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.
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(第3题(1))
解 (1) 分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系C-xyz,
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题(2))
则A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1(0,0,4),
所以=(-3,0,4),=(-3,4,0),
因为=λ,所以点D(-3λ+3,4λ,0),所以=(-3λ+3,4λ,0).
因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,
所以|cos<,>|==,解得λ=.
(2)由(1)得B1(0,4,4),D,
所以=,=(0,4,4).
易知平面CBB1C1的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面DB1C的一个法向量为n2=(x0,y0,z0),
由 得
令x0=4,则y0=-3,z0=3,所以n2=(4,-3,3).
由于cos===,所以二面角D-B1C-B的余弦值为.
五、 课堂小结
求二面角的两种方法:
1.利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角.
2.转化为求这两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.
第11课时 本章复习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 如图,在 ABCD中,AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角,求B,D间的距离. (见学生用书P71)
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(例1)
[规范板书] 解 因为∠ACD=90°,所以·=0.
同理·=0.
因为AB和CD成60°角,所以<·>=60°或120°.
因为=++,
所以 2=+ 2++2·+ 2·+2·
=+++2·
=3+2×1×cos<,>,
所以||=2或,即B,D间的距离为2或.
[题后反思] 用向量数量 ( http: / / www.21cnjy.com )积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角,求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.
(1)求向量m和n所成的角:首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos=.
(2)由于线段的长度是实数,实数与 ( http: / / www.21cnjy.com )向量之间如何转化,是常见的思维障碍.向量性质中的|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.
变式 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
(1)求证:C1C⊥BD;
(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD (见学生用书P71)
[处理建议] 用基向量法解此类问题的关键是找出合适的基底,本题可以用{,,}作为一个基底.
[规范板书] 解 (1) 设=a,=b,=c,|a|=|b|=r,|c|=t,
则a·b=r2,a·c=rt,b·c=rt.
而·=·(-)=-c·(b-a)=a·c-b·c=rt-rt=0,
∴C1C⊥BD.
(2) =++=---=-(a+b+c),=-=a-c,=-=b-c.
∵A1C⊥平面C1BD,
∴即
∴
即
得r2-rt-t2=0,解得r=t.
因此,当=1时,A1C⊥平面C1BD.
[题后反思] 当空间图形不适合建立空间直角坐标系时,一般选用基向量法.
【例2】 如图(1),在 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.
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(例2(1))
(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.(见学生用书P71)
[规范板书] 解 (1)连结AC,交BD于点G,连结EG.以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a,则A(a,0,0,),P(0,0,a),E,G,
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(例2(2))
所以=(a,0,-a),=,
所以=2,则PA∥EG.而EG 平面EDB且PA 平面EDB,所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).
又=,
故·=0+-=0,所以PB⊥DE.
又EF⊥PB,且EF∩DE=E,
所以PB⊥平面EFD.
(3)设点F的坐标为(x0,y0,z0),=λ,
则(x0,y0,z0-a)=λ(a,a,-a),
从而x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,
所以=
=.
由EF⊥PB知,·=0,
即-λa2+a2-a2=0,
解得λ=,
所以点F的坐标为,
且=,
=-,-,-,
所以·=--+=0,
即PB⊥FD,
故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.
因为·=-+=,
且||==a,
||==a,
所以cos∠EFD===,
所以∠EFD=60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.
[题后反思] (1) 证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2) 证明线面平行的方法:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3) 证明面面平行的方法:
①转化为线线平行、线面平行处理;
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
(4) 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.
(5) 证明线面垂直的方法:
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;
②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6) 证明面面垂直的方法:
①转化为线线垂直、线面垂直处理;
②证明两个平面的法向量互相垂直.
变式 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
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(变式(1))
(1) 求证:B1E⊥AD1.
(2) 在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.
(3) 若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长. (见学生用书P72)
[规范板书] 解 (1) 以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图(2)).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.
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(变式(2))
∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2) 假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).
设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).
由n⊥,n⊥,得
令x=1,则n=.
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,故有-az0=0,解得z0=.
又DP 平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.
(3) 连结A1D,B1C.由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴是平面A1B1E的一个法向量.
设与n所成的角为θ,
则cosθ==.
又∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,
∴|cosθ|=cos30°,即=,
解得a=2,即AB的长为2.
【例3】 如图(1),已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1) 求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-BE-C的余弦值. (见学生用书P72)
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(例3(1))
[规范板书] 解 (1) 以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
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(例3(2))
则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),
所以=(2,-1,0),=(0,2,-1),
所以cos<,>==-.
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是.
(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).
设平面ABE的一个法向量为n1=(x,y,z),
则由n1⊥,n1⊥,得
令x=1,则n=(1,2,2).
易知平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),
所以cos===.
由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,所以其余弦值是-.
[题后反思] (1) 两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cos φ|;
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;
(3)二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.
变式 如图(1),在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',M,N分别为A'B和B'C'的中点.
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(变式(1))
(1) 求证:MN∥平面A'ACC';
(2) 若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值. (见学生用书P72)
[规范板书] (1) 证法一 连结 ( http: / / www.21cnjy.com )AB',AC'.由∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN 平面A'ACC',AC' 平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.
证法二 取A'B'的中点P,连结 ( http: / / www.21cnjy.com )MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A'ACC'.而MN 平面MPN,所以MN∥平面A'ACC'.
(2) 解 以A为坐标原点,AB,AC,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图(2)).
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(变式(2))
设AA'=1,则AB=AC=λ,
于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),
所以M,N.
所以=,=,=.
设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的一个法向量,
由得
令x1=1,则m=(1,-1,λ).
设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,
由得
令x=-3,则n=(-3,-1,λ).
因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).
二、 补充练习
1.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 .
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(第2题)
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 .
3. 如图,AC是圆O的直径,点B ( http: / / www.21cnjy.com )在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
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(第3题)
(1) 求证:EM⊥BF;
(2) 求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
提示 以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线,AC,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)可得=(0,-3,3),=(-,1,1),故ME⊥BF;(2)可求出平面BEF的法向量为(,1,2),平面ABC的法向量为=(0,0,3),从而得到两个平面所成的锐二面角的余弦值为.
三、 课堂小结
1.本节课我们复习了空间向量及其运算,并运用向量的方法解决了有关空间直线及平面的平行、垂直和夹角等问题.
2.用空间向量解立体几何问 ( http: / / www.21cnjy.com )题,其基本思路:先选择向量的基底或建立空间直角坐标系,再分析已知向量和需要求解向量之间的差异,最后运用向量的代数运算或坐标运算.从已知向求解转化,体现了数形结合的重要思想.
第1课时 空间向量及其线性运算
教学过程
一、 问题情境
必修4教材第59页,有这样一个情境:湖面上有三个景点O,A,B,一游艇将游客从景点O送至景点A,半小时后,游艇再将游客送至景点B.
问题1 游客的实际位移是什么 可以用什么数学概念来表示
解 是向量,即+=.
(图1)
(图2)
问题2 如果游客还要到景点B下100m深处的海底世界D处游玩,游客实际发生的位移是什么 还是向量吗 它与上面的位移向量相同吗 为什么
生:不同,因为O,A,B,D不在同一个平面内.
师:这就是我们今天要学习研究的内容——空间向量.(点题)
师:回忆一下平面向量的相关知识点,告诉我空间向量应该学习那些内容 用什么方法
二、 数学建构
问题3 空间向量与平面向量的相同点与不同点有哪些 [1]
1.概念梳理
平面向量 空间向量
定义 既有大小又有方向的量
表示法 几何表示: 字母表示:a,
向量的模 向量的大小
相等向量 方向相同且大小相等的向量
相反向量 方向相反且大小相等的向量
单位向量 模长等于1的向量
2.空间向量的线性运算(类比平面向量的线性运算)
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(图1)
加法:a+b=+=;
减法:a-b=-=;
数乘:λa=(λ∈R).
3.空间向量的运算律(类比平面向量的运算律)
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(图2)
(1)加法交换律:a+b=b+a;
(2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c);
(3)数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb(λ∈R).
4.共线(平行)向量
(1)定义:如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.
记作:a ∥b.
规定:零向量与任意向量共线.
(2)共线向量定理:对空间任意两个向量a,b(a≠0),b与a共线的充要条件是存在实数λ,使b=λa.
三、 数学运用
【例1】 (教材第82页例1)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点.化简下列各式,并在图中标出化简得到的向量.
(1)+;(2)++;
(3)--.[2] (见学生用书P49)
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(例1)
[规范板书] 解 (1)+=.
(2)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以++=+=.
(3)--=-=.
向量,,,如图所示.
变式 (1)++…+= ;
(2)++…++= 0 .
[题后反思] 注意:若有多个向量参与运算,按照“尾首相接,首尾相联”的原则进行运算.
【例2】 如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E是上底面A1B1C1D1的中心.若=m+n+,求m,n的值.[3] (见学生用书P50)
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(例2)
[处理建议] 引导学生将问题转化为向量如何用向量,,表示,即可求得m,n的值.
[规范板书] 解 因为点E是上底面A1B1C1D1的中心,所以=(+)=(+)=+.又因为+=,所以m=n=.
[题后反思] 逆向思维及转化思想是解决数学问题常用的方法.
【例3】 设e1,e2是空间两个不共线的向量,已知=e1+ke2,=5e1+4e2,=-e1-2e2,且A,B,D三点共线,求实数k的值. (见学生用书P50)
[处理建议] A,B,D三点共线即=λ,转化为向量共线问题进而求得k的值.
[规范板书] 解 =5e1+4e2,=-e1-2e2,故=+=(5e1+4e2)+(e1+2e2)=6e1+6e2.∵A,B,D三点共线,∴=λ,即e1+ke2=λ(6e1+6e2).∵e1,e2是不共线的向量,∴ ∴k=1.
