《新学案》2015年春高中数学苏教版选修2-2名师导学：第一章 导数及其应用（含解析）

第 1　 章 导数及其应用　　　
第1课时　平均变化率
　 教学过程
一、 问题情境
现有某市某年3月和4月某天日最高气温记载如下:　
时　间 3月18日 4月18日 4月20日
日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
　　“气温陡增”这一句生活用语,用数学方法如何刻画
二、 数学建构
问题1　“气温陡增”是一句生活用语,它的数学意义是什么 (形与数两方面)[1]
问题2　如何量化(数学化)曲线上升的陡峭程度 [2]
解　通过讨论,给出函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率:.
概念理解
1. 具体计算函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率可用
==,应注意分子、分母的匹配.
2. 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率近似地刻画了曲线在某区间上的变化趋势,从定义看,f(x)在区间上的平均变化率就是直线AB的斜率.
巩固概念
问题3　回到问题情境中,从数和形两方面对平均变化率进行意义建构.
解　从数的角度:3月18日到4月18日的日平均变化率约为0.5;4月18日到4月20日的日平均变化率为7.4.
从形的角度:比较斜率的大小.[3]
三、 数学运用
【例1】　设函数f(x)=x2-1,当自变量x由1变到1.1时,求:
(1) 自变量的增量Δx;
(2) 函数的增量Δy;
(3) 函数的平均变化率.
[处理建议]　根据定义来求解.
[规范板书]　解　(1)Δx=1.1-1=0.1.　(2) Δy=1.12-1-(12-1)=0.21. (3)==2.1.
[题后反思]　求平均变化率时关键在于理解定义,知道Δx与Δy分别指的是什么.
【例2】　(教材第7页例4)已知函数f( ( http: / / www.21cnjy.com )x)=2x+1,g(x)=-2x,分别计算在区间[-3,-1],[0,5]上f(x)及g(x)的平均变化率.(见学生用书P2)
[处理建议]　可回顾“必修2”中关于直线斜率的内容,让学生体会的含义.
[规范板书]　解　函数f(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=2,
函数f(x)在[0,5]上的平均变化率为=2,
函数g(x)在[-3,-1]上的平均变化率为=-2,
函数g(x)在[0,5]上的平均变化率为=-2.
[题后反思]　一次函数y=kx+b在区间[m,n]上的平均变化率就等于　k　.
变式　若质点运动规律为S=5t+3,则在时间[3,3+Δt]中,相应的平均速度等于　5　.
【例3】　如图所示,路灯距地面8m,一身高 ( http: / / www.21cnjy.com )1.6m的人沿穿过灯下的直路以84m/min的速度行走,求人影长度的变化速率.(结果以m/s为单位)
( http: / / www.21cnjy.com )(例3)
[处理建议]　首先理解题意,其次分析影子长度在图中变化的关系.
[规范板书]　解　84m/min=1.4m/s.设人的影长为y,时间为x,根据相似三角形列式=,得y=x,人影长度变化速率为v===.
[题后反思]　几何类应用题需观察图形,数形结合地考虑问题.
*【例4】　已知函数f(x)=2x2+1,分别计算函数f(x)在区间[1,4],[1,2],[1,1.5]上的平均变化率.
[处理建议]　引导学生利用平均变化率的概念解题.
[规范板书]　解　在[1,4]上的平均变化率为=10,
在[1,2]上的平均变化率为=6,
在[1,1.5]上的平均变化率为=5.
变式　已知函数f(x)=,计算函数f(x)在区间[1,2]上的平均变化率.
[规范板书]　解　在[1,2]上的平均变化率为=-.
*【例5】　求函数y=x3在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
[处理建议]　本题与前面几个例题的区别在于:由字母代替具体区间,但是处理问题仍然只需抓住本质,利用平均变化率的概念解题.
[规范板书]　解　当自变量从x0到x0+Δx时,函数的平均变化率为
=3+3x0Δx+Δx2.
变式　求函数f(x)=在区间内的平均变化率.
[规范板书]　解　===.
四、 课堂练习
1. 黄金周期间,若本市某大型商场的日营业额从1500万元增加到4300万元,则该商场黄金周期间日营业额的平均变化率是　400　.
提示　利用平均变化率的概念.
2. 函数f(x)=5x+4在区间[0,1]上的平均变化率是　5　.
提示　一次函数在区间上的平均变化率即为斜率.
3. 若函数f(x)=x2-1在区间[1,m]上的平均变化率为3,则m的值为　2　.
提示　由=3,得m=2.
4. 已知正方形原来的边长为4m,现在边长 ( http: / / www.21cnjy.com )以2 m/s的速度增加,若设正方形的面积为S(单位:m2),时间为t(单位:s),则由时间t(s)到t+1(s)时正方形的面积增加了　(20+8t)m2　.
提示　S=(4+2t)2,则ΔS=(6+2t)2-(4+2t)2=20+8t (m2).
五、 课堂小结
1. 函数f(x)在区间[x1,x2]上的平均变化率为.
2. 平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”,是一种粗略的刻画.
第2课时　曲线上一点处的切线
　 教学过程
一、 问题情境
平均变化率近似地刻画了曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )在某个区间上的变化趋势,提出问题:如何精确地刻画曲线上某一点处的变化趋势呢 (点P附近的曲线的研究)提出“放大图形”的朴素方法.[3]展示下图:
(图1)
(图2)
二、 数学建构
问题1　观察“点P附近的曲线”,随着图形放大,你看到了怎样的现象
解　曲线在点P附近看上去几乎成了直线;继续放大,曲线在点P附近将逼近一条确定的直线l,这条直线是过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线.
问题2　“几乎成了一条直线”,这么一条特殊的直线有明确位置么 又为什么说是“几乎”呢
( http: / / www.21cnjy.com )
　(图3)
　　解　点P附近可以用这条直线l代替曲线,用直线l的斜率来刻画曲线经过P点时的变化趋势.
问题3　怎样找到经过曲线上一点P处最逼近曲线的直线l呢 以右图为例.
解　随着点Q沿曲线向点P运动,直线PQ在点P附近越来越逼近曲线.[4]
概念生成
动画演示,观察点Q的运动,直线PQ的运动,直线PQ斜率的变化,从而生成概念.
( http: / / www.21cnjy.com )(图4)　　 ( http: / / www.21cnjy.com )(图5)
Q为曲线上不同于点P的一点,这时,直线PQ称为曲线的割线;
当点Q无限逼近点P时,直线PQ最终就成为在点P处最逼近曲线的直线l,这条直线l就称为曲线在点P处的切线.[5]
问题4　对比平均变化率这一近似刻画曲线 ( http: / / www.21cnjy.com )在某个区间上的变化趋势的数学模型,在这里平均变化率表现为什么 我们又用怎样的数学模型来刻画曲线上P点处的变化趋势呢
由切线的概念来求切线斜率,割线斜率无限逼近即成切线斜率.当Δx无限趋近于0时,无限趋近于点P(x,f(x))处切线的斜率.[6]
三、 数学运用
【例1】　用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线.(见学生用书P3)
(例1(1))　　　　(例1(2))
(1) 初中平面几何中圆的切线的定义是什么
(2) 图(1)中和图(2)中切线 ( http: / / www.21cnjy.com )与曲线公共点的个数分别是多少 公共点的个数是否适用于一般曲线的切线的定义的讨论 你能否用函数曲线的切线举出反例
[处理建议]　让学生亲自作图,从图形观察出问题的答案,体现数形结合思想.
[规范板书]　解　(1) 与圆只有1个公共点的直线称为圆的切线.
(2) 图(1)中1个;图(2)中2个;不适用.
[题后反思]　强调曲线上一点处切线的斜率的定义,圆上一点处的切线只是曲线上一点处切线的特殊情况.[7]
变式　曲线y=x3在点(1,1)处的切线与曲线有几个交点
[规范板书]　解　2个.
【例2】　(教材第9页例1)已知f(x)=x2,求曲线y=f(x)在x=2处的切线斜率.(见学生用书P4)
[处理建议]　为求得在点(2,4)处的切线斜率,我们从经过点(2,4)的任意一条直线(割线)入手.
[规范板书]　解　设P(2,4),Q(2+Δx,(2+Δx)2),则割线PQ的斜率为kPQ==4+Δx,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点P(2,4)处的切线斜率为4.
[题后反思]　本题教学手法可以多样 ( http: / / www.21cnjy.com )化,比如作出图象加强直观,还可取Δx<0进行比较.如有条件,可利用计算机分别演示数值逼近和图形逼近的过程,使数形结合更加紧密.
变式　已知f(x)=x-1,求曲线y=f(x)在x=-1处的切线斜率.
[规范板书]　解　设P(-1,-1),Q-1+Δx,,则割线PQ的斜率为kPQ==,当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数-1,从而曲线y=f(x)在点P(-1,-1)处的切线斜率为-1.
【例3】　已知曲线y=在点(1,4)处的切线与直线l平行,且与l的距离等于,求直线l的方程.(见学生用书P4)
[处理建议]　应用平行直线的斜率关系和距离公式.
[规范板书]　解　==-.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-4,所以曲线在点(1,4)处的切线的斜率为-4,故切线方程为y-4=-4(x-1),即4x+y-8=0.
设直线l的方程为4x+y+c=0,
由题有=,解得 c1=9,c2=-25,所以直线l的方程为4x+y+9=0或4x+y-25=0.
[题后反思]　进一步让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线的步骤:(1) 求差商;(2)当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3)曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0).　
变式　若直线y=3x+1是曲线y=ax2的切线,求a的值.
[处理建议]　本题需注意切点既满足曲线方程,又满足切线方程.
[规范板书]　解　设切点为(x,ax2),==2ax+aΔx.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2ax,所以曲线在切点处的切线的斜率为2ax.
由 可求得a=-.
*【例4】　试求过点P(3,5)且与曲线y=x2相切的直线方程.
[处理建议]　本题应设出切点(x0,),求出相应的切线方程,再利用此方程过点P(3,5),用待定系数法求出x0.
[规范板书]　解　设所求切线的切点坐标为(x0,),==2x0+Δx,当Δx无限趋近于0时,无限趋近于2x0,所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0,则所求切线方程可表示为y-=2x0(x-x0),因为切线过点P(3,5),所以5-=2x0(3-x0),解得x0=1或5,即所求的切线有两条,方程分别是y=2x-1和y=10x-25.
[题后反思]　本题会误以为点P(3,5)是切点,导致过点P(3,5)处的切线斜率为6的错误.
变式　求曲线y=x3的过点(-1,-1)的切线方程.
[规范板书]　解　设所求切线的切点坐标为(x0,),==3+3x0Δx+Δx2,当　　　　
Δx无限趋近于0时,无限趋近于3,所以曲线在切点处的切线的斜率为3,则所求切线方程可表示为y-=3(x-x0),因为切线过点(-1,-1),所以-1-=-3(x0+1),解得x0=-1或,即所求的切线有两条,方程分别是y=3x+2和y=x-.　
[题后反思]　易误以为点(-1,-1)一定是切点,没有讨论点(-1,-1)是切点和不是切点两种情况.
四、 课堂练习
1. 在下列曲线中,可以用割线逼近切线的方法作出过点P的切线的有　②④　.(填序号)
(第1题)
2. 求曲线y=在点(1,)处的切线的斜率.
解　设P(1,),Q(1+Δx,),则割线PQ的斜率为kPQ==.
当Δx无限趋近于0时,kPQ无限趋近于常数,从而曲线y=f(x)在点(1,)处的切线斜率为.
3. 已知抛物线y=ax2+bx-7过点(1,1),过点(1,1)的抛物线的切线方程为y=4x-3,求a,b的值.
解　利用求切线斜率的方法可求出在(1,1)的斜率为2a+b,所以可得a=-4,b=12.
五、 课堂小结[8]
1. 知识层面:主要学习了曲线上一点处的切线.
