《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-2名师导学：第二章 推理与证明（含解析）
文档属性
| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-2名师导学：第二章 推理与证明（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 259.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-21 10:11:35 | ||
图片预览
文档简介
第 2 章 推理与证明
第1课时 合情推理——归纳推理
教学过程
一、 问题情境
学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点
解 从个别事实推演出一般性结论.
二、 数学建构
问题1 什么是推理
解 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.
问题2 一般的推理由几个部分组成
解 任何一个推理都包含前提和结论两个部分 ( http: / / www.21cnjy.com ).前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.
问题3 推理的结论对吗
解 推理的结论可能正确,也可能是错误的.
问题4 上述的推理有什么特点
解 从个别事实推演出一般性结论.
通过讨论,得出归纳推理的相关概念
1. 归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.
2. 归纳推理的思维规程大致为:
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
概念理解
归纳推理的特点:
(1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;
(2) 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;
(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.
三、 数学运用
【例1】 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的 ( http: / / www.21cnjy.com ),海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想: .[3](见学生用书P33)
[处理建议] 题目简单,让学生自己解答.
[规范板书] 解 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
【例2】 三角形的内角和是180°,凸四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由.
[规范板书] 解 对于凸n边形,
n=3时,内角和180°=180°×1;
n=4时,内角和360°=180°×2;
n=5时,内角和540°=180°×3;
……
由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.
(2) <,<,<,…
由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5]
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由.
[规范板书] 解 由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).
[题后反思] 根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.
【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由.
提示 当n=1时,小正方形个数为1+2=3,
当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,
当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,
当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,
当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,
由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.
[题后反思] 根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:
(1) 寻找它们的共同特征,如例1;
(2) 寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;
(3) 结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.
归纳推理的一般模式:
S1具有性质P,
S2具有性质P,
S3具有性质P,
……
Sn具有性质P(S1,S2,S3,…,Sn是A类事物的具体对象).
所以,A类事物具有性质P.
【例4】 已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{an}的一个通项公式.(见学生用书P34)
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.
[规范板书] 解 当n=1时,a1=1=;
当n=2时,a2==;
当n=3时,a3==;
……
由此我们猜想{an}的一个通项公式为an=.
四、 课堂练习
1. (1) 一元一次方程有1个实数根,
一元二次方程最多有2个实数根,
一元三次方程最多有3个实数根,
由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.
(2) 先看下面的例子,试写出一般性结论.
1+3=4,
1+3+5=9,
1+3+5+7=16,
…
1+3+5+…+(2n-1)=n2.
2. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:
22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为 9 .
3. 应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.
解 当n=1时,=3,
当n=2时,=33,
当n=3时,=333,
归纳发现:=.
五、 课堂小结
1. 归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.
2. 归纳推理基于观察和实 ( http: / / www.21cnjy.com )验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.
第2课时 合情推理——类比推理
教学过程
一、 问题情境
模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢
学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.
大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.
1. 试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]
等式的性质: 猜想不等式的性质:
等式 不等式
(1) 加法法则:
a=b a+c=b+c
(2) 减法法则:
a=b a-c=b-c
(3) 乘法法则:
a=b ac=bc
(4) 除法法则:
a=b a÷c=b÷c(c≠0)
(5) 平方法则:
a=b a2=b2
教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.
问题1 等式与不等式之间为什么可以进行类比呢 它们在什么方面是相似的
教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.
问题2 如何开展类比呢
学生活动 模仿就可以.
问题3 大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢 说明什么
学生活动 说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.
2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3]
[处理建议] 结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.
解 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦 截面圆
直径 大圆
周长 表面积
圆面积 球体积
圆的性质 球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2 以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2
在教学的过程中,模仿第1题的方式.
问题1 平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的
学生活动 它们的定义是相似的:
圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.
圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.
问题2 如何展开类比
学生活动 因为圆绕着一条直径旋转一周就 ( http: / / www.21cnjy.com )形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.
问题3 类比的前提是什么 它的一般步骤是什么 [4]
解 进行类比推理时,首先,要找出两 ( http: / / www.21cnjy.com )类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.
二、 数学建构
概念理解
由两个(两类)对象之间在某些方面的 ( http: / / www.21cnjy.com )相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
(3) 检验猜想.即
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
三、 数学运用
【例1】 类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)
[处理建议] 可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.
[规范板书] 解 在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:
加(+) 乘(×)
加数、被加数 乘数、被乘数
和 积
等等,它们具有下列类似的性质
加法的性质 乘法的性质
a+b=b+a ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
a+(-a)=0 a·=1
a+0=a a·0=0
[题后反思] 为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处
当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.
加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a',b',c',
(a,b,c与a',b',c'相似或相同)
所以B类事物具有性质d'.
【例2】 试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)
[处理建议] 以学生活动为主,合作交流,将全 ( http: / / www.21cnjy.com )班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.
[规范板书] 解 (1) 定义:an+1-an=d =q.
(2) 通项公式:an=a1+(n-1)d bn=b1qn-1;
an=am+(n-m)d bn=bmqn-m.
(3) 等差中项:2an+1=an+an+2 =bn·bn+2.
(4) 若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则am+an=ap+aq bmbn=bpbq.
变式 在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b9=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.
提示 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:
等差数列→用减法定义→性质用加法表述.
例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.
例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
由此,猜测本题的答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).
[题后反思] (1) 等差 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是an=a1qn-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“qn-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-) 比(÷).
(2) 解题的过程中一些基本的方法是:+ ×,- ÷,乘法 乘方,除法 开方,但这不是绝对的.
(3) 类比推理不能仅把 ( http: / / www.21cnjy.com )类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.
四、 课堂练习
1. (1) 已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么 结论是什么
(2) 圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球
(3) 平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论
解 (1) 类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.
(2) 球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.
(3) 空间不共面的4点确定一个球.
2. 已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.
解 若棱台的上底面积为,下底面积为S2,则中截面面积S0=.
3. 等差数列{an}中,a1+a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论 结论正确吗
解 等比数列{an}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.
五、 课堂小结
1. 类比推理的步骤与方法:
第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);
第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;
第三步,用特例验证猜想或证明猜想.
2. 数学中常见的一些类比推理问题:
(1) 立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);
(2) 等差数列与等比数列问题;
(3) 加、减、乘、除运算问题;
(4) 进制问题等.
第3课时 演绎推理
教学过程
一、 问题情境
问题1 类比上面的推理方法,写出你的结论.
(1) 所有的金属都能导电,
铜是金属,
所以, .
(2) 在学习整数时,有下面的推理:
个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,
2375的个位数是5,
所以 .
二、 数学建构
问题2 说说上述推理的特点.
解 由两个前提和一个结论组成.
问题3 上述推理的结论对吗
解 只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.
通过讨论,给出演绎推理的定义.
在数学学习中,除了归纳推理、类比推理, ( http: / / www.21cnjy.com )我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.
三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:
M—P(M是P)
S—M(S是M)
S—P(S是P)
概念理解
(1) 在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.
(2) 三段论中包含了3个命题,第 ( http: / / www.21cnjy.com )一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.
(3) 为了方便,在运用三段论推理时,常 ( http: / / www.21cnjy.com )常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.
三、 数学运用
【例1】 (教材第71页例1)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.
[规范板书] 证明
(1) 同位角相等,两直线平行, (大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠ A,(小前提)
所以,DF∥EA.(结论)
(2) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)
(3) 平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以,ED=AF.(结论)
[题后反思] 在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么
【例2】 (教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b[处理建议] 先让学生证明,再用三段论形式来分析表示,以加深对演绎推理的理解.
[规范板书] 证明 (1) 不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)
b0,(小前提)
所以mb(2) 不等式两边加上同一个数,不等式仍成立,(大前提)
mb所以ab+mb即b(a+m)(3) 不等式两边除以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)
b(a+m)0,(小前提)
所以<,即<.(结论)
例2的证明通常简略地表述为:
mb < <.
[题后反思] 在日常做证明题时,虽然不 ( http: / / www.21cnjy.com )要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.
【例3】 用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)
[处理建议] 先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.
[规范板书] 解 (1) lgan=nlga(a>0),(大前提)
lg8=lg23,(小前提)
所以lg8=3lg2.(结论)
(2) lg=lga-lgb(a>0,b>0), (大前提)
lg0.8=lg,(小前提)
所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)
四、 课堂练习
1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.
2. (教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:
(1) 因为△ABC三边长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;
(2) 函数y=2x+5的图象是一条直线.
解 (1) 如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)
△ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)
△ABC是直角三角形. (结论)
(2) 一次函数的图象是一条直线, (大前提)
函数y=2x+5是一次函数,(小前提)
函数y=2x+5的图象是一条直线. (结论)
3. (教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.
(1) 整数是自然数,
-3是整数,
-3是自然数.
(2) 无理数是无限小数,
是无限小数,
是无理数.
解 (1) 大前提错误.
(2) 不符合三段论推理的形式.
4. 有下列说法:①演绎推理是 ( http: / / www.21cnjy.com )由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论”形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
上面说法正确的有①③④.(填序号)
五、 课堂小结
1. 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.
2. 演绎推理具有如下特点:
(1) 演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.
(2) 在演绎推理中,前提与结论之间存 ( http: / / www.21cnjy.com )在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.
(3) 演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.
3. 演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算 ( http: / / www.21cnjy.com )题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.
第4课时 推理案例赏析
教学过程
一、 问题情境
在前两节中,我们分别对合情推 ( http: / / www.21cnjy.com )理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异 合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的
二、 数学建构
正整数平方和公式的推导.[3]
[处理建议] 本题宜采用师生共同参与、 ( http: / / www.21cnjy.com )共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.
提出问题
我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1), ①
那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2= ②
问题1 如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢
先由学生讨论
教师引导
思路1(归纳的方案)
如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.
表1
n 1 2 3 4 5 6 …
S2(n) 1 5 14 30 55 91 …
但是,从表1的数据中并没有发现明显 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n) 与S2(n)会不会有某种联系 如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.
表2
n 1 2 3 4 5 6 …
S1(n) 1 3 6 10 15 21 …
S2(n) 1 5 14 30 55 91 …
问题2 观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢
教师引导 尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.
表3
n 1 2 3 4 5 6 …
S1(n) 1 3 6 10 15 21 …
S2(n) 1 5 14 30 55 91 …
…
从表3中发现=,于是猜想S2(n)=. ③
公式③的正确性还需要证明.
[题后反思] 上面的数学活动是由那些环节 ( http: / / www.21cnjy.com )构成的 在这个过程中提出了哪些猜想 提出猜想时使用了哪些推理方法 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用
思路2(演绎的方案)
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.
(1) 把正整数的平方表示出来,有
12=1,22=(1+1)2=12+2×1+ ( http: / / www.21cnjy.com )1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!
(2) 从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.
前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).
(3) 尝试把两项和的平方公式改为两 ( http: / / www.21cnjy.com )项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.
左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.
由此知
S2(n)==
=,
终于导出了公式.
[题后反思] 上面的数学活动是由哪些环 ( http: / / www.21cnjy.com )节构成的 在这个过程中提出了哪些猜想 提出猜想时使用了哪些推理方法 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用
三、 数学运用
【例1】 (教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)
[处理建议] 本题宜采用师生共同参与、共 ( http: / / www.21cnjy.com )同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.
[提出问题] 问题1 怎样求棱台的体积 联系所学推理方法,有什么启发
问题2 能通过类比推导出棱台的体积公式吗
问题3 什么知识可以和棱台进行类比
问题4 怎样对梯形和四棱台作比较
思路 以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.
(1) 确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.
梯 形 棱台(四棱台)
上、下底平行 上、下底面平行
另外两边不平行 另外4个面不平行
两腰延长后交于一点 4个侧面伸展后交于一点
中位线平行于上、下底 中截面平行于上、下底面
(2) 对类比对象的进一步分析.
梯形可以认为是用平行于三角形一边的 ( http: / / www.21cnjy.com )直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:
直 线 平面
三角形 棱锥
梯 形 棱台
进而有
梯形底边长 棱台底面积
三角形面积 棱锥体积
梯形面积 棱台体积
(3) 通过类比推理,建立猜想.
求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为
S梯形=h(a+b), ④
其中 a,b 分别表示梯形上、下底的长度,h 表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:
V棱台=h(S上+S下), ⑤
其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.
(4) 验证猜想.
⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式⑤中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于是设想公式具有
V棱台=h(S上+S0+S下) ⑥
的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.
与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3, ( http: / / www.21cnjy.com )相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理.
既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,⑥式即为V棱台=h(S上++S下).
四、 课堂练习
1. 在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是 类比 推理.
2. 数列{an}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{an}的通项公式an=,他们的说法用的是 归纳 推理.
3. 已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.
4. “开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,,-,,…,则它的第8个数可能是 - .
五、 课堂小结
合情推理和演绎推理的区别和联系.
本课的案例说明:
(1) 数学发现活动是一个探索创造的过 ( http: / / www.21cnjy.com )程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.
(2) 合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.
(3) 演绎推理是形式化程度 ( http: / / www.21cnjy.com )较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.
对这两种推理在数学活动中的 ( http: / / www.21cnjy.com )作用,著名的数学家G.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”
第5课时 直接证明(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 在《数学5(必修)》中,我们是如何证明基本不等式≤(a>0,b>0)的 [3]
证法一 对于正数a,b,有(-)2≥0 a+b-2≥0 a+b≥2 ≥.
证法二 要证≤,
只要证2≤a+b,
只要证0≤a-2+b,
只要证0≤(-)2.
因为最后一个不等式恒成立,所以≤成立.
方法3:左边-右边=……(比较法)
二、 数学建构
问题2 即时体验题1的证明方法是什么方法
解 综合法.
