《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-2名师导学：第三章 数系的扩充与复数的引入（含解析）
文档属性
| 名称 | 《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-2名师导学：第三章 数系的扩充与复数的引入（含解析） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 209.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 苏教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2015-03-21 10:11:51 | ||
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文档简介
第 3 章 数系的扩充与复数的引入
第1课时 数系的扩充
教学过程
随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它 ( http: / / www.21cnjy.com )的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.
一、 问题情境
怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢
二、 数学建构
问题1 怎样解决-1也能开平方的问题
解 引入虚数单位i,规定:
① i2=-1;
② 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
i是-1的一个平方根.
问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数
解 ① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.
② 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.
问题3 复数与实数有什么关系
解 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅 ( http: / / www.21cnjy.com )当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
学生分组活动
活动1 复数集C和实数集R之间有什么关系
活动2 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类
活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗
问题4 a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗
解 是必要不充分条件.
问题5 两个复数相等的充要条件是什么
解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部 ( http: / / www.21cnjy.com )和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d.
问题6:任何两个复数都能比较大小吗
解 如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.
三、 数学运用
【例1】 (教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)
[处理建议] 让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.
[规范板书] 解 4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,,,6.
4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.
[题后反思] 对于复数z= ( http: / / www.21cnjy.com )a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.
变式 实数0是复数吗 i2的实部与虚部分别是什么
[规范板书] 解 0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.
【例2】 (教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)
(1) 实数 (2) 虚数 (3) 纯虚数 [2]
[处理建议] 先分析,注意字母的取值范 ( http: / / www.21cnjy.com )围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.
[规范板书] 解 (1) 当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.
(2) 当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3) 当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
[题后反思] 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.
变式 m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:
(1) 实数 (2) 虚数 (3) 纯虚数
[规范板书] 解 (1) 由
解得
所以当m=5时,z是实数.
(2) 由得
所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.
(3) 由得
所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.
[题后反思] 判断一个含有参数的复 ( http: / / www.21cnjy.com )数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.
【例3】 (教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)
[处理建议] 要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.
[规范板书] 解 根据两个复数相等的充要条件,可得 解得
[题后反思] 复数问题实数化.
变式 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
[规范板书] 解 因为M∪P=P,所以M P.
① 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1.
②由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.
综上可知m=1或m=2.
[题后反思] (1) 复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.
(2) 根据复数相等的定义可知,在 ( http: / / www.21cnjy.com )a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.
*【例4】 已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4]
[处理建议] 分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.
[规范板书] 解 因为z<0,k∈R,所以所以k=2.
[题后反思] 只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.
四、 课堂练习
1. 设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是 ④ .(填序号)
①A∪B=C; ② UA=B; ③A∩ UB= ;
④B∪ UB=C.
2. 已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.
3. 已知复数z=m2 (1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为 0 .
提示 z=(m2-m)+(m2-1)i.
当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.
当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.
当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
4. 若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是 1 .
提示 由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.
五、 课堂小结
1. 本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.
2. 基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.
第2课时 复数的四则运算(1)
教学过程
一、 问题情境
由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢 例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理
二、 数学建构
问题1 在复数集中两个复数如何进行加法运算
解 在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.
在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:
规定:若z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
问题2 在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律 在复数范围内,能否也成立
问题3 怎样理解复数的减法法则
解 复数减法是复数加法的逆运算.
设(a+bi)-(c+di ( http: / / www.21cnjy.com ))=x+yi(x,y∈R),即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差.由规定,得(x+yi)+(c+di)=a+bi,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+bi,依据复数相等定义,得
即
故(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+bi,z2=c+di,得z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
问题4 初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数) 积还是无理数吗 若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗 (a,b,c,d都是实数)
解 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc) .
因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.
所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.
而是无理数,
当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.
又(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)
因为a,b,c,d∈R,
所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.
所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.
这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则 ( http: / / www.21cnjy.com ),于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
问题5 实数的乘法满足哪些运算律 复数中能类比吗
解 实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有
(1) z1·z2=z2·z1;
(2) (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);
(3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.
