八年级数学上册试题 第三章《勾股定理》单元测试卷-苏科版（文字版,有答案）

第三章《勾股定理》单元测试卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知一直角三角形，三边的平方和为800cm2，则斜边长为（　　）
A．20cm B．40cm C．400cm D．不能确定
2．在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，则点C到直线AB的距离为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．2.4
3．三个正方形的面积如图所示，则S的值为（　　）
A．3 B．12 C．9 D．4
4．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（　　）
A． B．
C． D．
5．下列各组数中，是勾股数的是（　　）
A．0.3，0.4，0.5 B．10，15，18
C．，， D．6，8，10
6．在△ABC中以下条件不能判定△ABC是直角三角形的个数有（　　）个．
条件①：∠A＝∠C﹣∠B；
条件②：三角形三边a，b，c的比3：4：5；
条件③：∠A：∠B：∠C＝3：4：5；
条件④：a＝5、b＝12、c＝13．
A．1 B．2 C．3 D．0
7．小明向东走80m后，沿方向A又走了60m，再沿方向B走了100m回到原地，则方向A是（　　）
A．南向或北向 B．东向或西向 C．南向 D．北向
8．如图，一块三角形木板，测得AB＝13，BC＝5，AC＝12，则三角形木板ABC的面积为（　　）
A．60 B．30 C．65 D．不能确定
9．如图，“今有竹高两丈五尺，末折抵地，去本五尺，问折者高几何？”意思是：一根竹子，原来高两丈五尺（一丈为十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离原竹子根部五尺远，则折断处离地面的高度为（　　）
A．5尺 B．25尺 C．13尺 D．12尺
10．将一根长24cm的筷子，置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱形水杯中，设筷子露出在杯子外面长为hcm，则h的取值范围是（　　）
A．0≤h≤12 B．12≤h≤13 C．11≤h≤12 D．12≤h≤24
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．已知△ABC中，AB＝k，AC＝k﹣1，BC＝3，当k＝　 　时，∠C＝90°．
12．如图所示的正方形是由四个全等的直角三角形拼成的，直角三角形的两条直角边长分别为2，3，则大正方形的面积为 　 　．
13．在没有直角工具之前，聪明的古埃及人用如图的方法画直角：把一根长绳打上等距离的13个结，然后以3个结间距、4个结间距、5个结间距的长度为边长，用木桩钉成一个三角形，其中5这条边所对的角便是直角．依据是 　 　．
14．在△ABC中，AB＝15，AC＝20，BC边上的高线为12，则△ABC的面积为 　 　．
15．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一个关于a，b，c的方程，显然这个方程有无数解，满足该方程的正整数（a，b，c）通常叫做勾股数．如果三角形最长边c＝2n2+2n+1，其中一短边a＝2n+1，另一短边为b，如果a，b，c是勾股数，则b＝　 　（用含n的代数式表示，其中n为正整数）
16．如图，圆柱形玻璃怀高为10cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底3cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为 　 　cm．（杯壁厚度不计）
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）已知：如图，在Rt△ABC中，两直角边AC＝6，BC＝8．
（1）求AB的长；
（2）求斜边上的高CD的长．
18．（6分）如图所示，小明制作一个模具，AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，AB＝13cm，BC＝12cm，求这个模具的面积．
19．（8分）如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a和b，斜边长为c．请你开动脑筋，用它们拼出正方形图案，要求拼图时直角三角形纸片不能互相重叠．
