《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-1名师导学：第一章 常用逻辑用语（含解析）

第 1　 章 常用逻辑用语　　　
第1课时　四种命题
　 教学过程
一、 问题情境
在我们日常生活中,经常涉及逻辑上的问题. ( http: / / www.21cnjy.com )无论是进行思考、交流,还是从事各项工作,都需要用逻辑用语表达自己的思想,需要用逻辑关系进行判断和推理.
在初中我们已经学过命题的有关概念,下面我们来复习一下.
问题1　下列语句的表述形式有什么特点 你能判断它们的真假吗
①若xy=1,则x,y互为倒数;②相似三角 ( http: / / www.21cnjy.com )形的周长相等;③2+4=5;④如果b≤-1,那么方程x2-2bx+b2+b=0有实数根;⑤3不能被2整除.
二、 数学建构
(一)生成概念
问题2　判断下列命题的真假,你能发现各命题之间有什么关系
①如果两个三角形全等,那么它们的面积相等;
②如果两个三角形的面积相等,那么它们全等;
③如果两个三角形不全等,那么它们的面积不相等;
④如果两个三角形的面积不相等,那么它们不全等.
解　①④为真命题,②③为假命题;①与②、③与④的条件和结论互逆,①与③、②与④的条件和结论互否.
(二) 理解概念
1.原命题与逆命题
在两个命题中,如果第一个命题的条件(或题设 ( http: / / www.21cnjy.com ))是第二个命题的结论,且第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个叫做原命题的逆命题.
2.原命题与否命题
在两个命题中,一个命题的条 ( http: / / www.21cnjy.com )件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定,这样的两个命题就叫做互否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的否命题.
3.原命题与逆否命题
在两个命题中,一个命题的条件和结论分别 ( http: / / www.21cnjy.com )是另一个命题的结论的否定和条件的否定,这样的两个命题就叫做互为逆否命题.若把其中一个命题叫做原命题,则另一个命题就叫做原命题的逆否命题.
(三) 巩固概念
关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以这样表述(原命题为“若p则q”):
(1) 交换原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的逆命题(逆命题为“若q则p”);
(2) 同时否定原命题的条件和结论,所得的命题是原命题的否命题(否命题为“若非p则非q”);
(3) 交换原命题的条件和结论,并且同时否定,所得的命题是原命题的逆否命题(逆否命题为“若非q则非p”).
三、 数学运用
【例1】　(根据教材第6页例1改编)写出命题“若a=0,则ab=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (见学生用书P1)
[处理建议]　先让学生叙述原命题的条件和结论,再对照定义进行解答.
[规范板书]　解　原命题:若a=0,则ab=0(真命题);
逆命题:若ab=0,则a=0(假命题);
否命题:若a≠0,则ab≠0(假命题);
逆否命题:若ab≠0,则a≠0(真命题).
[题后反思]　原命题为真命题,它的逆命题、否命题不一定为真命题,但它的逆否命题一定为真命题.
【例2】　(根据教材第6页例2改编 ( http: / / www.21cnjy.com ))把下列命题改写成“若p则q”的形式,并写出它们的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假. (见学生用书P2)
(1)两个全等的三角形的三边对应相等;
(2)四边相等的四边形是正方形;
(3)负数的平方是正数.
[处理建议]　先让学生分析原命题的条件p和结论q,然后写出逆命题、否命题、逆否命题,对(3)中的条件和结论引导学生得到不同的写法.
[规范板书]　解　(1) 原命题:若两个三角形全等,则这两个三角形的三边对应相等(真命题);
逆命题:若两个三角形的三边对应相等,则这两个三角形全等(真命题);
否命题:若两个三角形不全等,则这两个三角形的三边不对应相等(真命题);
逆否命题:若两个三角形的三边不对应相等,则这两个三角形不全等(真命题).
(2)原命题:若一个四边形的四边相等,则它是正方形(假命题);
逆命题:若一个四边形是正方形,则它的四条边相等(真命题);
否命题:若一个四边形的四边不相等,则它不是正方形(真命题);
逆否命题:若一个四边形不是正方形,则它的四条边不相等(假命题).
(3)原命题:若一个数是负数,则它的平方是正数(真命题);
逆命题:若一个数的平方是正数,则它是负数(假命题);
否命题:若一个数不是负数,则它的平方不是正数(假命题);
逆否命题:若一个数的平方不是正数,则它不是负数(真命题).
问题3　第(3)问还有其他写法吗
解　原命题:若一个数是负数的平方,则这个数是正数(真命题);
逆命题:若一个数是正数,则它是负数的平方(假命题);
否命题:若一个数不是负数的平方,则这个数不是正数(假命题);
逆否命题:若一个数不是正数,则它不是负数的平方(真命题).
[题后反思]　两个互为逆否的命题同 ( http: / / www.21cnjy.com )真或同假(如:原命题和逆否命题,逆命题和否命题),其余情况则不一定同真或同假(如:原命题和逆命题,否命题和逆否命题等).
问题4　逆命题与否命题,逆命题与逆否命题,否命题与逆否命题之间又有什么关系呢
结论:四种命题之间的关系如下图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )
*【例3】　已知原命题是“当c>0时,若a>b,则ac>bc”,写出它的逆命题、否命题与逆否命题,并分别判断它们的真假.
[处理建议]　“当c>0时”是大前提,写其他命题时应该保留,原命题的条件是“a>b”,结论是“ac>bc”.