问题6 复数z=a+bi的共轭复数是什么 特别地,实数a的共轭复数是什么
解 =a-bi;实数的共轭复数是它本身.
三、 数学运用
【例1】 (教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)
[处理建议] 类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.
[规范板书] 解 原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.
[题后反思] 不要省略步骤,提高运算的正确率.
变式 计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i).
[规范板书] 解法一 原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004)i=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.
解法二 因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
…
(2001-2002i)+(-2002+2003i)=-1+i,
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)
=(2003-1001)+(1001-2004)i
=1002-1003i.
【例2】 (教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)
[处理建议] 3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.
[规范板书] 解 原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.
[题后反思] 也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.
【例3】 (教材第114页例3)计算(a+bi)(a-bi).[3](见学生用书P56)
[处理建议] 类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.
[规范板书] 解 原式=a2-(bi)2=a2+b2.
[题后反思] 在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.
变式 在复数范围内分解因式:
(1) x2+4;(2) x4-4.
[规范板书] 解 (1) x2+4=(x+2i)(x-2i).
(2) x4-4=(x2+2)(x2-2)
=(x+i)(x-i)(x+)(x-).
*【例4】 已知z=(3i-1)i,则 =-3+i.[4]
[处理建议] 先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.
[规范板书] 解 z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.
[题后反思] 认清符号表示z的共轭复数.
*【例5】 已知z-3i=1+3i,求复数z.[5]
[处理建议] 这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.
[规范板书] 解 设z=a+bi(a,b∈R),
则a2+b2-3i(a-bi)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,
故z=-1或z=-1+3i.
[题后反思] 待定系数法解复数方程.
四、 课堂练习
1. 计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)= 4+8i .
提示 (6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.
2. 复数z=i2(1+i)的虚部为 -1 .
提示 z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,
所以虚部为-1.
3. 若复数z=-1+2i,则复数的虚部是 -2 .
提示 因为z=-1+2i,所以=-1-2i,
所以虚部为-2.
4. 把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·= 3-i .
提示 (1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.
5. (教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:
(1) z+i-3=3-i; (2) +(3-4i)=1;
(3) (3-i)z=4+2i; (4) (-i)z=+i.
解 (1) z=6-2i.
(2) =-2+4i,z=-2-4i.
(3) z===1+i.
(4) z===+i.
五、 课堂小结
1. 这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.
2. 基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]
第3课时 复数的四则运算(2)
教学过程
一、 问题情境
在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算
二、 数学建构
问题1 复数的除法法则是什么
解 设复数a+bi(a,b∈R)除以c+di(c,d∈R),其商为x+yi(x,y∈R),其中c+di≠0,
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi.
因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,
所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等的定义可知
解这个方程组,得
于是有(a+bi)÷(c+di)=+i.
由于c+di≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.
利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.
问题2 初中我们学习的化简无理分式 ( http: / / www.21cnjy.com )时,采用的分母有理化的思想方法,而c+di的共轭复数是c-di,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化
解 =
==
=+i.
所以(a+bi)÷(c+di)=+i.
三、 数学运用
【例1】 i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)
[处理建议] in是周期出现的,in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
[规范板书] 解 原式=(i+i2+i3 ( http: / / www.21cnjy.com )+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.
[题后反思] 可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.
变式 计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.
[规范板书] 解 原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.
【例2】 (教材第116页例4)设ω=-+i,求证:
(1) 1+ω+ω2=0; (2) ω3=1;
(3) ω2=,=ω.[2]
(见学生用书P57)
[处理建议] 先计算ω2,再做加法.
[规范板书] 证明 (1) 1+ω+ω2=1++
=+i+-2××i+
=+i+-i-=0.
(2) ω3=
=+3··i+3··+
=-+i+-i
=+i=1.
(3) ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.
[题后反思] 对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.
变式 设z=+i,求证:
(1) 1-z+z2=0;(2) z3=1;(3) z2=-.