问题3 问题1的证明方法是什么方法
解 证法1是综合法,证法2是分析法.
问题4 如何用综合法进行证明
解 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.
问题5 如何用分析法进行证明
解 从问题的结论出发,倒推寻找结论成立的条件,逐步倒推,直到找到使结论成立的条件和已知条件或已知事实相符合.
通过讨论,回顾综合法和分析法的定义和特点.
从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.
从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.
综合法与分析法的推证过程如下:
综合法 已知条件
… … 结论
;
分析法 结论
… … 已知条件
.
上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明,
直接证明的一般形式为:
… 本题结论
综合法和分析法都是直接证法.
三、 数学运用
【例1】 (教材第83页例1)已知AB,CD相交于点O,△ACO≌△BDO,AE=BF,求证:CE=DF.[4](见学生用书P41)
(例1)
[处理建议] 先让学生证明,再用分析法倒推分析,体会分析法思路.
[规范板书] 证法一 (分析法)要证明CE=DF,
只需证明△ECO≌FDO,
为此只需证明
为了证明CO=DO,
只需证明△ACO≌△BDO.
为了证明EO=FO,
只需证明AO=BO,
也只需证△ACO≌△BDO.
由于△ACO≌△BDO是已知的,又因为∠EOC与∠FOD是对顶角,所以它们相等,从而△ECO≌△FDO成立,因此命题成立.
[题后反思] 用分析法证明命题,(1) 要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意书写的格式,通常“要证明……就要证明……”是必不可少的;(2) 要注意条件的关系,后面的条件应该是前面结论成立的充分条件.
证法二 (综合法)因为△ACO≌△BDO,
所以CO=DO,AO=BO.
因为AE=BF,
所以EO=FO.
在△ECO和△FDO中,
所以△ECO≌△FDO,
所以CE=DF.
[题后反思] 综合法的书写比较简洁,但不是简单的把分析法的思路倒过来抄一遍,还要求学会合理组织文字进行表达.
【例2】 已知a,b,c,d∈R,分别用分析法和综合法证明:ac+bd≤.[5](见学生用书P42)
[处理建议] 先让学生思考,再用分析法倒推寻找证明的思路,然后用综合法书写.
[规范板书] 证法一 (分析法)①当ac+bd≤0时,显然成立.
②当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcd≤b2c2+a2d2,即证0≤(bc-ad)2,
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,
综合①②知,命题得证.
[题后反思] 在上述证明过程中,缺少①式环节,直接两边平方的证明思路是不对的.
证法二 (分析法)
欲证ac+bd≤,
由于ac+bd≤|ac+bd|对a,b,c,d∈R恒成立,
只需证|ac+bd|≤,
又只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即证2abcd≤b2c2+a2d2,
即证0≤(bc-ad)2,
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,命题得证.
[题后反思] 运用性质x≤|x|(即ac+bd≤|ac+bd|)来过渡的方法是很巧妙的.
证法三 (综合法)
(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,
所以≥|ac+bd|≥ac+bd.
[题后反思] 从上面例题可以看出,分析法解题 ( http: / / www.21cnjy.com )方向较为明确,利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表达.因此,在实际解题时,通常先以分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.
四、 课堂练习
1. 在 ABCD中,AE⊥BD,垂足为E;CF⊥BD,垂足为F.求证:AE=CF.
证明 因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD且AB=CD,
因为AB∥CD,
所以∠ABD=∠CDB,
因为AE⊥BD,CF⊥BD,
所以∠AEB=∠CFD=90°,
所以△ABE≌△CDF,
所以AE=CF.
2. 设a,b是两个相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.
证明 因为a,b是两个相异的正数,
所以a2+b2>0且Δ=(4ab)2-4(a2+b2)·2ab=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a-b)2,
因为a≠b,
所以(a-b)2>0,
所以Δ=-8ab(a-b)2<0,
所以关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.
3. 求证:->-.
证明 要证明->-,
只需证明+>+,
只需证明(+)2>(+)2,
展开得 8+2>8+2,
即要证 >.
而>显然成立,所以->-成立,
即原命题得证.
4. 设a,b为两个不相等的正数,且a+b=1,分别用分析法、综合法证明:+>4.
证法一 (分析法)
因为a>0,b>0,a+b=1,
要证 +>4成立,
只需证>4成立,
即需证>4成立.
即需证ab<成立.
而由已知条件可知a≠b,有1=a+b>2,即2<1,所以ab<成立.由此命题得证.
证法二 (综合法)
因为a≠b,a>0,b>0,a+b=1,
所以1=a+b>2,
所以2<1,
所以ab<.
所以>4,
所以>4.
即+>4,由此命题得证.
五、 课堂小结
1. 分析法:解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法:条理清晰,易于表述.通常以分析法寻求思路,再用综合法有条理地表述解题过程.
2. 证题过程中注意综合法与分析法结合.在分 ( http: / / www.21cnjy.com )析法和综合法的思考过程中,“变形”是解题的关键,是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.
第6课时 直接证明(2)
教学过程
一、 问题情境
复习回顾:
1. 直接证明的一般形式为: … 本题结论
2. (1) 综合法与分析法要点对照表
综合法 分析法
定义 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止
思维过程 原因 结果,又名“顺推证法”,“由因导果法” 由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”
思维特点 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件 从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件
步骤 已知条件
… … 结论 结论
… … 已知条件
(2) 对分析法证题的说明
“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:
要证明(或为了证明)B成立, ( http: / / www.21cnjy.com )只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)……要证明Ak成立,只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件),因为A成立,所以B成立.
注:① 每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;
② 在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的;
③ “只需证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.
二、 数学运用
【例1】 已知a>b>c,求证:++≥0.[1](见学生用书P43)
[处理建议] 本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.
[规范板书] 要证原不等式成立,
由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,
因此移项,只需证+≥.
通分,得≥,
即证≥.
只需证(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立.
因为4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2,
所以≥,
即-≥0,
所以++≥0.
[题后反思] (1) 分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.
(2) 用分析法寻找思路,用综合 ( http: / / www.21cnjy.com )法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.
变式1 若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.
[规范板书] 证法一 (分析法)要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc,
只需证lg>lg(abc),
只需证··>abc.
又≥>0,≥>0,≥>0.
且上述三式中的等号不全成立,
所以··>abc.
因此lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.
注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.
证法二 (综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,
所以≥>0,≥>0,≥>0.
所以··>abc,
所以lg>lg(abc),
所以lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.
变式2 设a,b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
[规范板书] 证法一 (分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
即需证a2-ab+b2>ab成立,(因为a+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证(a-b)2>0成立.
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,
所以(a-b)2>0显然成立.所以原不等式成立.
证法二 (综合法)因为a≠b,所以a-b≠0,
所以(a-b)2>0,
所以a2-2ab+b2>0,
所以a2-ab+b2>ab.
因为a+b>0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
所以a3+b3>a2b+ab2.
[题后反思] 还有其他证明方法吗
此题可以用作差比较法进行证明.
【例2】 若实数x≠1,求证:3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[2](见学生用书P43)
[处理建议] 在不等式问题的证明方法中,比 ( http: / / www.21cnjy.com )较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.
[规范板书] 证明(差值比较法)
3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2
=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3
=2(x4-x3-x+1)
=2(x-1)2(x2+x+1)
=2(x-1)2.
因为x≠1,从而(x-1)2>0,
且+>0,
所以2(x-1)2>0,
所以3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.
[题后反思] (1) 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.
(2) 用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.
(3) 若题设中去掉x≠1这一限制条件,要求证的结论如何变化
变式 已知a,b均为正实数,求证:aabb≥abba.
[规范板书] 证法一 (差值比较法)
不妨设a≥b>0.
因为a-b≥0,所以abbb≥0,aa-b-ba-b≥0.
所以aabb-abba=abbb(aa-b-ba-b)≥0,从而原不等式得证.
证法二 (商值比较法)
设a≥b>0,
因为≥1,a-b≥0,所以=≥1.故原不等式得证.
[题后反思] 在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.
三、 课堂练习
1. 已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明 因为b2+c2≥2bc,a>0,
所以a(b2+c2)≥2abc,
因为c2+a2≥2ac,b>0,
所以b(c2+a2)≥2abc.
因此,a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2. 已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,
求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.
证明 左边-右边=2(ab+bc-ac),
因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
又因为a,b,c都是正数,
所以0所以a+c>b,
所以2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,
所以a2+b2+c2>(a-b+c)2.
四、 课堂小结
1. 对于那些较为复杂的数学命题,不论 ( http: / / www.21cnjy.com )是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,只靠分析法或综合法有时较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常
把分析法与综合法两者结合起来使用, ( http: / / www.21cnjy.com )即常采取同时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论,构建出证明的有效路径.这种思考模式可以概括如下图所示.
(图1)
综合法与分析法是逻辑推理的重 ( http: / / www.21cnjy.com )要方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法结合并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析-综合法.
2. 在不等式的证明中,比较法是一种常用而且有效的方法,也是直接证明不等式的重要方法.
第7课时 间接证明
教学过程
一、 问题情境
问题1 如何证明命题“在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与A1C是异面直线”
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
证明 假设AB与A1C共面.
由于经过点C和直线AB的平面只能有1个 ( http: / / www.21cnjy.com )(即底面ABCD),所以直线A1C和AB都应在底面ABCD内,于是A1在底面ABCD内,这与点A1在底面ABCD外矛盾.
因此,直线AB与A1C是异面直线.
二、 数学建构
1. 反证法
一般地,假设原命题不成立(即在原命 ( http: / / www.21cnjy.com )题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
2. 反证法的3个步骤:
(1) 反设——假设命题的结论不正确,即假定原结论的反面为真;
(2) 归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
(3) 存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
3. 间接证明——不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立(如反证法),这种不是直接证明的方法称为间接证明,反证法是间接证明的一种常用方法.
概念理解
1. 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.
例如:是 不是;
存在 不存在;
平行于 不平行于;
垂直于 不垂直于;
等于 不等于;
大(小)于 不大(小)于;
都是 不都是;
至少有1个 1个也没有;
至少有n个 至多有(n-1)个;
至多有1个 至少有2个;
唯一 至少有2个.
2. 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木,推理必须严谨.
3. 导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.
三、 数学运用
【例1】 (教材第86页例2)求证:不是有理数.[2](见学生用书P45)
[处理建议] 直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设不是无理数,那么它就是有理数.是有理数,我们能得到什么结论 我们知道,任一有理数都可以写成形如(m,n互质,m∈Z,n∈N*)的形式.上述分析若学生不会,可以由老师讲解,再让学生模仿,以了解和掌握无理数的证明.
[规范板书] 证明 假设是有理数,于是,存在互质的正整数m,n,使得=,从而有m=n,因此,m2=2n2,所以 m 为偶数.于是可设m=2k (k 是正整数),从而有4k2=2n2,即n2=2k2,
所以n也为偶数,所以m,n有公约数2.
这与 m,n 互质矛盾,由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.
[解题反思] (1) 反证法的巧妙之处在于说不清楚的问题,反过来说明,让人看得明明白白.
(2) 正是的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无理数,从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐.
【例2】 (教材第85页例1)求证:正弦函数没有比2π小的正周期.[3](见学生用书P45)
[处理建议] 对于一些平时不多见的命题证明,要启发学生从数学定义入手,这是一个最简单、最重要的方法,而它往往会被忽视.
[规范板书] 证明 假设T是正弦函数的周期,且0令x=0,得T=kπ,k∈Z.
又0所以,正弦函数没有比2π小的正周期.
[题后反思] 周期函数定义——对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的函数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为0的常数T叫做这个函数的周期.应用其定义时,要注意自变量x的任意性,上题证明过程中,定义域为一切实数,而x=时等式不成立,所以假设不成立.
【例3】 设a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.[4](见学生用书P46)
[处理建议] 先让学生进行证明,熟悉反证法的方法,注意书写格式,再讨论交流.
[规范板书] 证明 假设(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b 都大于1,
即(2-a)c>1,(2-b)a>1,(2-c)b>1,
则(2-a)c(2-b)a(2-c)b>1, ①
又因为a,b,c∈(0,2),
所以(2-a)a≤=1,
同理 (2-b)b≤1,(2-c) c≤1,
所以(2-a)c(2-b)a(2-c)b=
(2-a)a(2-b)b(2-c)c≤1,
所以(2-a)c(2-b)a (2-c)b≤1,与①矛盾,所以假设不成立,
所以(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.
[题后反思] 本题的关键是归谬找到矛盾,其思路不止一条,要会应用a,b,c的对称关系来消元.举例如下:
假设(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b都大于1,
即(2-a)c>1,(2-b)a>1,(2-c)b>1,
又因为a,b,c∈(0,2),
所以>1,
所以1<≤,
同理1<≤,
1<≤,
相加得3<++=3,即3<3.
而这显然不成立,所以假设不成立,
所以(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.
四、 课堂练习
1. (1) 用反证法证明“如果a>b,那么a3>b3”,假设的内容是 ④ .(填序号)
①a3=b3; ②a3③a3=b3且a3(2) 否定结论“至多有2个解”的说法中,正确的是 ③ .(填序号)
①有1个解; ②有2个解;
③至少有3个解; ④至少有2个解.
2. 用反证法证明:两个不相等的角,一定不是对顶角.
证明 假设这两个角是对顶角,根据对顶角定义,那么这两个角相等,这与已知“两个不相等的角”矛盾,所以假设不成立,所以原命题正确.
3. 用反证法证明:不是有理数.