2. 思想方法层面:利用“局部以直代曲”和“无限逼近”的思想,用割线来逼近切线.
3. 总结我们经历过的“以直代曲”“无限逼近”的生活实例和数学实例.[9]
第3课时　瞬时速度与瞬时加速度
　 教学过程
一、 问题情境
在物理学中,运动物体的位移与所用时间的比称为 ( http: / / www.21cnjy.com )平均速度,它反映了物体在某段时间内运动的快慢程度,那么,如何精确刻画物体在某一时刻运动的快慢程度呢
先看实例.跳水运动员从10 ( http: / / www.21cnjy.com )m跳台腾空到入水的过程中,不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定t=2s时运动员的速度.[1]
二、 数学建构
问题1　求出运动员在2s到2.1s(即t∈[2,2.1])的平均速度.
解　==-13.59(m/s).
问题2:利用计算器,请分组算出更短的时间内的平均速度.
解　t∈[2,2.01],=-13.149;t∈[2,2.001],=-13.1049;t∈[2,2.0001],=-13.10049;t∈[1.9,2],=-12.61;t∈[1.99,2],=-13.051;t∈[1.999,2],=-13.0951.
问题3　观察所得的数据,你能发现当Δt无限逼近于0时,平均速度无限逼近于什么 [2]
解　-13.1.
概念生成
一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移S(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
问题4　类比瞬时速度的概念,你能否概括出瞬时加速度的概念
解　一般地,如果当Δt无限趋近于0时,运动物体速度v(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在t=t0时的瞬时加速度,也就是速度对于时间的瞬时变化率.[3]
三、 数学运用
【例1】　(教材第12页 ( http: / / www.21cnjy.com )例2)已知一辆轿车在公路上作加速直线运动,假设ts时的速度为v(t)=t2+3,求当t=t0 s时轿车的瞬时加速度a.(见学生用书P5)
[处理建议]　利用瞬时加速度的定义,先求平均加速度.
[规范板书]　解　在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均加速度为
===
=2t0+Δt,
当Δt→0时,→2t0,即a=2t0.所以,当t=t0 s时轿车的瞬时加速度为2t0.
变式　物体运动的速度v与时间t的关系是v(t)=t2+4t,求t=2时物体的瞬时加速度.
解　在2到2+Δt的时间内,轿车的平均加速度为 ===8+Δt,
当Δt→0时,→8,即a=8.所以,当t=2时轿车的瞬时加速度为8.
【例2】　一作直线运动的物体,其位移S与时间t 的关系式是S=3t-t2.(见学生用书P6)
(1) 求此物体的初速度;
(2) 求此物体在t=2时的瞬时速度;
(3) 求t=0到t=2的平均速度.
[处理建议]　初速度是t=0时的瞬时速度,本题需先求出平均速度,然后利用瞬时速度的定义进行求解.
[规范板书]　解　在t0到t0+Δt的时间内,轿车的平均速度为
===(3-2t0)-Δt,
当Δt→0时,→3-2t0.所以,当t=t0时轿车的瞬时速度为3-2t0.
(1) v(0)=3.
(2) v(2)=-1.
(3) ==-2.
[题后反思]　本题应注意瞬时速度与平均速度的区别.
变式　一质点沿直线运动,运动方程为S=10+8t-4t2,其中t单位为s,S单位是m.
(1) 计算[t,t+Δt]内的平均速度;
(2) 求当t=0,1,2,3时刻的速度.
[规范板书]　解　(1) 在t到t+Δt的时间内,轿车的平均速度为===8-8t-4Δt.
(2) 由(1)知,当Δt→0时,→8-8t,所以ts时轿车的瞬时速度为8-8t (m/s).
t=0s时的速度为8 m/s,t=1 s时的速度为0 m/s,t=2 s 时的速度为-8 m/s,t=3 s时的速度为-16 m/s.
【例3】　某容器里装有1 L纯酒精,现以每秒L的速度往容器里注水,求酒精浓度在某时刻t的变化率.(见学生用书P6)
[处理建议]　本题应找出浓度的瞬时变化率与瞬时速度的共同点,为导数的形式化定义作铺垫.
[规范板书]　解　酒精浓度随时间变化的表达式为c(t)==,
在t到t+Δt的时间内,酒精的平均浓度为
===,
当Δt→0时,→.所以,当t s时酒精的瞬时变化率为.
[题后反思]　通过本题的讲解,进一步让学生体会瞬时变化率的本质,更好地理解概念.
变式　设电量Q与时间t的函数关系为Q=2t2+3t+1,其中Q的单位为C,t的单位为s,求t=3s时的电流强度.
[处理建议]　赋予不同的实际背景,某时刻的电流强度即为电量的瞬时变化率.
[规范板书]　解　在t到t+Δt的时间内,电量的平均变化率为===2Δt+4t+3.
当Δt→0时,→4t+3.所以3s时的电流强度为15A.
*【例4】　若一物体的运动方程是S=5t+t2(位移单位:m;时间单位:s),则下述结论中正确的是①②④.(填序号)
①物体在时间段[0,1]内的平均速度是 m/s;
②物体在t=1s时的瞬时速度是8 m/s;
③物体在时间段[0,1]内经过的位移是8m;
④物体在时间段[0,1]内经过的位移是 m.
[处理建议]　本题需注意平均速度与瞬时速度是两个不同的概念.
变式　若作直线运动的物体的速度v(单位 ( http: / / www.21cnjy.com ):m/s)与时间t(单位:s)的关系为v(t)=t2,则在前3 s内的平均加速度是3 m/s2,在t=3 s的瞬时加速度是6 m/s2.　
提示　前3s内的平均加速度是
=3(m/s2).
在t到t+Δt的时间内,物体的平均加速度为
===2t+Δt,
当Δt→0时,→2t.所以3s时的瞬时加速度为6 m/s2.
[题后反思]　易误以为前3 s内的平均加速度是=(m/s2).
四、 课堂练习
1. 若一质点沿直线运动的方程为y=-2x2+1(x表示时间,y表示位移),则该质点从x=1到x=2的平均速度为　-6　.
提示　==-6.
2. 已知一物体的运动方程是S=t3+2t(t(s)表示时间,S(m)表示位移),那么瞬时速度为14 m/s的时刻是　2s　.
提示　在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为
===3tΔt+3t2+2.
当Δt→0时,→3t2+2,所以,时刻t s的瞬时速度为3t2+2.由题意得3t2+2=14,t=2 s.
3. 若某物体的运动方程为S=t4-3(t(s)表示时间,S(m)表示位移),则t=5 s时该物体的瞬时速度为125 m/s.
提示　在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为
===t3+(Δt)3+t(Δt)2+t2Δt,当Δt→0时,→t3.
所以,时刻t s的瞬时速度为t3,由题意,当t=5s时,瞬时速度为125 m/s.
五、 课堂小结
1. 平均速度的定义.
2. 瞬时速度的定义.
3. 求瞬时速度和瞬时加速度的方法和过程.[4]
第4课时　瞬时变化率——导数(1)
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　已知f(x)=,求曲线y=f(x)在x=处的切线斜率.(见学生用书P8)
[处理建议]　让学生体会割线斜率无限逼近于切线斜率,熟悉求曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率的步骤:(1) 求差f(x0+Δx)-f(x0);(2) 当Δx(Δx可正,也可负)无限趋近于0时,趋近于某个常数k;(3) 曲线y=f(x)上一点P(x0,y0)处的切线斜率为k.
[规范板书]　解　==
-.
当Δx无限趋近于0时,无限趋近于-,所以曲线在x=处的切线斜率是-.
[题后反思]　本题应注意分子有理化,再用逼近思想处理.
变式　已知曲线y=2x2上一点A(1,2),求点A处的切线的斜率与切线方程.
[规范板书]　解　设A(1,2),B(1+Δx,2(1+Δx)2),则割线AB的斜率为kAB==4+2Δx,当Δx无限趋近于0时,kAB无限趋近于常数4,从而曲线y=f(x)在点 A(1,2)处的切线斜率为4,所求切线方程为4x-y-2=0.
【例2】　物体自由落体的运动方程为S=S(t)=gt2,其中位移S的单位为m,时间t的单位为s,g=9.8 m/s2,求t=3 s时的瞬时速度.(见学生用书P8)
[处理建议]　瞬时速度是位移对时间的瞬时变化率.
[规范板书]　解　取一小段时间[3,3+Δt],位移改变量ΔS=g(3+Δt)2-g·32=(6+Δt)Δt,平均速度==g(6+Δt),当Δt→0时,g(6+Δt)→3g=29.4,即瞬时速度v=29.4 m/s.
[题后反思]　若求t=3s时的瞬时加速度呢
变式　设一物体在ts内所经过的路程为Sm,并且S=4t2+2t-3,试求物体分别在运动开始及第 5s末的速度.
[规范板书]　解　在t到t+Δt的时间内,物体的平均速度为===8t+2+4Δt,当Δt→0时,→8t+2,所以,时刻ts的瞬时速度为8t+2,由题意,物体在第5s末的瞬时速度是42 m/s,在运动开始时的速度为2 m/s.
【例3】　如果曲线y=x3+x-10的某一切线与直线y=4x+3平行,求切点坐标与切线方程.(见学生用书P8)
[处理建议]　曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x,x3+x-10),
==3x2+1+3xΔx+(Δx)2,当Δx→0时,3x2+1+3xΔx+(Δx)2→3x2+1,
由题得,3x2+1=4 x=1或-1.
所以切点坐标为(1,-8),此时切线方程为4x-y-12=0;或切点坐标为(-1,-12),此时切线方程为4x-y-8=0.
变式　已知曲线y=x2上过某一点的切线分别满足下列条件,求此点:
(1) 平行于直线y=4x-5;
(2) 垂直于直线2x-6y+5=0;
(3) 与x轴成135°的倾斜角.
[处理建议]　利用导数的概念及两直线的位置关系来求解.
[规范板书]　解　设P(x0,y0)是满足条件的点.
==2x0+Δx,当Δx→0时,2x0+Δx→2x0.
(1) 因为切线与直线y=4x-5平行,所以2x0=4 x0=2,y0=4,即P(2,4).
(2) 因为切线与直线2x-6y+5=0垂直,所以2x0·=-1 x0=-,即P.
(3) 因为切线与x轴成135°的倾斜角,所以k=-1,即2x0=-1 x0=-,即P-,.
*【例4】　设函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),求a,b的值.
[处理建议]　利用切点坐标既满足曲线方程也满足切线方程来求解.
[规范板书]　解　利用导数的定义可得f ( http: / / www.21cnjy.com )'(x)=3x2-6ax+3b,由于函数f(x)=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点(1,-11),所以f(1)=-11,f'(1)=-12,解得a=1,b=-3.
变式　已知f(x)=ax4+bx2+c的图象过点(0,1),且在x=1处的切线方程是y=x-2,求a,b,c.
　　[处理建议]　利用导数的几何意义——函数在某点处的导数就等于在该点处的切线的斜率——来求解.
　　[规范板书]　解　由题意有
解得.
二、 课堂练习
1. 借助直尺,用割线逼近切线的方法作出下列曲线在点P处的切线:
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
解
( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com )(第1题)
2. 质点沿x轴运动,设距离为x( ( http: / / www.21cnjy.com )m),时间为t(s),x=10+5t2,则当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均速度为　10t0+5Δt　(m/s);当t=t0时,质点的瞬时速度为　10t0　(m/s);当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为　10　(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为　10　(m/s2).
提示　当t0≤t≤t0+Δt时,==10t0+5Δt(m/s);
当t=t0时,质点的瞬时速度为10t0(m/s);
当t0≤t≤t0+Δt时,质点的平均加速度为=10(m/s2);当t=t0时,质点的瞬时加速度为10(m/s2).　
3. 已知曲线y=x3上过点(2,8)的切线方程为12x-ay-16=0,则实数a的值为　1　.
提示　将点(2,8)代入切线方程可得a=1.