[规范板书]　解　逆命题:当c>0时,若ac>bc,则a>b(真命题);
否命题:当c>0时,若a≤b,则ac≤bc(真命题);
逆否命题:当c>0时,若ac≤bc,则a≤b(真命题).
四、 课堂练习
1.将命题“平行四边形的对角相等”写成“若p则q”的形式为若一个四边形是平行四边形,则它的对角相等.
2.写出“若x2+y2=0,则x=0且y=0”的逆否命题:若x≠0或y≠0,则x2+y2≠0.
提示　“且”与“或”的否定分别为“或”与“且”.
3.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题是若a≤b,则2a≤2b-1.
4.写出命题“若a和b都是偶数,则a+b是偶数”的逆命题、否命题与逆否命题,同时指出它们的真假.
解　逆命题:若a+b是偶数,则a和b都是偶数(假命题);
否命题:若a,b不都是偶数,则a+b不是偶数(假命题);
逆否命题:若a+b不是偶数,则a,b不都是偶数(真命题).
五、 课堂小结
1.四种命题的准确表达及其相互关系.
2.等价转化的思想:互为逆否命题的两个命题同真同假的应用.
第2课时　充分条件和必要条件(1)
　 教学过程
一、 问题情境
请判断下列命题的真假:
①若a>b,则ac>bc(假命题);
②若x≥0,则x2≥0(真命题) .
二、 数学建构
1.推断符号“ ”的含义
例如上述②为真命题,由p经过推理可以得出q,即如果p成立,那么q一定成立,此时可记作“p q”.
又例如上述①为假命题,由p经过推理得不出q,即如果p成立,推不出q成立,此时可记作“p /q”.
用推断符号“ ”写出下列命题:
(1) 若a>b,则a+c>b+c;
(2) 若x≥0,则x2≥0.
2.充分条件与必要条件
一般地,如果已知p q,那么就说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(1)上述定义中,“p q”即如果具备了条件 ( http: / / www.21cnjy.com )p,就足以保证q成立,所以p是q的充分条件,这点容易理解.但同时说q是p的必要条件,这是为什么呢
(2)应注意条件和结论是相 ( http: / / www.21cnjy.com )对而言的,“p q”的等价命题是“ q p”,即若q不成立,则p就不成立,故q就是p成立的必要条件了.但还必须注意:当q成立时,p可能成立,也可能不成立,即q成立不能保证p一定成立.
(3)如何理解充分条件与必要条件中的“充分”和“必要”呢
充分性　说条件是充分的, ( http: / / www.21cnjy.com )也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.它符合上述的“若p则q”为真(即p q)的形式.“有之必成立,无之未必不成立”.
必要性　必要就是必须,必不可少.它满足上述的“若非q则非p”为真(即 q p)的形式.“有之未必成立,无之必不成立”.
3.充要条件　
如果既有p q,又有q p,就记作p q.我们就说,p和q互为充要条件.
(1) 符号“ ”叫做等价符号.“p q”表示“p q且p q”,也表示“p等价于q”.
(2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.
说出下列问题中的条件与结论之间的关系:
(1) 若a>b,则a+c>b+c;
(2) 若x≥0,则x2≥0;
(3) 若两个三角形全等,则这两个三角形的面积相等.
三、 数学运用
【例1】　(教材第7页例1)指出下列命 ( http: / / www.21cnjy.com )题中,p是q的什么条件.(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出一种)
(1) p:x-1=0,q:(x-1)(x+2)=0;
(2) p:两直线平行,q:内错角相等;
(3) p:a>b,q:a2>b2;
(4) p:四边形的四条边相等,q:四边形是正方形. (见学生用书P3)
[处理建议]　本题是本节课知识的初步应用.由学生根据以前的数学知识,判断p,q之间的推理关系.
[规范板书]　解　(1) 因为x-1=0 (x-1)(x+2)=0,但(x-1)(x+2)=0 /x-1=0,所以p是q的充分不必要条件.
(2) 因为两条直线平行 内错角相等,所以p是q的充要条件.
(3) 因为a>b /　a2>b2,且a2>b2 /　a>b,所以p是q的既不充分又不必要条件.
(4) 因为四边形是正方形 四边形的四条边相等,但四条边相等的四边形不一定是正方形,所以p是q的必要不充分条件.
[题后反思]　本题直接利用定义由原命题 ( http: / / www.21cnjy.com )判断充分条件与必要条件.如果由原命题直接判断不方便,我们可以换一种方式,根据互为逆否命题的等价性,利用它的逆否命题来进行判断.
【例2】　(1) 若c∈R,则“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点”的什么条件
(2) 对于函数y=f(x),x∈R,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的什么条件 (见学生用书P4)
[处理建议]　(1)可直接由函数图象过原点的等价条件来判断;(2)综合考查了奇函数、偶函数的性质及图象,可通过举反例来说明p /q.
[规范板书]　解　(1) 若c=0 ( http: / / www.21cnjy.com ),则f(x)=ax2+bx(a≠0),当x=0时,y=f(0)=0,因此函数f(x)=ax2+bx(a≠0)的图象过原点,故充分性成立.
(2) 因为函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点,所以f(0)=0,即c=0,故必要性成立.
综上,“c=0”是“函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象过原点”的充要条件.
(2) 若y=f(x)是奇函数,则对任意 ( http: / / www.21cnjy.com )的x∈R,均有f(-x)=-f(x),即|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,所以y=|f(x)|是偶函数,即y=|f(x)|的图象关于y轴对称,故必要性成立.