[规范板书] 解 由例2知 z=+i=-,所以=-ω.
(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.
(2) z3=(-)3=1.
(3) z2=(-)2=ω=-.
【例3】 计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)
[处理建议] 用两种方法做复数的除法运算.
[规范板书] 解法一 设(1+2i)÷(3-4i)=x+yi,所以1+2i=(3-4i)(x+yi),
1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.
所以3x+4y=1且3y-4x=2.
所以x=-,y=.
所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.
解法二 (1+2i)÷(3-4i)=
===
=-+i.
[题后反思] 解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.
变式 计算.
解 原式==
==
==1-i.
*【例4】 计算+.[4]
[处理建议] 先计算=-i,再利用in的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+bi与b-ai之间的关系.
[规范板书] 解
原式=+
=-i+(-i)1997=-2i.
[题后反思] 在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.
又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,
===i.
变式 计算:
i2 007+(+i)8-+.
解 原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+
=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.
*【例5】 已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5]
[处理建议] 利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).
[规范板书] 解 设z=x+yi(x,y∈R),所以
由②得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).
所以x=±3.
当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.
所以z=±(3+i).
当z=3+i时,
f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-
=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-
=27+27i-9-i-48-16i-30+10i
=-60+20i.
当z=-3-i时,
f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-
=-(27+27i-9-i)+48+16i+
=60-20i.
[题后反思] 通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.
四、 课堂练习
1. 复数-i+= -2i .
提示 -i+=-i-i=-2i.
2. 计算: (1) ;(2) .
解 (1) =
==-i.
(2) 解法一 =
=
==i.
解法二 ===i.
3. = -i .
解 =i2 011=i3=-i.
4. 在复数范围内写出方程x4=1的根.
解 x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.
五、 课堂小结
1. 在进行复数四则运算时,我们既要做 ( http: / / www.21cnjy.com )到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:
(1+i)2= 2i ,(1-i)2= -2i ,
= i ,= -i ;
若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;
===i.
2. 在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:
(1) 由于对i的性质掌握不准确致误.
如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.
(2) 在计算除法运算时出错.
因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.
第4课时 复数的几何意义
教学过程
一、 问题情境
实数可以用数轴上的点来表示.
实数 数轴上的点.
类比实数的表示,复数能否也用点来表示
二、 数学建构
问题1 怎样用平面内的点表示复数 怎样理解复平面、实轴、虚轴
解 复数z=a+bi(a,b∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z ( http: / / www.21cnjy.com )(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.
因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
问题2 复数与从原点出发的向量是如何对应的
解 复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.
问题3 我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么
我们可以给出复数的绝对值的概念吗 复数可以 ( http: / / www.21cnjy.com )用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系 复数的模的几何意义是什么
解 |z|== ||,表示复平面内该点到原点的距离.
问题4 既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢 [1]
问题5 复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义 两个复数差的模有什么几何意义 [2]
解 |z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.
三、 数学运用
【例1】 (教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)
[处理建议] 让学生上黑板画图,体会复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.
[规范板书] 如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.
( http: / / www.21cnjy.com )(例1)
与之对应的向量可用,,,,来表示.
[题后反思] 了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+bi说成点Z或向量.
变式1 在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.
[规范板书] 解 复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.
作图如下:
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(变式)
[题后反思] z,在复平面内对应的点关于x轴对称.
变式2 已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.
[规范板书] 解 由题得所以
【例2】 (教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)
[处理建议] 要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小
[规范板书] 解 因为|z1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.
[题后反思] 正确记忆复数模 ( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.
变式1 已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.
提示 由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-变式2 已知复数z1=a+bi,z2=1+ai(a,b∈R),若|z1|提示 因为|z1|所以<1,即|b|<1,-1所以b的取值范围是(-1,1).
【例3】 (教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形 [5]
(1) |z|=2; (2) 2<|z|<3.
(见学生用书P60)
[处理建议] 区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.