三、 课堂小结
1. 曲线上一点处的切线的求法.
2. 运动物体的瞬时速度和瞬时加速度,学会用运动学的观点理解和解决实际问题.
3. 导数的定义及几何意义.
第5课时　瞬时变化率——导数(2)
　 教学过程
一、 问题情境
跳水运动员从10m跳台腾空到入水的过程中 ( http: / / www.21cnjy.com ),不同时刻的速度是不同的.假设ts后运动员相对于水面的高度为H(t)=-4.9t2+6.5t+10,试确定运动员在某个时刻t0的瞬时速度.如果将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢
二、 数学建构
问题1　高台跳水运动中,运动员在某个时刻t0的瞬时速度如何表示
解　如果当Δt无限趋近于0时,运动物体位移h(t)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为物体在时的瞬时速度,也就是位移对于时间的瞬时变化率.
问题2　将上述问题中的函数H(t)用y=f(x)来表示,那么函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率又该如何表示呢
解　如果当Δx无限趋近于0时,函数y=f(x)的平均变化率无限趋近于一个常数,那么这个常数称为函数在x=x0处的瞬时变化率.
概念生成
设函数y=f(x)在区间(a,b)上有定义,x0∈(a,b),若Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则称f(x)在x=x0处可导,并称该常数A为f(x)在x=x0处的导数,记作f'(x0).[1]　
巩固概念
问题3　导数f'(x0)的几何意义是什么
解　导数f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.
问题4　通过概念中导数的形式能否概括出求f(x)在x=x0处的导数的一般步骤
解　①求Δy;②求;③当Δx无限趋近于0时,比值=无限趋近于一个常数A,则常数A即为f(x)在x=x0处的导数.
问题5　f'(x)是不是一个函数
解　若函数y=f(x)在区间(a,b ( http: / / www.21cnjy.com ))内任一点都可导,则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化,因而也是自变量x的函数,该函数称为f(x)的导函数,记作f'(x).在不引起混淆时,导函数f'(x)也称为f(x)的导数.
问题6　运动物体的位移S(t)对于时间t的导数是什么 运动物体的速度v(t)对于时间t的导数是什么
解　瞬时速度是运动物体的位移S(t)对于时间t的导数,瞬时加速度是运动物体的速度v(t)对于时间t的导数.
问题7　如何理解f(x)在x=x0处的导数f'(x0)
解　f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是函数f'(x)在x=x0处的函数值,而不是f(x0)的导数.
三、 数学运用
【例1】　(教材第13页例3)已知 f(x)=x2+2.(见学生用书P9)
(1) 求f(x)在x=1处的导数;
(2) 求f(x)在x=a处的导数.
[处理建议]　本题要求学生表述格式规范化.
[规范板书]　解　(1) 因为===2+Δx,
当Δx→0时,2+Δx→2,所以f(x)在x=1处的导数等于2.
(2) 因为=
==2a+Δx,
当Δx→0时,2a+Δx→2a,所以f(x)在x=a处的导数等于2a.
[题后反思]　巩固强化导数的内涵,使学 ( http: / / www.21cnjy.com )生理解导数概念的本质.通过此例,我们由函数f(x)在x=x0处的导数引出函数在区间(a,b)上的导函数的概念.
变式　求函数y=在x=2处的导数.
[规范板书]　解　因为===-,
当Δx→0时,-→-,所以f(x)在x=2处的导数等于-.
【例2】　在曲线y=x3上一点P处作切线,使该切线与直线y=--5垂直,求此切线的方程.(见学生用书P10)
[处理建议]　曲线在某点的切线的斜率等于函数在切点处的导数值,本题结合两垂直直线的斜率关系进行解题.
[规范板书]　解　设点P(x,x3),===3x2+3xΔx+(Δx)2,
当Δx→0时,3x2+3xΔx+(Δx)2→3x2,所以f(x)在点P处的导数等于3x2.
由题可知,3x2=3 x=1或-1,所以切线方程为3x-y-2=0或3x-y+2=0.
[题后反思]　本题应利用导数的几何意义解题.
【例3】　已知f(x)=x3-2x+1,求f'(x)及f'(2).(见学生用书P10)
[处理建议]　学生学习一种新的记号需要一个理解适应的过程,因此,对于本题,给予学生时间思考.
[规范板书]　解　因为==3x2-2+3xΔx+(Δx)2,
当Δx→0时,3x2-2+3xΔx+(Δx)2→3x2-2,所以f'(x)=3x2-2,f'(2)=10.
[题后反思]　f(x)在x=2处的导数f'(2)就是函数f'(x)在x=2处的函数值.
变式　已知成本c与产量q的函数关系式为c(q)=3q+4q2,则当产量q=6时,求边际成本c'(6).
[规范板书]　解　==3+8q+4Δq,当Δq→0时,3+8q+4Δq→3+8q,即c'(q)=3+8q,c'(6)=51.
[题后反思]　c(x)在x=a处的导数c'(a)称为生产规模为a时的边际成本值.
*【例4】　已知f(-x)=f(x)对任意实数x都成立,且f'(-x0)=-k(k≠0),求f'(x0).
[处理建议]　本题利用导数的概念进行推导.
[规范板书]　解　=
.
当Δx→0时,上式无限逼近于-f'(x0),所以f'(x0)=k.
变式　已知f(x+1)-f(1)=2x2+x,求f'(1).
[规范板书]　解　=2x+1,
当x→0时,2x+1→1,所以f'(1)=1.
四、 课堂练习
1. 设f(x)=ax2+3,若f'(1)=2,则a=　1　.
提示　f'(x)=2ax,由f'(1)=2得a=1.
2. 函数f(x)=2x2+3x的导数为　f'(x)=4x+3　.
提示　因为==4x+3+2Δx.
当Δx→0时,4x+3+2Δx→4x+3,即f'(x)=4x+3.
3. 若函数y=f(x)在点x∈(-1,1)内的导函数为f'(x),则下列说法正确的是　④　.(填序号)
①在x=x0处的导数为f'(x0);
②在x=1处的导数为f'(1);
③在x=-1处的导数为f'(-1);
④在x=0处的导数为f'(0).
五、 课堂小结
1. 导数的几何意义.
2. 导数的物理意义.
3. 由定义求导数的步骤.
第6课时　常见函数的导数
　 教学过程
一、 问题情境
前面我们用割线逼近切线的方法引入了导数的概念,那么,如何求函数的导数呢
二、 数学建构
问题1　回顾前面所学内容,能否归纳出求导数的一般步骤
解　给定函数y=f(x),计算=,令Δx→0时,→A(x),则f'(x)=A(x).
活动1　根据求导数的一般步骤,求下列函数的导数.
①y=kx+b(k,b为常数).
解　因为===k,当Δx→0时,→k,所以f'(x)=k.
引申:特别地,当k=0时,有f'(x)=0;当k=1,b=0时,有f'(x)=1.
②f(x)=x2.
解　因为===2x+Δx,当Δx→0时,→2x,所以f'(x)=2x.
③f(x)=x3.
解　因为===
3x2+3x(Δx)+(Δx)2,
当Δx→0时,→3x2,所以f'(x)=3x2.
④f(x)=.
解　因为==
=,
当Δx→0时,→-,所以f'(x)=-.
⑤f(x)=.
解　因为==
=,
当Δx→0时,→,所以f'(x)=.
问题2　你能根据上述②~⑤发现什么结论
几个常用函数的导数:
①(kx+b)'=　k　(k,b为常数);
②(C)'=　0　(C为常数);
③(x)'=　1　;
④(x2)'=　2x　;
⑤(x3)'=3x2;
⑥=-;
⑦()'=.
对于基本初等函数,有下面的求导公式(教师直接给出公式):
⑧(xα)'=αxα-1(α为常数);
⑨(ax)'=axlna(a>0,且a≠1);
⑩(lox)'=logae=(a>0且a≠1);
(ex)'=　ex　;
(ln x)'= 　;
(sinx)'=cosx;
(cosx)'=-sinx.[1]
三、 数学运用
【例1】　求曲线y=cosx在点处切线的方程.(见学生用书P12)
[处理建议]　利用基本初等函数的求导公式求出在该点处的切线斜率,再利用点斜式求出切线方程.
[规范板书]　解　y'=-sinx,所以在点处切线的斜率k=-sin=-,即切线方程为x+2y-π-1=0.
[题后反思]　对于一些常见函数的求导问题,可以直接利用公式解题.
变式　求曲线y=在点处的切线的方程.
[规范板书]　y'=-,故点处的切线斜率为-,切线方程为x+4y-4=0.
【例2】　若直线y=4x+b是函数y=x2图象的一条切线,求b及其切点坐标.(见学生用书P12)
[处理建议]　设出切点坐标,利用导数的几何意义解题.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x0,),由f'(x0)=2x0=4得出x0=2,所以切点坐标为(2,4),故 b=-4.
[题后反思]　本题应抓住切点的双重特性:点既在曲线上,也在切线上.
变式　若直线y=3x+1是曲线y=ax3的切线,求a的值.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x0,a),由f'(x0)=3a=3得出a=1,又因为点(x0,a)满足切线方程,所以a=3x0+1,x0=-,则a=4.
【例3】　在函数y=2x的图象上求一点,使过此点的切线平行于直线xln 4-y+3=0.(见学生用书P12)
[处理建议]　利用常见函数的求导公式及导数的几何意义求出切线的斜率,再利用两平行直线之间斜率相等建构等式.
[规范板书]　解　设切点坐标为(x0,),由f'(x0)=ln 2=ln 4得出x0=1,即该点坐标为(1,2).　
[题后反思]　一般说来,过此点的切线意味着该点不一定是切点.但本题有其特殊性,切线只可能与曲线有一个交点.所以对于本题,该点即为切点.
变式　在抛物线y=x2上求一点P,使点P到直线x-y-1=0的距离最短,并求出这个最短距离.
[规范板书]　解　设P(x0,),由f'(x0)=2x0=1得出x0=,则曲线在点P处切线方程为4x-4y-1=0,所以它与已知直线的距离d==,所以P,d=.
四、 课堂练习
1. 给出下面4个命题:①曲线y=x3在原点处没有切线;②若函数f(x)=,则f'(x)=0;③速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数;④函数y=x5的导数值恒非负.其中正确的命题是　③④　.(填序号)　
提示　利用导数的概念及常见函数的导数公式.
2. 设f(x)=sinx,则f'(x)=cosx,f'= 　.
提示　利用常见函数的导数公式.
3. 若质点的运动方程是S=(其中S的单位为m;t的单位为s),则质点在t=3 s时的速度为-m/s.
提示　因为速度是动点位移函数S(t)对时间t的导数,所以v(t)=-4t-5,故质点在t=3s时的速度为-m/s.
五、 课堂小结
1. 熟记常见函数导数公式.
2. 灵活应用导数解决相关问题.
第7课时　函数的和、差、积、商的导数
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　分别求下列函数的导数:
(1) y=x2;(2) y=x;(3) y=x2+x.
你能从以上计算结果,发现什么结论
解　(1) y'=2x;(2) y'=1;(3) y'=2x+1.两个函数的和的导数,等于这两个函数导数的和.
问题2　你能证明上述结论吗
解　因为==2x+Δx+1,当Δx→0时,→2x+1,所以y'=2x+1.
问题3　两个函数的差的导数,等于这两个函数导数的差吗 [1]
二、 数学建构
问题4　已知f'(x),g'(x),那么[f(x)+g(x)]'等于什么 [2]
解　函数和的求导法则如下:[f(x)+g(x)]'=f'(x)+g'(x).即两个函数的和的导数,等于这两个函数的导数的和.
问题5　可以怎样验证大家的结论 [3]
问题6　你能证明吗 [4]
问题7　已知f'(x),g'(x),则[f(x)-g(x)]',[f(x)g(x)]',等于什么
法则1　两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差),即[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x).
法则2　两个函数的积的导数,等 ( http: / / www.21cnjy.com )于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数,即[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x).　
