18.3反比例函数的图像和性质（第2课时）课件（共36张PPT）-2023-2024学年八年级数学上册同步精品课堂（沪教版）

沪教版八年级上册

第18章 正比例函数与反比例函数
18.3反比例函数的图像和性质（第2课时）
1.经历画反比例函数的图象、归纳得到反比例函数的图象特征和性质的过程 (重点、难点)
2.会画反比例函数图象，了解和掌握反比例函数的图象和性质.（重点）
学习目标
2、其定义域是什么？
复习引入
1、什么是反比例函数？
形如_____________________是反比例函数.
不等于零的一切实数
今天学习反比例函数的图像与性质
（即 ）
操作1：画反比例函数 的图像
画反比例函数的图像
画函数图象有哪些步骤？
列表、描点、连线
自变量x的取值范围是什么？
通常在0的附近，正数和负数至少各取5个数
自变量x取哪些数比较容易计算出y的值呢？
操作1：画反比例函数 的图像
把各点用光滑的曲线连接，再向两方伸展
第一象限和第三象限各有一支曲线
探索
两支曲线，分别在第一、三象限.
反比例函数 的图像与正比例函数有何区别？
图像不会与坐标轴相交，
即图像向两方无限延伸.
图像是否会与坐标轴相交？为什么？
探索
在第一象限内，当自变量x的取值不断增大，y的值不断减小！
当自变量x的取值不断减小，y的值不断增大！
函数图像越来越接近x轴，但不与x轴相交！
函数图象越来越接近y轴，但不与y轴相交！
为什么每支曲线都无限接近于坐标轴？
操作2：画反比例函数 的图像
同样是两支曲线！
两支曲线在第二、四象限!
函数图像不会与坐标轴相交，即图像向两方无限延伸.
反比例函数 图像和 有何相同和区别？
图像是否会与坐标轴相交？
反比例函数 的图像叫做双曲线.
小结
双曲线有何特点呢？
双曲线有两支，每支都向两方伸展，无限接近坐标轴，但与坐标轴不相交.
操作3：（1）画反比例函数 和 的图像
探索规律
观察以上反比例函数的图像并思考问题：
（1）函数图像分别位于哪几个象限？
（2）在每一个象限内，y随x的变化有怎样的变化？
（3）函数图像会与坐标轴相交吗？为什么？
一般地，反比例函数 y= （ k为常数， k≠0 ）的图像是双曲线，它具有以下性质：
反比例函数的性质
（1）当k>0时，函数图像的两支分别在第一、三象限，在每一
个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐减小。
（2）当k<0时，函数图像的两支分别在第二、四象限，在每一
个象限内，当自变量x的值逐渐增大时，y的值随着逐渐增大。
（3）图像的两支都无限接近于x轴和y轴，但不会与x轴和y轴相交。
2010年世博会在上海召开，设计专家计划在园区内一块休息区域种植8km2 的植被,如果按长方形种植，它们的长与宽分别如下图：这些长方形的长与宽有什么关系？
8
1
2
1
2
8
单位：km
4
4
x
y
o
1
8
2
4
4
2
8
1
A1
A2
A3
A4
讨论1：请你说出A1、A2、A3、A4四个点的
纵坐标y和横坐标x满足怎样的函数关系？
(1,8)
(2,4)
(4,2)
(8,1)
设点P（m,n)是该函数图象上任意一点，过P分别作x轴y轴的垂线段，垂足为A、B，构成的长方形面积是多少？
P(m,n)
A
B
1.画反比例函数 和 的图像
课本练习
在其图像所在的每个象限内，y的值随x的值的增大而
减小的函数是________________.
其中，图像位于第二、四象限的函数是
_________________________________；
3、已知下列反比例函数：
4.如果反比例函数 （ 是常数，
),的图像在第二、四象限，那么正
比例函数 （ 是常数， ）的
图像经过哪几个象限？
1. 反比例函数 的图象大致是 ( )
C
y
A.
x
y
o
B.
x
o
D.
x
y
o
C.
x
y
o
随堂检测
2. [2021·江苏盐城校级期中]函数y＝2????的图像大致是（　B　）
?