若y=|f(x)|的图象关于y轴对称 ( http: / / www.21cnjy.com ),则不能得出y=f(x)一定是奇函数.如:y=|cosx|,显然其图象关于y轴对称,但y=cosx是偶函数.故充分性不成立.
综上,“y=|f(x)|的图象关于y轴对称”是“y=f(x)是奇函数”的必要不充分条件.
[题后反思]　由上述命题的充分条件、必要条件的判断过程,知命题按条件和结论的充分性、必要性可分四类:
①充分不必要条件,即p q,而q /p;
②必要不充分条件,即p q,而p /q;
③充要条件,既有p q,又有q p;
④既不充分又不必要条件,既有p /q,又有q /p.
*【例3】　已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>3},则命题“x∈A”是命题“x∈B”的什么条件
[规范板书]　解　充分不必要条件.
变式1　已知集合A={x|x>5},集 ( http: / / www.21cnjy.com )合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分条件,则a的取值范围是　(-∞,5]　.
变式2　已知集合A={x|x>5},集合B={x|x>a},若命题“x∈A”是命题“x∈B”的充分不必要条件,则a的取值范围是　(-∞,5)　.
[题后反思]　一个问题总是有正反两个方面,变式考查的是已知命题的充分必要性求原命题中参数的取值范围,提醒学生注意临界值.
四、 课堂练习
1.在△ABC中,“A>B”是“sinA>sinB”的　充要　条件.
2.从“ ”“ ”中选择适当的符号填空.
(1)a,b都是奇数　 　a+b是偶数;
(2)x2=x+2　 　|x|=.
3.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”和“既不充分又不必要条件”中选出适当的一种填空.
(1)“φ=0”是“函数f(x)=sin(x+φ)为奇函数”的充分不必要条件;
(2)“2a>2b”是“log2a>log2b”的必要不充分条件;
(3)“0(4)“x>0”是“x+≥2”的充要条件.
五、 课堂小结
1.对充分条件和必要条件概念的理解.
2.对充分条件和必要条件的判断.
第3课时　充分条件和必要条件(2)
　 教学过程
一、 问题情境
对于“命题p是q成立的充要条件”和“命题p成立的充要条件是q”,充分性、必要性分别指的是什么
二、 数学建构
1.充要条件
如果既有p q,又有q p,就记作p q.我们就说,p和q互为充要条件.
(1) 符号“ ”叫做等价符号,“p q”表示“p q且p q”,也表示“p 等价于q”;
(2) “充要条件”有时还可以改用“当且仅当”来表示,其中“当”表示“充分”,“仅当”表示“必要”.
2.充要条件的判断方法
四种“命题”反映了命题的条件与结论之间的因果关系,所以在判断时应注意:
(1) 确定条件是什么,结论是什么;
(2) 尝试从条件推出结论,从结论推出条件(方法有直接证法或间接证法);
(3) 确定条件是结论的什么条件;
(4) 充要性包含:充分性p q,必要性q p,这两个方面,缺一不可.
三、 数学运用
【例1】　若M是N的充分不必要条件,N是P的充要条件,Q是P的必要不充分条件,则M是Q的什么条件 (见学生用书P5)
[处理建议]　引导学生用推导符号先表示出它们的关系.
[规范板书]　解　由题意可知M N P Q,显然M是Q的充分不必要条件.
[题后反思]　命题的充分必要性具有传递性.
【例2】　若不等式|x-a|<2成立的充分不必要条件是1[处理建议]　先求出|x-a|<2的解集,再由其解集与{x|1[规范板书]　解　由|x-a|<2,得a-2由题意得(等号不能同时成立),解得1≤a≤3.
因此,实数a的取值范围是[1, 3].
[题后反思]　给定两个条件p,q,集合A={x|x满足条件p},B={x|x满足条件q}.
①若p为q的充分条件,q为p的必要条件,则A B;
②若q为p的充分条件,p为q的必要条件,则B A.
【例3】　求证:实系数一元二次方程x2+px+q=0有两个异号实根的充要条件是q<0.
(见学生用书P6)
[处理建议]　要区分清楚“必要性”“充分性”各应证明什么命题,分清两种情况下的条件和结论各是什么.
[规范板书]　证明　①充分性:
因为q<0,所以方程x2+px+q=0的Δ=p2-4q>0,
所以方程x2+px+q=0有两个不相等的实根,设其为x1,x2.
因为x1·x2=q<0,所以方程x2+px+q=0有两个异号实根.
②必要性:
因为方程x2+px+q=0有两个异号实根,设其为x1,x2,所以x1·x2<0.
因为x1·x2=q,所以q<0.
由①②,原命题得证.
[题后反思]　证明充要条件,实际上需要 ( http: / / www.21cnjy.com )证明原命题和逆命题都成立.它亦等价于证明:(1)原命题和否命题都成立;(2)逆否命题和逆命题都成立;(3)逆否命题和否命题都成立.这种等价转换的思想,就能使思路更广阔,方法更灵活,复杂问题简单化.
*【例4】　求证:对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.
[处理建议]　要证明必要不充分条件,就是要证明两个方面,一个是必要条件,另一个是不充分条件.结合上题引导学生证明不充分性.
[规范板书]　证明　必要性:对于任意的x,y∈R,如果x2+y2=0,那么x=0,y=0,即xy=0.