[规范板书] (1) 因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(1)) ( http: / / www.21cnjy.com )(例3(2))
(2) 不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).
[题后反思] 了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).
变式 已知复数z满足条件z=x+yi,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.
[规范板书] 解 如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.
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(变式)
*【例4】 设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩( UB),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.[6]
[处理建议] 求复数z在复平面内对应的 ( http: / / www.21cnjy.com )点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩( UB)及集合的运算即可得出.
[规范板书] 解 因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以 UB={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩( UB)等价于z∈A且z∈ UB,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.
[题后反思] 对于复数的模,可以从以下两 ( http: / / www.21cnjy.com )个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.
四、 课堂练习
1. 下面给出4个不等式,其中正确的是 ③ .(填序号)
①3i>2i; ②|2+3i|>|1-4i|;
③|2-i|>2i4; ④i2>-i.
提示 由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①④错误.又因为|2+3i|==,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故②错误.|2-i|=>2i4=2,故③正确.
2. 复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 第四象限 .
提示 因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.
3. 若复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 5 .
提示 复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.
4. 已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是 4 .
提示 由z1+z2=2i得z1=2i-z2, ( http: / / www.21cnjy.com )代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.
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(第4题)
五、 课堂小结
1. 复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).
2. 复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O
为起点的,否则就谈不上一一对应.
3. |z|==||.
4. 复数z=a+bi、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+bi说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.
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(图1)
第1课时 数系的扩充
教学过程
随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它 ( http: / / www.21cnjy.com )的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.
一、 问题情境
怎样将实数集进行扩充,使得x2=-1之类方程在新的数集中有解呢
二、 数学建构
问题1 怎样解决-1也能开平方的问题
解 引入虚数单位i,规定:
① i2=-1;
② 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.
i是-1的一个平方根.
问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+bi(a,b∈R)的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数
解 ① 复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫复数,a叫复数的实部,b叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C表示.
② 复数的代数形式:复数通常用字母z表示,即z=a+bi(a,b∈R),把复数表示成a+bi的形式,叫做复数的代数形式.
问题3 复数与实数有什么关系
解 对于复数a+bi(a,b∈R),当且仅 ( http: / / www.21cnjy.com )当b=0时,复数a+bi(a,b∈R)是实数a;当b≠0时,复数z=a+bi叫做虚数;当a=0且b≠0时,z=bi叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z就是实数0.
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(图1)
学生分组活动
活动1 复数集C和实数集R之间有什么关系
活动2 如何对复数a+bi(a,b∈R)进行分类
活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗
问题4 a=0是z=a+bi为纯虚数的充分条件吗
解 是必要不充分条件.
问题5 两个复数相等的充要条件是什么
解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部 ( http: / / www.21cnjy.com )和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di a=c,b=d.
问题6:任何两个复数都能比较大小吗
解 如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.
三、 数学运用
【例1】 (教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)
[处理建议] 让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.
[规范板书] 解 4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,,,6.
4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.
[题后反思] 对于复数z= ( http: / / www.21cnjy.com )a+bi(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.
变式 实数0是复数吗 i2的实部与虚部分别是什么
[规范板书] 解 0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.
【例2】 (教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)
(1) 实数 (2) 虚数 (3) 纯虚数 [2]
[处理建议] 先分析,注意字母的取值范 ( http: / / www.21cnjy.com )围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.
[规范板书] 解 (1) 当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.
(2) 当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.
(3) 当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
[题后反思] 判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.
变式 m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:
(1) 实数 (2) 虚数 (3) 纯虚数
[规范板书] 解 (1) 由
解得
所以当m=5时,z是实数.
(2) 由得
所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.
(3) 由得
所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.
[题后反思] 判断一个含有参数的复 ( http: / / www.21cnjy.com )数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.
【例3】 (教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)
[处理建议] 要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.
[规范板书] 解 根据两个复数相等的充要条件,可得 解得
[题后反思] 复数问题实数化.
变式 已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
[规范板书] 解 因为M∪P=P,所以M P.