[题后反思] 点共线问题可转化为向量共线问题来求解,再充分运用向量共线的充要条件“a=λb”和向量运算法则来解题.
四、 课堂练习
1.化简:+++= 0 .
2.下列等式中正确的有 ⑤ .
①0+a=a;②0·a=0;③3·0=0;④a-a=0;⑤|0|=0.
3. 如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,G为△A1BD的重心.设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.
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(第3题)
解 =+=+(+)=
+(-)+(-)=++=a+b+c.
五、 课堂小结
1.本节课的主要学习内容为空间向量的基本概念、线性运算及其运算律.
2.学习过程中运用类比的思想,掌握平面向量与空间向量的异同点.
第2课时 共面向量定理
教学过程
一、 问题情境
问题1 在平面向量中,向量b与向量a(a ( http: / / www.21cnjy.com )≠0)共线的充要条件是存在实数λ,使得b=λa.那么,空间中任意一个向量p与两个不共线向量a,b共面时,它们之间存在怎样的关系呢
问题2 观察长方体,你能发现空间向量之间有什么关系 [1]
二、 数学建构
如图1,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,=,=,而,,在同一平面内,此时,我们称,,是共面向量.
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(图1)
1.共面向量:一般地,能平移到同一平面内的向量叫做共面向量.
问题3 你能从长方体中尝试找出几组共面向量 [2]
问题4 向量=+,向量=+,那么向量与向量,共面吗 若=x+y(x,y∈R),你能得到什么结论 [3]
2.共面向量定理:如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在有序实数组(x,y),使 p=xa+yb.
证明 (必要性)向量a,b不共线,当向量p ( http: / / www.21cnjy.com )与向量a,b共面时,它们可以平移到同一个平面内,根据平面向量的基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y),使得p=xa+yb.
(充分性)对于空间的三个向量p,a,b,其中a,b不共线.如果存在有序实数组(x,y),使p=xa+yb,那么在空间任意取一点M,作=a,=b,=xa,过点A'作=yb(如图),则=+=xa+yb=p,于是点P在平面MAB内,从而,,共面,即向量p与向量a,b共面.
(图2)
与平面向量一样,p=xa+yb,这就是说,向量p可以由两个不共线的向量a,b线性表示.
三、 数学运用
【例1】 已知向量,分别在两条异面直线上,M,N分别为线段AC,BD的中点,求证:向量,,共面. (见学生用书P51)
[处理建议] 根据共面向量定理,只需证明存在实数x,y,使得=x+y.
[规范板书] 证明 =++,=++,两式相加得2=+++++.又∵+=0,+=0,∴2=+,即=+,∴,,共面.
[题后反思] 证明向量共面问题,只需找出向量之间的线性表示关系,即符合共面向量定理.
【例2】 (教材第85页例2)设空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若点P满足向量关系=x+y+z(其中x+y+z=1),试问:P,A,B,C四点是否共面 (见学生用书P52)
[处理建议] 通过分析,将判断P,A,B,C四点是否共面转化为空间向量是否共面.即要判断P,A,B,C四点是否共面,可考察三个共起点的向量,,是否共面.
[规范板书] 解 由x+y+z=1(不妨设x≠0),可得x=1-z-y,
则=(1-z-y)+y+z=+y(-)+z(-),
所以-=y(-)+z(-),即=y+z.
由A,B,C三点不共线,可知和不共线,所以,,共面且具有公共起点A,从而P,A,B,C四点共面.
变式 如果将x+y+z=1整体代入,由(x+y+z)=x+y+z出发,你能得到什么结论
[规范板书] 解 将x+y+z=1整体代入,得x+y+z=0,则P,A,B,C四点共面.
[题后反思] (1) 联系平面向量,对于空间中任意一点O,满足向量关系=x+y(其中x+y=1)的三点P,A,B是否共线类比联想到空间四点共面的判断方法.
(2) 通过确定的数量关系来研究几何位置关系,体现了数形结合的思想.
【例3】 如图,在底面是菱形的四棱锥P-ABCD中,E是PD的中点,求证:PB∥平面AEC.(见学生用书P52)
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(例3)
[处理建议] 本题要证PB∥平面AEC,可转化为证明向量与平面AEC内某一向量平行或两个不共线向量共面,且PB不在平面AEC内.
[规范板书] 证法一 连结BD,交AC于点O,再连结EO.∵底面ABCD是菱形,∴O是BD的中点.又∵E是PD的中点,∴OE是△DBP的中位线,∴∥.又∵PB 平面AEC,EO 平面AEC,∴PB∥平面AEC.
证法二 ∵底面ABCD是菱形,∴=.
又∵E是PD的中点,∴=2,∴=++=2++=(+)+(+)=+.
又与不共线,∴,,共面.
而PB 平面AEC,∴PB∥平面AEC.
[题后反思] 可以通过添加辅助线(证法一) ( http: / / www.21cnjy.com ),用综合法证明;也可以用向量的方法进行证明(证法二).通过比较这两种方法,让学生感知用空间向量的知识来求解立体几何问题,逐步认识空间向量的解题功能.
四、 课堂练习
1. 若点P与不共线的三点A,B,C共面,且对于空间任意一点O,都有=+2+λ,则λ=-.
2.已知两个非零向量e1,e2不共线,如果=e1+e2,=2e1+8e2,=3e1-3e2,求证:A,B,C,D四点共面.
证明 因为+=5(e1+e2),所以=(+),所以,,共面且共起点,即A,B,C,D四点共面.
3. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,A1D1的中点,问:,与是否共面
解 =++=-+=(+)-=-.又,不共线,根据共面向量定理可知向量,,是共面向量.
五、 课堂小结
1.本节课的主要学习内容是向量共面的基本概念及共面向量定理.
2.运用共面向量定理证明线面平行及四点共面.
第3课时 空间向量基本定理
教学过程
一、 问题情境
1.在教材第83页例2中,若F是D'B'的三等分点或四等分点,则能否用i,j,k表示 若F是D'B'上的任意一点,则能否用i,j,k表示
2.空间任一向量能用三个不共面的向量来线性表示吗 如何表示
二、 数学建构
由上例归纳,可得到一般性结论:
1.空间向量基本定理
如果三个向量e1,e2,e3不共面,那么对空间任一向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使p=xe1+ye2+ze3.
证明 (存在性)如图,设e1,e2,e3不共面,过点O作=e1,=e2,=e3,=p.
(图1)
过点P作直线PP'∥OC,交平面OAB于点P';
在平面OAB内,过点P'作直线P'A'∥OB,P'B'∥OA,分别与直线OA,OB相交于点A',B'.
于是,存在三个实数x,y,z,使=x=xe1,=y=ye2,=z=ze3,
所以=++=x+y+z,所以p=xe1+ye2+ze3.
(唯一性)假设还存在x',y',z'且x'≠x,使p=x'e1+y'e2+z'e3,
即xe1+ye2+ze3=x'e1+y'e2+z'e3,
所以(x-x')e1+(y-y')e2+(z-z')e3=0.
因为x≠x',所以e1=·e2+·e3,
所以e1,e2,e3共面,此与已知矛盾.所以有序实数组(x,y,z)是唯一的.
推论 设O,A,B,C是不共面的四点,则对空间任意一点P,都存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得=x+y+z.
2.基底
如果三个向量e1,e2,e ( http: / / www.21cnjy.com )3不共面,那么空间的每一个向量都可由e1,e2,e3线性表示,我们把{e1,e2,e3}称为空间的一个基底,向量e1,e2,e3叫做基向量.如果空间一个基底的三个基向量两两互相垂直,那么这个基底叫做正交基底.特别地,当一个正交基底的三个基向都是单位向量时,称这个基底为单位正交基底,通常用{i,j,k}表示.
三、 数学运用
【例1】 (教材第88页例1)如图,在正方体OADB-CA'D'B'中,E是AB与OD的交点,M是OD'与CE的交点,试分别用向量,,表示向量和. (见学生用书P53)
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(例1)
[规范板书] 解 因为=+,
所以=+=++.
由△OME∽△D'MC,
可得OM=MD'=OD',
所以==++.
[题后反思] 重视平面几何知识在解题过程中的灵活应用.
【例2】 如图,已知空间四边形OABC,M,N分别是对边OA,BC的中点,点G在线段MN上,且MG=2GN,用基底向量,,表示向量. (见学生用书P54)
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(例2)
[规范板书] 解 因为M,N分别是对边OA,BC的中点,所以=,=+,则=+=+=+(-)=+=++.
[题后反思] 运用空间向量的线性运算,将空间向量转化为平面向量.
【例3】 已知向量{e1,e2,e3} ( http: / / www.21cnjy.com )为空间的一个基底,试问:向量a=3e1+2e2+e3,b=-e1+e2+3e3,c=2e1-e2-4e3是否共面 并说明理由. (见学生用书P54)
[处理建议] 用反证法,先假设a,b,c共面,再根据共面向量定理看是否满足共面的条件.
[规范板书] 解 假设a,b,c共面.由共面向量定理可知,存在三个不全为零的实数x,y,z,使得xa+yb+zc=0,即x(3e1+2e2+e3)+y(-e1+e2+3e3)+z(2e1-e2-4e3)=0,亦即(3x-y+2z)e1+(2x+y-z)e2+(x+3y-4z)e3=0.由e1,e2,e3不共面,得解得不妨令x=-1,则y=7,z=5.于是a=7b+5c,所以a,b,c三向量共面.
[题后反思] 以向量{e1,e2,e3}为空间的一个基底表示向量a,b,c,重点考查共面向量定理和线性运算.运用了方程的思想.
四、 课堂练习
1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点F是侧面CDD1C1的中心.若=+x+y,则x-y= 0 .
提示 因为=+=+=+(+),所以x=y=,则x-y=0.
2.“向量a,b,c不共面”是“{a,b,c}为基底”的充要条件.