故“xy=0”是“x2+y2=0”的必要条件.
不充分性:对于任意的x,y∈R,如果xy=0,如x=0,y=1,此时x2+y2≠0,
故“xy=0”不是“x2+y2=0”的充分条件.
综上,对于任意的x,y∈R,“xy=0”是“x2+y2=0”的必要不充分条件.
[题后反思]　(1) 判断p是q的什么条件,常用的方法是验证由p能否推出q,由q能否推出p,对于否定性命题,注意利用等价命题来判断.
(2) 证明充要条件时,既要证明充分性,又 ( http: / / www.21cnjy.com )要证明必要性,即证明原命题和逆命题都成立,但要分清必要性、充分性是证明怎样的一个式子成立.“A的充要条件为B”的命题的证明:A B证明了必要性;B A证明了充分性.“A是B的充要条件”的命题的证明:A B证明了充分性;B A证明了必要性.
四、 课堂练习
1. “xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充要条件.
2. “A∩B=A”是“A=B”的必要不充分条件.
3. 已知p:x+y≠-2,q:x,y不都是-1,那么p是q的充分不必要条件.
4.求证:函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.
证明　充分性:若b=0,则f(x)=ax2+c,所以f(-x)=a(-x)2+c=ax2+c=f(x),故f(x)为偶函数;
必要性:若f(x)为偶函数,则f(x)=f(-x),即ax2+bx+c=a(-x)2-bx+c对任意的x∈R恒成立,所以b=0.
综上,函数f(x)=ax2+bx+c是偶函数的充要条件是b=0.
五、 课堂小结
1.“充要条件”的判定方法.
2.理解充要条件的含义并解决有关问题.
第4课时　简单的逻辑联结词
　 教学过程
一、 问题情境
考察下列命题:
(1) 6是2的倍数或6是3的倍数;
(2) 6是2的倍数且6是3的倍数;
(3) 不是有理数.
二、 数学建构
问题1　这些命题的构成各有什么特点
命题(1)是用“或”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;
命题(2)是用“且”将“6是2的倍数”与“6是3的倍数”联结而成的新命题;
命题(3)是对命题“是有理数”进行否定而成的新命题,在逻辑上常用“非”来表示.
概念　逻辑联结词:“或”“且”“非”这些词叫做逻辑联结词.
不含逻辑联结词,是简单命题;由简单命题与逻辑联结词构成,是复合命题.
我们常用小写拉丁字母p,q,r,…表示命题.
命题(1)的构成形式为“p或q”;
命题(2)的构成形式为“p且q”;
命题(3)的构成形式为“非p”.
1. 将逻辑联结词“或”“且”“非”与集合中的“交”“并”“补”比较记忆.
构成形式 符号表示 读　　法 对应集合
p或q p∨q “∨”读作“析取”,表示“或者” 并集
p且q p∧q “∧”读作“合取”,表示“且” 交集
非p p “ ”读作“非”或“并非”,表示“否定” 补集
　　2.对逻辑联结词“或”“且”“非”的理解
(1)对“或”的理解:逻辑联 ( http: / / www.21cnjy.com )结词的“或”与一般连词之间是有区别的.例如:在“方程x2+x-2=0的解是x=-2或x=1”中,“或”是一般连词;而“方程x2+x-2=0的解是x=-2或方程x2+x-2=0的解是x=1”中,“或”是逻辑联结词,是两者至少选一个的意思,这与并集中的“或”有相同之处,A∪B={x|x∈A或x∈B}.
(2)对“且”的理解:“且”的含义可以 ( http: / / www.21cnjy.com )联想到交集的概念,A∩B={x|x∈A且 x∈B},A∩B中的“且”是指“x∈A”“x∈B”两个条件都要满足的意思.
(3)对“非”的理解:非的含义是否定,非p也称为命题p的否定.由“非”可以联想到补集的概念, UA={x∈U且x A}.
3.“p或q”“p且q”“非p”形式的命题中,p,q都是命题.而“若p则q”中的p,q可以是命题,也可以是其他的语句.
4.思考:命题的否定与否命题是一回事吗
不一样.“否命题”是对原命题的条件和结论同时否定,而“命题的否定”只是否定命题的结论.
注:在考虑命题“非p”时,往往需要对一些词语进行否定,常见的一些词语的否定词如下表所示.
原词语 是 都是 完全 负数 所有的
否定词语 不是 不都是 不完全 非负数 至少一个不
原词语 任意的 任意两个 所有的 能 至多n个
否定词语 某个 某两个 某些 不能 至少n+1个
原词语 等于(=) 大于(>) 小于(<) 至少一个 至多一个
否定词语 不等于(≠) 不大于(≤) 不小于(≥) 一个也没有 至少两个
　　问题2　判断含有逻辑联结词的命题的真假,观察并寻找规律.
基本规律:“或”“且”“非”构成命题的真假判断方法(复合命题真假判断表).
①“非p”形式的复合命题的真假可以用下表表示:
p 非p
真 假
假 真
　　②“p且q”形式的复合命题的真假可以用下表表示:
p q p且q
真 真 真
真 假 假
假 真 假
假 假 假
　　③“p或q”形式的复合命题的真假可以用下表表示:
p q p或q
真 真 真
真 假 真
假 真 真
假 假 假
　　判断一个复合命题的真假,一般有三个步骤:
①确定复合命题的构成形式及其中简单命题的内容;
②判断各简单命题的真假;
③利用上面真值表判断复合命题的真假.