证明 假设是有理数.于是,存在互质的正整数m,n,使得=,从而有m=n,
因此,m2=3n2,
所以m为3的倍数.于是可设m=3k(k 是正整数),从而有9k2=3n2,即n2=3k2,
所以n也为3的倍数,所有m,n有公约数3.
这与 m,n 互质矛盾,由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.
4. 用反证法证明:若一个正整数的平方是偶数,则这个数一定是偶数.
证明 假设这个正整数不是偶数,则是奇数,
设这个奇数是2k-1(k∈Z),
则(2k-1)2=4k2-4k+1=2(2k2-2k)+1是一个奇数,
与已知矛盾,所以假设不成立,
所以这个数必然是偶数.
五、 课堂小结
1. 一般地,假设原命题不成立(即在 ( http: / / www.21cnjy.com )原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.
2. 反证法的步骤:
(1) 反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;
(2) 归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
(3) 存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
第8课时 数学归纳法(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 华罗庚教授曾经举过一个例子.
从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球, ( http: / / www.21cnjy.com )第二个是红玻璃球,甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候,我们立即会出现一种猜想:“是不是这个袋子里的东西全部都是红玻璃球 ”但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候,这个猜想失败了.这时我们会出现另一个猜想:“是不是袋子里的东西,全部都是玻璃球 ” 但是,当有一次摸出来的是一个木球的时候,这个猜想又失败了.那时我们会出现第三个猜想:“是不是袋子里的东西都是球 ”这个猜想对不对,还必须继续加以检验……
猜想的结论是否正确,这是要经过实践检验和逻辑证明的,不能凭空臆想.
问题2 如果袋子里的东西是有限的,迟早可以把它摸完,这样总可以得到一个肯定的结论.
例如:这里有一袋球共12个,我们要判断这一袋球是白球还是黑球,请问:怎么办
方法一:把它倒出来看一看就可以了.
特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.
方法二:一个一个拿,拿一个看一个.
比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球……第十二个白球,由此得到:这一袋球都是白球.
特点:有顺序,有过程.
因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事.但是,当袋子里的东西是无限多个的时候,那怎么办呢
方法:一个一个拿,拿一个看一个.但是这样的方法存在问题,很可能出现错误(如前面讨论的问题).
华罗庚先生是这样解决的. ( http: / / www.21cnjy.com )他说,如果“当你这一次摸出红玻璃球的时候,下一次摸出的东西也一定是红玻璃球”,那么在这样的保证之下,就不必一个一个地摸了,只要第一次摸出的是红玻璃球,就可以立即作出正确的结论:“袋子里的全是红玻璃球”.
解决有限问题和无限问题的方法是不同的.
问题3 我们有时会做一种游戏,在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起),假定这排砖有无数块,我们怎样才能使所有的砖都倒下
解 只要做两件事就行了.第一,使第一块砖倒下;第二,保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖.
课件展示:多媒体课件(多米诺骨牌游戏),多米诺骨牌游戏要取得成功,必须靠两条:
(1) 骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒;
(2) 第一张牌被推倒.
用这种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法.
二、 数学建构
一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:
如果:(1) 当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;
(2) 假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.
数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据.
概念理解
(1) 数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证.
(2) 在用数学归纳法证明有关问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是在第二步,即证明当n=k+1时为什么成立.n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.
(3) 用数学归纳法可以证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.
三、 数学运用
【例1】 (教材第89页 ( http: / / www.21cnjy.com )例1)用数学归纳法证明:等差数列{an}中,若a1为首项,d为公差,则通项公式为an=a1+(n-1)d①.[2](见学生用书P47)
[处理建议] 学生初识数学归纳法,以教师的讲解为主,分析数学归纳法的几个基本步骤后,让学生用等比数列的通项公式的证明来模仿.
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,等式左边=a1,等式右边=a1+0·d=a1,等式①成立.
(2) 假设当n=k(k≥1)时等 ( http: / / www.21cnjy.com )式①成立,即ak=a1+(k-1)d,那么,当n=k+1时,有ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,等式①都成立.
变式 用数学归纳法证明:等比数列{an}中,若a1为首项,q为公比,则通项公式为an=a1qn-1.①
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,等式左边=a1,等式右边=a1q1-1=a1,等式①成立.
(2) 假设当n=k(k≥1)时 ( http: / / www.21cnjy.com )等式①成立,即ak=a1qk-1,那么,当n=k+1时,有ak+1=ak·q=a1q(k-1)+1=a1qk+1-1,这就是说,当n=k+1时等式①也成立.根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*等式①都成立.
【例2】 用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.[3](见学生用书P47)
[处理建议] 学生尝试用数学归纳法进行证明,教师辅助学生来完成,要注意讲解清楚下列两点:
(1) 按照数学归纳法格式去写,养成良好书写习惯;
(2) “递推步”的证明要应用“归纳假设”的结论.
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,等式左边=1,等式右边=1,等式成立.
(2) 假设当n=k(k≥1)时等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2,
那么,当n=k+1时,有1+3+5 ( http: / / www.21cnjy.com )+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知对任何n∈N*,等式都成立.
[解题反思] (1) 数学 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳法的思想方法不仅要掌握,还要注意证明格式的书写,书写的格式很重要,能反映对数学归纳法的理解和掌握,要从模仿例题的书写出发,力求写好.
(2) “递推步”的证明是数学 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳法的重点,要应用“归纳假设”的结论,要让学生弄清“归纳假设”是什么(即当n=k时,命题是什么),要证明的又是什么(即当n=k+1时,命题是什么).
【例3】 用数学归纳法证明:当n∈N*时,12+22+32+…+n2=.[4](见学生用书P47)
[处理建议] 让学生在前一个例题的基础上尝试独立完成,后在黑板上重点讲解“递推步”的等式变形.
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,12=1,=1,结论成立.
(2) 假设n=k(k≥1)时,结论成立,即12+22+32+…+k2=,
那么n=k+1时,
12+22+32+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2=
=
=
=.
所以当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)和(2)可知,等式当n∈N*时都成立.
[解题反思] 从上述3个例题的证明可以看出, ( http: / / www.21cnjy.com )数学归纳法的书写过程中最重要的一环是从n=k时的归纳假设到n=k+1时的结论的变形,要做到思路清晰,叙述完整.
四、 课堂练习
1. 用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是1+a+a2.
2. 用数学归纳法证明:++…+=1-.
证明 (1) 当n=1时,左边=,右边=1-=,左边=右边,等式成立.
(2) 假设当n=k时等式成立,即++…+=1-,
则当n=k+1时,左边=++…++=1-+=1-+=1-,右边=1-,
左边=右边,即n=k+1时等式也成立.
根据(1)(2),当n∈N*时,++…+=1-.
3. 分析下列两题用数学归纳法证明过程中的错误.
(1) 设n∈N*,求证:2+4+6+…+2n=n2+n+1.
证明 假设当n=k时等式成立,即2+4+6+…+2k=k2+k+1,
那么,当n=k+1时,有2+4+6+…+2k+2(k+1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1,
因此,对于任何n∈N*等式都成立.
(2) 设n∈N*,求证:2n>n2.
证明 ①当n=1时,21>12,不等式显然成立.
②假设当n=k时不等式成立,即2k>k2,那么当n=k+1时,有2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.
根据①②,可知对任何n∈N*不等式都成立.
解 (1) 缺少第一步,实际上当n=1时,等式不成立.
(2) 第二步证明有错.一般地,对自然数k,当k≥3时,k2≥2k+1才成立.
五、 课堂小结
数学归纳法:数学归纳法实际上是一种以 ( http: / / www.21cnjy.com )数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理有关自然数问题的有力工具.
注意的问题:
1. 数学归纳法公理:
(1) (递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;
(2) (递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)
由(1)(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
2. 注意从n=k到n=k+1时添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件,寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
3. 要认真书写数学归纳法的证明过程.
第9课时 数学归纳法(2)
教学过程
一、 问题情境
数学归纳法是直接证明的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题,以及探求数列的通项及前n项和等问题.
二、 数学运用
【例1】 设n∈N*,f(n)=5n+2×3n-1+1.
(1) 当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;
(2) 你对f(n)的值有何感想 用数学归纳法证明你的猜想.[1](见学生用书P49)
[处理建议] 提出问题, ( http: / / www.21cnjy.com )学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止一个),让学生证明.通过(1)的结果,运用归纳推理,猜想f(n)的规律:8,32,144,680都是偶数,都是4的倍数,都是8的倍数等等,这些结论都是合情的猜想,要学会从中找一个最为适当的猜想.
[规范板书] 解 (1) 当n=1时,f(1)=51+2×31-1+1=8=8×1;
当n=2时,f(2)=52+2×32-1+1=32=8×4;
当n=3时,f(3)=53+2×33-1+1=144=8×18;
当n=4时,f(4)=54+2×34-1+1=680=8×85.
(2) 猜想:当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除.
①当n=1时,有f(1)=51+2×31-1+1=8能被8整除,命题成立.
②假设当n=k时,命题成立,即f(k)能被8整除,
那么当n=k+1时,有
f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1
=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)
=f(k)+4(5k+3k-1).
这里,5k和3k-1均为奇数,它们的 ( http: / / www.21cnjy.com )和(5k+3k-1)必为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除.又由归纳假设,f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)和(2)可知,命题对任何n∈N*都成立.
[解题反思] (1) 数学归纳法证题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件,否则就可能出现错误;
(2) 对这种类型的题目,一般先利用n的 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊值算出几个特殊值,通过观察找出规律,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立,这就是“归纳——猜想——证明”的方法,这是我们认识事物、研究事物的一种方法,它既是一种创造性的思维,又是一种严密的逻辑推理.
变式 n3+5n(n∈N*)能被哪些自然数整除
[规范板书] n3+5n(n∈N*)最大能被6整除.
① 当n=1时,n3+5n=6,显然成立.
② 当n=k时,假设n3+5n能被6整除,
则n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=n3+3n2+8n+6=n3+5n+3n(n+1)+6,显然也能被6整除.
故n3+5n能被1,2,3,6整除.
【例2】 在平面上画n条直线,且任何2条直线都相交,其中任何3条直线不共点.问:这n条直线将平面分成多少个部分 [2](见学生用书P50)
[处理建议] 提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止1个),让学生证明.
[规范板书] 解 记n条直线把平面分成rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况:
(例2)
从图中可以看出,
r1=2=1+1,
r2=4=r1+2=1+1+2,
r3=7=r2+3=1+1+2+3,
r4=11=r3+4=1+1+2+3+4,
r5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.
由此猜想rn=1+1+2+3+4+…+n.
接下来用数学归纳法证明这个猜想.
(1) 当n=1,2时,结论均成立;
(2) 假设当n=k时结论成立,即rk ( http: / / www.21cnjy.com )=1+1+2+3+4+…+k,当n=k+1时第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分,所以rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.
根据(1)和(2),可知对n∈N*,均有rn=1+1+2+3+4+…+n,即rn=1+.
[题后反思] 一些几何问题规律的发现,需要我们从简到繁,一个一个地画出图形,尝试探索,从而发现规律,证明结论.
【例3】 已知Sn=1+++…+,求证:>1+(n≥2,n∈N*).[3](见学生用书P50)
[处理建议] 应用数学归纳法证明不等式与证明 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的步骤相同,关键是“递推步”的不等式的变形,先让学生证明练习,发现问题,再讨论解决、提炼方法.
[规范板书] 证明 (1) 当n=2时,=1+++=>1+,即n=2时命题成立.
(2) 假设当n=k时命题成立,即=1+++…+>1+,
当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,
故当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,对n∈N*,n≥2,>1+都成立.
[题后反思] 不等式证明中,“ ( http: / / www.21cnjy.com )递推步”的证明在应用“归纳假设”后,如果一时寻找不到解题思路,可以应用“分析法”的思路倒推分析,再应用综合法进行证明.
三、 课堂练习
1. 求证:当n取正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
证明 (1) n=1时,x1+y1=x+y,能被x+y整除,命题成立.
(2) 假设n=k (k为正奇数)时,有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时,xk+2+yk+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=xk·x2+yk·y2=xk·x2+yk·x2-yk·x2+yk·y2=(xk+yk)x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)x2-yk(x+y)(x-y),
因为以上两项均能被x+y整除,所以xk+2+yk+2能被x+y整除,即当n=k+2时命题仍成立.
由(1)和(2)可知,对一切正奇数n,都有xn+yn能被x+y整除.
2. 已知数列,,,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
解 S1==,
S2=S1+=,
S3=S2+=,
S4=S3+=.
猜想Sn=,
证明:① 当n=1时,结论显然成立.
② 假设当n=k(k≥1)时结论成立,即Sk=,
则当n=k+1时,
Sk+1=Sk+
=+
==
==,
故当n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对于任意的n∈N*,Sn=.
四、 课堂小结
归纳是从由特殊到一般的思维, ( http: / / www.21cnjy.com )是数学发现的重要方法,有完全归纳法和不完全归纳法之分;数学归纳法既克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法;数学归纳法的核心是在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了从有限到无限的飞跃,使我们认识事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.
第10课时 本章复习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知a,b,c是互不相等的非零实数 ( http: / / www.21cnjy.com ).求证:3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.[1](见学生用书P51)
[处理建议] 与基础训练一同先让学生练习,再作重点点评.
[规范板书] 证明 假设3个方程ax2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0都没有2个相异实根,即3个方程没有实数根或者有2个相等的实数根.
则所以
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
所以a=b且b=c且c=a,即a=b=c.
这与a,b,c是互不相等的非零实数矛盾,
所以假设不成立,
所以3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.
[题后反思] 对于一些否定性、至多或至少、存在性、唯一性的命题的证明,常常考虑应用反证法进行证明.