3.已知是空间的一个基底,给出下列四组向量:①;②;③{a+2b,2b+3c,3a-9c};④.其中能构成空间的一个基底的有 ①②④ .
提示 ③不能构成空间的一个基底,因为-3(a+2b)+3(2b+3c)+(3a-9c)=0.
4. 已知{a,b,c}是空间的一个基底,若pa+qb+c与a+pb+qc共线,则实数p= 1 ,q= 1 .
五、 课堂小结
1.本节课主要学习了空间向量的基本定理及其推论、基底的概念.
2.运用代数的方法判断向量是否共面.
第4课时 空间向量的坐标表示
教学过程
一、 问题情境
问题1 空间向量基本定理是什么
问题2 我们如何选择基底 空间向量如何用坐标表示
二、 数学建构
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(图1)
问题3 如图1,在房间(立体空间)内如何确定电灯位置 [1]
问题4 确定点在直线上,通过数轴需要一个数;确定点在平面内,通过平面直角坐标系需要两个数.那么,要确定点在空间内,应该需要几个数呢
问题5 如何用一组实数来表示电灯的位置
解 通过类比联想,容易知道需要三个 ( http: / / www.21cnjy.com )数.在地面上建立直角坐标系xOy,则地面上任一点的位置只需两个数x,y就可确定.为了确定不在地面上的电灯的位置,需要用第三个数表示物体离地面的高度,即需第三个数z.因此,只要知道电灯到地面的距离、到相邻的两个墙面的距离即可.例如,若这个电灯在平面xOy上的射影的两个数分别为4和5,到地面的距离为3,则可以用有序数组(4,5,3)确定这个电灯的位置(如图2).
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(图2)
问题6 如何用坐标表示空间向量呢 能表示所有的空间向量吗
1.空间向量的坐标表示
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(图3)
如图3,在空间直角坐标系O-xyz ( http: / / www.21cnjy.com )中,分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的单位向量i,j,k作为基向量,对于空间任意一个向量a,根据空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=xi+yj+zk.有序实数组(x,y,z)叫做向量a在空间直角坐标系O-xyz中的坐标,记作a=(x,y,z).
2.在空间直角坐标系O-xyz中,对于空间任意一点A(x,y,z),向量是确定的,容易得到=xi+yj+zk,因此,向量的坐标为=(x,y,z).这就是说,当空间向量a的起点移至坐标原点时,其终点的坐标就是向量a的坐标.
3.空间向量坐标运算法则
(1)设a=(a1,a2,a3),b=(b1 ( http: / / www.21cnjy.com ),b2,b3),则a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3),a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3),λa=(λa1,λa2,λa3),λ∈R;
(2)若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).
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(例1)
4.空间向量平行的坐标表示
a∥b(a≠0) b1=λa1,b2=λa2,b3=λa3(λ∈R).
三、 数学运用
【例1】 如图,在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是D1D,DB的中点,G在棱CD上,且CG=CD,H是C1G的中点.以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,求向量和的坐标. (见学生用书P55)
[处理建议] 求向量的坐标应先求出向量的起点和终点的坐标.
[规范板书] 解 由已知可得E,F,C1(0,1,1),G.∵H是C1G的中点,∴H.故=,=.
[题后反思] 求向量的坐标,应先建立恰当的空间直角坐标系,然后得到起点和终点的坐标,最后得出向量的坐标.
【例2】 (教材第90页例1)已知a=(1,-3,8),b=(3,10,-4),求a+b,a-b,3a. (见学生用书P56)
[处理建议] 引导学生根据空间向量的坐标表示及运算法则解题.
[规范板书] 解 a+b=(1,-3,8)+(3,10,-4)=(1+3,-3+10,8-4)=(4,7,4).
a-b=(1,-3,8)-(3,10,-4)=(1-3,-3-10,8+4)=(-2,-13,12).
3a=3×(1,-3,8)=(3,-9,24).
[题后反思] 空间向量的坐标运算,需要准确、熟练,为后续学习奠定基础.
【例3】 在正方体ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )-A1B1C1D1中,M,N,P分别是CC1,B1C1,C1D1的中点,试建立适当的空间直角坐标系,求证:平面MNP∥平面A1BD. (见学生用书P56)
[处理建议] 先建立适当的直角坐标系,再寻求相关空间向量的坐标,从而确定它们之间的关系,以算代证.
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(例3)
[规范板书] 证明 如图,以D1为坐标原点,D1A1,D1C1,D1D所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则A1(1,0,0),B(1,1,1),D(0,0,1),N,M,P0,,0,于是=(0,1,1),=(-1,0,1),=,=,显然有=,=,所以∥,∥.
又因为MN 平面MNP, ( http: / / www.21cnjy.com )A1D 平面MNP,所以A1D∥平面MNP.同理A1B∥平面MNP.又因为A1D∩A1B=A1,所以平面MNP∥平面A1BD.
[题后反思] 同平面向量的坐标法解题一 ( http: / / www.21cnjy.com )样,关键是如何建立适当的直角坐标系,从而运用代数的方法论证,体现了空间向量的基本思想.当然本题不用坐标法而用向量的方法也不难证明.
四、 课堂练习
1. 已知点A(2,3,4),B(1,3,5),则=(-1,0,1).
2.若向量a=(1,-2,2),b=(3,1,-1),c=(-1,0,4),则2a+b-2c=(7,-3,-5).
3. 已知{i,j,k}为空间的一个单 ( http: / / www.21cnjy.com )位正交基底,且向量a=-i+j+3k,b=2i-3j-2k,则向量a-2b用坐标形式表示为(-5,7,7).
提示 因为a=(-1,1,3),b=(2,-3,-2),所以a-2b=(-5,7,7).
4.已知a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),c=(4,0,24),求证:a,b,c共面.
解 因为a=(1,6,-3),b=(1,-2,9),所以a与b不共线.设c=xa+yb,则 解得 即c=a+3b,所以a,b,c共面.
五、 课堂小结
1.空间向量的坐标表示及线性运算.
2.通过空间向量的坐标表示,运用代数的方法求解空间向量的问题.
第5课时 空间向量的数量积(1)
教学过程
一、 问题情境
1.平面向量数量积(内积)的定义
已知两个非零向量a和b,它们的夹角 ( http: / / www.21cnjy.com )是θ,我们把数量|a||b|cosθ叫做向量a和b的数量积(内积),记作a·b,即 a·b=|a||b|cosθ.
规定:零向量与任一向量的数量积为零.
2.两个向量的夹角
对于两个非零向量a和b,作=a,=b,则∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角.
(图1)
当θ=0°时,a与b同向;
当θ=180°时,a与b反向;
当θ=90°时,a与b垂直,记作a⊥b.
3.向量数量积的运算律
设向量a,b,c和实数λ,向量的数量积满足下列运算律:
(1)a·b=b·a;
(2)(λa)·b=a·(λb)=λ(a·b);
(3)(a+b)·c=a·c+b·c.
4.向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度与b在a方向上的投影|b|cosθ的乘积.
问题1 我们已经学过了平面向量夹角的定义和平面向量数量积的定义,那么类比平面向量知识,空间向量的夹角和数量积又是怎么定义的 [3]
二、 数学建构
问题2 任意两个空间向量都是共面向量吗
解 是的.由于此性质,两个空间向量的夹角以及它们的数量积就可以像平面向量那样来定义.
问题3 类比平面向量夹角的定义,如何定义空间向量的夹角及其表示
解 如图,已知两个非零向量a,b,在空间任取一点O,作=a,=b,则∠AOB叫做向量a与b的夹角,记作
(图2)
若
问题4 类比平面向量数量积的定义,空间向量的数量积是怎样定义的
解 已知 a,b是空间两个非零向量,则| ( http: / / www.21cnjy.com )a|·|b|·cos
规定:0向量与任何向量的数量积为0.
概念理解 ①两个向量的数量积是数量,而不是向量,符号由cosθ的符号所决定.
②由空间向量数量积定义可知,空间两个非零向量a·b的夹角
问题5 空间向量数量积有哪些性质
解 (1)a⊥b a·b=0(a,b是两个非零向量);
(2)|a|2=a·a=a2.
性质理解 ①性质(1)是证明两向量垂直的依据;
②性质(2)是求向量的长度(模)的依据.
问题6 空间向量数量积运算律是什么 如何验证
解 (1)交换律:a·b=b·a.
证明 设a,b的夹角为θ,则a·b=|a|·|b|·cosθ,b·a=|b|·|a|·cosθ, 所以a·b=b·a.
(2)与实数相乘的结合律:(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb)(λ∈R).
证明 若λ>0,(λa)·b=λ|a||b|cosθ,
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,
a·(λb)=λ|a||b|cosθ;
若λ<0,(λa)·b=|λa||b|cos(π-θ)=-λ|a||b|·(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,
λ(a·b)=λ|a||b|cosθ,
a·(λb)=|a||λb|cos(π-θ)=-λ|a||b|(-cosθ)=λ|a||b|cosθ,
所以(λa)·b=λ(a·b)=a·(λb).
(3)分配律:a·(b+c)=a·b+a·c.
问题7 数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c),为什么
问题8 0·a是零向量吗 0a是零向量吗
解 0·a表示零向量与向量a的数量积,它的值为0,而不是零向量;0a表示实数0与向量a的积,其结果是零向量.
三、 数学运用
【例1】 (教材第92页例1)已知|a|=4,|b|=3,a·b=12,求a与b的夹角
[规范板书] 解 cos
变式1 已知|a|=4,|b|=3,a·b=-12,则a与b的夹角
提示 cos
变式2 已知向量a,b满足(a+2b)·(a-b)=-6,且|a|=1,|b|=2,则a与b的夹角为 .
[题后反思] 紧扣数量积定义及其运算律、向量的夹角公式是解决此类问题的关键,注意由
【例2】 (教材第92页例2)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,求AC1的长.[5] (见学生用书P57)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2)
[处理建议] 引导学生用向量的思想方法解决此类几何问题.要求AC1的长就是要求||,再根据已知条件求解.