① 由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1.
②由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.
综上可知m=1或m=2.
[题后反思] (1) 复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.
(2) 根据复数相等的定义可知,在 ( http: / / www.21cnjy.com )a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+bi≠c+di.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.
*【例4】 已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4]
[处理建议] 分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.
[规范板书] 解 因为z<0,k∈R,所以所以k=2.
[题后反思] 只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.
四、 课堂练习
1. 设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是 ④ .(填序号)
①A∪B=C; ② UA=B; ③A∩ UB= ;
④B∪ UB=C.
2. 已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.
3. 已知复数z=m2 (1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1)∪(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为 0 .
提示 z=(m2-m)+(m2-1)i.
当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.
当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.
当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.
4. 若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是 1 .
提示 由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.
五、 课堂小结
1. 本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.
2. 基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.
第2课时 复数的四则运算(1)
教学过程
一、 问题情境
由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢 例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理
二、 数学建构
问题1 在复数集中两个复数如何进行加法运算
解 在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.
在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:
规定:若z1=a+bi,z2=c+di,则z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.
问题2 在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律 在复数范围内,能否也成立
问题3 怎样理解复数的减法法则
解 复数减法是复数加法的逆运算.
设(a+bi)-(c+di ( http: / / www.21cnjy.com ))=x+yi(x,y∈R),即复数x+yi为复数a+bi减去复数c+di的差.由规定,得(x+yi)+(c+di)=a+bi,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+bi,依据复数相等定义,得
即
故(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+bi,z2=c+di,得z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.
问题4 初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数) 积还是无理数吗 若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗 (a,b,c,d都是实数)
解 (a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc) .
因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.
所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.
而是无理数,
当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.
又(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bdi2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)
因为a,b,c,d∈R,
所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.
所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.
这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则 ( http: / / www.21cnjy.com ),于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.
问题5 实数的乘法满足哪些运算律 复数中能类比吗
解 实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有
(1) z1·z2=z2·z1;
(2) (z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);
(3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.
复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.
问题6 复数z=a+bi的共轭复数是什么 特别地,实数a的共轭复数是什么
解 =a-bi;实数的共轭复数是它本身.
三、 数学运用
【例1】 (教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)
[处理建议] 类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.
[规范板书] 解 原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.
[题后反思] 不要省略步骤,提高运算的正确率.
变式 计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2002+2003i)+(2003-2004i).
[规范板书] 解法一 原式=(1-2+3-4+…-2002+2003)+(-2+3-4+5+…+2003-2004)i=(2003-1001)+(1001-2004)i=1002-1003i.
解法二 因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,
…
(2001-2002i)+(-2002+2003i)=-1+i,
相加得(共有1001个式子):
原式=1001(-1+i)+(2003-2004i)
=(2003-1001)+(1001-2004)i
=1002-1003i.
【例2】 (教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)
[处理建议] 3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.
[规范板书] 解 原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.
[题后反思] 也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.
【例3】 (教材第114页例3)计算(a+bi)(a-bi).[3](见学生用书P56)
[处理建议] 类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.
[规范板书] 解 原式=a2-(bi)2=a2+b2.
[题后反思] 在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.
变式 在复数范围内分解因式:
(1) x2+4;(2) x4-4.
[规范板书] 解 (1) x2+4=(x+2i)(x-2i).
(2) x4-4=(x2+2)(x2-2)
=(x+i)(x-i)(x+)(x-).
*【例4】 已知z=(3i-1)i,则 =-3+i.[4]
[处理建议] 先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.
[规范板书] 解 z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.
[题后反思] 认清符号表示z的共轭复数.
*【例5】 已知z-3i=1+3i,求复数z.[5]
[处理建议] 这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.
[规范板书] 解 设z=a+bi(a,b∈R),
则a2+b2-3i(a-bi)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,
故z=-1或z=-1+3i.
[题后反思] 待定系数法解复数方程.
四、 课堂练习
1. 计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)= 4+8i .