【例2】 用数学归纳法证明:对于任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.[2](见学生用书P52)
[处理建议] 以学生解答为主,教师把握重点进行讲解:(1)自然数问题,初值n=0;(2)应用归纳假设的结论进行的变形.
[规范板书] 证明 (1) 当n=0时,11n+2+122n+1=112+121=121+12=133,故n=0时命题成立.
(2) 假设当n=k时命题成立,即11k+2+122k+1能被133整除.
当n=k+1时,
11(k+1)+2+122(k+1)+1
=11·11k+2+122·122k+1
=11·(11k+2+122k+1)+122·122k+1-11×122k+1
=11·(11k+2+122k+1)+122k+1(144-11)
=11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133.
由归纳假设知11k+2+122k+1及133 ( http: / / www.21cnjy.com )都能被133整除,所以11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立.
根据(1)(2)可知,命题对一切自然数n都成立.
[题后反思] (1) 第一步的 ( http: / / www.21cnjy.com )初始值,可能会:当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112-11×12+122)=23×(121+144-132)=23×133.所以23×133能被133整除,即n=1时命题成立.但这是错误的,因为自然数中包括0,所以第一步应验证n=0,而不是n=1.
(2) 本题第一步若证明n=1时命题成立,一 ( http: / / www.21cnjy.com )者计算量较大,二者也不符合自然数集的新定义.证n=0,既方便减少计算量又科学更严密.一般情况,有时为了简化计算常将证明n=1改成证n=0或n=-1,这种技巧称之“提前起点”,提前起点的前提是n为整数,否则递推无法进行.
(3) 利用数学归纳法证明 ( http: / / www.21cnjy.com )整除问题,由归纳假设P(k)能被p整除,证P(k+1)能被p整除,也可运用结论:“P(k+1)-P(k)能被p整除 P(k+1)能被p整除.”
【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….求:
(1) a1,a2;
(2) {an}的通项公式.[3]
(见学生用书P52)
[处理建议] 学生参与,教师讲解,课后练习巩固.
[规范板书] 解 (1) 当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,
于是-a2-a2=0,解得a2=.
(2) 由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0. ①
由(1)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.
由①可得S3=,
由此猜想Sn=,n=1,2,3,…
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当n=1时已知结论成立;
②假设n=k时结论成立,即Sk=,
当n=k+1时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由①②可知Sn=对所有正整数n都成立,
于是当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1时,a1==,符合上式.
所以{an}的通项公式an=,n=1,2,3,….
二、 课堂练习
1. 证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论:
2cos=,
2cos=,
2cos=,
…
解 因为cos=,所以2cos=.
因为4cos2-2=2cos=,
所以4cos2=2+.
又因为cos>0,
所以2cos=.
因为4cos2-2=2cos=,
所以4cos2=2+.
因为cos>0,所以2cos=.
…
一般性的结论:2cos=.
2. 求证:方程 x2+2x+2k=0没有有理根.
证明 原方程可变为(x+1)2=1-2k,
解得x=-1±.
若k是奇数,可设 k=2m-1(m为整数),
则1-2k=3-4m,是4的倍数加3;
但是,奇数的平方 (2n+1)2=4n(n+1)+1是4的倍数加1,所以,1-2k不是完全平方数;
所以,是无理数,
所以方程 x2+2x+2k=0没有有理根.
3. 设k是奇数,求证:方程x2+2x+2k=0没有有理根.
证明 假设方程存在有理根x=,其中a,b为互素的整数,则代入方程得 +2+2k=0,
即a2+2ab+2kb2=0,解得a=b±b ,
因为a是整数,
所以是整数,所以1-2k是平方数,
因为k是奇数,所以可以设为k=2n+1,n是整数,
1-2k=1-2(2n+1)=-4n-1≥0,
所以n≤-,n≤-1,
因此-4n-1可以表示为4m+3的正整数(m是自然数).
但是,任意一个正整数,如果 ( http: / / www.21cnjy.com )是偶数,可以表示为(2n)2=4n2是4的倍数;如果是奇数,可以表示为(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1,也就是除以4余1.因此4m+3不可能是平方数,因此原假设错误,方程没有有理根.
四、 课堂小结
1. 合情推理的结果不唯一,关键是要把握“合情”二字.
2. “三段论”是构成严格证明和推理的基础,要学会用“三段论”的形式去判断自己的证明过程是否正确.
3. 数学归纳法只能证明与整数相关的一些命题,即命题中的n为大于或等于n0(n0≥0)的所有自然数,否则,运用数学归纳法证明是没有意义的.
第1课时 合情推理——归纳推理
教学过程
一、 问题情境
学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点
解 从个别事实推演出一般性结论.
二、 数学建构
问题1 什么是推理
解 从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.
问题2 一般的推理由几个部分组成
解 任何一个推理都包含前提和结论两个部分 ( http: / / www.21cnjy.com ).前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.
问题3 推理的结论对吗
解 推理的结论可能正确,也可能是错误的.
问题4 上述的推理有什么特点
解 从个别事实推演出一般性结论.
通过讨论,得出归纳推理的相关概念
1. 归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.
2. 归纳推理的思维规程大致为:
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
概念理解
归纳推理的特点:
(1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;
(2) 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;
(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.
三、 数学运用
【例1】 蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的 ( http: / / www.21cnjy.com ),海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想: .[3](见学生用书P33)
[处理建议] 题目简单,让学生自己解答.
[规范板书] 解 所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
【例2】 三角形的内角和是180°,凸四 ( http: / / www.21cnjy.com )边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由.
[规范板书] 解 对于凸n边形,
n=3时,内角和180°=180°×1;
n=4时,内角和360°=180°×2;
n=5时,内角和540°=180°×3;
……
由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.
(2) <,<,<,…
由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5]
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由.
[规范板书] 解 由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).
[题后反思] 根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.
【例3】 观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由.
提示 当n=1时,小正方形个数为1+2=3,
当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,
当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,
当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,
当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,
由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.
[题后反思] 根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:
(1) 寻找它们的共同特征,如例1;
(2) 寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;
(3) 结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.
归纳推理的一般模式:
S1具有性质P,
S2具有性质P,
S3具有性质P,
……
Sn具有性质P(S1,S2,S3,…,Sn是A类事物的具体对象).
所以,A类事物具有性质P.
【例4】 已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{an}的一个通项公式.(见学生用书P34)
[处理建议] 先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.
[规范板书] 解 当n=1时,a1=1=;
当n=2时,a2==;
当n=3时,a3==;
……
由此我们猜想{an}的一个通项公式为an=.
四、 课堂练习
1. (1) 一元一次方程有1个实数根,
一元二次方程最多有2个实数根,
一元三次方程最多有3个实数根,
由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.
(2) 先看下面的例子,试写出一般性结论.
1+3=4,
1+3+5=9,
1+3+5+7=16,
…
1+3+5+…+(2n-1)=n2.
2. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:
22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为 9 .
3. 应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.
解 当n=1时,=3,
当n=2时,=33,
当n=3时,=333,
归纳发现:=.
五、 课堂小结
1. 归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.
2. 归纳推理基于观察和实 ( http: / / www.21cnjy.com )验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.
第2课时 合情推理——类比推理
教学过程
一、 问题情境
模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢
学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.
大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.
1. 试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]
等式的性质: 猜想不等式的性质:
等式 不等式
(1) 加法法则:
a=b a+c=b+c
(2) 减法法则:
a=b a-c=b-c
(3) 乘法法则:
a=b ac=bc
(4) 除法法则:
a=b a÷c=b÷c(c≠0)
(5) 平方法则:
a=b a2=b2
教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.
问题1 等式与不等式之间为什么可以进行类比呢 它们在什么方面是相似的
教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.
问题2 如何开展类比呢
学生活动 模仿就可以.
问题3 大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢 说明什么
学生活动 说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.
2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3]
[处理建议] 结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.
解 圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆 球
弦 截面圆
直径 大圆
周长 表面积
圆面积 球体积
圆的性质 球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2 以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2
在教学的过程中,模仿第1题的方式.
问题1 平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的
学生活动 它们的定义是相似的:
圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.
圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.
问题2 如何展开类比
学生活动 因为圆绕着一条直径旋转一周就 ( http: / / www.21cnjy.com )形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.
问题3 类比的前提是什么 它的一般步骤是什么 [4]
解 进行类比推理时,首先,要找出两 ( http: / / www.21cnjy.com )类对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.
二、 数学建构
概念理解
由两个(两类)对象之间在某些方面的 ( http: / / www.21cnjy.com )相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
(3) 检验猜想.即
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
三、 数学运用
【例1】 类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)
[处理建议] 可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.
[规范板书] 解 在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:
加(+) 乘(×)
加数、被加数 乘数、被乘数
和 积
等等,它们具有下列类似的性质
加法的性质 乘法的性质
a+b=b+a ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
a+(-a)=0 a·=1
a+0=a a·0=0
[题后反思] 为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处
当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.
加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a',b',c',
(a,b,c与a',b',c'相似或相同)
所以B类事物具有性质d'.
【例2】 试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)
[处理建议] 以学生活动为主,合作交流,将全 ( http: / / www.21cnjy.com )班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.
[规范板书] 解 (1) 定义:an+1-an=d =q.
(2) 通项公式:an=a1+(n-1)d bn=b1qn-1;
an=am+(n-m)d bn=bmqn-m.
(3) 等差中项:2an+1=an+an+2 =bn·bn+2.
(4) 若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则am+an=ap+aq bmbn=bpbq.
变式 在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b9=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.
提示 本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:
等差数列→用减法定义→性质用加法表述.
例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.
例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
由此,猜测本题的答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).
[题后反思] (1) 等差 ( http: / / www.21cnjy.com )数列的通项公式是an=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是an=a1qn-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“qn-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-) 比(÷).
(2) 解题的过程中一些基本的方法是:+ ×,- ÷,乘法 乘方,除法 开方,但这不是绝对的.
(3) 类比推理不能仅把 ( http: / / www.21cnjy.com )类比停留在叙述方式或数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.
四、 课堂练习
1. (1) 已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么 结论是什么
(2) 圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球
(3) 平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论
解 (1) 类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.
(2) 球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.
(3) 空间不共面的4点确定一个球.
2. 已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜想棱台中截面面积满足什么关系.
解 若棱台的上底面积为,下底面积为S2,则中截面面积S0=.
3. 等差数列{an}中,a1+a2+ ( http: / / www.21cnjy.com )a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9,…成等差数列,类比等差数列的结论,猜想等比数列有怎样的结论 结论正确吗
解 等比数列{an}中,a1a2a3,a4a5a6,a7a8a9,…成等比数列,结论正确.
五、 课堂小结
1. 类比推理的步骤与方法:
第一步,找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);
第二步,用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;
第三步,用特例验证猜想或证明猜想.
2. 数学中常见的一些类比推理问题:
(1) 立体几何与平面几何问题(类比是一个伟大的引路人,求解立体几何往往有赖于平面几何的类比问题.——数学家G.波利亚);
(2) 等差数列与等比数列问题;
(3) 加、减、乘、除运算问题;
(4) 进制问题等.
第3课时 演绎推理
教学过程
一、 问题情境
问题1 类比上面的推理方法,写出你的结论.
(1) 所有的金属都能导电,
铜是金属,
所以, .
(2) 在学习整数时,有下面的推理:
个位数字是0或5的正整数必是5的倍数,
2375的个位数是5,
所以 .
二、 数学建构
问题2 说说上述推理的特点.
解 由两个前提和一个结论组成.
问题3 上述推理的结论对吗
解 只要两个前提是正确的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的.
通过讨论,给出演绎推理的定义.
在数学学习中,除了归纳推理、类比推理, ( http: / / www.21cnjy.com )我们更多使用的是一种由一般的命题推演出特殊命题的推理方法,例如上述推理“铜能导电”“2375是5的倍数”,像这样的推理通常称为演绎推理.
三段论式推理是演绎推理的主要形式,常用的格式为:
M—P(M是P)
S—M(S是M)
S—P(S是P)
概念理解
(1) 在演绎推理过程中,M起着联系S和P的中介作用,因而M也称为中项.
(2) 三段论中包含了3个命题,第 ( http: / / www.21cnjy.com )一个命题称为大前提,它提供了一个一般性的原理;第二个命题称为小前提,它指出了一个特殊对象,这两个判断结合起来,揭示了一般原理与特殊对象的内在联系,从而得到第三个命题——结论.
(3) 为了方便,在运用三段论推理时,常 ( http: / / www.21cnjy.com )常采用省略大前提或小前提的表述方式.如前面的两个推理,可以分别写成“因为铜是金属,所以铜能导电”,“因为2375的个位数字是5,所以2375是5的倍数”.对于复杂的论证,常常采用一连串的三段论,并把前一个三段论的结论作为下一个三段论的前提.
三、 数学运用
【例1】 (教材第71页例1)如图, ( http: / / www.21cnjy.com )D,E,F分别是BC,CA,AB上的点,∠BFD=∠A,DE∥BA,求证:ED=AF.[2](见学生用书P37)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例1)
[处理建议] 先让学生证明,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.
[规范板书] 证明
(1) 同位角相等,两直线平行, (大前提)
∠BFD与∠A是同位角,且∠BFD=∠ A,(小前提)
所以,DF∥EA.(结论)
(2) 两组对边分别平行的四边形是平行四边形,(大前提)
DE∥BA且DF∥EA,(小前提)
所以,四边形AFDE是平行四边形.(结论)
(3) 平行四边形的对边相等,(大前提)
ED和AF为平行四边形的对边,(小前提)
所以,ED=AF.(结论)
[题后反思] 在初中阶段证明平面几何问题时,要在括号内注明理由,这是为什么
【例2】 (教材第71页例2)已知a,b,m均为正实数,b
[规范板书] 证明 (1) 不等式两边乘以同一个正数,不等式仍成立,(大前提)
b
所以mb
mb
b(a+m)
所以<,即<.(结论)
例2的证明通常简略地表述为:
mb
[题后反思] 在日常做证明题时,虽然不 ( http: / / www.21cnjy.com )要求严格按照三段论形式来书写,但是三段论已经隐含其中,证明的过程是否正确,其检验标准就是证明的每一步能否用三段论形式来推敲.