[规范板书] 解 由题意可得·=0,
·=4×5×cos60°=10,
·=3×5×cos60°=7.5.
因为=++=++,
所以||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)=42+32+52+2×(0+10+7.5)=85,从而得到AC1的长为.
变式 已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是矩形,AB=4,AD=3,AA1=5,∠BAA1=∠DAA1=60°,则AC1与BD所成角的余弦值为.
[题后反思] 用向量解几何问题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量计算或证明.
【例3】 如图(1),正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点N在BB1上,且=,求证:D1N⊥AC. (见学生用书P58)
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(1))
[处理建议] 可建立适当的空间直角坐标系,用与的数量积为0来证明垂直.
[规范板书] 证明 如图(2),以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系O-xyz.则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),N.∴=1,1,-,=(-1,1,0),∴·=·(-1,1,0)=-1+1+0=0,∴⊥,即D1N⊥AC.
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(2))
[题后反思] 对于求立体几何的线段长、 ( http: / / www.21cnjy.com )垂直与夹角等有关问题,可通过建立适当的空间直角坐标系,运用向量数量积的坐标运算及数量积的性质求解.这是解立体几何问题的一种重要方法.
*【例4】 (教材第98页习题3.1第19题)在空间四边形ABCD中,AB⊥CD,AC⊥BD,求证:AD⊥BC.
[处理建议] 引导学生用向量的方法即a⊥b a·b=0(a,b是两个非零向量)进行证明,巩固本节知识的应用.
[规范板书] 证法一 ·=(+)·(-)=·+·--·=·(--)=·(-)=·=0,所以AD⊥BC.
证法二 选取一组基底,设=a,=b,=c.
因为AB⊥CD,所以a·(c-b)=0,即a·c=b·a.
同理a·b=b·c.所以a·c=b·c,
所以c·(b-a)=0,所以·=0,即AD⊥BC.
[题后反思] 向量a,b的 ( http: / / www.21cnjy.com )数量积a·b=0表示a⊥b,这是向量中的一个最重要的应用,而且我们还可以利用这一结论证明线面、面面垂直.这类问题也可以通过选择一组适当的基底求解.
四、 课堂练习
1.判断下列命题是否正确:
①若a·b=a·c,则b=c;
②若a·b=0,则a⊥b;
③(a·b)·c=a·(b·c);
④0·a=0.
解 ①②③④均不正确.
2.已知a⊥b,
解 |a+b+c|2=|a|2+|b|2+|c|2+2(a·b+b·c+c·a)=17+6,所以|a+b+c|=.
3.在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AB=AC=1,∠A1AB=∠A1AC=∠BAC=60°,E,F分别是AB,A1C1上的点,且AE=AB,A1F=A1C1,求线段EF的长.
解 |==,所以||=.
五、 课堂小结
1.由平面向量类比出空间的两个向量的数量积的定义、性质及其运算律.
2.会用向量的方法求线段的长度,求两异面直线所成的角,以及求证空间中的两条直线垂直.
第6课时 空间向量的数量积(2)
教学过程
一、 问题情境
1.平面向量数量积的坐标表示及一些应用
(1)对于平面内两个非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则 a·b=x1x2+y1y2.
(2)长度、夹角、垂直的坐标表示
①长度:a=(x,y) |a|2=x2+y2 |a|=;
②两点间的距离公式:若A(x1,y1),B(x2,y2),则||=;
③夹角:cosθ==;
④垂直的充要条件:a⊥b a·b=0,即x1x2+y1y2=0.(注意与向量共线的坐标表示的区别)[2]
2.类比平面向量数量积的坐标表示,思考对于空间两个非零向量,它们的数量积的坐标表示又是怎样的呢
二、 数学建构
问题1 对于单位正交基底{i,j,k} ( http: / / www.21cnjy.com ),有i·i=j·j=k·k=1,i·j=i·k=j·k=0.设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),请同学们根据向量数量积的运算律推导a·b的坐标表示.
解 若{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,则
a=(x1,y1,z1)=x1i+y1j+z1k,
b=(x2,y2,z2)=x2i+y2j+z2k,
所以a·b=(x1i+y1j+z1k)·( ( http: / / www.21cnjy.com )x2i+y2j+z2k)=x1x2i2+y1y2j2+z1z2k2+x1y2i·j+x1z2i·k+y1x2j·i+y1z2j·k+z1x2k·i+z1y2k·j=x1x2+y1y2+z1z2.
从而得两个空间向量数量积的坐标表示公式:a·b=x1x2+y1y2+z1z2.
即两个向量数量积等于它们对应坐标的乘积的和.
问题2 我们知道|a|2=a·a,即|a|=.如果a=(x1,y1,z1),那么|a|的值为多少
解 模长公式:若a=(x1,y1,z1),则|a|==.
问题3 设空间两个非零向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),它们的夹角为
解 由向量数量积的定义,可得
cos
特别地,a⊥b a·b=0 x1x2+y1y2+z1z2=0.
问题4 请同学们使用向量方法推导A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2)间的距离公式.
解 由=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)及模长公式得||=.
两点间的距离公式:若A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则dA,B=.
三、 数学运用
【例1】 已知向量a=(3,5,-4),b=(2,1,8).
(1)求a·b;
(2)若λ1a+λ2b与z轴垂直,求λ1,λ2满足的关系式.[3] (见学生用书P59)
[处理建议] 问题(1),引导学生根据向量数量积的坐标表示求解;问题(2),引导学生用坐标表示z轴(不唯一),再根据题设条件解题.
[规范板书] 解 (1) a·b=(3,5,-4)·(2,1,8)=3×2+5×1+(-4)×8=6+5-32=-21.
(2)因为(λ1a+λ2b)·(0,0,1)=(3λ1+2λ2,5λ1+λ2,-4λ1+8λ2)·(0,0,1)=-4λ1+8λ2=0,
所以λ1-2λ2=0.
[题后反思] z轴可以用(0 ( http: / / www.21cnjy.com ),0,1)表示,也可以用(0,0,2)等表示,这是无关紧要的,因为垂直只体现方向性,与长度无关.问题(2)为例2的理解作铺垫.
变式 已知向量a=(2,4,x),b=(2,y,2).若|a|=6且a⊥b,求x+y的值.
[规范板书] 解 因为a⊥b且|a|=6,所以解得或
所以x+y=1或x+y=-3.
[题后反思] 利用向量平行与垂直条件来确定向量坐标也是向量平行与垂直题目中重要的一部分,用定义列式后进行运算是需要经常训练的.
【例2】 (教材第94页例3)已知A(3,1,3),B(1,5,0).
(1)求线段AB的中点坐标和长度;
(2)求到A,B两点距离相等的点P(x,y,z)的坐标x,y,z满足的条件.[4] (见学生用书P60)
[处理建议] 问题(2),引导学生根据两点间的距离公式列出等量关系式后,教师可进一步引导学生探究空间轨迹问题.
[规范板书] 解 (1)设M是AB的中点,O是坐标原点,则
=(+)=[(3,1,3)+(1,5,0)]
=,
所以线段AB的中点坐标是.
因为=(-2,4,-3),所以线段AB的长度为||==.
(2)设P(x,y,z)到A,B两点距离相等,则
=
,
化简得4x-8y+6z+7=0.
所以到A,B两点距离相等的点P的坐标x,y,z满足的条件是4x-8y+6z+7=0.
[题后反思] 平面内到A,B两点距离相等的点的轨迹是线段AB的垂直平分线,空间内到A,B两点的距离相等的点P(x,y,z)构成的集合就是线段AB的中垂面.若将点P的坐标满足的条件4x-8y+6z+7=0的系数构成一个向量a=(4,-8,6),与=(-2,4,-3)共线.
变式 写出到点C(1,-2,3)的距离等于4的点M(x,y,z)的坐标x,y,z满足的关系式,并说出点M的轨迹图形.
[处理建议] 引导学生写出x,y,z满足的关系式,然后启发学生类比例2及平面中的相关知识,共同探讨轨迹图形.
[规范板书] 解 (x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=16,点M的轨迹是以点C为球心、4为半径的球面.
【例3】 已知点A(1,2,3),B(2,1,2),P(1,1,2),点Q在OP(O为坐标原点)上运动,当·取得最小值时,求点Q的坐标. (见学生用书P60)
[处理建议] 根据题意可设出点Q的坐标,再由数量积的意义将·转化为函数问题,最后利用函数知识求解.
[规范板书] 解 设=λ=(λ,λ,2λ),则=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),∴·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6-,∴当λ=时,·取得最小值-,此时Q.
[题后反思] 利用空间向量数量积的坐标表示,常可将一些综合性问题化归为函数或方程问题,从而用函数或方程知识来研究、解决问题.
*【例4】 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是DD1,DB的中点,点G在棱CD上,CG=CD,H是C1G的中点.
(1) 求证:EF⊥B1C;
(2) 求EF与C1G所成角的余弦值;
(3) 求FH的长.
[处理建议] 先引导学生建立空间直角坐标系,再将几何问题转化为代数运算.
[规范板书] 解 以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),C(1,0,0),E,F,G,C1(1,0,1),H.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例4)
(1)因为=,=(0,-1,-1),
所以·=·(0,-1,-1)=0,
所以EF⊥B1C.
(2)因为=,
所以·=·=
,||==,||==,
所以cos<,>==,
所以EF与C1G所成角的余弦值为.
(3)因为=,所以||==.
[题后反思] 如果建立空间直角坐标系比较容易,我们可以考虑采用坐标法求解几何问题.
*【例5】 已知三角形的三个顶点分别是A(1,-1,1),B(2,1,-1),C(-1,-1,-2),试求这个三角形的面积.