A B C D
解析：∵y＝????????，k＝2＞0， ∴该函数的图像分别位于第一、第三象限.故选B.
?
B
3.如图，反比例函数y＝????????的图像可能是（　D　）
?
A　 B
C　 D
D
解析：A.∵反比例函数的图像分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，∴此选项不符合题意.B.k＝－2×6＝－12，k＝4×（－2）＝－8.∵－12≠－8，∴此选项不符合题意.C.k＝4×2＝8，k＝－2×（－2）＝4.∵8≠4，∴此选项不符合题意.D.k＝4×2＝8，k＝－2×（－4）＝8.∵8＝8，∴此选项符合题意.故选D.
4. 已知反比例函数 的图象过点(－2，－3)，函
数图象上有两点 A( ，y1)，B(5，y2)，则 y1与y2
的大小关系为 ( )
A. y1 > y2
B. y1 = y2
C. y1 < y2
D. 无法确定
C
提示：由题可知反比例函数的解析式为 ，因为6＞0，且 A，B 两点均在该函数图象的第一象限部分，根据 >5，可知y1，y2的大小关系.
5. 在同一直角坐标系中，函数 y = 2x 与 的图象大致是 ( )
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
A.
B.
C.
D.
B
6.（一题多解）[2022·天津中考]若点A（x1，2），B（x2，－1），C（x3，4）都在反比例函数y＝8????的图像上，则x1，x2，x3的大小关系是（　B　）
?
A.x1＜x2＜x3
B.x2＜x3＜x1
C.x1＜x3＜x2
D.x2＜x1＜x3
解析：∵点A（x1，2），B（x2，－1），C（x3，4）都在反比例函数y＝????????的图像上，∴x1＝????????＝4，x2＝?????????＝－8，x3＝????????＝2.又∵－8＜2＜4，∴x2＜x3＜x1.故选B.
?
B
一题多解
（图像法）作出反比例函数y＝8????的图像，将点A，B，C分别在该图像上标出，如答图.由图像可知，x2＜x3＜x1.故选B.
?
（第4题答图）
7. （易错题）[2022·河北石家庄三模]对于反比例函数y＝6????，下列说法错误的是（　C　）
?
A.它的图像分别位于第一、第三象限
B.它的图像必经过点（2，3）
C.y随x的增大而减小
D.它的图像不可能与坐标轴相交
C
解析：根据反比例函数的性质对这四个选项逐一分析.A.∵反比例函数y＝????????的比例系数6＞0，∴此函数的图像分别位于第一、第三象限，此选项说法正确；B.∵当x＝2时，y＝3，∴反比例函数y＝????????的图像必经过点（2，3），此选项说法正确；C.∵反比例函数y＝????????的图像分别位于第一、第三象限，∴在每一个象限内，y随x的增大而减小，此选项说法错误；D.它的图像不可能与坐标轴相交，此选项说法正确.故选C.
?
8. 若ab＜0，则正比例函数y＝ax与反比例函数y＝????????在同一平面直角坐标系中的大致图像是（　B　）
?
A B C D
B
解析：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图像经过原点和第一、第三象限，反比例函数y＝????????的图像位于第二、第四象限，无选项符合；（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图像经过原点和第二、第四象限，反比例函数y＝????????的图像位于第一、第三象限，选项B符合.故选B.
?
9.新趋势 跨学科实践 [2022·浙江丽水中考]已知电灯电路两端的电压U为220 V，通过灯泡的电流I（A）的最大限度不得超过0.11 A.设选用灯泡的电阻为R（Ω），下列说法正确的是（　A　）
A.R至少为2 000
B.R至多为2 000
C.R至少为24.2
D.R至多为24.2
解析：∵电压U（V）一定时，电流I（A）与灯泡的电阻R（Ω）成反比例，∴I＝????????.∵已知电灯电路两端的电压U为220 V，∴I＝????????????????.∵通过灯泡的电流I（A）的最大限度不得超过0.11 A，∴????????????????≤0.11，∴R≥2 000.故选A.
?
A
10.[2021·河南南阳校级一模]如图，△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5）.若反比例函数y＝????????在第一象限内的图像与△ABC有交点，则k的取值范围是（　C　）
?