法则3　两个函数的商的导数,等于分子的导数与分母的积,减去分母的导数与分子的积,再除以分母的平方,即
=(g(x)≠0).
法则理解
(1) 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.
(2) [Cf(x)]'=Cf'(x)(C为常数).
(3) 求导法则的证明不作要求.
三、 数学运用
【例1】　(教材第21页例2)求下列函数的导数:(见学生用书P13)
(1) f(x)=x2+sinx;
(2) g(x)=x3-x2-6x+2.
[处理建议]　先由学生写出解题过程,让 ( http: / / www.21cnjy.com )其他学生点评;教师在学生的交流中,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误,同时强调书写格式的规范.
[规范板书]　解　(1) f'(x)=(x2+sinx)'=(x2)'+(sinx)'=2x+cosx.
(2) g'(x)==3x2-3x-6.
[题后反思]　运用函数的和差法则求导的一般步骤:先用求导法则转化为求基本函数的导数,再用导数公式进行运算.
变式　求y=2x3-3x2+5x-4的导数.
[规范板书]　解　y'=6x2-6x+5.
【例2】　(教材第22页例3)求下列函数的导数:
(1) h(x)=xsinx;
(2) S(t)=.
(见学生用书P14)
[规范板书]　解　(1) h'(x)=(xsinx)'=(x)'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx.
(2) S'(t)==
=.
[题后反思]　例2(2)还有其他解法:
S'(t)==1-.
例2解法二可由学生的探究活动产生,教师作适当的点拨.
归纳根据函数的积商的法则求导的一般步骤,同时注意说明解法不唯一;要求学生正确运用公式.
变式1　用两种方法求y=(2x2+3)(3x-2)的导数.
[规范板书]
解法一　y'=(2x2+3)'(3x-2)+(2x2+3)(3x-2)'
=4x(3x-2)+(2x2+3)·3
=18x2-8x+9.
解法二　y=6x3-4x2+9x-6,
y'=18x2-8x+9.
变式2　求y=的导数.
[规范板书]　解　y'==
=.
变式3　求y=xln x的导数.
[规范板书]　解　y'=ln x+1.
变式4　求y=在点x=3处的导数.
[规范板书]
解　y'==
==,
所以y'===-.
*【例3】　(教材第22页练习5的变式)已知函数f(x)的导数是f'(x),则函数[f(x)]2的导数为2f'(x),结论对吗
[处理建议]　本题由学生口答,暴露问题后集体探究.
　　[规范板书]　解　[f(x)f(x)]'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x).
[题后反思]　通过本例让学生初次体会复合函 ( http: / / www.21cnjy.com )数的求导,学生暴露问题却又不明所以,会激起学生的强烈的好奇心,从而激发学生的学习兴趣,同时也为下一节课学习复合函数的求导公式奠定基础.
四、 课堂练习
1. 函数y=x2cosx的导数为y'=2xcosx-x2sinx.
2. 函数y=的导数为y'=.
3. 若函数y=2ax2+1过点(,3),则此曲线在该点的切线方程是4x-y-1=0.
4. 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,则a=　1　, b=　1　.
五、 课堂小结
1. 函数的和、差、积、商的求导法则.
2. 法则适用于两个可导函数的和、差、积、商;两个不可导函数和、差、积、商不一定不可导.
3. 求导法则的证明不作要求.
第8课时　简单复合函数的导数
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　(教材第23页)求函数y=(3x-1)2的导数.
解　一方面,y'x=[(3x-1)2]'=(9x2-6x+1)'=
18x-6=6(3x-1).
另一方面,函数y=(3x-1 ( http: / / www.21cnjy.com ))2可由y=u2,u=3x-1复合而成,y关于u的导数记为y'u,y'u=2u,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(3x-1)'=3,因而有y'x=y'uu'x.
问题2　(教材第23页)求函数y=sin2x的导数.
解　一方面,y'x=(sin2x)'=(2sinxcosx)'=2cos2x.
另一方面,函数y=sin2x可由y=s ( http: / / www.21cnjy.com )inu,u=2x复合而成,y关于u的导数记为y'u.y'u=cosu,将u关于x的导数记为u'x,即u'x=(2x)'=2,因而有y'x=y'uu'x.
二、 数学建构
问题3　举例说明哪些函数是复合函数 [2]
问题4　怎样求复合函数的导数 [3]
一般地,若y=f(u),u=ax+b,
则y'x=y'u·u'x=ay'u.
法则理解
1. 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量u的导数,乘以中间变量u对自变量x的导数;
2. 求复合函数的导数,关键在于分清函数的复合关系,合理选定中间变量,明确求导过程中每次是哪个变量相对于哪个变量求导;
3. 法则可以推广到两个以上的中间变量,但不要求掌握.
三、 数学运用
【例1】　(教材第24页例2)求下列函数的导数:
(1) y=;　　　　　(2) y=cos(1-2x).
(见学生用书P15)
[处理建议]　让学生练习对复合函数进行分解,再运用法则求导.
[规范板书]　解　(1) 函数y=可由y=,u=3x-1复合而成,
则y'x=y'u·u'x=·3=-·3=-.
(2) 函数y=cos(1-2x)可由y=cosu,u=1-2x复合而成,
则y'x=y'u·u'x=(cosu)'·(-2)=(-sinu)·(-2)=2sin(1-2x).
[题后反思]　(1) 对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,适当选取中间变量;
(2) 弄清每一步求导是哪个变量对哪个变量求导,不要混淆;
(3) 求导的次序是由外向内;
(4) 复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.
变式　求函数y=的导数.
[规范板书]　解　y==(3x-1)-4.设y=u-4,u=3x-1,则y'x=y'u·u'x=(u-4)'·(3x-1)'=-4u-5·3=-12u-5=-12(3x-1)-5=
.
[题后反思]　熟练掌握求导法则后,本例可以直接写成y'x=[(3x-1)-4]'=-4(3x-1)-5·3=-12(3x-1)-5=.
【例2】　求曲线y=sin2x在点P处的切线方程.(见学生用书P16)
[处理建议]　学生讨论、判断,并且由学生给出理由.
[规范板书]　解　设f(x)=sin2x,则f'(x)=2cos2x,故曲线在点P(π,0)处的切线方程为2x+y-π=0.
四、 课堂练习
1. 函数y=cos(1-2x)的导数y'=2sin(1-2x).
2. 若y=e-2x-1,则y'=-2e-2x-1.
3. 函数y=x·的导数y'=.
4. 若某港口在一天24 h内潮水高度近似地满足关系S(t)=3sin(0≤t≤24),则18点时潮水起落的速度为多少
解　S'(t)=3cos·
=cos,
所以S'(18)=cos=,即18点时潮水速度为.
五、 课堂小结
1. 对于简单复合函数的求导,要注意分析复合函数的结构,关键在于分清函数的复合关系,适当选取中间变量,利用幂函数的求导公式.
2. 一些根式函数或分母上是幂函数、分子为常数的分式函数,通常经过变形,转化成幂函数,这样求导起来会比较方便.
3. 求导的次序是由外向内.
4. 复合函数求导的基本步骤是:分解—求导—相乘—回代.
第9课时　单调性
　 教学过程
一、 问题情境
导数和单调性都是对函数上升和下降的变化趋势的刻画,导数与函数的单调性有什么关系呢
二、 数学建构
问题1　由函数f(x)在区间(a,b) ( http: / / www.21cnjy.com )上是增函数,对于任意x1,x2∈(a,b),当x1解　导数大于0与函数递增密切相关.
问题2　函数f(x)在区间(a,b)上是减函数,你又能推出什么结论呢
解　导数小于0与函数递减密切相关.
问题3　怎样用数学语言刻画导数的正负与函数的单调性的关系 [3]
解　一般地,我们有以下结论:
对于函数y=f(x),
如果在某区间上f'(x)>0,那么f(x)为该区间上的增函数;
如果在某区间上f'(x)<0,那么f(x)为该区间上的减函数.
问题4　你能结合具体函数图象得到上述结论吗
解　以y=x2-4x+9为例.
从函数的图象可以看出:在区间(2,+∞) ( http: / / www.21cnjy.com )上,切线的斜率为正,函数y=f(x)在区间(2,+∞)上为增函数;在区间(-∞,2)上,切线的斜率为负,函数y=f(x)在区间(-∞,2)上为减函数.
问题5　函数f(x)在某区间上单调递增(或递 ( http: / / www.21cnjy.com )减),那么在该区间上必有f'(x)>0或f'(x)<0吗 上述的条件和结论对调后,结论正确吗 如果不正确,你能举出反例吗 [4]
概念理解
1. 若某个区间内恒有y'=0,则f(x)为常数.
2. y'>0(或y'<0)是函数在区间上单调递增(或递减)的充分不必要条件.
三、 数学运用
【例1】　(教材第29页例3)确定函数f(x)=sinx,x∈[0,2π]的单调递减区间.(见学生用书P18)
[规范板书]　解　f'(x)=cosx.令f'(x)<0,即cosx<0,又x∈[0,2π],所以x∈,故所求的的单调递减区间为.
[题后反思]　本题也可直接利用函数的 ( http: / / www.21cnjy.com )图象得出,求导的方法不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.学习数学,是为了分析问题、解决问题的,从以上3个例题中,可让学生体会到导数在研究函数单调性中的有效性和一般性.
【例2】　求函数f(x)=3x2-2lnx的单调区间.
[处理建议]　先考虑定义域,再根据导数知识来求解.
[规范板书]　解　定义域为(0,+∞),f'(x)=6x-=.由f'(x)>0 x>;由f'(x)<0 0[题后反思]　任何函数问题,定义域都是关键前提.
【例3】　若函数f(x)=x2+(x≠0,a∈R)在[2,+∞)上的导数的值不是负数,求实数a的取值范围.
[处理建议]　让学生分析“不是负数”包含正数和0两种情况,之后根据题意来反推.
[规范板书]　解　∵f'(x)=2x-≥0在[2,+∞)上恒成立,∴≤2x,即a≤2x3.
∵x≥2,∴2x3≥16,∴a≤16.
[题后反思]　恒成立问题优先考虑用参变分离来处理解决.
*【例4】　已知函数f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0),若f(x)的单调递减区间是(0,4).
(1) 求k的值;
(2) 当x>k时,求证:2>3-.
[规范板书]　解　(1) f'(x)=3kx2-6(k+1)x=3kx,k>0.
由题意f'(x)=0的两根为0和4,故=4,解得k=1.
(2) 令g(x)=2+-3,g'(x)=-,
当x>1时,g'(x)>0,g(x)=2+-3在(1,+∞)上递增,
又因为g(1)=0,x>k=1,所以g(x)>0,
故2>3-.
四、 课堂练习
1. 设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是.
2. 若函数f(x)=x3-ax2+1在(0,2)内单调递减,则实数a的取值范围为[3,+∞).
3. 求函数f(x)=2x2-lnx的单调区间.
解　增区间为,减区间为.
4. 已知a>0,函数f(x)=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,求实数a的取值范围.
解　f'(x)=3x2-a,函数f(x ( http: / / www.21cnjy.com ))=x3-ax在[1,+∞)上是单调递增函数,则当x∈[1,+∞)时,f'(x)≥0恒成立,即x∈[1,+∞)时a≤3x2恒成立,得a≤3.又 a>0,所以0五、 课堂小结
1. 导数的正负与函数单调性之间的关系.
2. 利用导数判断函数单调性的步骤:
(1) 确定函数f(x)的定义域;(2) ( http: / / www.21cnjy.com ) 求出函数的导数;(3) 解不等式f'(x)>0,得函数的单调递增区间;解不等式f'(x)<0,得函数的单调递减区间.
3. 求函数的单调区间,求导的方法 ( http: / / www.21cnjy.com )不是唯一的方法,也不一定是最好的方法,但它是一种一般性的方法.对于不熟悉的函数,常常利用导数法来研究函数的单调性.