三、 数学运用
【例1】　(教材第10页例1)分别指出下列命题的形式:
(1) 8≥7;
(2) 2是偶数且2是质数;
(3) π不是整数. (见学生用书P7)
[处理建议]　引导学生结合逻辑联结词的含义,说出简单命题.
[规范板书]　解　(1) 这个命题是“p或q”的形式,其中,p:8>7,q:8=7.
(2) 这个命题是“p且q”的形式,其中,p:2是偶数,q:2是质数.
(3) 这个命题是“非p”的形式,其中,p:π是整数.
[题后反思]　本题对含逻辑联结词的三种形式作了概括,学生能模仿即可.
【例2】　分别写出由下列各组命题构成的“p或q”“p且q”“非p”形式的命题.
(1)p:π是无理数,q:e不是无理数;
(2)p:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根,q:方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;
(3)p:三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和,q:三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角. (见学生用书P8)
[规范板书]　解　(1)“p或q”:π是无理数或e不是无理数;
“p且q”:π是无理数且e不是无理数;
“非p”:π不是无理数.
(2)“p或q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根或方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;
“p且q”:方程x2+2x+1=0有两个相等的实数根且方程x2+2x+1=0两根的绝对值相等;
“非p”:方程x2+2x+1=0没有两个相等的实数根.
(3)“p或q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和或三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;
“p且q”: 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和且三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角;
“非p”: 三角形的外角不等于与它不相邻的两个内角的和.
[题后反思]　注意含逻辑联结词的命题的结构.
【例3】　(教材第11页例3)判断下列命题的真假:
(1)4≥3; (2)4≥4; (3)4≥5.(见学生用书P8)
[处理建议]　命题形式虽然简洁,但是学生不易理解,需要通过一些实例来体会.
[规范板书]　解　(1) “4≥3”的含义是“4>3或4=3”,其中“4>3”是真命题,所以“4≥3”是真命题.
(2)“4≥4”的含义是“4>4或4=4”,其中“4=4”是真命题,所以“4≥4”是真命题.
(3)“4≥5”的含义是“4>5或4=5”,其中“4>5”与“4=5”都是假命题,所以“4≥5”是假命题.
[题后反思]　通过这个例题,让学生体会“≤”“≥”的含义.
*【例4】　已知p:关于x的方程x2+ ( http: / / www.21cnjy.com )mx+1=0有两个不相等的负实数根;q:关于x的方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根.如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,求出满足要求的m的取值范围.
[处理建议]　先由“p或q”为真命题及“p且q”为假命题,得出p,q的真假,然后再求出m的取值范围.
[规范板书]　解　若方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实数根,
则
若方程4x2+4(m-2)x+1=0无实数根,
则Δ=16(m-2)2-16=16(m2-4m+3)<0,
解得1因为“p或q”为真命题,所以p,q至少有一个为真.又因为“p且q”为假命题,所以p,q至少有一个为假,因此这两个命题应是一真一假.
当p真q假时,解得 m≥3;
当p假q真时,解得1综上,m≥3或1变式　将条件:如果“p或q”为真命题,“p且q”为假命题,改为“p且q”为真命题,其他条件不变,求出满足要求的m的取值范围.
[规范板书]　解　由题意知p,q都为真,得2[题后反思]　这道例题很典型,是一道逻辑关系和其他知识点综合的题目.应引导学生先求出每个命题都是真命题时参数的取值范围.
四、 课堂练习
1.命题“非空集合A∩B中的元素既是A中 ( http: / / www.21cnjy.com )的元素也是 B 中的元素”是　p且q　的形式,命题“非空集合A∪B中的元素是A中的元素或是B中的元素”是　p或q　的形式.
提示　x∈A∩B,则x∈A且x∈B,填“p且q”;x∈A∪B,则x∈A或x∈B,填“p或q”.
2.已知p:菱形的对角线互相垂直;q:菱形的对角线互相平分,写出下列复合命题:
(1)p或q;(2)p且q;(3)非p.
解　(1)菱形的对角线互相垂直或平分;
(2)菱形的对角线互相垂直且平分;
(3)菱形的对角线不垂直.
提示　一般的问题都是“拆”复合命题,这里是“造”复合命题,关键在于“合”.
3.如果命题“p或q”与命题“非p”都是真命题,那么下列说法中正确的有　②　.
①命题p不一定是假命题;
②命题p一定是假命题;
③命题q不一定是真命题;
④命题p与命题q都是真命题.
提示　p为假,从而q为真.
4. 由命题p“0∈ ”与q“0∈N”构成的 ( http: / / www.21cnjy.com )“p且q”形式的命题是　假　命题;由命题p“5是15的约数”与q“1是方程x2-x-2=0的根”构成的“p或q”形式的命题是　真　命题.
五、 课堂小结
1.知道简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;能知道一个复合命题中逻辑联结词的使用情况.
2.会利用“或”“且”“非”表述相关的数学内容.
3.会判断“或”“且”“非”构成命题的真假.
4.利用命题的真假求参数的取值范围.
第5课时　量　　词
　 教学过程
一、 问题情境
在日常生活和学习中,我们经常遇到这样的命题:
(1)所有中国公民的合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护;
(2)对于任意实数x,都有x2≥0;
(3)存在有理数x,使x2-2=0.