【例3】 用三段论形式写出下题的计算过程.已知lg2=m,计算lg0.8.[4](见学生用书P38)
[处理建议] 先让学生书写,再用三段论形式来表示,以加深对演绎推理的理解.
[规范板书] 解 (1) lgan=nlga(a>0),(大前提)
lg8=lg23,(小前提)
所以lg8=3lg2.(结论)
(2) lg=lga-lgb(a>0,b>0), (大前提)
lg0.8=lg,(小前提)
所以lg0.8=lg8-1=3lg2-1=3m-1.(结论)
四、 课堂练习
1. “若四边形ABCD是矩形,则四边形ABCD的对角线相等”,此推理的大前提是矩形的对角线相等.
2. (教材第72页练习第3题)把下列推理恢复成完整的三段论:
(1) 因为△ABC三边长依次为3,4,5,所以△ABC是直角三角形;
(2) 函数y=2x+5的图象是一条直线.
解 (1) 如果三角形三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形, (大前提)
△ABC三边长为3,4,5,满足32+42=52,(小前提)
△ABC是直角三角形. (结论)
(2) 一次函数的图象是一条直线, (大前提)
函数y=2x+5是一次函数,(小前提)
函数y=2x+5的图象是一条直线. (结论)
3. (教材第72页练习第4题)指出下列推理中的错误,并分析产生错误的原因.
(1) 整数是自然数,
-3是整数,
-3是自然数.
(2) 无理数是无限小数,
是无限小数,
是无理数.
解 (1) 大前提错误.
(2) 不符合三段论推理的形式.
4. 有下列说法:①演绎推理是 ( http: / / www.21cnjy.com )由一般到特殊的推理;②演绎推理得到的结论一定是正确的;③演绎推理一般模式是“三段论”形式;④演绎推理的结论的正误与大前提、小前提和推理形式有关.
上面说法正确的有①③④.(填序号)
五、 课堂小结
1. 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论(包括定义、公理、定理等),按照严格的逻辑法则得到新结论的推导过程.
2. 演绎推理具有如下特点:
(1) 演绎的前提是一般性原理,演绎所得到的结论是蕴涵于前提之中的个别、特殊事实,结论完全蕴涵于前提之中.
(2) 在演绎推理中,前提与结论之间存 ( http: / / www.21cnjy.com )在必然的联系.只要前提是事实的,推理的形式是正确的,那么结论也必定是正确的,因而演绎推理是数学中严格证明的工具.
(3) 演绎推理是一种收敛性的思维方法,它缺少创造性,但却具有条理清晰、令人信服的论证作用,有助于科学的理论化和系统化.
3. 演绎推理不仅仅在证明题中常用,在计算 ( http: / / www.21cnjy.com )题、解答题甚至日常说话中也是经常使用的.这是一种严谨的逻辑思维形式,我们要养成一种认真、严谨的好习惯.
第4课时 推理案例赏析
教学过程
一、 问题情境
在前两节中,我们分别对合情推 ( http: / / www.21cnjy.com )理和演绎推理的特点与思维过程进行了考察.那么合情推理和演绎推理之间具有怎样的联系和差异 合情推理和演绎推理是怎样推进数学发现活动的
二、 数学建构
正整数平方和公式的推导.[3]
[处理建议] 本题宜采用师生共同参与、 ( http: / / www.21cnjy.com )共同讨论的合作交流形式,尽可能让学生发言、交流各自思路,尝试不同方法,体验归纳推理的过程,教师在这个过程中注意调控和引导,避免学生走一些不必要的弯路.
提出问题
我们已经知道前n个正整数的和为S1(n)=1+2+3+…+n=n(n+1), ①
那么,前n个正整数的平方和S2(n)=12+22+32+…+n2= ②
问题1 如何用你已经掌握的方法来求S2(n)呢
先由学生讨论
教师引导
思路1(归纳的方案)
如下表1所示,列举出S2(n)的前几项,希望从中归纳出一般的结论.
表1
n 1 2 3 4 5 6 …
S2(n) 1 5 14 30 55 91 …
但是,从表1的数据中并没有发现明显 ( http: / / www.21cnjy.com )的关系.这时我们可能会产生一个念头:S1(n) 与S2(n)会不会有某种联系 如下表2所示,进一步列举出S1(n)的值,比较S1(n)与S2(n),希望能有所发现.
表2
n 1 2 3 4 5 6 …
S1(n) 1 3 6 10 15 21 …
S2(n) 1 5 14 30 55 91 …
问题2 观察S1(n)与S2(n)的相应数据,并没有发现明显的联系.怎么办呢
教师引导 尝试计算.终于在计算S1(n)和S2(n)的比时,发现“规律”了.
表3
n 1 2 3 4 5 6 …
S1(n) 1 3 6 10 15 21 …
S2(n) 1 5 14 30 55 91 …
…
从表3中发现=,于是猜想S2(n)=. ③
公式③的正确性还需要证明.
[题后反思] 上面的数学活动是由那些环节 ( http: / / www.21cnjy.com )构成的 在这个过程中提出了哪些猜想 提出猜想时使用了哪些推理方法 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用
思路2(演绎的方案)
尝试用直接相加的方法求出正整数的平方和.
(1) 把正整数的平方表示出来,有
12=1,22=(1+1)2=12+2×1+ ( http: / / www.21cnjy.com )1,32=(2+1)2=22+2×2+1,42=(3+1)2=32+2×3+1,…,n2=(n-1)2+2(n-1)+1,左右两边相加,得S2(n)=[S2(n)-n2]+[2S1(n)-2n]+n,等号两边的S2(n)被消去了,所以无法从中求出S2(n)的值,尝试失败了!
(2) 从失败中汲取有用信息,进行新的尝试.
前面的失败尝试还是有意义的,因为尽管我们没有求出S2(n),但是却求出了S1(n)的表达式,即S1(n)==n(n+1),它启示我们:既然能用上面方法求出S1(n),那么我们也应该可以用类似的方法求出S2(n).
(3) 尝试把两项和的平方公式改为两 ( http: / / www.21cnjy.com )项和的立方公式.具体方法如下:13=1,23=(1+1)3=13+3×12+3×1+1,33=(2+1)3=23+3×22+3×2+1,…,n3=(n-1)3+3(n-1)2+3(n-1)+1.
左右两边分别相加,得S3(n)=[S3(n)-n3]+3[S2(n)-n2]+3[S1(n)-n]+n.
由此知
S2(n)==
=,
终于导出了公式.
[题后反思] 上面的数学活动是由哪些环 ( http: / / www.21cnjy.com )节构成的 在这个过程中提出了哪些猜想 提出猜想时使用了哪些推理方法 合情推理和演绎推理分别发挥了什么作用
三、 数学运用
【例1】 (教材第77页例2)棱台体积公式的推导.[4](见学生用书P39)
[处理建议] 本题宜采用师生共同参与、共 ( http: / / www.21cnjy.com )同讨论的合作交流形式,尽可能让学生讨论、交流各自思路,尝试不同方法,体验类比推理的过程,教师在这过程中注意调控和引导.
[提出问题] 问题1 怎样求棱台的体积 联系所学推理方法,有什么启发
问题2 能通过类比推导出棱台的体积公式吗
问题3 什么知识可以和棱台进行类比
问题4 怎样对梯形和四棱台作比较
思路 以四棱台为例,通过和梯形的类比推导公式.
(1) 确定类比对象,对梯形和四棱台作比较,列表找出相似之处.
梯 形 棱台(四棱台)
上、下底平行 上、下底面平行
另外两边不平行 另外4个面不平行
两腰延长后交于一点 4个侧面伸展后交于一点
中位线平行于上、下底 中截面平行于上、下底面
(2) 对类比对象的进一步分析.
梯形可以认为是用平行于三角形一边的 ( http: / / www.21cnjy.com )直线截去一个小三角形后得到的,而棱台则可认为是用平行于棱锥底面的平面截去一个小棱锥后得到的.据此,应该有如下的对应关系:
直 线 平面
三角形 棱锥
梯 形 棱台
进而有
梯形底边长 棱台底面积
三角形面积 棱锥体积
梯形面积 棱台体积
(3) 通过类比推理,建立猜想.
求棱台的体积的方法与求梯形面积的方法是类似的,棱台的体积公式与梯形的面积公式是类似的.已知梯形的面积公式为
S梯形=h(a+b), ④
其中 a,b 分别表示梯形上、下底的长度,h 表示高.猜想棱台的体积公式可能具有如下的形式:
V棱台=h(S上+S下), ⑤
其中S上,S下分别表示棱台的上、下底面积,h表示棱台的高.
(4) 验证猜想.
⑤式的正确性要通过严格的证明来确认.在作出正式的证明之前,可以先通过具体的例子来加以验证.把棱锥看成棱台的特例,此时,公式⑤中的S上=0,因此有V棱台=hS下,这与实际结果hS下不符,这表明,猜想⑤是错误的,需要修正.于是设想公式具有
V棱台=h(S上+S0+S下) ⑥
的形式,其中S0应该是表示面积的量,它究竟是多少还有待进一步确定.
与⑤式相比,公式⑥的分母从2变为3, ( http: / / www.21cnjy.com )相应的分子由2项变成3项,这些都恰如其分地反映了2维和3维的差异.因此,公式⑥从整体结构上就给人一种协调的美感.应该说,公式⑥比公式⑤更合理.
既然⑥式被认为是合理的,那么下一步的行动就是要具体的确定公式中S0的意义和大小了.容易看出:第一,由于从棱锥的体积公式可知,当S上=0时,S0=0,因此,S0应含有S上的因子.第二,棱台的上底和下底具有同等地位,因此,S上和S下在公式中应该具有同等地位,据此,我们可以猜想S0具有k的形式.第三,进一步确定k的值.仍然使用特殊化的方法,当S上=S下时,棱台变为棱柱,则V棱台=h(S上+k+S下)=hS0.此时S上=S下=S0,所以有k=1,因此,S0=,⑥式即为V棱台=h(S上++S下).
四、 课堂练习
1. 在数学考试中,甲同学觉得有一道题和他平时做的题类似,于是他就用相同的方法来解决考试题目,他的想法用的是 类比 推理.
2. 数列{an}的前4项分别是,3,,,有些同学说,数列{an}的通项公式an=,他们的说法用的是 归纳 推理.
3. 已知数列,,,,…,由此猜想第n个数为.
4. “开心辞典”中有这样的问题:给出一组数,要你根据规律填出后面的第几个数.现给出一级数,-,,-,,…,则它的第8个数可能是 - .
五、 课堂小结
合情推理和演绎推理的区别和联系.
本课的案例说明:
(1) 数学发现活动是一个探索创造的过 ( http: / / www.21cnjy.com )程.这是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程.合情推理和演绎推理相辅相成,相互为用,共同推动着发现活动的进程.
(2) 合情推理是富于创造性的或然推理.在数学发现活动中,它为演绎推理确定了目标和方向,具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用.
(3) 演绎推理是形式化程度 ( http: / / www.21cnjy.com )较高的必然推理.在数学发现活动中,它具有类似于“实验”的功能,它不仅为合情推理提供了前提,而且可以对猜想作出“判决”和证明,从而为调控探索活动提供依据.
对这两种推理在数学活动中的 ( http: / / www.21cnjy.com )作用,著名的数学家G.波利亚作了精辟的论述:“数学的创造过程与任何其他知识的创造过程一样,在证明一个数学定理之前,先得猜测这个定理的内容;在完成详细的证明之前,先得推测证明的思路.创造过程是一个艰苦曲折的过程.数学家创造性的工作是论证推理,即证明.但这个证明是通过合情推理、通过猜想而发现的.”
第5课时 直接证明(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 在《数学5(必修)》中,我们是如何证明基本不等式≤(a>0,b>0)的 [3]
证法一 对于正数a,b,有(-)2≥0 a+b-2≥0 a+b≥2 ≥.
证法二 要证≤,
只要证2≤a+b,
只要证0≤a-2+b,
只要证0≤(-)2.
因为最后一个不等式恒成立,所以≤成立.
方法3:左边-右边=……(比较法)
二、 数学建构
问题2 即时体验题1的证明方法是什么方法
解 综合法.
问题3 问题1的证明方法是什么方法
解 证法1是综合法,证法2是分析法.
问题4 如何用综合法进行证明
解 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.
问题5 如何用分析法进行证明
解 从问题的结论出发,倒推寻找结论成立的条件,逐步倒推,直到找到使结论成立的条件和已知条件或已知事实相符合.
通过讨论,回顾综合法和分析法的定义和特点.
从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止.这种证明方法常称为综合法.
从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止.这种证明方法常称为分析法.
综合法与分析法的推证过程如下:
综合法 已知条件
… … 结论
;
分析法 结论
… … 已知条件
.
上述证明是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的,这种证明通常称为直接证明,
直接证明的一般形式为:
… 本题结论
综合法和分析法都是直接证法.
三、 数学运用
【例1】 (教材第83页例1)已知AB,CD相交于点O,△ACO≌△BDO,AE=BF,求证:CE=DF.[4](见学生用书P41)
(例1)
[处理建议] 先让学生证明,再用分析法倒推分析,体会分析法思路.