第10课时　极大值与极小值(1)
　 教学过程
一、 问题情境
( http: / / www.21cnjy.com )
　(图1)
观察给定函数图象,在P和Q两侧图象的单调性变化:
P点处从左侧到右侧由上升变为下降(函数由单调递增变为单调递减),这时在点P附近,点P的位置最高;
Q点处从左侧到右侧由下降变为上升(函数由单调递减变为单调递增),这时在点Q附近,点Q的位置最低.[1]
二、 数学建构
问题1　上述的结论如果用数学语言该怎样来描述 [2]　
解　1. 极大值点:已知函数f(x) ( http: / / www.21cnjy.com ),设x1是定义域内一点,如果在x1附近的所有的x,都有f(x)极小值点:已知函数f(x),设x2是定 ( http: / / www.21cnjy.com )义域内一点,如果在x2附近的所有的x,都有f(x)>f(x2),就说函数f(x)在x2处取得极小值,把x2称为f(x)的一个极小值点.
2. 极大值:称f(x1)为函数f(x)的一个极大值;
极小值:称f(x2)为函数f(x)的一个极小值.
极大值与极小值统称为极值.
问题2　在定义域内,函数的极大值是唯一的吗 函数的极大值一定大于其极小值吗 函数的极值点可能在区间的端点产生吗 试作图说明.[3]
问题3　极值点处导数有何特点 当f'(x0)=0时,能否肯定函数f(x)在x0处取得极值 [4]
问题4　函数的极值与函数的导数有怎样的关系 [5]
3. 函数极值与导数关系:
如果f'(x0)=0,且在x ( http: / / www.21cnjy.com )0的附近的左侧f'(x0)>0,右侧f'(x0)<0,那么f(x0)是极大值;如果f'(x0)=0,且在x0的附近的左侧f'(x0)<0,右侧f'(x0)>0,那么f(x0)是极小值.
表1
x x1左侧 x1 x1右侧
f'(x) f'(x)>0 f'(x)=0 f'(x)<0
f(x) 增↗ 极大值f(x1) ↘减
表2
x x2左侧 x2 x2右侧
f'(x) f'(x)<0 f'(x)=0 f'(x)>0
f(x) ↘减 极小值f(x2) 增↗
　　概念理解
1. 取得极值的点称为极值点,极值点是自变量的值,极值指的是函数值.
2. 极值是一个局部的概念,极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.
3. 函数的极值不是唯一的,即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个.
4. 极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.
5. 函数的极值点一定出现在区间的内部,区间的端点不能成为极值点,而使函数取得最大值、最小值的点既可能在区间的内部,也可能在区间的端点.
三、 数学运用
【例1】　(教材第31页例1)求f(x)=x2-x-2的极值.(见学生用书P19)
[规范板书]　解　f'(x)=2x-1,令f'(x)=0,解得x=.
列表如下:
x 左侧 右侧
f'(x) - 0 +
f(x) ↘ 极小值f ↗
　　所以当x=时,f(x)有极小值f=-.
[题后反思]　求极值的具体 ( http: / / www.21cnjy.com )步骤:(1) 求导数f'(x);(2) 求f'(x)=0的根;(3) 列表,检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右都是正,或者左右都是负,那么f(x)在这个根处无极值.
【例2】　(教材第31页例2)求f(x)=x3-4x+的极值.(见学生用书P20)
[处理建议]　让学生学会纵向看图,并体会在相应的区间上,导数的正负与函数增减的关系,体现数形结合思想.
[规范板书]　解　f'(x)=x2-4,令f'(x)=0,解得x1=-2,x2=2.
列表如下:
x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值f(-2) ↘ 极小值f(2) ↗
　　所以当x=-2时,f(x)有极大值f(-2)=;当x=2时,f(x)有极小值f(2)=-5.
思考:你能画出函数及其导数的图象吗 [6]
[题后反思]　有效利用图形语言,对照在相同的区间上函数及其导函数的图象,体会导数与函数单调性的关系,并强调书写格式.
【例3】　已知函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,求a的取值范围.(见学生用书P20)
[处理建议]　先由学生思考后交流思路,采用数形结合的方法,帮助学生理解.
[规范板书]　解　f'(x)=3x2+2ax-a+1,函数f(x)=x3+ax2-(a-1)x+7有极大值和极小值,即f'(x)=0有两个不同的实数解,则Δ=4a2+12(a-1)>0,解得a>或a<.
*【例4】　(教材第31页练习3)根据下列条件大致作出函数f(x)的图象.
(1) f(4)=3,f'(4)=0,当x<4时f'(x)>0,当x>4时f'(x)<0;
(2) f(1)=1,f'(1)=0,当x≠1时f'(x)>0.
　　[处理建议]　先由学生讨论,尝试进行作 ( http: / / www.21cnjy.com )图;教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的作业,由学生纠正出现的错误及处理建议,并且给出理由.[7]
解　(1) ( http: / / www.21cnjy.com )　(2) ( http: / / www.21cnjy.com )
　　　　　　　(例4(1))　　　　　(例4(2))
四、 课堂练习
1. 函数f(x)=x3-12x+12的极大值是　28　,极小值是　-4　.
2. 若函数f(x)=x3+mx2+x+1在R上无极值点,则实数m的取值范围是[-,].
3. 已知函数f(x)=x3-3x2+2.
(1) 写出函数的单调区间;
(2) 讨论函数的极大值和极小值是否存在,如果存在,写出极值.
解　(1) f'(x)=3x2-6x,令f' ( http: / / www.21cnjy.com )(x)>0,则x>2或x<0;令f'(x)<0,则0(2) 存在极值,极大值为2,极小值为-2.
五、 课堂小结
1. 极值点是自变量的值,极值指的是函数值. ( http: / / www.21cnjy.com )极值是一个局部的概念,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小.函数的极值不是唯一的,极大值与极小值之间无确定的大小关系,一个函数的极大值未必大于极小值.
2. 极值点两侧单调性互异,极值点处导数为0;但导数为0的点不一定是极值点,要看这点两侧的导数是否异号.
3. 求可导函数f(x)的极 ( http: / / www.21cnjy.com )值的步骤:(1) 确定函数的定义域,求导数f'(x);(2) 求方程f'(x)=0的根;(3) 用函数的导数为0的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么f(x)在这个根处无极值.
第11课时　极大值与极小值(2)
　 教学过程
一、 问题情境
问题1　已知f(x)=x3-3x2-9x+11.
(1) 写出函数f(x)的单调区间;
(2) 讨论函数f(x)的极值.
[规范板书]　解　f'(x)=3(x+1)(x-3),令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.
列表如下:
x (-∞,-1) -1 (-1,3) 3 (3,+∞)
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值f(-1) ↘ 极小值f(3) ↗
　　(1) 单调递减区间为(-1,3),单调递增区间为(-∞,-1),(3,+∞).
(2) 极大值为f(-1)=16,极小值为f(3)=-16.
二、 数学建构
问题2　你能作出上述函数f(x)=x3-3x2-9x+11的草图吗 [2]
问题3　你能从图上看出函数的哪些性质 [3]
问题4　你能对引例1进行变式,得到新的问题吗 [4]
三、 数学运用
【例1】　已知f(x)=x3-3x2-9x+11,设a为实数,函数g(x)=f(x)+a, 求a的取值范围,使曲线y=g(x)与x轴:
(1) 有1个交点;
(2) 恰有2个交点;
(3) 有3个交点.
(见学生用书P21)
[处理建议]　由学生讨论、研究,并适当地变题,呈现结论.
[规范板书]　解　(1) 曲线y ( http: / / www.21cnjy.com )=g(x)与x轴仅有1个交点,即g(x)极小值>0,或者g(x)极大值<0,由问题1得-16+a>0或16+a<0,即a>16或a<-16.
(2) a=±16.
(3) -16[题后反思]　有效利用图形语言,并强调解题的规范性.
【例2】　若函数f(x)=x3-3x2-9x+11,根据下列条件,分别求实数t的取值范围:
(1) f(x)在区间(t,t+2)上单调递减;
(2) f(x)在区间(t,t+2)上单调递增.
(见学生用书P22)
[处理建议]　先由学生口答,教师在学生中交流,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书]　解　(1) 由前知所以-1≤t≤1.
(2) 由问题1知t≥3或t+2≤-1,即t≤-3或t≥3.
[题后反思]　若函数f(x)=x3-3x2-9x+11在区间(t,t+2)上不单调,你能否求出实数t的取值范围
*【例3】　已知x=1是函数f(x)=mx3-3(m+1)x2+nx+1的一个极值点,其中m,n∈R,m≠0.
(1) 求m与n的关系表达式;
(2) 求f(x)的单调区间.
[规范板书]　解　(1) f'(x)=3mx2-6(m+1)x+n,由f'(1)=0得n=3m+6.
(2) 由(1)得f'(x)=3mx2-6(m+1)x+3m+6=3m(x-1).
当m>0时,单调递增区间为(-∞,1),,单调递减区间为.
当m<0时,单调递增区间为,单调递减区间为,(1,+∞).
[题后反思]　此题是逆向思维题,已知极值求 ( http: / / www.21cnjy.com )参数的值,解题时充分利用f'(x)=0,同时注意单调性对极值的限制.根据导数法解决函数的单调性和极值问题,具有一般性,解题时强调解题的规范性.
*【例4】　探究函数g(x)=-ax(x>0)的单调性和极值.
[规范板书]　解　g'(x)=-a,x>0.
当a≤0时,g'(x)>0,单调递增区间为(0,+∞),函数无极值;
当a>0时,
令g'(x)>0,即 -a>0,解得0.所以单调递增区间为,单调递减区间为.所以函数极大值为f=.
四、 课堂练习
1. 设a∈R,若函数y=ex+ax(x∈R)有大于0的极值点,则实数a的取值范围为(-∞,-1).
2. 若函数f(x)=-x3+ax2+1(a∈R)在(-2,3)内有2个不同的极值点,求实数a的取值范围.
解　f'(x)=-3x2+2ax.由题意知f'(x)在(-2,3)上有两个不同的实数解,解得a∈(-3,0)∪.
五、 课堂小结
1. 用导数处理函数极值中的参数讨论问题,主要有两类运用:一是对导数等于0的根的讨论,二是关于单调区间的判断的问题.
2. 注意领会分类讨论的思想、数形结合的思想、函数和方程的思想在解题中的灵活运用.
第12课时　函数的单调性和极值的综合
　 教学过程
一、 问题情境
( http: / / www.21cnjy.com )
　(图1)
若函数f(x)的定义域为(a,b),导函数f'(x)在(a,b)内的图象如图1所示,则函数f(x)在开区间(a,b)内有　3　个极值点.
二、 数学建构
问题1　设函数y=f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图2所示,则导函数y=f'(x)可能是图3中的　④　.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
(图2)
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(图3)
问题2　怎样用数学语言刻画函数的单调性和极值
三、 数学运用
【例1】　函数y=x3+x2+mx+1.(见学生用书P23)
(1) 若函数是R上的单调函数,求实数m的取值范围;
(2) 若函数有3个单调区间,求实数m的取值范围;
(3) 若函数在[1,+∞)上单调递增,求实数m的取值范围.
[处理建议]　学生讨论、判断,并且由学生给出理由或举出实例.
[规范板书]　解　y'=f'(x)=3x2+2x+m.
(1) 由题意有Δ=4-12m≤0,即m≥.
(2) 由题意知方程f'(x)=0有2个不同的解,即Δ=4-12m>0,解得m<.
(3) [-5,+∞).
【例2】　已知f(x)=log3,x∈(0,+∞).是否存在实数a,b,使f(x)同时满足下列两个条件:①f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数;②f(x)的最小值是1 若存在,求出a,b的值;若不存在,请说明理由. (见学生用书P24)
[处理建议]　让学生口答,教师板书,规范学生的解答.
[规范板书]　解　设g(x)=,g'(x)=1-,因为f(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数,所以g(x)在(0,1)上是减函数,在[1,+∞)上是增函数.