（1）请你画出拼成的这个图形的示意图；
（2）利用（1）中画出的图形证明勾股定理．
20．（8分）绿地广场有一块三角形空地将进行绿化，如图，在△ABC中，AB＝AC，E是AC上的一点，CE＝5，BC＝13，BE＝12．
（1）判断△ABE的形状，并说明理由；
（2）求线段AB的长．
21．（8分）如图，一架云梯AB长25m，斜靠在一面墙上，梯子靠墙的一端A距地面24m．
（1）这个梯子底端B离墙有多少米？
（2）如果梯子的顶端下滑的距离AD＝4m，求梯子的底部B在水平方向滑动的距离BE的长．
22．（8分）在甲村至乙村的公路旁有一块山地需要开发，现有一C处需要爆破，已知点C与公路上的停靠点A的距离为800米，与公路上另一停靠点B的距离为600米，且CA⊥CB，如图，为了安全起见，爆破点C周围半径450米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路AB段是否有危险需要暂时封锁？请通过计算进行说明．
23．（8分）如图，（1）一只蚂蚁要从长方体的一个顶点B沿表面爬行到顶点D，怎样爬行路线最短？为什么？
（2）若长方体的长为3、宽为1、高为2，蚂蚁要沿长方体的表面，从顶点B1走到顶点D，试画出不重复情况的展开示意图，并通过计算比较求出最短距离．
答案
一．选择题
A．D．C．D．D．A．A．B．D．C．
二．填空题
11．5．
12．13．
13．如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
14．42或150．
15．2n2+2n
16．15．
三．解答题
17．解：（1）由勾股定理得：AB10；
（2）∵Rt△ABC中，CD为斜边AB上的高，
∴△ABC的面积AB×CDAC×BC，
∴AB×CD＝AC×BC，
∴CD．
18．解：连接AC，
在△ADC中，∵AD＝4cm，CD＝3cm，∠ADC＝90°，
∴AC2＝AD2+CD2，
∴AC，
∴S△ACD，
在△ABC中，∵AC＝5cm，BC＝12cm，AB＝13cm，52+122＝132，
即：AC2+BC2＝AB2，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
∴S△ABC，
∴S四边形ABCD＝S△ABC﹣S△ACD＝30﹣6＝24（cm2），
答：这个模具的面积是24cm2．
19．解：（1）（答案不唯一）如图；
（2）证明：∵大正方形的面积可表示为（a+b）2，
大正方形的面积也可表示为：c2+4ab，
∴（a+b）2＝c2+4ab，
即a2+b2+2ab＝c2+2ab，
∴a2+b2＝c2，
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
20．解：（1）△ABE是直角三角形，理由如下：
∵BE＝12，CE＝5，BC＝13，
∴BE2+CE2＝BC2，
∴△BEC是直角三角形，且∠BEC＝90°，
∴∠AEB＝180°﹣∠BEC＝90°，
∴△ABE是直角三角形；
（2）设AE＝x，
∵AB＝AC，
∴AB＝AC＝x+5，
在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，
∴x2+122＝（x+5）2，
∴x＝11.9，
∴AB＝x+5＝16.9．
21．（1）由题意知AB＝DE＝25米，AC＝24米，AD＝4米，
在直角△ABC中，∠C＝90°，
∴BC2+AC2＝AB2，
∴米，
∴这个梯子底端离墙有7米；
（2）已知AD＝4米，则CD＝24﹣4＝20（米），
在直角△CDE中，∠C＝90°，
∴BD2+CE2＝DE2，
∴（米），
BE＝15﹣7＝8（米），
答：梯子的底部在水平方向滑动了8m．
22．解：公路AB不需要暂时封锁．
理由如下：如图，过C作CD⊥AB于D．
∵CA⊥CB，
∴∠ACB＝90°，
因为BC＝800米，AC＝600米，
所以，根据勾股定理有AB1000（米）．
因为S△ABCAB CDBC AC
所以CD480（米）．
由于400米＜480米，故没有危险，
因此AB段公路不需要暂时封锁．
23．解：（1）连接BD，蚂蚁沿着BD爬行路线最短；
理由：两点之间线段最短；
（2）因为平面展开图不唯一，故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．
①展开前面右面由勾股定理得B1D2＝（2+1）2+32＝18；
②展开前面上面由勾股定理得B1D2＝（2+3）2+12＝26；
③展开左面上面由勾股定理得B1D2＝（3+1）2+22＝20．
所以最短路径的长为B1D3．