（第9题图）
A.1≤k≤15
B.3≤k≤15
C.3≤k≤25
D.15≤k≤25
C
解析：∵△ABC的三个顶点的坐标分别为A（1，3），B（5，3），C（5，5），∴△ABC是直角三角形.当反比例函数y＝????????的图像经过点A时，k的值最小；经过点C时，k的值最大.∴k最小＝1×3＝3，k最大＝5×5＝25，∴3≤k≤25.故选C.
?
11. 下列关于反比例函数 的图象的三个结论：
(1) 经过点 (－1，12) 和点 (10，－1.2)；
(2) 在每一个象限内，y 随 x 的增大而减小；
(3) 双曲线位于二、四象限.
其中正确的是 (填序号).
(1)(3)
12. 在反比例函数　　　(k>0) 的图象上有两点 A (x1，y1)，B (x2，y2)， 且 x1>x2>0，则 y1－y2 0.
＜
13. [2022·辽宁沈阳模拟]已知点P（m＋3，2），Q3,????3都在反比例函数y＝????????的图像上，则k的值为?　－6　?.?
?
解析：∵点P（m＋3，2），Q????,????????都在反比例函数y＝????????的图像上，∴k＝2（m＋3）＝3×????????，∴m＝－6，∴k＝－6.
?
－6
14.[2022·上海浦东新区二模]已知反比例函数y＝3?????????，如果在每一个象限内，y随自变量x的增大而增大，那么a的取值范围为?　a＞3　?.?
?
解析：根据题意，得3－a＜0，解得a＞3.
a＞3
15. [2021·广东广州中考]一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数y＝????????图像上的两个点，若x1＜x2＜0，则y1?　＞　?y2（填“＜”或“＞”或“＝”）.?
?
解析：∵一元二次方程x2－4x＋m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝16－4m＝0，解得m＝4.∵m＞0，∴反比例函数y＝????????的图像分别位于第一、第三象限，在每一个象限内，y随x的增大而减小.∵x1＜x2＜0，∴y1＞y2.
?
＞
方法总结：已知某个函数为反比例函数，只需要根据反比例函数的定义列出方程(组)求解即可.
16.已知反比例函数 ，y 随 x 的增大而增大，求a的值.
解：由题意得a2+a－7=－1，且a－1<0．
解得 a=－3.
17. [2021·河南南阳校级期中]已知反比例函数y＝1?2????????（m为常数）的图像位于第一、第三象限.
?
（1）求m的取值范围.
解：（1）由题意，得1－2m＞0，解得m＜????????.
?
（第13题图）
（2）如图，若该反比例函数的图像经过?ABOD的顶点D，点A，B的坐标分别为（0，3），（－2，0），求出该反比例函数的解析式.
解：（2）∵四边形ABOD为平行四边形，B（－2，0），∴AD∥OB，AD＝OB＝2.
又∵点A的坐标为（0，3），∴点D的坐标为（2，3），∴1－2m＝2×3＝6.
故该反比例函数的解析式为y＝????????.
?
（3）若点E（x1，y1），F（x2，y2）都在该反比例函数的图像上，且x1＞x2＞0，则y1和y2有怎样的大小关系？
解：（3）∵x1＞x2＞0，∴E，F两点都在第一象限.
∵在第一象限内，y随x的增大而减小，∴y1＜y2.
研究正比例函数图像
①图像所在的象限
②图像的增减性
反比例函数性质：
正比例函数
的性质
①当 k>0时，函数图象的两个
分支分别在 内，
当 k<0时，函数图象的两个
分支分别在 内，
②当自变量x逐渐 时，
y的值则随着逐渐 .
当自变量x逐渐 时，
y的值则随着逐渐 .
③图象的两个分支都无限接近于x轴和y轴，但不会与
x轴和y轴相交.
第一、三象限
第二、四象限
增大
减少
增大
增大
②在每个象限内，
当自变量x逐渐 时，
y的值则随着逐渐 .
减小
增大
在每个象限内，
当自变量x逐渐 时，
y的值则随着逐渐 .
增大
增大
对比
课堂小结