大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测
高三数学
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题卡交回。
第一部分（选择题 共40分）
选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）已知集合，则
（A） （B）
（C） （D）
（2）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则
（A） （B）
（C） （D）
（3）下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
（A） （B）
（C） （D）
（4）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
（5）已知向量，若，其中，则
（A） （B）
（C） （D）
（6）在平面直角坐标系中，角以为始边，点在角终边上，则错误的是
（A） （B）
（C） （D）
（7）在中，，且满足该条件的有两个，则的取值范围是
（A） （B）
（C） （D）
（8）已知，，，则
（A） （B）
（C） （D）
（9）设函数的极值点为，且，则可以是
（A） （B）
（C） （D）
（10）已知数列满足（），且．给出下列四个结论：
①；
②；
③，当时，；
④，，当时，．
其中所有正确结论的个数为
（A） （B）
（C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
（11） ．
（12）设函数，则 ；若满足对于定义域内的每一个都有，，则的最小值是 ．
（13）等比数列的前项和为，能说明“若为递增数列，则”为假命题的一组和公比的值为 ， ．
（14）已知等边的边长为，分别是的中点，则 ；若是线段上的动点，且，则的最小值为 ．
（15）已知函数
①当时，的值域为 ；
②若关于的方程恰有个正实数解，则的取值范围是 ．
三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。
（16）（本小题13分）
在中，，．
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若，求的面积．
（17）（本小题13分）
已知等差数列满足，. 数列满足，．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列前项和的最小值为，若,,构成等比数列，求的值．
（18）（本小题14分）
已知函数（，，），且图象的相邻两条对称轴之间的距离为．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知， 若对恒成立，求a的取值范围．
条件①：；
条件②：的最大值为；
条件③：在区间上单调递增．
注：如果选择多组符合要求的条件分别解答，按第一组解答计分．
（19）（本小题15分）
已知函数.
（Ⅰ）若，求的极值；
（Ⅱ）若在区间上的最小值为，求的取值范围；
（Ⅲ）直接写出一个值使在区间上单调递减．
（20）（本小题15分）
设函数，曲线在点处的切线方程为.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求证：当时，；
（Ⅲ）问存在几个点，使曲线在点处的切线平行于轴？（结论不要求证明）
（21）（本小题15分）
设数列，如果，且，，对于，，使成立，则称数列为数列．
（Ⅰ）分别判断数列和数列是否是数列，并说明理由；
（Ⅱ）若数列是数列，且，求的最小值；
（Ⅲ）若数列是数列，且，求的最大值．大兴区2023~2024学年度第一学期期中检测
高三数学参考答案
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D C D B D B C A B C
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）
（11） （12） ；
（13） ，（答案不唯一） （14） ；
（15）；
注：第（12）（15）题第一空3分，第二空2分。
三、解答题（共6小题，共85分）
（16）（共13分）
解：（Ⅰ） 因为，
所以由正弦定理， 2分
得． 1分
因为，
所以．1分
因为，
所以或．2分
（Ⅱ）由余弦定理，得2分
．1分
解得 ．1分
由的面积，得1分
， 1分
．1分
（17）（共13分）
解：（Ⅰ） 由题设知，
2分
解得，．2分
所以．2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，．1分
从而的前项和的最小值．1分
因为,,构成等比数列，
所以．1分
由知，．1分
因为数列满足，，
所以是首项为且公比的等比数列．1分
所以．1分
所以．
解得．1分
（18）（共14分）
解：（Ⅰ）因为的图象的相邻两个对称轴的距离为，
所以周期．2分
因为，
所以．2分
（Ⅱ）选择条件①②．
因为的最大值为，
所以． 2分
即．
由，得．1分
又因为，所以．2分
所以函数的解析式为．1分
选择条件②③．
因为的最大值为，
所以．2分
因为的周期，且在区间上单调递增，
所以，即，得．
又因为，
所以．3分
所以的解析式为．1分
选择条件①③．
因为的周期，且在区间上单调递增，
所以．
即，得．
又因为，
所以．3分
由，得，
所以． 2分
所以的解析式为．1分
因为．
所以．1分
所以．1分
故．
当时，的最小值为．1分
因为，恒成立，
所以的取值范围为．1分
（19）（共15分）
解：（Ⅰ）当时，．
函数的定义域为．
．1分
令，
解得，或．1分
与在区间的情况如下：
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以的极大值为，极小值为．3分
（Ⅱ）由题意知，．1分
令，则，.1分
①当，即时，在区间上恒成立，
所以区间上单调递减，
所以的最小值为，与已知相矛盾，不符合题意．1分
②当，即时，
与在区间上的变化情况如下：
单调递增 极大值 单调递减
因为在区间上的最小值为，
所以，即，解得，
所以. 2分
③当，即时，在区间上恒成立，
所以在上单调递增，最小值为，满足题意.1分
综上，的取值范围是.1分
（Ⅲ）．3分
（20）（共15分）
解：（Ⅰ） 因为，
所以．3分
所以．1分
因为曲线在点处的切线方程为，
所以．1分
所以．1分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．
设，
所以．1分
令，
解得，或．1分
与在区间的情况如下：
单调递减 单调递增
所以最小值为．2分
所以在区间上，，单调递减；
在区间上，，单调递增．1分
所以在区间上的最小值为．1分
所以当时，．1分
（Ⅲ）存在个点满足题意． 2分
（21）（共15分）
解：（Ⅰ） ①是数列．
因为，
，
，1分
所以①是数列．1分
②是数列．
因为，
，
，1分
所以②是数列．1分
（Ⅱ）的最小值为．
首先证明不能为．
假设，
由数列为数列知，
．
所以．
与已知矛盾，
故假设不成立．
所以不能为．3分
因为数列：是数列，1分
所以的最小值为．1分
（Ⅲ） 的最大值为．
（1）以下证明：若为奇数，则必为奇数．
假设数列中存在偶数，设是数列中第一个偶数，
因为数列是数列，
所以，使．
因为均为奇数，所以也为奇数，与为偶数矛盾．
所以若为奇数，则必为奇数．2分
因为为偶数，所以不能为奇数，只能为偶数．
（2）以下证明：若，则（）．
若不然，设（）为第一个满足（）的项，
因为数列是数列，所以，使．
因为（），
所以，与（）矛盾；
所以若，则（）．
而（），所以．1分
同理，若，则（）．
而（）．所以．1分
同理，若，则（）．
而（），所以．
综上：．
（3）当时，
因为数列是数列，
所以
由题意知，，解得．1分
所以的最大值为．
此时即为满足条件的数列．1分