[处理建议] 可用公式S=||·||·sinA来求面积.
[规范板书] 解 因为=(1,2,-2),=(-2,0,-3),
所以||==3,
||==,
·=(1,2,-2)·(-2,0,-3)=-2+6=4,
所以cosA=cos<,>=
==,
所以sinA=sin<,>=
=,
所以S△ABC=||·||·sinA=.
四、 课堂练习
1. 已知向量a=(-2,1,2),b=(-6,3,-2),求a·b,|b|及(4a+3b)·(2a-3b).
解 a·b=-2×(-6)+1×3+2×(-2)=11;
|b|==7;
4a+3b=(-26,13,2),2a-3b=(14,-7,10),
所以(4a+3b)·(2a-3b)=-26×14+13×(-7)+2×10=-435.
2. 已知向量a,b,c满足2a-b=(0,7,-4),c=(-1,-1,-1),且b·c=-1,则a·c= -2 .
3.若向量a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且a与b的夹角的余弦值为,则λ=-2或.
4.若点P(x,y,z)到A(1,0,1),B(2,1,0)两点的距离相等,则x,y,z满足的关系式是2x+2y-2z-3=0.
五、 课堂小结
1.在计算和证明立体几何问题时,如果能 ( http: / / www.21cnjy.com )够在原图中建立适当的空间直角坐标系,将图形中有关量用坐标来表示,利用空间向量的坐标运算来处理,那么往往可以在很大程度上降低对空间想象的要求.
2.求向量坐标的常用方法:先设出向量坐标,再求待定系数.
第7课时 直线的方向向量与平面的法向量
教学过程
一、 问题情境
为了用向量来研究空间的线面位置关系,首先我们要用向量来表示直线和平面的“方向”.如何用向量来刻画直线和平面的“方向”呢
二、 数学建构
问题1 过一点沿着确定的方向就可以画出一条直线,在《平面解析几何初步》中如何用数学语言刻画直线的方向的
解 直线的倾斜角、直线的斜率,并用直线的倾斜角和斜率研究了两条直线平行和垂直关系.
问题2 必修4《平面向量》这一章中是用什么数学语言刻画直线的方向的
解 直线的方向向量,并用直线的方向向量研究了两条直线平行和垂直关系.
直线l的方向向量:我们把直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的非零向量叫做直线l的方向向量.
问题3 平面有“方向”吗
通过展示平面的不同位置,使学生通过观察知道平面也有“方向”.
问题4 如何用向量来刻画平面的“方向”
通过模型观察、类比研究、共同讨论寻找出“平面的法向量”来刻画平面的方向.
活动1 类比直线的方向向量,与平面平行的直线的方向向量行吗
观察发现不行,方向不确定.
活动2 与平面垂直的直线的方向向量行吗
解 行,根据线面垂直关系,面的垂线方向确定,面的“方向”就确定.
平面α的法向量:如果表示非零向量n的有 ( http: / / www.21cnjy.com )向线段所在直线垂直于平面α,那么称向量n垂直于平面α,记作n⊥α.此时,我们把向量n叫做平面α的法向量.
概念理解
与平面垂直的直线叫做平面的法线,因此,平面的法向量就是平面法线的方向向量.
三、 数学运用
【例1】 (教材第99页例1)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,求证:是平面ACD1的法向量.[3] (见学生用书P61)
[处理建议] 可用向量数量积的定义证明与平面ACD1中两个不共线向量分别垂直;也可用待定系数法求出平面ACD1的法向量,再证明与此向量共线.
[规范板书] 证法一 不妨设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1),B1(1,1,1),
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(例1)
所以 =(1,1,1),=(-1,1,0),=(-1,0,1).
因为 ·=1×(-1)+1×1+1×0=0,所以 ⊥.同理 ⊥.
又AC∩AD1=A,所以DB1⊥平面ACD1,从而是平面ACD1的法向量.
证法二 设平面ACD1的一个法向量为a=(x,y,z),
则a⊥a⊥,从而a·=0,a·=0.
因为 =(-1,1,0),=(-1,0,1),
所以
即 解得
不妨取y=z=x=1,所以a=(1,1,1)就是平面ACD1的一个法向量.
而=(1,1,1),故∥a,
所以是平面ACD1的法向量.
[题后反思] (1) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,⊥平面ACD1是一个重要的结论,以前用综合法证明,这里用向量坐标法证明,可让学生分析比较各自的优点,以便今后灵活运用.
(2) 求平面的法向量,先找是否有与平面垂直的直线;若没有,再用待定系数法.
变式 已知四边形ABCD是直角梯形,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,SA=AB=BC=1,AD=,求平面SCD的一个法向量.
[规范板书] 解 以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz,
则D,C(1,1,0),S(0,0,1),
所以=(1,1,-1),=.
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(变式)
设平面SCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
所以解得
令y=1,则x=-2,z=-1,
所以n=(-2,1,-1)是平面SCD的一个法向量.
[题后反思] 求平面的法向量通常用待定系数法,由于两个三元一次方程组成的方程组的解不唯一,为方便起见,需合理取值,平面的法向量不唯一.
【例2】 已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2).
(1) 写出直线BC的一个方向向量;
(2) 设平面α经过点A,且是平面α的法向量,M(x,y,z)是平面α内任意一点,试写出x,y,z满足的关系式.(见学生用书P62)
[处理建议] 先明确直线的方向向量和平面的法向量的定义,再由平面的法向量的定义得出线线垂直,从而确定x,y,z满足的关系式.
[规范板书] 解 (1) ∵B(2,0,0),C(0,2,-2),∴=(-2,2,-2),即=(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量.
(2) ∵A(2,2,2),M(x,y,z,),∴=(x-2,y-2,z-2).
∵ ⊥α,AM α,∴⊥,
∴ (-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0,
化简得x-y+z-2=0.
[题后反思] (1) 在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程来表示.
(2) 已知直线上一点和直线的方向向量, ( http: / / www.21cnjy.com )那么这条直线就唯一确定了.已知平面内一点和平面的法向量,那么这个平面是否唯一确定 (因为过一点有且只有一个平面与已知直线垂直,所以,已知平面内一点和平面的法向量,这个平面是唯一确定的)
四、 课堂练习
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
1. 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,DC的中点,求证:是平面A1D1F的法向量.
证明 建立如图所示的空间直角坐标系.由题意设 ( http: / / www.21cnjy.com )A(2,0,0),则F(0,1,0),E(2,2,1),A1(2,0,2),D1(0,0,2),
所以=(0,2,1),=(-2,1,-2),
=(0,1,-2).
因为·=2×1+1×(-2)=0,
·=0,
所以AE⊥A1F,AE⊥D1F.
又A1F∩D1F=F,所以AE⊥平面A1D1F,
所以是平面A1D1F的法向量.
2.已知直线l经过点A(1,-1,2),l的方向向量a=(1,-2,3).若P(x,y,z)是l上任意一点,求x,y,z满足的关系式.
解 由题意知=(x-1,y+1,z-2).因为a=(1,-2,3)是l的方向向量,所以∥a,所以x-1=-=.所以x,y,z满足关系式为x-1=-=.
五、 课堂小结
1.理解直线的方向向量与平面的法向量的概念.
2.会用待定系数法求平面的法向量.
3.在空间直角坐标系中,平面可以用关于x,y,z的三元一次方程表示.
第8课时 空间线面关系的判定
教学过程
一、 问题情境
在《立体几何初步》一章中,我们研究了 ( http: / / www.21cnjy.com )空间两条直线、直线与平面、平面与平面的位置关系,能不能用直线的方向向量和平面的法向量来刻画空间线面位置关系
二、 数学建构
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2.
问题1 展示模型讨论归纳l1∥l2,l1⊥l2如何用e1,e2表示
解 l1∥l2 e1∥e2,l1⊥l2 e1⊥e2.
问题2 展示直线与平面平行、垂直,观察、讨论l1∥α1,l1⊥α1如何用e1,n1表示
解 l1∥α1 e1⊥n1,l1⊥α1 e1∥n1.
问题3 展示两个平面平行、垂直,观察、讨论、归纳α1∥α2,α1⊥α2如何用n1,n2表示
解 α1∥α2 n1∥n2,α1⊥α2 n1⊥n2.
设空间两条直线l1,l2的方向向量分别为e1,e2,两个平面α1,α2的法向量分别为n1,n2,则有下表:
平行 垂直
l1与l2 e1∥e2 e1⊥e2
l1与α1 e1⊥n1 e1∥n1
α1与α2 n1∥n2 n1⊥n2
三、 数学运用
【例1】 (教材第102页例3)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,AA1=,M是棱CC1的中点,求证:A1B⊥AM.[1] (见学生用书P63)
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(例1)
[处理建议] 要证明A1B⊥AM,只要证明·=0.而=+,=+,故只要证明(+)·(+)=0.
[规范板书] 证明 在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为A1A⊥AC,所以·=0.因为CM⊥平面ABC,所以CM⊥AB,于是·=0.在Rt△ACB中,∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1,所以AC=,AB=2,·=||||cos30°=2××=3.
因为∥,A1A=,M是CC1的中点,
所以||=,
所以·=||||cos180°=××(-1)=-3,
所以·=(+)·(+)=0,故A1B⊥AM.
[题后反思] (1) 证明垂直关系,可通过向量的数量积等于0来实现;(2) 要善于转化,即挖掘已知的垂直关系,将未知向已知转化.
变式1 在例1中,试以{,,}为基底,先将和分别用基底线性表示,再证明·=0.
[规范板书] 证明 =-,=+,
故·=·+·-·-·.
因为AB⊥AA1,AC⊥AA1,
所以·=0,·=0,
故·=2××cos30°-××=0,所以A1B⊥AM.
变式2 在例1中,试建立适当的空间直角坐标系,用坐标表示向量,,再证明它们互相垂直.