[规范板书] 证法一 (分析法)要证明CE=DF,
只需证明△ECO≌FDO,
为此只需证明
为了证明CO=DO,
只需证明△ACO≌△BDO.
为了证明EO=FO,
只需证明AO=BO,
也只需证△ACO≌△BDO.
由于△ACO≌△BDO是已知的,又因为∠EOC与∠FOD是对顶角,所以它们相等,从而△ECO≌△FDO成立,因此命题成立.
[题后反思] 用分析法证明命题,(1) 要 ( http: / / www.21cnjy.com )注意书写的格式,通常“要证明……就要证明……”是必不可少的;(2) 要注意条件的关系,后面的条件应该是前面结论成立的充分条件.
证法二 (综合法)因为△ACO≌△BDO,
所以CO=DO,AO=BO.
因为AE=BF,
所以EO=FO.
在△ECO和△FDO中,
所以△ECO≌△FDO,
所以CE=DF.
[题后反思] 综合法的书写比较简洁,但不是简单的把分析法的思路倒过来抄一遍,还要求学会合理组织文字进行表达.
【例2】 已知a,b,c,d∈R,分别用分析法和综合法证明:ac+bd≤.[5](见学生用书P42)
[处理建议] 先让学生思考,再用分析法倒推寻找证明的思路,然后用综合法书写.
[规范板书] 证法一 (分析法)①当ac+bd≤0时,显然成立.
②当ac+bd>0时,欲证原不等式成立,
只需证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,即证2abcd≤b2c2+a2d2,即证0≤(bc-ad)2,
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,
综合①②知,命题得证.
[题后反思] 在上述证明过程中,缺少①式环节,直接两边平方的证明思路是不对的.
证法二 (分析法)
欲证ac+bd≤,
由于ac+bd≤|ac+bd|对a,b,c,d∈R恒成立,
只需证|ac+bd|≤,
又只要证(ac+bd)2≤(a2+b2)(c2+d2),
即证a2c2+2abcd+b2d2≤a2c2+a2d2+b2c2+b2d2,
即证2abcd≤b2c2+a2d2,
即证0≤(bc-ad)2,
因为a,b,c,d∈R,所以上式恒成立,故原不等式成立,命题得证.
[题后反思] 运用性质x≤|x|(即ac+bd≤|ac+bd|)来过渡的方法是很巧妙的.
证法三 (综合法)
(a2+b2)(c2+d2)
=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2
=a2c2+2abcd+b2d2+b2c2-2bcad+a2d2
=(ac+bd)2+(bc-ad)2≥(ac+bd)2,
所以≥|ac+bd|≥ac+bd.
[题后反思] 从上面例题可以看出,分析法解题 ( http: / / www.21cnjy.com )方向较为明确,利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表达.因此,在实际解题时,通常先以分析法寻求解题思路,再用综合法有条理地表述解题过程.
四、 课堂练习
1. 在 ABCD中,AE⊥BD,垂足为E;CF⊥BD,垂足为F.求证:AE=CF.
证明 因为四边形ABCD是平行四边形,
所以AB∥CD且AB=CD,
因为AB∥CD,
所以∠ABD=∠CDB,
因为AE⊥BD,CF⊥BD,
所以∠AEB=∠CFD=90°,
所以△ABE≌△CDF,
所以AE=CF.
2. 设a,b是两个相异的正数,求证:关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.
证明 因为a,b是两个相异的正数,
所以a2+b2>0且Δ=(4ab)2-4(a2+b2)·2ab=8ab(2ab-a2-b2)=-8ab(a-b)2,
因为a≠b,
所以(a-b)2>0,
所以Δ=-8ab(a-b)2<0,
所以关于x的一元二次方程(a2+b2)x2+4abx+2ab=0没有实数根.
3. 求证:->-.
证明 要证明->-,
只需证明+>+,
只需证明(+)2>(+)2,
展开得 8+2>8+2,
即要证 >.
而>显然成立,所以->-成立,
即原命题得证.
4. 设a,b为两个不相等的正数,且a+b=1,分别用分析法、综合法证明:+>4.
证法一 (分析法)
因为a>0,b>0,a+b=1,
要证 +>4成立,
只需证>4成立,
即需证>4成立.
即需证ab<成立.
而由已知条件可知a≠b,有1=a+b>2,即2<1,所以ab<成立.由此命题得证.
证法二 (综合法)
因为a≠b,a>0,b>0,a+b=1,
所以1=a+b>2,
所以2<1,
所以ab<.
所以>4,
所以>4.
即+>4,由此命题得证.
五、 课堂小结
1. 分析法:解题方向比较明确,利于寻找解题思路;综合法:条理清晰,易于表述.通常以分析法寻求思路,再用综合法有条理地表述解题过程.
2. 证题过程中注意综合法与分析法结合.在分 ( http: / / www.21cnjy.com )析法和综合法的思考过程中,“变形”是解题的关键,是最重一步.因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.
第6课时 直接证明(2)
教学过程
一、 问题情境
复习回顾:
1. 直接证明的一般形式为: … 本题结论
2. (1) 综合法与分析法要点对照表
综合法 分析法
定义 从已知条件出发,以已知的定义、公理、定理为依据,逐步下推,直到推出要证明的结论为止 从问题的结论出发,追溯导致结论成立的条件,逐步上溯,直到使结论成立的条件和已知条件或已知事实吻合为止
思维过程 原因 结果,又名“顺推证法”,“由因导果法” 由结果追溯原因,又名“追溯证法”,“执果索因法”
思维特点 从“已知”看“可知”,逐步推向“未知”,其推理实际上是寻找必要条件 从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其推理实际上是寻求充分条件
步骤 已知条件
… … 结论 结论
… … 已知条件
(2) 对分析法证题的说明
“若A成立,则B成立”,此命题用分析法证明的一般步骤如下:
要证明(或为了证明)B成立, ( http: / / www.21cnjy.com )只需证明A1成立(A1是B成立的充分条件),要证A1成立,只需证明A2成立(A2是A1成立的充分条件)……要证明Ak成立,只需证明A成立(A是Ak成立的充分条件),因为A成立,所以B成立.
注:① 每一步都是寻求充分不必要条件或充要条件,但绝不能是必要不充分条件;
② 在寻求充分条件时,要联系已知条件,即在一系列可以证明结论的条件中,与题设条件较为接近的条件,才是我们所需要的;
③ “只需证明”“为了证明”“因为A成立,所以B成立”类似这些语言必须有,而且要用它们把每一步连结起来.
二、 数学运用
【例1】 已知a>b>c,求证:++≥0.[1](见学生用书P43)
[处理建议] 本题用综合法不容易找到证题思路,因此用分析法探路.
[规范板书] 要证原不等式成立,
由a>b>c,得a-b>0,b-c>0,a-c>0,
因此移项,只需证+≥.
通分,得≥,
即证≥.
只需证(a-c)2≥4(a-b)(b-c)成立.
因为4(a-b)(b-c)≤[(a-b)+(b-c)]2=(a-c)2,
所以≥,
即-≥0,
所以++≥0.
[题后反思] (1) 分析法和综合法是两种常用的解题方法,但有时候我们常常把这两种方法结合起来使用效果更好.
(2) 用分析法寻找思路,用综合 ( http: / / www.21cnjy.com )法表述过程.分析法解题方向较为明确,有利于寻找解题思路;综合法条理清晰,宜于表述.因此,在实际解题时,通常以分析法为主寻求解题思路,再用综合法有条理地表述过程.
变式1 若a,b,c是不全相等的正数,求证:lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.
[规范板书] 证法一 (分析法)要证lg+lg+lg>lga+lgb+lgc,
只需证lg>lg(abc),
只需证··>abc.
又≥>0,≥>0,≥>0.
且上述三式中的等号不全成立,
所以··>abc.
因此lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.
注:这个证明中的前半部分用的是分析法,后半部分用的是综合法.
证法二 (综合法)因为a,b,c是不全相等的正数,
所以≥>0,≥>0,≥>0.
所以··>abc,
所以lg>lg(abc),
所以lg+lg+lg>lga+lgb+lgc.
变式2 设a,b是两个正实数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
[规范板书] 证法一 (分析法)要证a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立,
即需证a2-ab+b2>ab成立,(因为a+b>0)
只需证a2-2ab+b2>0成立,
即需证(a-b)2>0成立.
而由已知条件可知,a≠b,有a-b≠0,
所以(a-b)2>0显然成立.所以原不等式成立.
证法二 (综合法)因为a≠b,所以a-b≠0,
所以(a-b)2>0,
所以a2-2ab+b2>0,
所以a2-ab+b2>ab.
因为a+b>0,
所以(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
所以a3+b3>a2b+ab2.
[题后反思] 还有其他证明方法吗
此题可以用作差比较法进行证明.
【例2】 若实数x≠1,求证:3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.[2](见学生用书P43)
[处理建议] 在不等式问题的证明方法中,比 ( http: / / www.21cnjy.com )较法是一种常用的、简单的、主要的方法,有些不等式在用分析法倒推寻找思路时不一定能行,可以用比较法来证明.
[规范板书] 证明(差值比较法)
3(1+x2+x4)-(1+x+x2)2
=3+3x2+3x4-1-x2-x4-2x-2x2-2x3
=2(x4-x3-x+1)
=2(x-1)2(x2+x+1)
=2(x-1)2.
因为x≠1,从而(x-1)2>0,
且+>0,
所以2(x-1)2>0,
所以3(1+x2+x4)>(1+x+x2)2.
[题后反思] (1) 比较法是证明不等式的一种最基本、最重要的方法.
(2) 用比较法证明不等式的主要步骤是:作差(或作商)、变形、判断符号.
(3) 若题设中去掉x≠1这一限制条件,要求证的结论如何变化
变式 已知a,b均为正实数,求证:aabb≥abba.
[规范板书] 证法一 (差值比较法)
不妨设a≥b>0.
因为a-b≥0,所以abbb≥0,aa-b-ba-b≥0.
所以aabb-abba=abbb(aa-b-ba-b)≥0,从而原不等式得证.
证法二 (商值比较法)
设a≥b>0,
因为≥1,a-b≥0,所以=≥1.故原不等式得证.
[题后反思] 在证明不等式命题的过程中,“变形”是解题的关键.应用因式分解、配方、凑成若干个平方和等是“变形”的常用方法.
三、 课堂练习
1. 已知a,b>0,求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
证明 因为b2+c2≥2bc,a>0,
所以a(b2+c2)≥2abc,
因为c2+a2≥2ac,b>0,
所以b(c2+a2)≥2abc.
因此,a(b2+c2)+b(c2+a2)≥4abc.
2. 已知a,b,c都是正数,且a,b,c成等比数列,
求证:a2+b2+c2>(a-b+c)2.
证明 左边-右边=2(ab+bc-ac),
因为a,b,c成等比数列,所以b2=ac.
又因为a,b,c都是正数,
所以0
所以2(ab+bc-ac)=2(ab+bc-b2)=2b(a+c-b)>0,
所以a2+b2+c2>(a-b+c)2.
四、 课堂小结
1. 对于那些较为复杂的数学命题,不论 ( http: / / www.21cnjy.com )是从“已知”推向“未知”,或者是由“未知”靠拢“已知”,都有一个比较长的思考过程,只靠分析法或综合法有时较为困难.为保证探索方向准确及过程快捷,人们常常
把分析法与综合法两者结合起来使用, ( http: / / www.21cnjy.com )即常采取同时从已知和结论出发,寻找问题的一个中间目标.从已知到中间目标运用综合法思索,而由结论到中间目标运用分析法思索,以中间目标为桥梁沟通已知与结论,构建出证明的有效路径.这种思考模式可以概括如下图所示.
(图1)
综合法与分析法是逻辑推理的重 ( http: / / www.21cnjy.com )要方法,它对于培养思维的严谨性极为有用.把分析法与综合法结合并列起来进行思考,寻求问题的解答途径,就是人们通常所说的分析-综合法.
2. 在不等式的证明中,比较法是一种常用而且有效的方法,也是直接证明不等式的重要方法.
第7课时 间接证明
教学过程
一、 问题情境
问题1 如何证明命题“在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB与A1C是异面直线”
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
证明 假设AB与A1C共面.
由于经过点C和直线AB的平面只能有1个 ( http: / / www.21cnjy.com )(即底面ABCD),所以直线A1C和AB都应在底面ABCD内,于是A1在底面ABCD内,这与点A1在底面ABCD外矛盾.
因此,直线AB与A1C是异面直线.
二、 数学建构
1. 反证法
一般地,假设原命题不成立(即在原命 ( http: / / www.21cnjy.com )题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫做反证法.
2. 反证法的3个步骤:
(1) 反设——假设命题的结论不正确,即假定原结论的反面为真;
(2) 归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
(3) 存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
3. 间接证明——不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立(如反证法),这种不是直接证明的方法称为间接证明,反证法是间接证明的一种常用方法.
概念理解
1. 反设是反证法的基础,为了正确地作出反设,掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的.
例如:是 不是;
存在 不存在;
平行于 不平行于;
垂直于 不垂直于;
等于 不等于;
大(小)于 不大(小)于;
都是 不都是;
至少有1个 1个也没有;
至少有n个 至多有(n-1)个;
至多有1个 至少有2个;
唯一 至少有2个.
2. 归谬是反证法的关键,导出矛盾的过程没有固定的模式,但必须从反设出发,否则推导将成为无源之水,无本之木,推理必须严谨.
3. 导出的矛盾有如下几种类型:与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾.