二、 数学建构
问题1　上述命题与以前学过的命题有何不同 [1]
问题2　能说出上面3句话中的含义吗 [2]
解　命题(1):只要是“中国公民”,其合法权利都受到中华人民共和国宪法的保护.
命题(2):对每一个实数x,必有x2≥0,即没有使x2≥0不成立的实数x存在.
命题(3):至少可以找到一个有理数x,使x2-2=0成立.
1.全称量词
“所有”“任意”“每一个”等表示全体的量词在逻辑中称为全称量词,通常用符号“ x”表示“对任意x”.
2.存在量词
“有一个”“有些”“存在一个”等表示部分的量词在逻辑中称为存在量词,通常用符号“ x”表示“存在x”.
3.全称命题与存在性命题
(1)含有全称量词的命题称为全称命题,含有存在量词的命题称为存在性命题.
(2)全称命题与存在性命题的一般形式:
全称命题: x∈M,p(x);
存在性命题: x∈M,p(x).
其中M为给定的集合,p(x)是一个关于x的命题.
三、 数学运用
【例1】　判断下列命题是全称命题还是存在性命题:
(1)有一个实数a,a不能取对数;
(2)所有不等式的解集A,都有A R;
(3)三角函数都是周期函数;
(4)有的向量方向不定;
(5)自然数的平方是正数. (见学生用书P9)
[处理建议]　引导学生说出每一个命题中的量词,再结合全称命题和存在性命题的定义得到答案.
[规范板书]　解　(1)存在性命题;
(2)全称命题;
(3)全称命题;
(4)存在性命题;
(5)全称命题.
[题后反思]　(1) 判断一个语句是全称命题还是存在性命题,应先判断它是否为命题;
(2) 判断命题是全称命题还是存在性 ( http: / / www.21cnjy.com )命题,主要是看命题中是否含有全称量词或存在量词,要注意的是有些全称命题中并不含有全称量词(如“对顶角相等”),这时我们就要根据命题的意义去判断.
【例2】　(教材第15页例1)判断下列命题的真假:
(1) x∈R,x2>x;
(2) x∈R,x2>x;
(3) x∈Q,x2-8=0;
(4) x∈R,x2+2>0. (见学生用书P10)
[处理建议]　师生共同分析,找出判断全称命题和存在性命题真假的一般方法.
[规范板书]　解　(1) 因为当x=2时,x2>x成立,所以“ x∈R,x2>x”是真命题.
(2)因为当x=0时,x2>x不成立,所以“ x∈R,x2>x”是假命题.
(3)因为使x2-8=0成立的数只有x=2与x=-2,但它们都不是有理数,所以“ x∈Q,x2-8=0”是假命题.
(4)因为对于任意实数x,都有x2+2>0成立,所以“ x∈R,x2+2>0”是真命题.
[题后反思]　(1) 要判定一个存在性命题为真命题,只要在给定的集合中,找到一个元素x,使命题p(x)为真命题,否则命题为假命题.
(2) 要判定一个全称命题为真命题,必 ( http: / / www.21cnjy.com )须对给定的集合的每一个元素x,p(x)都为真命题;但要判定一个全称命题为假命题,只要在给定的集合内找出一个x0,p(x0)为假命题.
*【例3】　用量词符号“ ”“ ”表达下列命题:
(1)实数都能写成小数形式;
(2)凸n边形的外角和等于2π;
(3)任一个实数乘以-1都等于它的相反数;
(4)存在实数x,使得x3>x2;
(5)对任意角α,都有sin2α+cos2α=1.
[处理建议]　先找到命题中的全称量词或存在量词.
[规范板书]　解　(1) x∈R,x能写成小数形式;
(2) x∈{x|x是凸n边形},x的外角和等于2π;
(3) x∈R,x·(-1)=-x;
(4) x∈R,x3>x2;
(5) α∈{角},sin2α+cos2α=1.
[题后反思]　正确认识存在量词和全称量词的符号表示.
四、 课堂练习
1.判断下列命题是全称命题还是存在性命题:
(1)所有能被2整除的整数都是偶数;
(2)有的函数是偶函数;
(3)圆周上任意一点到圆心的距离都等于圆的半径;
(4)三角形有且仅有一个外接圆.
解　(1) 全称命题;
(2)存在性命题;
(3)全称命题;
(4)全称命题.
2.指出下列命题中的量词,并判断命题的真假.
(1)任意一个正方形都是矩形;
(2)所有的一元二次方程都有实数根;
(3)至少存在一个锐角α,使得sinα=.
解　(1)任意;真命题.
(2)所有;假命题.
(3)存在;真命题.
五、 课堂小结
1.全称命题和存在性命题的含义.
2.判断全称命题和存在性命题真假的方法.
第6课时　含有一个量词的命题的否定
　 教学过程
一、 问题情境
对于下列命题:
(1)所有的人都喝水;
(2)存在有理数x,使x2-2=0;
(3)对所有实数a,都有|a|≥0.
问题1　上述命题属于什么命题 [1]
解　都是含有量词的命题,(1)(3)是全称命题,(2)是存在性命题.
问题2　试对上述命题进行否定,你发现有何规律 [2]
解　命题(1)的否定为“并非所有的人都喝水”,换言之为“有的人不喝水”.命题否定后,全称量词变为存在量词,“肯定”变为“否定”.
命题(2)的否定为“并非存在有理数x,使 ( http: / / www.21cnjy.com )x2-2=0”,即“对所有的有理数x,x2-2≠0”.命题否定后,存在量词变为全称量词,“肯定”变为“否定”.