[规范板书] 证明 以C为坐标原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系C-xyz,不难得到=(-,1,-),=,则·=0,所以A1B⊥AM.
【例2】 (教材第104页例4)如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,AN=AE,求证:MN∥平面CDE.[2] (见学生用书P64)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2(1))
[处理建议] 在教材第83页的例2中,我们曾用共面向量定理证明了MN∥平面CDE.这里,我们将用坐标的方法加以证明,为此,只需证明向量垂直于平面CDE的法向量.
[规范板书] 证明 因为矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,所以AB,AD,AF互相垂直.不妨设AB,AD,AF的长分别为3a,3b,3c,以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间直角坐标系A-xyz,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),
( http: / / www.21cnjy.com )
(例2(2))
所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).
因为==(-a,b,0),==(0,-b,-c),
所以=++=(0,-b,-c)+(3a,0,0)+(-a,b,0)=(2a,0,-c).
又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),由·=(2a,0,-c)·(0,3b,0)=0,得⊥.
因为MN不在平面CDE内,所以MN∥平面CDE.
[题后反思] 证明线面平行有两种方法: ( http: / / www.21cnjy.com )线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;也可转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.
变式 如图(1),已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且BM=BD,当AN与AE满足什么数量关系时,MN∥平面CDE
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(1))
[规范板书] 证明 以{,,}为正交基底,建立如图(2)所示的空间坐标系A-xyz.设AN=xAE,AB,AD,AF长分别为3a,3b,3c,则B(3a,0,0),D(0,3b,0),F(0,0,3c),E(0,3b,3c),
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(2))
所以=(-3a,3b,0),=(0,-3b,-3c).
因为=++=x++=(2a,-3xb+b,-3xc),又平面CDE的一个法向量是=(0,3b,0),NM∥平面ECD,所以⊥,
于是(-3x+1)b2=0,解得x=.
故当AN=AE时,MN∥平面CDE.
[题后反思] 立体几何中探究性问题用向量的坐标法求解比较方便,这类问题比较重要,应熟练掌握.
【例3】 如图(1),在正方体ABCD- ( http: / / www.21cnjy.com )A1B1C1D1中,E为BB1的中点,F为CD的中点,G为AB的中点,求证:平面ADE⊥平面A1FG. (见学生用书P64)
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(例3(1))
[处理建议] 要证明平面ADE⊥平 ( http: / / www.21cnjy.com )面A1FG,只要证明AE⊥平面A1FG,只要AE与平面A1FG中两条相交直线垂直,可以通过数量积为0来证明线线垂直.
[规范板书] 证明 以D为坐标原点, ( http: / / www.21cnjy.com )DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为1.
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3(2))
∴E,A(1,0,0,),A1(1,0,1),G,F.
∴=,=,=(-1,0,0).
∴·=0+-=0,·=0+0+0=0.
∴⊥,⊥.
∵A1G∩GF=G,
∴AE⊥平面A1GF.
又AE 平面ADE,
∴平面ADE⊥平面A1GF.
[题后反思] 证明线面垂直有两种方法:(1)判定定理;(2)直线的方向向量与平面的法向量平行.
变式 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱AB和BC的中点,试在棱BB1上找一点M,使得D1M⊥平面EFB1.
[规范板书] 解 建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),E,
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
所以=,=(-1,1,0).
而E,F分别为棱AB和BC的中点,所以==.
设点M(1,1,m),所以=(1,1,m-1).
因为D1M⊥平面EFB1,所以D1M⊥EF,D1M⊥B1E,所以·=0,·=0,
即 解得m=.
故当M为棱B1B的中点时,D1M⊥平面EFB1.
[题后反思] 此类问题如果不用坐标法解 ( http: / / www.21cnjy.com )决,那么只能是先观察出结果,再证明.若该点不特殊,则极不易观察,而通过坐标法来解,无论该点在什么位置,方法都一样.
四、 课堂练习
1.如图,已知P是正方形ABCD所在平面外一点,M,N分别是PA,BD上一点,且PM∶MA=BN∶ND=1∶2,求证:MN∥平面PBC.
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(第1题)
证明 =++
=-++
=-(-)++(+)
=-.
在BC上取点E,使=,于是=(-)=,所以MN∥PE.因为PE 平面PBC,所以MN∥平面PBC.
2. 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=1,BB1=2,E是棱CC1上一点,且CE=CC1,求证:A1C⊥平面BDE.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题(1))
证明 如图(2),以A为坐标原点,AB,AD,AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系A-xyz,
( http: / / www.21cnjy.com )
(第2题(2))
则B(1,0,0),D(0,1,0),E,A1(0,0,2),C(1,1,0),
所以=(1,1,-2),=(-1,1,0),=.
因为·=(1,1,-2)·(-1,1,0)=1×(-1)+1×1+(-2)×0=0,·=(1,1,-2)·=1×0+1×1+(-2)×=0,
所以⊥,⊥,
所以A1C⊥BD,A1C⊥BE.
因为BE∩BD=B,BE 平面BDE,BD 平面BDE,所以A1C⊥平面BDE.
五、 课堂小结
综合运用向量知识判断空间线面平行与垂直:
1. 证明线面平行:(1) ( http: / / www.21cnjy.com )线面平行转化为直线的方向向量与平面的法向量互相垂直;(2) 转化为直线的方向向量与平面内两个不共线向量共面问题,即应用共面向量定理来证明,但要说明该直线不在平面内.同时两种方法都可以用坐标运算的方法证明.
2. 证明线面垂直:一是判定定理;二是直线的方向向量与平面的法向量平行.
第9课时 空间的角的计算(1)
教学过程
一、 问题情境
我们知道,空间两条异面直线 ( http: / / www.21cnjy.com )所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角;斜线与平面所成的角是指斜线与它在平面内的射影所成的锐角;两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量的.这就是说,空间的角最终都可以通过转化,用两条相交直线所成的角来度量.而角的大小体现了线线、线面关系的相对方向性,能否转化为用直线的方向向量和平面的法向量来求空间的角呢
二、 数学建构
问题1 研究两条异面直线所成角的大小与这两条异面直线的方向向量的夹角关系.[3]
解 两条异面直线所成的角与它们的方向向量所成的角相等或互补.设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则有cosθ=|cosφ|=.
问题2 研究斜线与平面所成角的大小与直线的方向向量和平面的法向量的夹角关系.[4]
解 直线和平面所成的角可以通过直线的方向向量与平面的法向量求得.设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量u的夹角为φ,则有sinθ=|cosφ|=.
三、 数学运用
【例1】 (教材第107页例2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,F是BC的中点,点E1在D1C1上,且D1E1=D1C1,试求直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值.[5] (见学生用书P66)
[处理建议] 引导学生分析直线E1F与平面 ( http: / / www.21cnjy.com )D1AC所成的角,就是直线E1F与该平面的垂线所成角的余角.为此,要先确定平面D1AC的法向量,并复面法向量的步骤.
[规范板书] 解 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则B1(1,1,1),E1,F,
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
所以=(1,1,1),=.
设与所成的角为θ.
因为·=1×+1×+1×(-1)=,||·||=× =,
则cosθ==.
因为是直线E1F的方向向量,是平面D1AC的法向量,所以E1F与平面D1AC所成的角是θ的余角,所以直线E1F与平面D1AC所成角的正弦值为.
[题后反思] (1) 通过直线的方向向量与平 ( http: / / www.21cnjy.com )面的法向量的夹角来求直线和平面所成的角,要注意当直线的方向向量与平面的法向量的夹角为锐角时,直线与平面所成的角与这个夹角互余.为了避免错误,通常直接使用问题2中的公式.
(2) 把题设中的条件“F是BC的中点”改为“CF=CB”,你能得到什么结论 本例怎样用综合法求解 试对两种方法加以比较.
变式 如图(1),已知三棱柱ABC-A1B1 ( http: / / www.21cnjy.com )C1的侧面与底面垂直,AA1=AB=AC=1,AB⊥AC,M,N,P分别是CC1,BC,A1B1的中点.
(1)求证:PN⊥AM;
(2)若直线MB与平面PMN所成的角为θ,求cosθ的值.
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(变式(1))
[规范板书] 解 (1) 建立如图(2)所示空间直角坐标系A-xyz,则A(0,0,0),B(1,0,0),P,M,N,所以=,=.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(2))
因为·=0×0+1×+(-1)×=0,
所以PN⊥AM.
(2)=,=.
设平面PMN的一个法向量为n1=(x1,y1,z1),
则即
令y1=2,得z1=1,x1=3 ,所以n1=(3,2,1).
又=,
所以sinθ===,
故cosθ=.
【例2】 如图(1),在三棱柱OAB-O1A1B1中,平面OBB1O1⊥平面OAB,∠O1OB=60°,∠AOB=90°,且OB=OO1=2,OA=,求异面直线A1B与AO1所成角的余弦值. (见学生用书P67)
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(例2(1))
[处理建议] 本例没有三条直 ( http: / / www.21cnjy.com )线两两垂直,所以应先引导学生建立适当的空间直角坐标系,再求出异面直线A1B与AO1的方向向量,最后应用公式求解.
[规范板书] 解 建立如图(2)所示的空间直角坐标系,则O1(0,1,),A(,0,0),A1(,1,),B(0,2,0),
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(例2(2))
∴=(-,1,-),=(,-1,-).
∴cos<,>===-.
∴异面直线A1B与AO1所成角的余弦值为.
[题后反思] 两条异面直线所成角的范围为,但两个方向向量的夹角的范围为[0,π],所以两条异面直线所成的角和它们方向向量的夹角相等或互补.
四、 课堂练习
1. 已知a,b分别是异面直线l1,l2的方向向量,且cos
2. 已知直线l的方向向量a=(1,-1,1),平面α的法向量b=(2,-4,1),则直线l和平面α所成角的余弦值为 .