三、 数学运用
【例1】 (教材第86页例2)求证:不是有理数.[2](见学生用书P45)
[处理建议] 直接证明一个数是无理数比较困难,我们采用反证法.假设不是无理数,那么它就是有理数.是有理数,我们能得到什么结论 我们知道,任一有理数都可以写成形如(m,n互质,m∈Z,n∈N*)的形式.上述分析若学生不会,可以由老师讲解,再让学生模仿,以了解和掌握无理数的证明.
[规范板书] 证明 假设是有理数,于是,存在互质的正整数m,n,使得=,从而有m=n,因此,m2=2n2,所以 m 为偶数.于是可设m=2k (k 是正整数),从而有4k2=2n2,即n2=2k2,
所以n也为偶数,所以m,n有公约数2.
这与 m,n 互质矛盾,由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.
[解题反思] (1) 反证法的巧妙之处在于说不清楚的问题,反过来说明,让人看得明明白白.
(2) 正是的发现,使人们认识到在有理数之外,还有一类数与1是不可公度的,这就是无理数,从而引发了数学史上的第一次危机,大大推动了数学前进的步伐.
【例2】 (教材第85页例1)求证:正弦函数没有比2π小的正周期.[3](见学生用书P45)
[处理建议] 对于一些平时不多见的命题证明,要启发学生从数学定义入手,这是一个最简单、最重要的方法,而它往往会被忽视.
[规范板书] 证明 假设T是正弦函数的周期,且0
又0
[题后反思] 周期函数定义——对于函数y=f(x),如果存在一个不为零的函数T,使得当x取定义域内的每一个值时,f(x+T)=f(x)都成立,那么就把函数y=f(x)叫做周期函数,不为0的常数T叫做这个函数的周期.应用其定义时,要注意自变量x的任意性,上题证明过程中,定义域为一切实数,而x=时等式不成立,所以假设不成立.
【例3】 设a,b,c∈(0,2),求证:(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.[4](见学生用书P46)
[处理建议] 先让学生进行证明,熟悉反证法的方法,注意书写格式,再讨论交流.
[规范板书] 证明 假设(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b 都大于1,
即(2-a)c>1,(2-b)a>1,(2-c)b>1,
则(2-a)c(2-b)a(2-c)b>1, ①
又因为a,b,c∈(0,2),
所以(2-a)a≤=1,
同理 (2-b)b≤1,(2-c) c≤1,
所以(2-a)c(2-b)a(2-c)b=
(2-a)a(2-b)b(2-c)c≤1,
所以(2-a)c(2-b)a (2-c)b≤1,与①矛盾,所以假设不成立,
所以(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.
[题后反思] 本题的关键是归谬找到矛盾,其思路不止一条,要会应用a,b,c的对称关系来消元.举例如下:
假设(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b都大于1,
即(2-a)c>1,(2-b)a>1,(2-c)b>1,
又因为a,b,c∈(0,2),
所以>1,
所以1<≤,
同理1<≤,
1<≤,
相加得3<++=3,即3<3.
而这显然不成立,所以假设不成立,
所以(2-a)c,(2-b)a,(2-c)b不可能同时大于1.
四、 课堂练习
1. (1) 用反证法证明“如果a>b,那么a3>b3”,假设的内容是 ④ .(填序号)
①a3=b3; ②a3
①有1个解; ②有2个解;
③至少有3个解; ④至少有2个解.
2. 用反证法证明:两个不相等的角,一定不是对顶角.
证明 假设这两个角是对顶角,根据对顶角定义,那么这两个角相等,这与已知“两个不相等的角”矛盾,所以假设不成立,所以原命题正确.
3. 用反证法证明:不是有理数.
证明 假设是有理数.于是,存在互质的正整数m,n,使得=,从而有m=n,
因此,m2=3n2,
所以m为3的倍数.于是可设m=3k(k 是正整数),从而有9k2=3n2,即n2=3k2,
所以n也为3的倍数,所有m,n有公约数3.
这与 m,n 互质矛盾,由上述矛盾可知假设错误,从而是无理数.
4. 用反证法证明:若一个正整数的平方是偶数,则这个数一定是偶数.
证明 假设这个正整数不是偶数,则是奇数,
设这个奇数是2k-1(k∈Z),
则(2k-1)2=4k2-4k+1=2(2k2-2k)+1是一个奇数,
与已知矛盾,所以假设不成立,
所以这个数必然是偶数.
五、 课堂小结
1. 一般地,假设原命题不成立(即在 ( http: / / www.21cnjy.com )原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证明方法叫反证法.
2. 反证法的步骤:
(1) 反设——假设命题的结论不成立,即假定原结论的反面为真;
(2) 归谬——从反设和已知条件出发,经过一系列正确的逻辑推理,得出矛盾结果;
(3) 存真——由矛盾结果,断定反设不真,从而肯定原结论成立.
第8课时 数学归纳法(1)
教学过程
一、 问题情境
问题1 华罗庚教授曾经举过一个例子.
从一个袋子里摸出来的第一个是红玻璃球, ( http: / / www.21cnjy.com )第二个是红玻璃球,甚至第三个、第四个、第五个都是红玻璃球的时候,我们立即会出现一种猜想:“是不是这个袋子里的东西全部都是红玻璃球 ”但是,当我们有一次摸出一个白玻璃球的时候,这个猜想失败了.这时我们会出现另一个猜想:“是不是袋子里的东西,全部都是玻璃球 ” 但是,当有一次摸出来的是一个木球的时候,这个猜想又失败了.那时我们会出现第三个猜想:“是不是袋子里的东西都是球 ”这个猜想对不对,还必须继续加以检验……
猜想的结论是否正确,这是要经过实践检验和逻辑证明的,不能凭空臆想.
问题2 如果袋子里的东西是有限的,迟早可以把它摸完,这样总可以得到一个肯定的结论.
例如:这里有一袋球共12个,我们要判断这一袋球是白球还是黑球,请问:怎么办
方法一:把它倒出来看一看就可以了.
特点:方法是正确的,但操作上缺乏顺序性.
方法二:一个一个拿,拿一个看一个.
比如结果为:第一个白球,第二个白球,第三个白球……第十二个白球,由此得到:这一袋球都是白球.
特点:有顺序,有过程.
因此,要弄清袋子里究竟装了什么东西是一件很容易的事.但是,当袋子里的东西是无限多个的时候,那怎么办呢
方法:一个一个拿,拿一个看一个.但是这样的方法存在问题,很可能出现错误(如前面讨论的问题).
华罗庚先生是这样解决的. ( http: / / www.21cnjy.com )他说,如果“当你这一次摸出红玻璃球的时候,下一次摸出的东西也一定是红玻璃球”,那么在这样的保证之下,就不必一个一个地摸了,只要第一次摸出的是红玻璃球,就可以立即作出正确的结论:“袋子里的全是红玻璃球”.
解决有限问题和无限问题的方法是不同的.
问题3 我们有时会做一种游戏,在一个平面上摆一排砖(每块砖都竖起),假定这排砖有无数块,我们怎样才能使所有的砖都倒下
解 只要做两件事就行了.第一,使第一块砖倒下;第二,保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖.
课件展示:多媒体课件(多米诺骨牌游戏),多米诺骨牌游戏要取得成功,必须靠两条:
(1) 骨牌的排列,保证前一张牌倒则后一张牌也必定倒;
(2) 第一张牌被推倒.
用这种思想设计出来的,用于证明不完全归纳法推测所得命题的正确性的证明方法就是数学归纳法.
二、 数学建构
一般地,对于某些与正整数有关的数学命题,我们有数学归纳法公理:
如果:(1) 当n取第一个值n0(例如n0=1,2等)时结论正确;
(2) 假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确,证明当n=k+1时结论也正确.
那么,命题对于从n0开始的所有正整数n都成立.
数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据.
概念理解
(1) 数学归纳法的两个步骤是缺一不可的.数学归纳法的步骤(1)是命题论证的基础,步骤(2)是判断命题的正确性能否递推下去的保证.
(2) 在用数学归纳法证明有关问题 ( http: / / www.21cnjy.com )的关键是在第二步,即证明当n=k+1时为什么成立.n=k+1时成立是利用假设n=k时成立,根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出n=k+1时成立,而不是直接代入,否则n=k+1时也成假设了,命题并没有得到证明.
(3) 用数学归纳法可以证明有关的正整数问题,但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明,学习时要具体问题具体分析.
三、 数学运用
【例1】 (教材第89页 ( http: / / www.21cnjy.com )例1)用数学归纳法证明:等差数列{an}中,若a1为首项,d为公差,则通项公式为an=a1+(n-1)d①.[2](见学生用书P47)
[处理建议] 学生初识数学归纳法,以教师的讲解为主,分析数学归纳法的几个基本步骤后,让学生用等比数列的通项公式的证明来模仿.
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,等式左边=a1,等式右边=a1+0·d=a1,等式①成立.
(2) 假设当n=k(k≥1)时等 ( http: / / www.21cnjy.com )式①成立,即ak=a1+(k-1)d,那么,当n=k+1时,有ak+1=ak+d=a1+(k-1)d+d=a1+[(k+1)-1]d.
这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,等式①都成立.
变式 用数学归纳法证明:等比数列{an}中,若a1为首项,q为公比,则通项公式为an=a1qn-1.①
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,等式左边=a1,等式右边=a1q1-1=a1,等式①成立.
(2) 假设当n=k(k≥1)时 ( http: / / www.21cnjy.com )等式①成立,即ak=a1qk-1,那么,当n=k+1时,有ak+1=ak·q=a1q(k-1)+1=a1qk+1-1,这就是说,当n=k+1时等式①也成立.根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*等式①都成立.
【例2】 用数学归纳法证明:当n∈N*时,1+3+5+…+(2n-1)=n2.[3](见学生用书P47)
[处理建议] 学生尝试用数学归纳法进行证明,教师辅助学生来完成,要注意讲解清楚下列两点:
(1) 按照数学归纳法格式去写,养成良好书写习惯;
(2) “递推步”的证明要应用“归纳假设”的结论.
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,等式左边=1,等式右边=1,等式成立.
(2) 假设当n=k(k≥1)时等式成立,即1+3+5+…+(2k-1)=k2,
那么,当n=k+1时,有1+3+5 ( http: / / www.21cnjy.com )+…+(2k-1)+[2(k+1)-1]=k2+[2(k+1)-1]=k2+2k+1=(k+1)2.这就是说,当n=k+1时等式也成立.
根据(1)和(2),可知对任何n∈N*,等式都成立.
[解题反思] (1) 数学 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳法的思想方法不仅要掌握,还要注意证明格式的书写,书写的格式很重要,能反映对数学归纳法的理解和掌握,要从模仿例题的书写出发,力求写好.
(2) “递推步”的证明是数学 ( http: / / www.21cnjy.com )归纳法的重点,要应用“归纳假设”的结论,要让学生弄清“归纳假设”是什么(即当n=k时,命题是什么),要证明的又是什么(即当n=k+1时,命题是什么).
【例3】 用数学归纳法证明:当n∈N*时,12+22+32+…+n2=.[4](见学生用书P47)
[处理建议] 让学生在前一个例题的基础上尝试独立完成,后在黑板上重点讲解“递推步”的等式变形.
[规范板书] 证明 (1) 当n=1时,12=1,=1,结论成立.
(2) 假设n=k(k≥1)时,结论成立,即12+22+32+…+k2=,
那么n=k+1时,
12+22+32+…+k2+(k+1)2=+(k+1)2=
=
=
=.
所以当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)和(2)可知,等式当n∈N*时都成立.
[解题反思] 从上述3个例题的证明可以看出, ( http: / / www.21cnjy.com )数学归纳法的书写过程中最重要的一环是从n=k时的归纳假设到n=k+1时的结论的变形,要做到思路清晰,叙述完整.
四、 课堂练习
1. 用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1=(a≠1,n∈N*)”在验证n=1成立时,左边计算所得的结果是1+a+a2.
2. 用数学归纳法证明:++…+=1-.
证明 (1) 当n=1时,左边=,右边=1-=,左边=右边,等式成立.
(2) 假设当n=k时等式成立,即++…+=1-,
则当n=k+1时,左边=++…++=1-+=1-+=1-,右边=1-,
左边=右边,即n=k+1时等式也成立.
根据(1)(2),当n∈N*时,++…+=1-.
3. 分析下列两题用数学归纳法证明过程中的错误.
(1) 设n∈N*,求证:2+4+6+…+2n=n2+n+1.
证明 假设当n=k时等式成立,即2+4+6+…+2k=k2+k+1,
那么,当n=k+1时,有2+4+6+…+2k+2(k+1)
=k2+k+1+2(k+1)
=(k+1)2+(k+1)+1,
因此,对于任何n∈N*等式都成立.
(2) 设n∈N*,求证:2n>n2.
证明 ①当n=1时,21>12,不等式显然成立.
②假设当n=k时不等式成立,即2k>k2,那么当n=k+1时,有2k+1=2×2k=2k+2k>k2+k2≥k2+2k+1=(k+1)2.
这就是说,当n=k+1时,不等式也成立.
根据①②,可知对任何n∈N*不等式都成立.
解 (1) 缺少第一步,实际上当n=1时,等式不成立.
(2) 第二步证明有错.一般地,对自然数k,当k≥3时,k2≥2k+1才成立.
五、 课堂小结
数学归纳法:数学归纳法实际上是一种以 ( http: / / www.21cnjy.com )数学归纳法原理为依据的演绎推理,它将一个无穷的归纳过程转化为一个有限步骤的演绎过程,是处理有关自然数问题的有力工具.
注意的问题:
1. 数学归纳法公理:
(1) (递推奠基):当n取第一个值n0结论正确;
(2) (递推归纳):假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确;(归纳假设)
证明当n=k+1时结论也正确.(归纳证明)
由(1)(2)可知,命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.