提示 (6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.
2. 复数z=i2(1+i)的虚部为 -1 .
提示 z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,
所以虚部为-1.
3. 若复数z=-1+2i,则复数的虚部是 -2 .
提示 因为z=-1+2i,所以=-1-2i,
所以虚部为-2.
4. 把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·= 3-i .
提示 (1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.
5. (教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:
(1) z+i-3=3-i; (2) +(3-4i)=1;
(3) (3-i)z=4+2i; (4) (-i)z=+i.
解 (1) z=6-2i.
(2) =-2+4i,z=-2-4i.
(3) z===1+i.
(4) z===+i.
五、 课堂小结
1. 这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.
2. 基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]
第3课时 复数的四则运算(2)
教学过程
一、 问题情境
在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算
二、 数学建构
问题1 复数的除法法则是什么
解 设复数a+bi(a,b∈R)除以c+di(c,d∈R),其商为x+yi(x,y∈R),其中c+di≠0,
即(a+bi)÷(c+di)=x+yi.
因为(x+yi)(c+di)=(cx-dy)+(dx+cy)i,
所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+bi.
由复数相等的定义可知
解这个方程组,得
于是有(a+bi)÷(c+di)=+i.
由于c+di≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.
利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.
问题2 初中我们学习的化简无理分式 ( http: / / www.21cnjy.com )时,采用的分母有理化的思想方法,而c+di的共轭复数是c-di,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化
解 =
==
=+i.
所以(a+bi)÷(c+di)=+i.
三、 数学运用
【例1】 i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)
[处理建议] in是周期出现的,in+in+1+in+2+in+3=0(n∈N*).
[规范板书] 解 原式=(i+i2+i3 ( http: / / www.21cnjy.com )+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.
[题后反思] 可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.
变式 计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.
[规范板书] 解 原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.
【例2】 (教材第116页例4)设ω=-+i,求证:
(1) 1+ω+ω2=0; (2) ω3=1;
(3) ω2=,=ω.[2]
(见学生用书P57)
[处理建议] 先计算ω2,再做加法.
[规范板书] 证明 (1) 1+ω+ω2=1++
=+i+-2××i+
=+i+-i-=0.
(2) ω3=
=+3··i+3··+
=-+i+-i
=+i=1.
(3) ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.
[题后反思] 对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.
变式 设z=+i,求证:
(1) 1-z+z2=0;(2) z3=1;(3) z2=-.
[规范板书] 解 由例2知 z=+i=-,所以=-ω.
(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.
(2) z3=(-)3=1.
(3) z2=(-)2=ω=-.
【例3】 计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)
[处理建议] 用两种方法做复数的除法运算.
[规范板书] 解法一 设(1+2i)÷(3-4i)=x+yi,所以1+2i=(3-4i)(x+yi),
1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.
所以3x+4y=1且3y-4x=2.
所以x=-,y=.
所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.
解法二 (1+2i)÷(3-4i)=
===
=-+i.
[题后反思] 解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.
变式 计算.
解 原式==
==
==1-i.
*【例4】 计算+.[4]
[处理建议] 先计算=-i,再利用in的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+bi与b-ai之间的关系.
[规范板书] 解
原式=+
=-i+(-i)1997=-2i.
[题后反思] 在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.
又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,
===i.
变式 计算:
i2 007+(+i)8-+.
解 原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+
=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.
*【例5】 已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5]
[处理建议] 利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).
[规范板书] 解 设z=x+yi(x,y∈R),所以
由②得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).
所以x=±3.
当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.
所以z=±(3+i).
当z=3+i时,
f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-
=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-
=27+27i-9-i-48-16i-30+10i
=-60+20i.
当z=-3-i时,
f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-
=-(27+27i-9-i)+48+16i+
=60-20i.
[题后反思] 通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.
四、 课堂练习
1. 复数-i+= -2i .
提示 -i+=-i-i=-2i.
2. 计算: (1) ;(2) .
解 (1) =
==-i.