3. 如图(1),在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,A1E=CF=1.
(1)求异面直线AC1与D1E所成角的余弦值;
(2)求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值.
( http: / / www.21cnjy.com )
(第3题(1))
解 (1) 以D为坐标原点,建立 ( http: / / www.21cnjy.com )如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(3,0,0),C1(0,3,3),D1(0,0,3),E(3,0,2),
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(第3题(2))
所以=(3,0,-1),=(-3,3,3),
所以cos<,>===-,
即异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为.
(2) 因为B(3,3,0),所以=(0,-3,2).
设平面BED1F的一个法向量为n=(x,y,z),
由 得所以
则n=(x,2x,3x),不妨取n=(1,2,3).
设直线AC1与平面BED1F所成的角为α,
则sinα=|cos<,n>|==.
所以直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为.
五、 课堂小结
1.设两条异面直线所成的角为θ,它们的方向向量a,b的夹角为φ,则cosθ=|cosφ|=.
2.设直线与平面所成的角为θ,直线的方向向量a与平面的法向量n的夹角φ,则sin θ=|cos φ|=.
第10课时 空间的角的计算(2)
教学过程
一、 问题情境
1. 怎样用向量方法求解两条异面直线所成的角、直线与平面所成的角
2. 两条异面直线所成的角可以转化为求两条 ( http: / / www.21cnjy.com )异面直线的方向向量的夹角;斜线与平面所成的角可以转化为直线的方向向量与平面的法向量(平面的“方向”)的夹角,那么类比可知二面角的平面角是否也可以转化为两个平面的“方向”即两个平面的法向量的夹角呢
二、 数学建构
问题1 二面角的大小是如何度量的
问题2 二面角的平面角θ是如何定义的 你能在图示中作出二面角的平面角吗
问题3 什么叫平面的法向量 你能在图示中作出平面α,β的法向量吗
问题4 观察图示,请研究二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角的关系.[1]
(图1)
(图2)
解 在定义了平面的法向量之后,我们就可 ( http: / / www.21cnjy.com )以用平面的法向量来求两个平面所成的角.由于平面的法向量垂直于平面,这样,两个平面所成的二面角就可以转化为这两个平面的法向量所成的角.
二面角的取值范围是[0°,180° ( http: / / www.21cnjy.com )],所以二面角的平面角θ与这两个平面的法向量的夹角φ相等或互补.图1中,θ=φ;图2中,θ=180°-φ.
三、 数学运用
【例1】 (教材第110页例4)已知E,F分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱BC和CD的中点.
(1)求A1D与EF所成角的大小;
(2)求A1F与平面B1EB所成角的大小;
(3)求二面角C-D1B1-B的大小.[2] (见学生用书P68)
[处理建议] 先引导学生画出正确的图形,并建立适当的空间直角坐标系;再让学生根据已学知识选择适当的方法解题;最后进行点评或修正.
[规范板书] 解 以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),B1(1,1,1),C1(0,1,1),E,F.
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(例1)
(1)因为=(-1,0,-1),=-,-,0,
所以||=,||=,·=.
由cos<,>==,可知向量与的夹角为60°.
因此,A1D与EF所成角的大小为60°.
(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,因为AB⊥平面B1C1CB,所以是平面B1EB的一个法向量.
因为=(0,1,0),=,
所以||=1,||=,·=.
由cos<,>==,可得向量与的夹角约为70.53°.
因此,直线A1F与平面B1EB所成的角约为19.47°.
(3)因为AC1⊥平面B1D1C,所以是平面B1D1C的一个法向量.
又因为AC⊥平面B1D1DB,所以是平面B1D1DB的一个法向量.
因为=(-1,1,1),=(-1,1,0),
所以||=,||=,·=2.
由cos<,>==,可得向量与的夹角约为35.26°.
根据图形可知,二面角C-D1B1-B约为35.26°.
[题后反思] 用两条异面直线的方 ( http: / / www.21cnjy.com )向向量求其所成的角,应注意角的取值范围;用向量的方法求直线与平面所成的角,应注意sinθ=|cosφ|;用向量的方法求二面角,应注意根据图形确定两个法向量的夹角与二面角的平面角相等还是互补.
变式 如图(1),在四棱锥O-ABCD中,底面ABCD是边长为1的菱形,∠ABC=45°,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
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(变式(1))
(1)求异面直线AB与MD所成角的大小;
(2)求平面OAB与平面OCD所成角的余弦值.
[规范板书] 解 作AP⊥CD于点P,分别以AB,AP,AO所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D,P,O(0,0,2),M(0,0,1).
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(变式(2))
(1)因为=(1,0,0),=,则cos<,>=-,故AB与MD所成的角为.
(2)=,=.
设平面OCD的一个法向量为n=(x,y,z),
则n·=0,n·=0,
即
取z=,则n=(0,4,).
易得平面OAB的一个法向量为m=(0,1,0),所以cos
【例2】 如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点,DC1⊥BD.
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(例2(1))
(1)求证:DC1⊥BC;
(2)求二面角A1-BD-C1的大小. (见学生用书P69)
[处理意见] 先引导学生对规则图形建立 ( http: / / www.21cnjy.com )直角坐标系,再引导学生分别求出平面A1BD与平面C1BD的法向量,并求出这两个法向量的夹角,从而确定二面角的大小.
[规范板书] 解 (1)在矩形AA1C1C中,由于D为AA1的中点,故DC=DC1.
又AC=AA1,可得D+DC2=A1+A1D2+AD2+AC2=4AC2=C,所以DC1⊥DC.
而DC1⊥BD,DC∩BD=D,所以DC1⊥平面BCD.
因为BC 平面BCD,所以DC1⊥BC.
(2)由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,DC1∩CC1=C1,则BC⊥平面ACC1A1,所以CA,CB,CC1两两垂直.故以C为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,||为单位长度,
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(例2(2))
建立如图(2)所示的空间直角坐标系C-xyz.
因此,A1(1,0,2),B(0,1,0),D(1,0,1),C1(0,0,2).
则=(0,0,-1),=(1,-1,1),=(-1,0,1).
设n=(x,y,z)是平面A1BD的一个法向量,
则即可取n=(1,1,0).
设m=(x,y,z)是平面C1BD的一个法向量,
则即可取m=(1,2,1).
从而cos
故二面角A1-BD-C1的大小为30°.
[题后反思] 本题也可先确定二面角的平面角,再用向量的方法求这个二面角,但比较复杂,解题时,根据具体情况选择适当的方法.
*【例3】 如图,在正四棱柱ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D-A1B1C1D1中,AA1=2,AB=1,N是BC的中点,点M在CC1上.设二面角A1-DN-M的大小为θ.
(1)当θ=90°时,求AM的长;
(2)当cosθ=时,求CM的长.[3]
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(例3)
[处理建议] 先引导学生对规则图形建立直角坐标系;再将二面角问题转化为这两个平面法向量的夹角问题;最后根据题设条件解题.
[规范板书] 解 以D为坐标原点,DA为x轴的正半轴,DC为y轴的正半轴,DD1为z轴的正半轴,建立空间直角坐标系D-xyz,则A(1,0,0),A1(1,0,2),N,C(0,1,0),D(0,0,0).
设M(0,1,z),所以=(1,0,2),=,=(0,1,z).
设平面A1DN的一个法向量为n=(x0,y0,z0),则·n=0,·n=0,所以
取x0=2,则y0=-1,z0=-1,即n=(2,-1,-1).
设平面MDN的一个法向量为m=(x1,y1,z1).
(1)由题意知·n1=0,·n1=0,n·n1=0,
所以
取x1=2,则y1=-1,z1=5,z=,所以M,所以AM=.
(2)由题意知·n1=0,·n1=0,=,即
取x1=2,则y1=-1,z1=2,z=,
所以CM=.
[题后反思] 用坐标法求二面角时,要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意平面的法向量有两种指向,由图形确定两个法向量所成的角与二面角的平面角是相等还是互补.无论是直接求二面角还是应用二面角解决其他问题都要判断.
四、 课堂练习
1. 若平面α的法向量a=(-1,-1,1),平面β的法向量b=(2,0,1),则平面α与β所成角的余弦值为 .
2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,二面角A-A1B-D的余弦值为 .
3. 如图(1),在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.
(1) 设=λ,异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,求λ的值;
(2) 若D是AB的中点,求二面角D-CB1-B的余弦值.
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(第3题(1))
解 (1) 分别以CA,CB,CC1所在直线为x轴、y轴、z轴,建立如图(2)所示的空间直角坐标系C-xyz,
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(第3题(2))
则A(3,0,0),B(0,4,0),C(0,0,0),C1(0,0,4),
所以=(-3,0,4),=(-3,4,0),
因为=λ,所以点D(-3λ+3,4λ,0),所以=(-3λ+3,4λ,0).
因为异面直线AC1与CD所成角的余弦值为,
所以|cos<,>|==,解得λ=.
(2)由(1)得B1(0,4,4),D,
所以=,=(0,4,4).
易知平面CBB1C1的一个法向量为n1=(1,0,0).
设平面DB1C的一个法向量为n2=(x0,y0,z0),
由 得
令x0=4,则y0=-3,z0=3,所以n2=(4,-3,3).
由于cos
五、 课堂小结
求二面角的两种方法:
1.利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角.
2.转化为求这两个面的法向量的夹角,它与二面角的大小相等或互补.
第11课时 本章复习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 如图,在 ABCD中,AB= ( http: / / www.21cnjy.com )AC=1,∠ACD=90°,将它沿对角线AC折起,使AB和CD成60°角,求B,D间的距离. (见学生用书P71)
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(例1)
[规范板书] 解 因为∠ACD=90°,所以·=0.
同理·=0.
因为AB和CD成60°角,所以<·>=60°或120°.
因为=++,
所以 2=+ 2++2·+ 2·+2·
=+++2·
=3+2×1×cos<,>,
所以||=2或,即B,D间的距离为2或.