所以即 解得
经检验,a=1,b=1时,f(x)满足题设的两个条件.
[题后反思]　有效利用图形语言,帮助学生分析.
【例3】　已知函数f(x)=(x∈R),其中a∈R.(见学生用书P24)
(1) 当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2) 当a≠0时,求函数f(x)的单调区间与极值.
[处理建议]　先由学生讨论,尝试进行解答;教师在学生交流中,了解学生的思考过程,投影学生的解题过程,纠正出现的错误.
[规范板书]　解　(1) 当a=1时,f(x)=,f(2)=,又f'(x)=,k=f'(2)=-.
所以,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为6x+25y-32=0.
(2) f'(x)=.
①当a>0时,令f'(x)=0,得x1=-,x2=a.
x - a (a,+∞)
f'(x) - 0 + 0 -
f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘
　　所以f(x)在区间,(a,+∞)上为减函数,在区间上为增函数.
函数f(x)在x1=-处取得极小值f,且f=-a2,函数f(x)在x2=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
②当a<0时,令f'(x)=0,得x1=a,x2=-,
x (-∞,a) a -
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗
　　所以f(x)在区间(-∞,a),上为增函数,在区间上为减函数.
函数f(x)在x1=a处取得极大值f(a),且f(a)=1.
函数f(x)在x2=-处取得极小值f,且f=-a2.
[题后反思]　用导数处理含参函数的极值,合理分类.
四、 课堂练习
1. 如果函数y=f(x)的导函数的图象如图所示,给出下列判断:
①函数y=f(x)在区间内单调递增;
②函数y=f(x)在区间内单调递减;
③函数y=f(x)在区间(4,5)内单调递增;
④函数y=f(x)的单调递增区间是[-2,2]∪[4,+∞).
则上述判断中正确的是　③　.(填序号)
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
2. 设函数f(x)=x3-3ax+b,a≠0.
(1) 若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处与直线y=8相切,求a,b的值;
(2) 求函数f(x)的单调区间与极值点.
解　 f'(x)=3(x2-a).
(1) 由题意得解得a=4,b=24.
(2) ①当a<0时,f'(x)>0,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,此时函数没有极值点.
②当a>0时,由f'(x)=0得x=±,
当x∈(-∞,-)时,f'(x)>0,f(x)单调递增;当x∈(-,)时,f'(x)<0,f(x)单调递减;
当x∈(,+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.
此时,x=-是f(x)的极大值点,x=是f(x)的极小值点.
五、 课堂小结
1. 求单调区间必须考虑函数的定义域,根据导数的正负来确定函数的单调区间.
2. 可导函数极值点的导数为0,但导数为0的点不一定是极值点,要看该点两侧的导数是否异号.
3. 用导数处理含参函数的单调区间和极值时,要对参数进行讨论,注意对导数等于0的根进行讨论,以及单调区间的判断.
第13课时　最大值与最小值
　 教学过程
一、 问题情境
引入即时体验1中的函数y=f(x)的图象,在原有图象上标上相应的纵坐标(由教师随手给出即可)如:(a,1),(x1,2),,(x3,4),(x4,3),.　
( http: / / www.21cnjy.com )
(图1)
二、 数学建构
问题1　图1中函数y=f(x)在区间[a,b]上的极大值和极小值分别是多少 [3]
解　极大值是f(x1)=2,f(x3)=4,极小值是f(x2)=,f(x4)=3.
问题2　函数y=f(x)在[a,b]上的最大值是不是就是极大值呢 最小值是不是就是极小值呢 [4]
解　函数的最大值是f(b)=,它不是函数的极大值,函数的最小值是f(x2)=,它是函数的极小值.
问题3　是不是函数的最小值都是极小值呢 [5]
解　不一定是,可举出反例,如:y=f(x)=-x2+1(x∈[-1,1])的最小值是f(±1)=0,但函数无极小值等.
巩固概念
问题4　函数y=f(x)在区间[a,b]上的极值是否一定存在 最值是否一定存在呢 它们之间有着怎样的关系呢 [6]
解　回顾最值的定义,以及极值的定义:
最值:如果函数y=f(x)在定义域 ( http: / / www.21cnjy.com )I内存在x0,使得对任意的x∈I,总有f(x)≤f(x0),那么f(x0)为函数在定义域I上的最大值;同样,如果存在x0∈I,使得对任意的x∈I,总有f(x)≥f(x0),那么f(x0)为函数在定义域I上的最小值.
极值:如果函数y=f(x)在点P ( http: / / www.21cnjy.com )(x1,f(x1))处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(即先递增后递减),这时点P附近,点P的位置最高,亦即f(x1)比它附近点的函数值都大,则称f(x1)为函数的一个极大值,同样如果点Q(x2,f(x2))处从左侧到右侧是先递减后递增,即Q点附近,点Q的位置最低,f(x2)比它附近的函数值都要小,就称y=f(x2)为函数的一个极小值.
总结概括
极值只是函数在局部的性质,它不一定存在,而函数y=f(x)在[a,b]上最值是相对于区间[a,b]整体而言的,它一定存大最大、最小值,而且唯一存在.但若不是[a,b]上而是(a,b)上也不一定存在最值了,如:y=tan x,x∈时,y∈R.
总之:极值不一定是最值,最值也不一定是极值.
问题5　结合图1说说函数y=f(x)在[a,b]上的最值可能出现在哪里.[7]
解　可能出现在极值或者区间端点的函数值处.
问题6　今后我们如何求函数y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值呢 [8]
解　求函数y=f(x)在[a,b]上的最大、最小值可以分为两步:
第一步,求f(x)在(a,b)上的极值.
第二步,将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在[a,b]上的最大值与最小值.
三、 教学运用
【例1】　求函数f(x)=x3-3x+1在区间[-3,0]上的最大值与最小值.
[处理建议]　引导学生利用导数研究y=f(x)在[-3,0]上的单调性,并作出图象草图,结合图象来判断函数的最值.
[规范板书]　解　f'(x)=3x2-3=3(x-1)·(x+1),令f'(x)=0,解得x1=-1,x2=1(舍).列表如下:
x -3 (-3,-1) -1 (-1,0) 0
f'(x) + 0 -
f(x) -17 ↗ 3 ↘ 1
　　由上表可知,f(x)max=3,f(x)min=-17.
[题后反思]　数形结合是求函数最值的常用方法.[9]
【例2】　(教材第33页例2)求f(x)=x+sinx在区间[0,2π]上的最大值与最小值.[10](见学生用书P26)
[处理建议]　学生讨论后由学生说出答案,教师归纳方法.
[规范板书]　f'(x)=+cosx,令f'(x)=0,　得x1=,x2=.
列表如下:
x 0 2π
f'(x) + 0 - 0 +
f(x) 0 ↗ + ↘ - ↗ π
　　由上表可知,f(x)=x+sinx在[0,2π]上最大值为π,最小值为0.
[题后反思]　问题1　同学们是如何得到上题中x∈,2π时,f'(x)>0的呢
建议同学们可以直接解f'(x)>0得到f(x)的递增区间,而在定义域内的补集即为f(x)的递减区间.
问题2　(教材第33页思考)你能根据上题中的表格大致作出函数y=f(x)的图象吗
只需根据单调性作出大致草图即可.
四、 课堂练习
1. (教材第33页练习2)如果函数f(x)有最小值f(a),最大值f(b),那么f(a)一定小于f(b)吗
解　不一定,可能相等.因为f(x)min≤f(x)max.
2. 求下列函数在所给区间上的最大值和最小值:
(1) f(x)=3x+2,x∈[-1,3];
(2) f(x)=x2-3x,x∈[-1,3];
(3) f(x)=x+,x∈.
解　(1) f(x)max=f(3)=11,f(x)min=f(-1)=-1.
(2) f(x)max=f(-1)=4,f(x)min=f=-.
(3) f(x)max=f=f(3)=,f(x)min=f(1)=2.
3. 求y=x-x3,x∈[0,2]的值域.
解　y'=1-3x2,令y'=0,则x=,x∈[0,2],由题可知x=为极大值点,且f=.又f(0)=0,f(2)=-6.故函数的值域为.
五、 课堂小结
1. 函数的极值是函数的局部性质,它不一定存在,而函数的最值是函数在整体定义域上的性质,可以借助导数求解.
2. 掌握函数y=f(x)在区间[a,b]上最值的求法:
第一步,求f(x)在区间(a,b)上的极值;
第二步,将第一步中求得的极值与f(a),f(b)比较,得到f(x)在区间[a,b]上的最大、最小值.
第14课时　导数在实际生活中的应用(1)
　 教学过程
一、 问题情境
(教材第38页练习2)把长为100 cm的铁丝分成两段,各围成正方形,怎样分法,能使两个正方形的面积之和最小
(图1)
二、 数学建构
问题1　我们在实际生活中经常会碰到和上面相类似的问题,我们常常把它归结为最值问题,请同学们思考一下如何解决.[3]
学生甲　解　设一段长为x cm,则另一段长为(100-x) cm,
故S=S1+S2=+=(x2-100x+5000).
对称轴为x=50,开口向上,故当x=50时S有最小值.
问题2　学生甲提供的解法是一种什么方法
解　目标函数法.
问题3　“目标函数法”是处理最值问题的常规方法,采用此法的处理步骤是什么 [4]
解　1. 一般引入一个变量,将所求目标用函数形式建构函数表达式.
2. 根据题意写出引入变量的准确范围(即为定义域).
3. 在所写定义域范围内求出函数的最值.
问题4　请同学们看看学生甲提供的解法是否完善.[5]
解　缺少定义域x∈(0,100).
问题5　如果本题改成将分成的两段分别围成正方形和正三角形,那么目标函数表达式是什么
解　S=S1+S2=+·,x∈(0,100).
问题6　本引例构建了一个二次目标函数最 ( http: / / www.21cnjy.com )值问题,借助二次函数图象可以迎刃而解,但如果构建的函数是高次函数或其他函数时,我们可以怎样来求最值呢
解　应用导数法.
导数在实际生活中有着广泛的应用,利用导数法可以解决用料最省、利润最大、效率最高等最值问题.本节课我们就来学习导数在实际生活中的应用.
三、 教学运用
【例1】　如图,在半径为30cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )半圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料ABCD,其中点A,B在直径上,点C,D在圆周上.若将所截得的矩形铝皮ABCD卷成一个以AD为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),应怎样截取,才能使做出的圆柱形罐子的体积最大 最大体积是多少
(1)　(2)(例1)
[处理建议]　设圆柱的高为x,或者连结OC并设∠BOC=θ,分别建立目标函数.
[规范板书]　解　解法1:设圆柱底面半径为r,高为x,体积为V.由AB=2=2πr,得r=,所以V=πr2h=(900x-x3),其中0故取BC为10cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为cm3.
解法2:连结OC.设∠BOC=θ,圆柱底面半径为r,高为h,体积为V,则圆柱的底面半径为r=,高h=30sinθ,其中0<θ<.所以V=πr2h=·sinθcos2θ=(sinθ-sin3θ),
设t=sinθ,则V=(t-t3).由V'=·(1-3t2)=0,得t=,因此V=(t-t3)在上是增函数,在上是减函数.所以当t=时,即sinθ=,此时BC=10时,V的最大值为cm3.
故取BC为10cm时,做出的圆柱形罐子体积最大,最大值为cm3.
[题后反思]　在选择自变量时,要考虑当取不同自变量时函数的解析式会不一样,研究最值的过程也会有区别,但结果是一样的.
　(例2)
【例2】　(教材第36页例3)如图所 ( http: / / www.21cnjy.com )示的电路中,已知电源的内阻为r,电动势为E,当外电阻R多大时,才能使电功率最大 最大电功率是多少 (见学生用书P28)
[处理建议]　由学生板演.
[规范板书]　解　电功率P=I2R,其中I=为电流强度,
所以P=R=(R>0).