(2) 解法一 =
=
==i.
解法二 ===i.
3. = -i .
解 =i2 011=i3=-i.
4. 在复数范围内写出方程x4=1的根.
解 x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.
五、 课堂小结
1. 在进行复数四则运算时,我们既要做 ( http: / / www.21cnjy.com )到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:
(1+i)2= 2i ,(1-i)2= -2i ,
= i ,= -i ;
若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;
===i.
2. 在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:
(1) 由于对i的性质掌握不准确致误.
如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.
(2) 在计算除法运算时出错.
因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.
第4课时 复数的几何意义
教学过程
一、 问题情境
实数可以用数轴上的点来表示.
实数 数轴上的点.
类比实数的表示,复数能否也用点来表示
二、 数学建构
问题1 怎样用平面内的点表示复数 怎样理解复平面、实轴、虚轴
解 复数z=a+bi(a,b∈ ( http: / / www.21cnjy.com )R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.
复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z ( http: / / www.21cnjy.com )(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.
实轴上的点都表示实数.
因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.
问题2 复数与从原点出发的向量是如何对应的
解 复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.
问题3 我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么
我们可以给出复数的绝对值的概念吗 复数可以 ( http: / / www.21cnjy.com )用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系 复数的模的几何意义是什么
解 |z|== ||,表示复平面内该点到原点的距离.
问题4 既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢 [1]
问题5 复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义 两个复数差的模有什么几何意义 [2]
解 |z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.
通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.
三、 数学运用
【例1】 (教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)
[处理建议] 让学生上黑板画图,体会复数z=a+bi(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.
[规范板书] 如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.
( http: / / www.21cnjy.com )(例1)
与之对应的向量可用,,,,来表示.
[题后反思] 了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+bi说成点Z或向量.
变式1 在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.
[规范板书] 解 复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.
作图如下:
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
[题后反思] z,在复平面内对应的点关于x轴对称.
变式2 已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.
[规范板书] 解 由题得所以
【例2】 (教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)
[处理建议] 要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小
[规范板书] 解 因为|z1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.
[题后反思] 正确记忆复数模 ( http: / / www.21cnjy.com )的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.
变式1 已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.
提示 由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-
【例3】 (教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形 [5]
(1) |z|=2; (2) 2<|z|<3.
(见学生用书P60)
[处理建议] 区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.
[规范板书] (1) 因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).
( http: / / www.21cnjy.com )(例3(1)) ( http: / / www.21cnjy.com )(例3(2))
(2) 不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).
[题后反思] 了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).
变式 已知复数z满足条件z=x+yi,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.
[规范板书] 解 如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.
( http: / / www.21cnjy.com )
(变式)
*【例4】 设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩( UB),求复数z在复平面内对应的点的轨迹.[6]
[处理建议] 求复数z在复平面内对应的 ( http: / / www.21cnjy.com )点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩( UB)及集合的运算即可得出.
[规范板书] 解 因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以 UB={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩( UB)等价于z∈A且z∈ UB,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.
[题后反思] 对于复数的模,可以从以下两 ( http: / / www.21cnjy.com )个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.
四、 课堂练习
1. 下面给出4个不等式,其中正确的是 ③ .(填序号)
①3i>2i; ②|2+3i|>|1-4i|;
③|2-i|>2i4; ④i2>-i.
提示 由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①④错误.又因为|2+3i|==,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故②错误.|2-i|=>2i4=2,故③正确.
2. 复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为 第四象限 .
提示 因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.
3. 若复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为 5 .
提示 复数3-5i,1-i和-2+ai在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.
4. 已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是 4 .
提示 由z1+z2=2i得z1=2i-z2, ( http: / / www.21cnjy.com )代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.
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(第4题)
五、 课堂小结
1. 复数z=a+bi(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi).
2. 复数z=a+bi(a,b∈R)的对应向量是以原点O
为起点的,否则就谈不上一一对应.
3. |z|==||.
4. 复数z=a+bi、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+bi说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.
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(图1)