命题(3)的否定为“并非对所有的实数a,都有|a|≥0”,即“存在实数a,使|a|<0”.
二、 数学建构
一般地,“ x∈M,p(x)”的否定为“ x∈M, p(x)”,
“ x∈M,p(x)”的否定为“ x∈M, p(x)”.
三、 数学运用
【例1】　(教材第16页例1)写出下列命题的否定:
(1)所有人都晨练;
(2) x∈R,x2+x+1>0;
(3)平行四边形的对边相等;
(4) x∈R,x2-x+1=0.(见学生用书P11)
[处理建议]　允许学生写出不同的否定形式,但最后要求学生统一到常见的格式.
[规范板书]　解　(1)“所有人都晨练”的否定是“有的人不晨练”;
(2)“ x∈R,x2+x+1>0”的否定是“ x∈R,x2+x+1≤0”;
(3)“平行四边形的对边相等”是指任意一个平行四边形的对边相等,它的否定是“存在平行四边形,它的对边不相等”;
(4)“ x∈R,x2-x+1=0”的否定是“ x∈R,x2-x+1≠0”.
[题后反思]　含有量词的命题的否定应该有统一的形式.
【例2】　写出下列命题的否定:
(1)实数的绝对值是正数;
(2)矩形的对角线互相垂直. (见学生用书P12)
[处理建议]　引导学生首先将命题写成含有量词的形式.
[规范板书]　解　(1) 命题“实 ( http: / / www.21cnjy.com )数的绝对值是正数”可改写成“所有实数的绝对值都是正数”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为“存在一个实数的绝对值不是正数”.
(2)命题“矩形的对角线互相垂直”可 ( http: / / www.21cnjy.com )改写成“所有矩形的对角线都互相垂直”,此命题是全称命题,所以此命题的否定为“存在一个矩形,它的对角线不互相垂直”.
[题后反思]　对表面上不含有量词的命题的否定,首先根据命题中所叙述的对象的特征,挖掘其隐含的量词,确定它是全称命题还是存在性命题.
【例3】　写出下列命题的否定:
(1)若xy=0,则x=0或y=0;
(2)若x2+y2=0,则x=0,y=0. (见学生用书P12)
[处理建议]　由学生列出所有可能情况,理解命题的否定的写法.
[规范板书]　解　(1) 命题“若xy=0,则x=0或y=0”的否定为“若xy=0,则x≠0且y≠0”;
(2)命题“若x2+y2=0,则x=0,y=0” 的否定为“若x2+y2=0,则x≠0或y≠0”.
[题后反思]　“或”的否定是“且”,“且”的否定是“或”.
*【例4】　(1) 写出命题p“偶数能被4整除”的否定形式“ p”,并判断“ p”的真假;
(2)将命题“偶数能被4整除”改写成“如果……那么……”的形式,然后再写出它的否命题,并判断否命题的真假.
[处理建议]　注意“命题的否定”和“否命题”是两个不同的概念.
[规范板书]　解　(1) 命题p“偶数 ( http: / / www.21cnjy.com )能被4整除”可写成“所有的偶数都能被4整除”,此命题是全称命题,所以此命题的否定“ p”为“存在一个偶数不能被4整除”,它是真命题.
(2)命题“偶数能被4整除” ( http: / / www.21cnjy.com ) 可写成“如果一个数是偶数,那么它能被4整除”,所以此命题的否命题为“如果一个数不是偶数,那么它不能被4整除”,它是真命题.
[题后反思]　“命题的否定”是原命题的矛盾命题,两者的真假性必然是一真一假;而否命题和原命题可能同真同假,也可能一真一假.
四、 课堂练习
1.写出下列命题的否定:
(1) x∈R,使得2x2-1<0;
(2) 有的三角形的外心在三角形外部;
(3) 有一个素数是偶数;
(4) 在实数范围内,有些一元二次方程无解.
解　(1) x∈R,都有2x2-1≥0;
(2) 任意一个三角形的外心都在三角形内部;
(3) 每一个素数都不是偶数;
(4) 在实数范围内,所有的一元二次方程都有解.
2.写出下列命题的否定:
(1) x∈Z,x2的个位数字不等于3;
(2) 三角形的两边之和大于第三边;
(3) 存在实数x,使lgx<1;
(4) 和为0的两个实数互为相反数.
解　(1) x∈Z,x2的个位数字等于3;
(2) 存在这样的三角形,它的两边之和不大于第三边;
(3) 对任意的实数x,都有lgx≥1;
(4) 存在和为0的两个实数不互为相反数.
五、 课堂小结
1.全称命题的否定:全称量词变存在量词,肯定变否定.
2.存在性命题否定:存在量词变全称量词,肯定变否定.
第7课时　本章复习
　 教学过程
一、 课前预习
1.命题“若ab=0,则a=0或b=0”的否命题是若ab≠0,则a≠0且b≠0.
2.已知命题p: x∈R,sinx≤1,则命题p的否定为 x∈R,sinx>1,为　假　命题(填“真”或“假”).
3.命题“ x0 ∈R,+1 < 0”的否定是 x0∈R,+1≥0,为　真　命题(填“真”或“假”).
4.已知命题p:所有有理数都是实数,命题q:正数的对数都是负数,则下列命题中为真命题的有　④　.
①( p)∨q ;②p∧q ; ③( p)∧( q) ;
④( p)∨( q).