则P'=,令P'=0,所以R=r.
当R0;当R>r时,P'<0.
所以当R=r时,P取极大值,且是最大值,
所以Pmax=.
答　当外电阻R等于内电阻r时,电功率最大,最大电功率为.[6]
[题后反思]　应用导数法解决实际生活中的最值问题的解题步骤:
第一步,引入变量将所求问题转化为目标函数;
第二步,写出目标函数的定义域;
第三步,在定义域范围内利用导数法求出函数最值;
第四步,作“答”.
四、 课堂练习
1. (教材第35页例1)如图所示,在 ( http: / / www.21cnjy.com )边长为60 cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形,再把它的边沿虚线折起,做成一个无盖的方底铁皮箱,当箱底边长为多少时,箱子容积最大 最大容积是多少
( http: / / www.21cnjy.com )
(第1题)
解　设箱底边长为x(cm),则箱高为
h=(0箱子的容积为
V(x)=x2h=30x2-x3(0由V'(x)=60x-x2=0解得x1=0(舍去),x2=40.且当x∈(0,40)时,V'(x)>0;当x∈(40,60)时,V'(x)<0.所以函数V(x)在x=40处取得极大值,这个极大值就是函数V(x)的最大值,即
V(40)=30×402-×403=16 000(cm3).
答　当箱底边长为40 cm时,箱子容积最大,最大值为16 000 cm3.
2. 设底为正三角形的直棱柱的体积为V,那么其表面积最小时,底面边长是多少
解　设正三角形的边长为a,直棱柱高为h,则V=a2h,所以h=,则S=a2+3a·=a2+,S'=a-,由S'=0 a=.当0时,S'>0.所以当a=时,S取得最小值.
五、 课堂小结
1. 我们可用导数法解决用料最省(即表面积最小)、功率最大、容积最大等实际问题.
2. 应用导数法解决实际问题的解题步骤:
第一步,引入变量将所求问题转化为目标函数;
第二步,写出目标函数的定义域;
第三步,在定义域范围内利用导数法求出函数最值.
第15课时　导数在实际生活中的应用(2)
　 教学过程
一、 问题情境
(教材第37页例题5)在 ( http: / / www.21cnjy.com )经济学中,生产x单位产品的成本称为成本函数,记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数,记为R(x),R(x)-C(x)称为利润函数,记为P(x).
(1) 如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000,那么生产多少单位产品时,边际成本C'(x)最低
(2) 如果C(x)=50x+10000,产品的单价p(x)=100-0.01x,那么怎样定价可使利润最大
二、 数学建构
问题1　我们在前面学过边际成本函数、边际收益函数和边际利润函数,它们分别是什么含义 [3]
问题2　问题情境中(1)的边际成本函数是什么 [4]
解　C'(x)=3×10-6x2-0.006x+5.
问题3　如何求边际成本的最小值呢 [5]
解　令C'(x)=g(x),则
g'(x)=6×10-6x-0.006=0,解得 x=1000.
当x<1000时,g'(x)<0,所以g(x)单调递减,
当x>1000时,g'(x)>0,所以g(x)单调递增,
所以x=1000时,C'(x)最小,即边际成本最低.
问题4　如何定价能使问题情境中(2)的利润最大呢 [6]
解　 由p(x)=100-0.01x,则
R(x)=x(100-0.01x),
P(x)=R(x)-C(x)
=x(100-0.01x)-(50x+10000)
=-0.01x2+50x-1000.
由P'(x)=-0.02x+50=0,解得x=2500,故当x=2500时,利润最大,即P(x)max=P(2500)=75.
答　生产1000个单位产品时,边际成本最低;当产品的单价为75时,利润最大.
三、 教学应用
【例1】　(教材第36页例4)强度 ( http: / / www.21cnjy.com )分别为a,b的两个光源A,B间的距离为d,试问:在连结两光源的线段AB上,何处照度最小 试就a=8,b=1,d=3时回答上述问题.(照度与光的强度成正比,与光源距离的平方成反比)(见学生用书P29)
[处理建议]　由学生思考交流后给出解决问题的详细答案.
[规范板书]　解　如图,设P在线段AB上,且P距光源A为x,则P距光源B为3-x(0(例1)
P点受A光源的照度为,即;
P点受B光源的照度为,即,
其中k为比例常数.
从而,P点的总照度为I(x)=+(0由I'(x)=-+=
=0,得x=2.当0当20.
因此,x=2时I取极小值,且是最小值.
答　在连结两光源的线段AB上,距光源A为2处的照度最小.
【例2】　设某银行中的总 ( http: / / www.21cnjy.com )存款与银行支付给存户的利率的平方成正比,若银行以10%的年利率把总存款的90%贷出,问:给存户支付的年利率定为多少时,才能获得最大利润 (见学生用书P30)
[处理建议]　学生思考后请一位学生板书.
[规范板书]　解　设总存款a元,利率为r,利润为y,则a=kr2(k为比例系数),
y=90%a·10%-a·r
=0.09a-ar=0.09kr2-kr3(0y'=0.18kr-3kr2=0,所以r=0.06.
当00;
当0.06因此, 当r=0.06时,y取极大值,且是最大值.
答　支付给存户年利率6%时能获得最大利润.
[题后反思]　 从本题可以看出存款利率总是比贷款利率要低.实际生活中希望同学们了解,存款一般按单利计算利息,贷款按复利计算利息.
四、 课堂练习
1. 某旅行社在暑假期间推出如下旅 ( http: / / www.21cnjy.com )游组团办法:达到100人的团体,每人收费1000元,如果团体的人数超过100,那么每超过1人,每人平均收费降低5元,但团体人数不能超过180.问:如何组团,可使旅行社的收费最多
解　设超过x人,0≤x≤80,则 ( http: / / www.21cnjy.com )旅行社收费y=(100+x)(1000-5x)=-5x2+500x+100000(0≤x≤80),由y'=0 x=50,当0≤x≤50时y'>0,当x>50时,y'<0.故x=50时,y取极大值,且是最大值.
答　组150人的团时旅行社收费最多.
2. 如图,一矩形铁皮的长为8cm ( http: / / www.21cnjy.com ),宽为5cm,在4个角上截去4个相同的小正方形,制成一个无盖的小盒子,问:截去的小正方形的边长为多少时,盒子容积最大
(第2题)
解　设小正方形的边长为xcm,则盒子底面长为(8-2x)cm,宽为(5-2x)cm,高为xcm.则V=(8-2x)(5-2x)x=4x3-26x2+40x,所以V'=12x2-52x+40,令V'=0,得x=1或x=(舍去).当00;当1答　当截去的小正方形的边长为1cm时,盒子的容积最大.
五、 课堂小结
1. 本节课我们用导数法解决了边际成本、运输成本、照度问题、银行存款利率等最优化问题.
2. 在这两节课所学内容基础上,我们总结概括一下导数解决最优化问题的基本思路,如下图所示.
( http: / / www.21cnjy.com )(图1)
第16课时　本章复习
　 教学过程
一、 数学运用
【例1】　求下列函数的导数:
(1) y=(2x-1)2;　　　(2) y=xlnx+cosx;
(3) y=3xex-2x+e; (4) y=.
(见学生用书P32)
[处理建议]　由4个学生板演.
[规范板书]　解　(1) y'=8x-4.
(2) y'=1+ln x-sinx.
(3) y'=(ln 3+1)·3xex-2xln 2.
(4) y'=.
变式　求下列函数的导数:
(1) y=;
(2) y=;
(3) y=(x+1)(x+2)(x+3);
(4) y=+ .
[处理建议]　由学生分组完成后汇总给出答案,讲解时侧重求导方法.
[规范板书]　解　(1) y'=.
(2) y'=-x-+3x2-2x-3sinx+x-2cosx.
(3) y'=3x2+12x+11.
(4) y'=.
【例2】　(1) 若曲线y=x2+ax+b在点(0,b)处的切线方程是x-y+1=0,求a,b的值.(见学生用书P32)
(2) 已知函数f(x)=2x3+ax与g(x)=bx2+c的图象都过点P(2,0),且在点P处有公切线,求f(x),g(x)的解析式.
[处理建议]　学生口答,教师板书.
[规范板书]　解　(1) ( http: / / www.21cnjy.com )由题意知点(0,b)在曲线f(x)=y=x2+ax+b上,又因为y'=2x+a,所以f'(0)=a=k=1,又(0,b)在x-y+1=0上,所以b=1,所以a=1,b=1.
(2) f(x)=2x3-8x,g(x)=4x2-16.
【例3】　设函数f(x)=ax+(a,b∈Z),曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=3.
(1) 求y=f(x)的解析式;
(2) 求证:曲线y=f(x)上任一点处的切线与直线x=1、直线y=x所围三角形的面积为定值,并求出此定值.[1]
(见学生用书P32)
[规范板书]　解　(1) f'(x)=a-,
依题意知所以　
由②得=3-2a,代入①化为4a2-13a+9=0,所以a=1或a=.
又因为a∈Z,所以a=1,所以b=-1,
所以f(x)=x+.
(2) 设y=f(x)上任意一点为P(x0,f(x0)),则P点处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0),又f(x0)=x0+,f'(x0)=1-,
所以y-x0-=(x-x0).
令x=1,则y=1+,
故一个交点为1,1+.
令y=x,则交点为(2x0-1,2x0-1),另一个交点为(1,1).
所以S=×·|2x0-1-1|=2.
二、 课堂练习
1. 若曲线y=在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a=-2.
提示　y'=,所以=,
所以a=-2.
2. 若f(x)=ax4+bx2+c满足f'(1)=2,则f'(-1)=　-2　.
3. 已知点P在曲线y=上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是.
4. 已知f1(x)=sinx+cosx,记f2(x)=f'1(x),f3(x)=f'2(x),…,fn(x)=f'n-1(x)(n∈N*且n≥2),则f1+f2+…+f2012=　0　.
提示　T=4,f1+f2+f3+f4=0,则f1+f2+…+f2 012=0.
三、 课堂小结
1. 函数f(x)在点(x0,f(x0))处的导数f'(x0)即为曲线y=f(x)在(x0,f(x0))处的切线的斜率.
2. 导数的物理意义为:位移S(t)的导数S'(t)即为瞬时速度,速度v(t)的导数v'(t)即为瞬时加速度.
3. 常见函数的求导公式及导数运算法则公式在知识梳理部分已经复习,希望同学们熟记.
第 2　 章 推理与证明　　　
第1课时　合情推理——归纳推理
　 教学过程
一、 问题情境
学生讨论:上述案例中的推理各有什么特点
解　从个别事实推演出一般性结论.
二、 数学建构
问题1　什么是推理
解　从一个或几个已知命题得出另一个新命题的思维过程称为推理.
问题2　一般的推理由几个部分组成
解　任何一个推理都包含前提和结 ( http: / / www.21cnjy.com )论两个部分.前提是推理所依据的命题,它告诉我们已知的知识是什么;结论是根据前提推导得出的命题,它告诉我们推理的结论是什么.
问题3　推理的结论对吗
解　推理的结论可能正确,也可能是错误的.
问题4　上述的推理有什么特点
解　从个别事实推演出一般性结论.
通过讨论,得出归纳推理的相关概念
1. 归纳推理:从个别事实中推演出一般性结论,像这样的推理通常称为归纳推理.
2. 归纳推理的思维规程大致为:
实验、观察
概括、推广
猜测一般性结论
概念理解
归纳推理的特点:
(1) 归纳推理的前提是几个已知的特殊现象,归纳所得的结论是尚属未知的一般现象,该结论超越了前提所包含的范围;
(2) 由归纳推理得到的结论具有猜测的性质,结论是否真实,还需经过逻辑证明和实践检验,因此,它不能作为数学证明的工具;
(3) 归纳推理是一种具有创造性的推理.通过归纳推理得到的猜想,可以作为进一步研究的起点,帮助人们发现问题和提出问题.