[题后反思] 用向量数量 ( http: / / www.21cnjy.com )积的定义及性质可解决立体几何中求两条异面直线所成的角,求两点间的距离或线段的长度以及证明线线垂直、线面垂直等典型问题.
(1)求向量m和n所成的角:首先应选择合适的基底,将目标向量m和n用该组基底表示出来,再求其自身的数量积及长度,最后利用公式cos
(2)由于线段的长度是实数,实数与 ( http: / / www.21cnjy.com )向量之间如何转化,是常见的思维障碍.向量性质中的|a|2=a·a提供了向量与实数相互转化的工具,运用此公式,可将线段长度的计算问题转化成两个相等向量的数量积的计算问题.
变式 如图,平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形,且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=60°.
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(变式)
(1)求证:C1C⊥BD;
(2)当的值为多少时,能使A1C⊥平面C1BD (见学生用书P71)
[处理建议] 用基向量法解此类问题的关键是找出合适的基底,本题可以用{,,}作为一个基底.
[规范板书] 解 (1) 设=a,=b,=c,|a|=|b|=r,|c|=t,
则a·b=r2,a·c=rt,b·c=rt.
而·=·(-)=-c·(b-a)=a·c-b·c=rt-rt=0,
∴C1C⊥BD.
(2) =++=---=-(a+b+c),=-=a-c,=-=b-c.
∵A1C⊥平面C1BD,
∴即
∴
即
得r2-rt-t2=0,解得r=t.
因此,当=1时,A1C⊥平面C1BD.
[题后反思] 当空间图形不适合建立空间直角坐标系时,一般选用基向量法.
【例2】 如图(1),在 ( http: / / www.21cnjy.com )四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB于点F.
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(例2(1))
(1)求证:PA∥平面EDB;
(2)求证:PB⊥平面EFD;
(3)求二面角C-PB-D的大小.(见学生用书P71)
[规范板书] 解 (1)连结AC,交BD于点G,连结EG.以D为坐标原点,建立如图(2)所示的空间直角坐标系D-xyz.设DC=a,则A(a,0,0,),P(0,0,a),E,G,
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(例2(2))
所以=(a,0,-a),=,
所以=2,则PA∥EG.而EG 平面EDB且PA 平面EDB,所以PA∥平面EDB.
(2)依题意得B(a,a,0),所以=(a,a,-a).
又=,
故·=0+-=0,所以PB⊥DE.
又EF⊥PB,且EF∩DE=E,
所以PB⊥平面EFD.
(3)设点F的坐标为(x0,y0,z0),=λ,
则(x0,y0,z0-a)=λ(a,a,-a),
从而x0=λa,y0=λa,z0=(1-λ)a,
所以=
=.
由EF⊥PB知,·=0,
即-λa2+a2-a2=0,
解得λ=,
所以点F的坐标为,
且=,
=-,-,-,
所以·=--+=0,
即PB⊥FD,
故∠EFD是二面角C-PB-D的平面角.
因为·=-+=,
且||==a,
||==a,
所以cos∠EFD===,
所以∠EFD=60°,即二面角C-PB-D的大小为60°.
[题后反思] (1) 证明两条直线平行,只需证明这两条直线的方向向量是共线向量.
(2) 证明线面平行的方法:
①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直;
②证明平面内某条直线的方向向量与已知直线的方向向量共线;
③利用共面向量定理,即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量.
(3) 证明面面平行的方法:
①转化为线线平行、线面平行处理;
②证明这两个平面的法向量是共线向量.
(4) 证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量的数量积为0.
(5) 证明线面垂直的方法:
①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量;
②证明直线与平面内的两个不共线的向量互相垂直.
(6) 证明面面垂直的方法:
①转化为线线垂直、线面垂直处理;
②证明两个平面的法向量互相垂直.
变式 如图(1),在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=1,E为CD的中点.
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(变式(1))
(1) 求证:B1E⊥AD1.
(2) 在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE 若存在,求AP的长;若不存在,请说明理由.
(3) 若二面角A-B1E-A1的大小为30°,求AB的长. (见学生用书P72)
[规范板书] 解 (1) 以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图(2)).设AB=a,则A(0,0,0),D(0,1,0),D1(0,1,1),E,B1(a,0,1),故=(0,1,1),=,=(a,0,1),=.
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(变式(2))
∵·=-×0+1×1+(-1)×1=0,
∴B1E⊥AD1.
(2) 假设在棱AA1上存在一点P(0,0,z0),使得DP∥平面B1AE,此时=(0,-1,z0).
设平面B1AE的一个法向量为n=(x,y,z).
由n⊥,n⊥,得
令x=1,则n=.
要使DP∥平面B1AE,只要n⊥,故有-az0=0,解得z0=.
又DP 平面B1AE,∴在棱AA1上存在一点P,使得DP∥平面B1AE,此时AP=.
(3) 连结A1D,B1C.由长方体ABCD-A1B1C1D1及AA1=AD=1,得AD1⊥A1D.
∵B1C∥A1D,∴AD1⊥B1C.
又由(1)知B1E⊥AD1,且B1C∩B1E=B1,
∴AD1⊥平面DCB1A1,
∴是平面A1B1E的一个法向量.
设与n所成的角为θ,
则cosθ==.
又∵二面角A-B1E-A1的大小为30°,
∴|cosθ|=cos30°,即=,
解得a=2,即AB的长为2.
【例3】 如图(1),已知三棱锥O-ABC的侧棱OA,OB,OC两两垂直,且OA=1,OB=OC=2,E是OC的中点.
(1) 求异面直线BE与AC所成角的余弦值;
(2)求二面角A-BE-C的余弦值. (见学生用书P72)
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(例3(1))
[规范板书] 解 (1) 以O为坐标原点,OB,OC,OA所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz,
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(例3(2))
则A(0,0,1),B(2,0,0),C(0,2,0),E(0,1,0),
所以=(2,-1,0),=(0,2,-1),
所以cos<,>==-.
由于异面直线BE与AC所成的角是锐角,故其余弦值是.
(2)=(2,0,-1),=(0,1,-1).
设平面ABE的一个法向量为n1=(x,y,z),
则由n1⊥,n1⊥,得
令x=1,则n=(1,2,2).
易知平面BEC的一个法向量为n2=(0,0,1),
所以cos
由于二面角A-BE-C的平面角是n1与n2的夹角的补角,所以其余弦值是-.
[题后反思] (1) 两条异面直线所成的角θ可以借助这两条直线的方向向量的夹角φ求得,即cosθ=|cos φ|;
(2)直线与平面所成的角θ可以通过直线的方向向量与平面的法向量的夹角φ求得,即sinθ=|cosφ|;
(3)二面角的大小可以通过这两个面的法向量的夹角求得,它等于两个法向量的夹角或其补角.
变式 如图(1),在直三棱柱ABC-A'B'C'中,∠BAC=90°,AB=AC=λAA',M,N分别为A'B和B'C'的中点.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式(1))
(1) 求证:MN∥平面A'ACC';
(2) 若二面角A'-MN-C为直二面角,求λ的值. (见学生用书P72)
[规范板书] (1) 证法一 连结 ( http: / / www.21cnjy.com )AB',AC'.由∠BAC=90°,AB=AC,三棱柱ABC-A'B'C'为直三棱柱,所以M为AB'的中点.又因为N为B'C'的中点,所以MN∥AC'.又MN 平面A'ACC',AC' 平面A'ACC',因此MN∥平面A'ACC'.
证法二 取A'B'的中点P,连结 ( http: / / www.21cnjy.com )MP,NP.而M,N分别为AB'与B'C'的中点,所以MP∥AA',PN∥A'C',所以MP∥平面A'ACC',PN∥平面A'ACC'.又MP∩NP=P,所以平面MPN∥平面A'ACC'.而MN 平面MPN,所以MN∥平面A'ACC'.
(2) 解 以A为坐标原点,AB,AC,AA'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系O-xyz(如图(2)).
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(变式(2))
设AA'=1,则AB=AC=λ,
于是A(0,0,0),B(λ,0,0),C(0,λ,0),A'(0,0,1),B'(λ,0,1),C'(0,λ,1),
所以M,N.
所以=,=,=.
设m=(x1,y1,z1)是平面A'MN的一个法向量,
由得
令x1=1,则m=(1,-1,λ).
设n=(x2,y2,z2)是平面MNC的一个法向量,
由得
令x=-3,则n=(-3,-1,λ).
因为A'-MN-C为直二面角,所以m·n=0.
即-3+(-1)×(-1)+λ2=0,解得λ=(负值舍去).
二、 补充练习
1.在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,E为AA1的中点,则异面直线BE与CD1所成角的余弦值为 .
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(第2题)
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2,AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 .
3. 如图,AC是圆O的直径,点B ( http: / / www.21cnjy.com )在圆O上,∠BAC=30°,BM⊥AC于点M,EA⊥平面ABC,FC∥EA,AC=4,EA=3,FC=1.
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(第3题)
(1) 求证:EM⊥BF;
(2) 求平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值.
提示 以A为坐标原点,平面ABC内垂直于AC的直线,AC,AE所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系.(1)可得=(0,-3,3),=(-,1,1),故ME⊥BF;(2)可求出平面BEF的法向量为(,1,2),平面ABC的法向量为=(0,0,3),从而得到两个平面所成的锐二面角的余弦值为.
三、 课堂小结
1.本节课我们复习了空间向量及其运算,并运用向量的方法解决了有关空间直线及平面的平行、垂直和夹角等问题.
2.用空间向量解立体几何问 ( http: / / www.21cnjy.com )题,其基本思路:先选择向量的基底或建立空间直角坐标系,再分析已知向量和需要求解向量之间的差异,最后运用向量的代数运算或坐标运算.从已知向求解转化,体现了数形结合的重要思想.