5.“a=3”是“直线ax+2y-1=0和直线3x+(a-1)y+2=0平行”的充分不必要条件.
二、 数学运用
【例1】　写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假.
(1)平行四边形的对边相等;　
(2)设a,b,c,d∈R,若a=b,c=d,则a+c=b+d. (见学生用书P13)
[处理建议]　本例是对四种命题的复习,首先要弄清原命题的条件和结论.
[规范板书]　解　(1) 原命题:若一个四边形为平行四边形,则它的对边相等(真命题);
逆命题:若一个四边形的对边相等,则它是平行四边形(真命题);
否命题:若一个四边形不是平行四边形,则它的对边不相等(真命题);
逆否命题:若一个四边形的对边不相等,则它不是平行四边形(真命题).
(2)原命题:设a,b,c,d∈R,若a=b,c=d,则a+c=b+d(真命题);
逆命题:设a,b,c,d∈R,若a+c=b+d,则a=b,c=d(假命题);
否命题:设a,b,c,d∈R,若a≠b或c≠d,则a+c≠b+d(假命题);
逆否命题:设a,b,c,d∈R,若a+c≠b+d,则a≠b或c≠d(真命题).
[题后反思]　注意“且”与“或”否定的变化.
变式　写出命题“若xy=0,则x,y中至少有一个为0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它们的真假. (见学生用书P14)
[规范板书]　解　逆命题:若x,y中至少有一个为0,则xy=0(真命题);
否命题:若xy≠0,则x,y都不为0(真命题);
逆否命题:若x,y都不为0,则xy≠0(真命题).
【例2】　已知a>0,命题 ( http: / / www.21cnjy.com )p:函数y=ax在R上单调递增,命题q:不等式ax2-ax+1>0对任意实数x恒成立.若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,求a的取值范围. (见学生用书P14)
[处理建议]　本题回顾复合命题的真假,并对 ( http: / / www.21cnjy.com )指数函数、不等式的内容有所考查.一般处理途径是先求两个命题都为真命题时a的取值范围,再结合题目要求得到所需的取值范围.
[规范板书]　解　若p为真命题,则a>1;
若q为真命题,则0≤a<4.
若“p且q”为假命题,“p或q”为真命题,则p与q一真一假.
当p真q假时,a≥4;当p假q真时,0≤a≤1.
综上,a的取值范围是[0,1]∪[4,+∞).
变式1　将条件“若‘p且q’为假命题,‘p或q’为真命题”改为“‘p且q’为真命题”呢
[规范板书]　解　p真q真,则1[题后反思]　注意题目“p且q”为假命题,“p或q”为真命题的含义.
变式2　已知命题p1:函数y=ln(x+)是奇函数,命题p2:函数y=为偶函数,则在下列四个命题:①p1∨p2;②p1∧p2;③( p1)∨p2;④p1∧( p2)中,真命题的序号是　①④　. (见学生用书P14)
【例3】　已知条件p:A={x|2a≤x≤a ( http: / / www.21cnjy.com )2+1},条件q:B={x|x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0}.若p是q的充分条件,求实数a的取值范围. (见学生用书P14)
[处理建议]　本题涉及含参数二次不等式的一般解法,应正确进行分类讨论.可先将题目中的充分条件转化为集合间的包含关系.
[规范板书]　解　因为p是q的充分条件,所以p q,即A B,
而x2-3(a+1)x+2(3a+1)≤0即为(x-2)(x-3a-1)≤0.
①当3a+1=2,即a=时代入不符合题意;
②当3a+1>2,即a>时,由题意得 得1≤a≤3;
③当3a+1<2,即a<时,由题意得得a=-1.
综上,a的取值范围是{a|1≤a≤3或a=-1}.
[题后反思]　分类讨论思想是高中阶段学生需要 ( http: / / www.21cnjy.com )掌握的一个重要数学思想,应通过解题不断加深体会,一般要研究讨论的原因(为什么讨论)、怎么讨论(讨论的标准)、规范书写等.
变式　已知集合A={x|x2 ( http: / / www.21cnjy.com )-3x+2≤0},集合B为函数y=x2-2x+a的值域,集合C={x|x2-ax-4≤0};命题p:A∩B≠ ,命题q:A C.
(1) 若命题p为假命题,求实数a的取值范围;
(2) 若命题“p∧q”为真命题,求实数a的取值范围. (见学生用书P14)
[规范板书]　解　(1) A=[1,2],B=[a-1,+∞).
若p为假命题,则A∩B= ,故a-1>2,即a>3.　
(2) 若命题“p∧q”为真命题,则p,q都为真命题.
当命题p为真命题时,a≤3.
当命题q为真命题时,对于任意的x∈[1,2],f(x)=x2-ax-4≤0恒成立,故解得a≥0.
综上,a的取值范围为[0,3].
三、 补充练习
1. 设a∈R,则“a=1”是“直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0平行”的充分不必要条件.
2. 已知函数f(x)是定义在R ( http: / / www.21cnjy.com )上的偶函数,且以2为周期,则“f(x)为[0,1]上的增函数”是“f(x)为[3,4]上的减函数”的充要条件.
3. 设0四、 课堂小结
学习本章,应弄清楚四种命题之间的关系以及充 ( http: / / www.21cnjy.com )分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分又不必要条件的含义,学会三个逻辑联结词(“或”“且”“非”)的用法,会用全称量词和存在量词描述一些数学命题,会正确地写出有关命题的否定.