归纳推理基于观察和实验,和“瑞雪兆丰年”等谚语一样,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.
三、 数学运用
【例1】　蛇是用肺呼吸的,鳄鱼是用肺呼吸的, ( http: / / www.21cnjy.com )海龟是用肺呼吸的,蜥蜴是用肺呼吸的,蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物,由此我们猜想:　　　　　　　　　　　　　.[3](见学生用书P33)
[处理建议]　题目简单,让学生自己解答.
[规范板书]　解　所有的爬行动物都是用肺呼吸的.
【例2】　 三角形的内角和是180° ( http: / / www.21cnjy.com ),凸四边形的内角和是360°,凸五边形的内角和是540°,由此我们猜想:(n-2)×180°.[4](见学生用书P33)
[处理建议]　先由学生讨论,说出推理的理由.
[规范板书]　解　对于凸n边形,
n=3时,内角和180°=180°×1;
n=4时,内角和360°=180°×2;
n=5时,内角和540°=180°×3;
……
由此我们猜想:凸n边形的内角和是(n-2)×180°.
(2) <,<,<,…
由此我们猜想:<(a,b,m均为正实数).[5]
[处理建议]　先由学生讨论,说出推理的理由.
[规范板书]　解　由此我们猜想:<(a,b,m均是正实数).或者:<(m>0).
[题后反思]　根据已知条件猜想的结论可能不止一个,只要猜想合理就可以.
【例3】　观察下列的图形中小正方形的个数,则第n个图中有个小正方形.[6](见学生用书P33)
( http: / / www.21cnjy.com )
(例3)
[处理建议]　先由学生讨论,说出推理的理由.
提示　当n=1时,小正方形个数为1+2=3,
当n=2时,小正方形个数为1+2+3=6,
当n=3时,小正方形个数为1+2+3+4=10,
当n=4时,小正方形个数为1+2+3+4+5=15,
当n=5时,小正方形个数为1+2+3+4+5+6=21,
由此我们猜想:第n个图中小正方形个数为1+2+3+…+(n+1)=.
[题后反思]　根据几个已知条件或现象探寻一般规律的方法通常可以从下面几个方面进行思考:
(1) 寻找它们的共同特征,如例1;
(2) 寻找它们的变化规律,如例2,边数每增加1个,内角和增加180°;
(3) 结合图形,观察图形的关系或变化特征,运用直观的方法去探求规律.
归纳推理的一般模式:
S1具有性质P,
S2具有性质P,
S3具有性质P,
……
Sn具有性质P(S1,S2,S3,…,Sn是A类事物的具体对象).
所以,A类事物具有性质P.
　　【例4】　已知数列的每一项都是正数,a1=1,=+1(n=1,2,3,…),试归纳出数列{an}的一个通项公式.(见学生用书P34)
[处理建议]　先由学生讨论,说出推理的理由,体会从特殊到一般的归纳过程.
[规范板书]　解　当n=1时,a1=1=;
当n=2时,a2==;
当n=3时,a3==;
……
由此我们猜想{an}的一个通项公式为an=.
四、 课堂练习
1. (1) 一元一次方程有1个实数根,
一元二次方程最多有2个实数根,
一元三次方程最多有3个实数根,
由此我们猜想:一元n次方程最多有n个实数根.
(2) 先看下面的例子,试写出一般性结论.
1+3=4,
1+3+5=9,
1+3+5+7=16,
…
1+3+5+…+(2n-1)=n2.
2. 对大于或等于2的自然数m的n次方幂,有如下分解方式:
22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,
23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19.
根据上述分解规律,有53=21+23+25+27+29;若m3(m∈N*)的分解中最小的数是73,则m的值为　9　.
3. 应用归纳推理猜测(n∈N*)的值.
解　当n=1时,=3,
当n=2时,=33,
当n=3时,=333,
归纳发现:=.
五、 课堂小结
1. 归纳推理是从特殊到一般的推理,要会从几个特殊的个例中学会观察,有时候没有个例,要自己去寻找或设计个例.
2. 归纳推理基于观察和 ( http: / / www.21cnjy.com )实验,一些创造发明往往来自于这些看似简单的活动,如“瑞雪兆丰年”等谚语,是人们根据长期的实践经验进行归纳的结果.要在平常的生活中养成观察和思考的习惯,培养创新思维能力.
第2课时　合情推理——类比推理
　 教学过程
一、 问题情境
模仿鲁班发明锯子,在我们以前学过的知识和方法中,哪些知识板块可以放在一起进行类比呢
学生活动:等式与不等式,平面上的圆与空间中的球,等差与等比数列,平面几何与立体几何,椭圆与双曲线,空间向量与平面向量,等等.
大家根据自己的直觉提出了这么多可以进行类比的知识,那我们就选几个板块,来看看它们为什么可以进行类比,以及具体怎样类比.
1. 试根据等式的性质猜想不等式的性质.[2]
等式的性质: 猜想不等式的性质:
　　　　等式　　　　　　　　　不等式
(1) 加法法则:
a=b a+c=b+c 　　　　　　　
(2) 减法法则:
a=b a-c=b-c 　　　　　　　
(3) 乘法法则:
a=b ac=bc 　　　　　　　
(4) 除法法则:
a=b a÷c=b÷c(c≠0) 　　　　　　　
(5) 平方法则:
a=b a2=b2 　　　　　　　
教师以问题组的形式让学生自然地建构概念.
问题1　等式与不等式之间为什么可以进行类比呢 它们在什么方面是相似的
教师启发:“3=3”描述的是相等关系,“4>3”描述的是不等关系,都是衡量数的大小关系,所以它们有不少的相似性质.
问题2　如何开展类比呢
学生活动　模仿就可以.
问题3　大家通过等式的运算律猜想了不等式的运算律,得到了新知,那这些结论是否一定正确呢 说明什么
学生活动　说明用类比的方式得来的结论不一定正确,需要通过严格的证明来确认.
2. 试将平面上的圆与空间的球进行类比.[3]
[处理建议]　结合“锯子”实例引导学生分析、讨论,教师分析判断,理解类比的实质.
解　圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
圆　　　　　　　　　　　球
弦　　　　　　　截面圆
直径　　　　　　大圆
周长　　　　　　表面积
圆面积　　　　　球体积
圆的性质 球的性质
圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦 球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆
与圆心距离相等的两弦相等;与圆心距离不等的两弦不等,距圆心较近的弦较长 与球心距离相等的两截面圆相等;与球心距离不等的两截面圆不等,距球心较近的截面圆较大
圆的切线垂直于过切点的半径;经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 球的切面垂直于过切点的半径;经过球心且垂直于切面的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心 经过切点且垂直于切面的直线必经过球心
以点(x0,y0)为圆心、以r为半径的圆的方程为(x-x0)2+(y-y0)2=r2 以点(x0,y0,z0)为球心、以r为半径的球的方程为(x-x0)2+(y-y0)2+(z-z0)2=r2
　　在教学的过程中,模仿第1题的方式.
问题1　平面上的圆与空间的球之间为什么可以进行类比呢,它们在什么方面是相似的
学生活动　它们的定义是相似的:
圆的定义:平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
球的定义:空间内到一个定点的距离等于定长的点的集合.
它们的形状也是相似的:一个是二维的,平面的;一个是三维的,空间的.
圆绕着一条直径旋转一周就形成了球.
问题2　如何展开类比
学生活动　因为圆绕着一条 ( http: / / www.21cnjy.com )直径旋转一周就形成了球,所以圆的弦、直径、周长、面积类比球中的截面圆、大圆、表面积、体积,只要将圆中的概念改成球中相应的概念就可以.点对应线,线对应面也要注意.它们属于叙述方式上的类比.
问题3　类比的前提是什么 它的一般步骤是什么 [4]
解　进行类比推理时,首先,要找出两类 ( http: / / www.21cnjy.com )对象之间可以确切表述的相似性或一致性;然后,再用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;最后,检验这个猜想.
二、 数学建构
概念理解
由两个(两类)对象之间在某些方面的相似 ( http: / / www.21cnjy.com )或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同;或由其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比).简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理.类比推理和归纳推理都是合情推理的一种.
类比推理的一般步骤:
(1) 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征;
(2) 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想;
(3) 检验猜想.即
观察、比较
联想、类推
猜测新的结论
三、 数学运用
【例1】　类比实数的加法与乘法,并列出它们的类似的性质.[5](见学生用书P35)
[处理建议]　可以先启发学生讨论交流,了解类比的一般思路,体会类比的实质.
[规范板书]　解　在实数的加法与乘法之间,可以建立如下的对应关系:
加(+) 乘(×)
加数、被加数 乘数、被乘数
和 积
等等,它们具有下列类似的性质
加法的性质 乘法的性质
a+b=b+a ab=ba
(a+b)+c=a+(b+c) (ab)c=a(bc)
a+(-a)=0 a·=1
a+0=a a·0=0
　　[题后反思]　为什么实数的加法和乘法之间有这么多相似之处
当加数相同时,加法运算就可以用乘法来表示.
加法和乘法运算可以类比,你想想,还有其他的运算可以类比吗
类比推理的一般模式:
A类事物具有性质a,b,c,d,
B类事物具有性质a',b',c',
(a,b,c与a',b',c'相似或相同)
所以B类事物具有性质d'.
【例2】　试找出等差与等比数列的类比知识.[6](见学生用书P36)
[处理建议]　以学生活动为主,合作交流, ( http: / / www.21cnjy.com )将全班的同学分为两组,第一组的同学提出等差数列的性质,第二组的同学类比等比数列的性质,第一组的同学再判断类比的方式是否正确.
[规范板书]　解　(1) 定义:an+1-an=d =q.
(2) 通项公式:an=a1+(n-1)d bn=b1qn-1;
an=am+(n-m)d bn=bmqn-m.
(3) 等差中项:2an+1=an+an+2 =bn·bn+2.
(4) 若m+n=p+q,且m,n,p,q∈N*,则am+an=ap+aq bmbn=bpbq.
变式　在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,相应地:在等比数列中,若b9=1,则有等式b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*)成立.
提示　本题考查等差数列与等比数列的类比.一种较本质的认识是:
等差数列→用减法定义→性质用加法表述.
例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am+an=ap+aq;
等比数列→用除法定义→性质用乘法表述.
例如,若m,n,p,q∈N*,且m+n=p+q,则am·an=ap·aq.
由此,猜测本题的答案为:b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).
[题后反思]　(1) 等差数列的通项公 ( http: / / www.21cnjy.com )式是an=a1+(n-1)d,等比数列的通项公式是an=a1qn-1.两组公式形式上的变化主要体现在“a1+”换成了“a1×”,“(n-1)·d”换成了“qn-1”,即出现了四则运算中“加法升级为乘法、乘法升级为乘方”这样的对应的升级运算.而这也恰好体现在了等差数列与等比数列这两个数列的名称(或定义)之中:差(-) 比(÷).
(2) 解题的过程中一些基本的方法是:+ ×,- ÷,乘法 乘方,除法 开方,但这不是绝对的.
(3) 类比推理不能仅把类比停留在叙述方式或 ( http: / / www.21cnjy.com )数学结构等外层表象之上,还需要对数学结论的运算、推理过程等内在联系进行类比分析,从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关系.
四、 课堂练习
1. (1) 已知正方形面积为边长的平方,那么在立体几何中,与之类比图形是什么 结论是什么
(2) 圆有切线,切线与圆切于1点,切点到圆心的距离等于半径.由此结论,如何类比到球
(3) 平面内不共线的3点确定1个圆.由此结论,如何类比得到空间的结论
解　(1) 类比图形是正方体,结论是正方体的体积为棱长的立方.
(2) 球有切面,切面与球切于1点,切点到球心的距离等于球的半径.
(3) 空间不共面的4点确定一个球.
2. 已知梯形的上底边长为a,下底边长为b,中位线长为m,则m=.若棱台的上底面积为,下底面积为S2,中截面面积为S0,类比梯形的中位线结论,猜