2. 注意从n=k到n=k+1时添加项的变化.利用归纳假设创造递推条件,寻求f(k+1)与f(k)的递推关系.
3. 要认真书写数学归纳法的证明过程.
第9课时 数学归纳法(2)
教学过程
一、 问题情境
数学归纳法是直接证明的一 ( http: / / www.21cnjy.com )种重要方法,应用十分广泛,主要体现在与正整数有关的恒等式、不等式、数的整除性、几何问题,以及探求数列的通项及前n项和等问题.
二、 数学运用
【例1】 设n∈N*,f(n)=5n+2×3n-1+1.
(1) 当n=1,2,3,4时,计算f(n)的值;
(2) 你对f(n)的值有何感想 用数学归纳法证明你的猜想.[1](见学生用书P49)
[处理建议] 提出问题, ( http: / / www.21cnjy.com )学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止一个),让学生证明.通过(1)的结果,运用归纳推理,猜想f(n)的规律:8,32,144,680都是偶数,都是4的倍数,都是8的倍数等等,这些结论都是合情的猜想,要学会从中找一个最为适当的猜想.
[规范板书] 解 (1) 当n=1时,f(1)=51+2×31-1+1=8=8×1;
当n=2时,f(2)=52+2×32-1+1=32=8×4;
当n=3时,f(3)=53+2×33-1+1=144=8×18;
当n=4时,f(4)=54+2×34-1+1=680=8×85.
(2) 猜想:当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除.
①当n=1时,有f(1)=51+2×31-1+1=8能被8整除,命题成立.
②假设当n=k时,命题成立,即f(k)能被8整除,
那么当n=k+1时,有
f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1
=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)
=f(k)+4(5k+3k-1).
这里,5k和3k-1均为奇数,它们的 ( http: / / www.21cnjy.com )和(5k+3k-1)必为偶数,从而4(5k+3k-1)能被8整除.又由归纳假设,f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除.这就是说,当n=k+1时,命题也成立.
根据(1)和(2)可知,命题对任何n∈N*都成立.
[解题反思] (1) 数学归纳法证题的 ( http: / / www.21cnjy.com )关键是“一凑假设,二凑结论”,在证题的过程中,归纳推理一定要起到条件的作用,即证明n=k+1成立时必须用到归纳递推这一条件,否则就可能出现错误;
(2) 对这种类型的题目,一般先利用n的 ( http: / / www.21cnjy.com )特殊值算出几个特殊值,通过观察找出规律,然后用数学归纳法证明它对一切正整数n都成立,这就是“归纳——猜想——证明”的方法,这是我们认识事物、研究事物的一种方法,它既是一种创造性的思维,又是一种严密的逻辑推理.
变式 n3+5n(n∈N*)能被哪些自然数整除
[规范板书] n3+5n(n∈N*)最大能被6整除.
① 当n=1时,n3+5n=6,显然成立.
② 当n=k时,假设n3+5n能被6整除,
则n=k+1时,n3+5n=(k+1)3+5(k+1)=n3+3n2+8n+6=n3+5n+3n(n+1)+6,显然也能被6整除.
故n3+5n能被1,2,3,6整除.
【例2】 在平面上画n条直线,且任何2条直线都相交,其中任何3条直线不共点.问:这n条直线将平面分成多少个部分 [2](见学生用书P50)
[处理建议] 提出问题,学生先独立思考、分析,经过比较归纳,猜想结论(可能不止1个),让学生证明.
[规范板书] 解 记n条直线把平面分成rn个部分,我们通过n=1,2,3,4,5,画出图形观察rn的情况:
(例2)
从图中可以看出,
r1=2=1+1,
r2=4=r1+2=1+1+2,
r3=7=r2+3=1+1+2+3,
r4=11=r3+4=1+1+2+3+4,
r5=16=r4+5=1+1+2+3+4+5.
由此猜想rn=1+1+2+3+4+…+n.
接下来用数学归纳法证明这个猜想.
(1) 当n=1,2时,结论均成立;
(2) 假设当n=k时结论成立,即rk ( http: / / www.21cnjy.com )=1+1+2+3+4+…+k,当n=k+1时第k+1条直线与前面的k条直线都相交,有k个交点,这k个交点将这条直线分成k+1段,且每一段将原有的平面部分分成两个部分,所以rk+1=rk+(k+1)=1+1+2+3+4+…+k+(k+1),结论也成立.
根据(1)和(2),可知对n∈N*,均有rn=1+1+2+3+4+…+n,即rn=1+.
[题后反思] 一些几何问题规律的发现,需要我们从简到繁,一个一个地画出图形,尝试探索,从而发现规律,证明结论.
【例3】 已知Sn=1+++…+,求证:>1+(n≥2,n∈N*).[3](见学生用书P50)
[处理建议] 应用数学归纳法证明不等式与证明 ( http: / / www.21cnjy.com )等式的步骤相同,关键是“递推步”的不等式的变形,先让学生证明练习,发现问题,再讨论解决、提炼方法.
[规范板书] 证明 (1) 当n=2时,=1+++=>1+,即n=2时命题成立.
(2) 假设当n=k时命题成立,即=1+++…+>1+,
当n=k+1时,=1+++…+++…+>1++++…+>1++=1++=1+,
故当n=k+1时,命题成立.
由(1)和(2)可知,对n∈N*,n≥2,>1+都成立.
[题后反思] 不等式证明中,“ ( http: / / www.21cnjy.com )递推步”的证明在应用“归纳假设”后,如果一时寻找不到解题思路,可以应用“分析法”的思路倒推分析,再应用综合法进行证明.
三、 课堂练习
1. 求证:当n取正奇数时,xn+yn能被x+y整除.
证明 (1) n=1时,x1+y1=x+y,能被x+y整除,命题成立.
(2) 假设n=k (k为正奇数)时,有xk+yk能被x+y整除,
当n=k+2时,xk+2+yk+2 ( http: / / www.21cnjy.com )=xk·x2+yk·y2=xk·x2+yk·x2-yk·x2+yk·y2=(xk+yk)x2-yk(x2-y2)=(xk+yk)x2-yk(x+y)(x-y),
因为以上两项均能被x+y整除,所以xk+2+yk+2能被x+y整除,即当n=k+2时命题仍成立.
由(1)和(2)可知,对一切正奇数n,都有xn+yn能被x+y整除.
2. 已知数列,,,…,,…,计算S1,S2,S3,S4,根据计算结果,猜想Sn的表达式,并用数学归纳法证明.
解 S1==,
S2=S1+=,
S3=S2+=,
S4=S3+=.
猜想Sn=,
证明:① 当n=1时,结论显然成立.
② 假设当n=k(k≥1)时结论成立,即Sk=,
则当n=k+1时,
Sk+1=Sk+
=+
==
==,
故当n=k+1时结论也成立.
由①②可知,对于任意的n∈N*,Sn=.
四、 课堂小结
归纳是从由特殊到一般的思维, ( http: / / www.21cnjy.com )是数学发现的重要方法,有完全归纳法和不完全归纳法之分;数学归纳法既克服了完全归纳法的繁杂、不可行的缺点,又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足,是一种科学方法;数学归纳法的核心是在验证命题n=n0正确的基础上,证明命题具有传递性,而第二步实际上是以一次逻辑的推理代替了无限的验证过程.所以说数学归纳法是一种合理、切实可行的科学证题方法,实现了从有限到无限的飞跃,使我们认识事情由简到繁、由特殊到一般、由有限到无穷.
第10课时 本章复习
教学过程
一、 数学运用
【例1】 已知a,b,c是互不相等的非零实数 ( http: / / www.21cnjy.com ).求证:3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.[1](见学生用书P51)
[处理建议] 与基础训练一同先让学生练习,再作重点点评.
[规范板书] 证明 假设3个方程ax2+2 ( http: / / www.21cnjy.com )bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0都没有2个相异实根,即3个方程没有实数根或者有2个相等的实数根.
则所以
所以a2+b2+c2-ab-bc-ca≤0,
所以2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,
所以(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,
所以a=b且b=c且c=a,即a=b=c.
这与a,b,c是互不相等的非零实数矛盾,
所以假设不成立,
所以3个方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0中至少有1个方程有2个相异实根.
[题后反思] 对于一些否定性、至多或至少、存在性、唯一性的命题的证明,常常考虑应用反证法进行证明.
【例2】 用数学归纳法证明:对于任意自然数n,数11n+2+122n+1是133的倍数.[2](见学生用书P52)
[处理建议] 以学生解答为主,教师把握重点进行讲解:(1)自然数问题,初值n=0;(2)应用归纳假设的结论进行的变形.
[规范板书] 证明 (1) 当n=0时,11n+2+122n+1=112+121=121+12=133,故n=0时命题成立.
(2) 假设当n=k时命题成立,即11k+2+122k+1能被133整除.
当n=k+1时,
11(k+1)+2+122(k+1)+1
=11·11k+2+122·122k+1
=11·(11k+2+122k+1)+122·122k+1-11×122k+1
=11·(11k+2+122k+1)+122k+1(144-11)
=11·(11k+2+122k+1)+122k+1·133.
由归纳假设知11k+2+122k+1及133 ( http: / / www.21cnjy.com )都能被133整除,所以11(k+1)+2+122(k+1)+1能被133整除,即n=k+1时命题也成立.
根据(1)(2)可知,命题对一切自然数n都成立.
[题后反思] (1) 第一步的 ( http: / / www.21cnjy.com )初始值,可能会:当n=1时,11n+2+122n+1=113+123=(11+12)(112-11×12+122)=23×(121+144-132)=23×133.所以23×133能被133整除,即n=1时命题成立.但这是错误的,因为自然数中包括0,所以第一步应验证n=0,而不是n=1.
(2) 本题第一步若证明n=1时命题成立,一 ( http: / / www.21cnjy.com )者计算量较大,二者也不符合自然数集的新定义.证n=0,既方便减少计算量又科学更严密.一般情况,有时为了简化计算常将证明n=1改成证n=0或n=-1,这种技巧称之“提前起点”,提前起点的前提是n为整数,否则递推无法进行.
(3) 利用数学归纳法证明 ( http: / / www.21cnjy.com )整除问题,由归纳假设P(k)能被p整除,证P(k+1)能被p整除,也可运用结论:“P(k+1)-P(k)能被p整除 P(k+1)能被p整除.”
【例3】 设数列{an}的前n项和为Sn,且方程x2-anx-an=0有一根为Sn-1,n=1,2,3,….求:
(1) a1,a2;
(2) {an}的通项公式.[3]
(见学生用书P52)
[处理建议] 学生参与,教师讲解,课后练习巩固.
[规范板书] 解 (1) 当n=1时,x2-a1x-a1=0有一根为S1-1=a1-1,
于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得a1=.
当n=2时,x2-a2x-a2=0有一根为S2-1=a2-,
于是-a2-a2=0,解得a2=.
(2) 由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0,-2Sn+1-anSn=0.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1,
代入上式得Sn-1Sn-2Sn+1=0. ①
由(1)知S1=a1=,S2=a1+a2=+=.
由①可得S3=,
由此猜想Sn=,n=1,2,3,…
下面用数学归纳法证明这个结论.
①当n=1时已知结论成立;
②假设n=k时结论成立,即Sk=,
当n=k+1时,由①得Sk+1=,即Sk+1=,
故n=k+1时结论也成立.
综上,由①②可知Sn=对所有正整数n都成立,
于是当n≥2时,
an=Sn-Sn-1=-=,
又n=1时,a1==,符合上式.
所以{an}的通项公式an=,n=1,2,3,….
二、 课堂练习
1. 证明下列等式,并从中归纳出一个一般性的结论:
2cos=,
2cos=,
2cos=,
…
解 因为cos=,所以2cos=.
因为4cos2-2=2cos=,
所以4cos2=2+.
又因为cos>0,
所以2cos=.
因为4cos2-2=2cos=,
所以4cos2=2+.
因为cos>0,所以2cos=.
…
一般性的结论:2cos=.
2. 求证:方程 x2+2x+2k=0没有有理根.
证明 原方程可变为(x+1)2=1-2k,
解得x=-1±.
若k是奇数,可设 k=2m-1(m为整数),
则1-2k=3-4m,是4的倍数加3;
但是,奇数的平方 (2n+1)2=4n(n+1)+1是4的倍数加1,所以,1-2k不是完全平方数;
所以,是无理数,
所以方程 x2+2x+2k=0没有有理根.
3. 设k是奇数,求证:方程x2+2x+2k=0没有有理根.
证明 假设方程存在有理根x=,其中a,b为互素的整数,则代入方程得 +2+2k=0,
即a2+2ab+2kb2=0,解得a=b±b ,
因为a是整数,
所以是整数,所以1-2k是平方数,
因为k是奇数,所以可以设为k=2n+1,n是整数,
1-2k=1-2(2n+1)=-4n-1≥0,
所以n≤-,n≤-1,
因此-4n-1可以表示为4m+3的正整数(m是自然数).
但是,任意一个正整数,如果 ( http: / / www.21cnjy.com )是偶数,可以表示为(2n)2=4n2是4的倍数;如果是奇数,可以表示为(2n+1)2=4n2+4n+1=4(n2+n)+1,也就是除以4余1.因此4m+3不可能是平方数,因此原假设错误,方程没有有理根.
四、 课堂小结
1. 合情推理的结果不唯一,关键是要把握“合情”二字.
2. “三段论”是构成严格证明和推理的基础,要学会用“三段论”的形式去判断自己的证明过程是否正确.
3. 数学归纳法只能证明与整数相关的一些命题,即命题中的n为大于或等于n0(n0≥0)的所有自然数,否则,运用数学归纳法证明是没有意义的.