苏科版八年级数学上册试题 第三章《勾股定理》单元检测卷（文字版,有答案）

第三章《勾股定理》单元检测卷
一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）
1．已知△ABC的三边长分别为a，b，c，由下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A＝2∠B＝3∠C B．∠A＝∠C﹣∠B
C．a：b：c＝3：4：5 D．a2＝（b+c）（b﹣c）
2．如图，△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，AB＝5，AC＝3，则BD的长是（　　）
A．2 B．3.5 C．3 D．2.5
3．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（　　）
A．8 B．12 C．18 D．20
4．如图，快艇从A地出发，要到距离A地10海里的C地去，先沿北偏东70°方向走了8海里，到达B地，然后再从B地走了6海里到达C地，此时快艇位于B地的（　　）
A．北偏东20°方向上 B．北偏西20°方向上
C．北偏西30°方向上 D．北偏西40°方向上
5．如图所示是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案，现在有五种正方形纸片，面积分别是2，3，4，5，6，选取其中三块（可重复选取），按如图所示方式组成图案，使所围成的三角形是直角三角形，则选取的三块纸片的面积不可以是（　　）
A．3，4，5 B．2，2，4 C．3，3，6 D．2，4，6
6．如图，在4×4的正方形网格中，每一格长度为1，小正方形的顶点称为格点，A，B，C，D，E，F都在格点上，以AB，CD，EF为边能构成一个直角三角形，则点F的位置有（　　）
A．1处 B．2处 C．3处 D．4处
7．《九章算术》提供了许多整勾股数，如（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）等，并把一组勾股数中最大的数称为“弦数”．后人在此基础上进一步研究，得到如下规律：若m是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数；若m是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后把这个平方数分别减1，加1得到两个整数，那么m与这两个整数构成组勾股数．由上述方法得到的勾股数称为“由m生成的勾股数”．根据以上规律，“由8生成的勾股数”的“弦数”为（　　）
A．16 B．17 C．25 D．64
8．如图，有一个圆柱，底面圆的直径ABcm，高BC＝12cm，P为BC的中点，一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的表面爬到P点的最短距离为（　　）
A．9cm B．10cm C．11cm D．12cm
9．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几？”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”根据题意，可得秋千的绳索长为（　　）
A．10尺 B．14.5尺 C．13尺 D．17尺
10．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNPQ的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S3＝45，则S2的值是（　　）
A．12 B．15 C．20 D．25
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
11．如图所示，是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形面积为49，小正方形面积为4，若用x，y表示直角三角形的两直角边（x＞y），则xy＝　 　．
12．如图，已知四边形A，B，C，D，E都是正方形，图中所有的三角形都是直角三角形．若正方形A，B，D的面积依次为4，6，15，则正方形C的面积为 　 　．
13．在直角三角形ABC中，若AB＝8，AC﹣BC＝2，则三角形ABC的面积为 　 　．
14．如图，秋千静止时，踏板离地的垂直高度BE＝1m，将它往前推6m至C处时，水平距离CD＝6m，踏板离地的垂直高度CF＝4m，它的绳索始终拉直，则AC的长是m　 　．
15．如图所示的网格是正方形网格，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C，D都在格点上，则∠DAB+∠CAB的度数是 　 　度．
16．如图，台阶阶梯每一层高20cm，宽40cm，长50cm．一只蚂蚁从A点爬到B点，最短路程是 　 　．
三．解答题（共7小题，满分52分）
17．（6分）如图，已知△ABC中，AB＝AC，BC＝5，D为AB上一点，CD＝4，BD＝3．
（1）求证：∠BDC＝90°；
（2）求AC的长．
18．（6分）《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kǔn，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的俯视示意图），今推开双门，门框上点C和点D到门槛AB的距离DE为1尺（1尺＝10寸），双门间的缝隙CD为2寸，求门宽AB的长是多少寸？
19．（8分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts．
（1）求BC边的长；
（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值．
20．（8分）在△ABC中，
（1）如图1，AC＝15，AD＝9，CD＝12，BC＝20，求△ABC的面积；
（2）如图2，AC＝13，BC＝20，AB＝11，求△ABC的面积．
21．（8分）如图，学校操场边有一块四边形空地ABCD，其中AB⊥AC，AB＝8m，BC＝17m，CD＝9m，AD＝12m．为了美化校园环境，创建绿色校园，学校计划将这块四边形空地进行绿化整理．
（1）求需要绿化的空地ABCD的面积；
（2）为方便师生出入，设计了过点A的小路AE，且AE⊥BC于点E，试求小路AE的长．
22．（8分）勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图拼图：
两个全等的直角三角板ABC和直角三角板DEF，顶点F在BC边上，顶点C、D重合，连接AE、EB．设AB、DE交于点G．∠ACB＝∠DFE＝90°，BC＝EF＝a，AC＝DF＝b（a＞b），AB＝DE＝c．请你回答以下问题：
（1）填空：∠AGE＝　 　°，S四边形ADBE＝　 　c2．
（2）请用两种方法计算四边形ACBE的面积，并以此为基础证明勾股定理．
23．（8分）如图是5×6的网格．
（1）如图（1），A，B，C是网格中的三个格点（即小正方形的顶点），判断AC与BC的数量和位置关系，直接写出结论，不需要说明理由；
（2）如图（2），求∠1+∠2的度数（要求：画出示意图并给出推导过程）．
答案
一．选择题
A．D．D．B．A．D．B．B．B．B．
二．填空题
11．22.5．
12．5．
13．15或60．
14．7.5．
15．45．
16．130cm．
三．解答题
17．（1）证明：∵BC＝5，CD＝4，BD＝3，
∴42+32＝52，
∴∠BDC＝90°；
（2）解：在Rt△ADC中，∠ADC＝180°﹣90°＝90°，
依题意有AC2＝（AB﹣3）2+CD2，即AC2＝（AC﹣3）2+42，
解得AC．
故AC的长为．
18．解：取AB的中点O，过D作DE⊥AB于E，
由题意得：OA＝OB＝AD＝BC，
设OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，
则AB＝2r（寸），DE＝10寸，OECD＝1寸，
∴AE＝（r﹣1）寸，
在Rt△ADE中，
AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，
解得：r＝50.5，
∴2r＝101（寸），
∴AB＝101寸，
答：门宽AB的长是101寸．
19．解：（1）在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC4（cm）；
（2）由题意得：BP＝tcm，分两种情况：
①当∠APB＝90°时，如图1所示：
点P与点C重合，
∴BP＝BC＝4cm，
∴t＝4；
②当∠BAP＝90°时，如图2所示：
则CP＝（t﹣4）cm，∠ACP＝90°，
在Rt△ACP中，由勾股定理得：AP2＝AC2+CP2，
在Rt△ABP中，由勾股定理得：AP2＝BP2﹣AB2，
∴AC2+CP2＝BP2﹣AB2，
即32+（t﹣4）2＝t2﹣52，
解得：t；
综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4s或s．
20．解：（1）∵CD2+AD2＝144+81＝225，AC2＝225，
∴CD2+AD2＝CA2，
∴△△ADC是直角三角形，
∴∠ADC＝90°，
∴CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∴BD16，
∴AB＝AD+DB＝16+9＝25，
∴△ABC的面积25×12＝150；
（2）过C作CD⊥BA的延长线于点D，
∵CD⊥AB，
∴∠CDB＝90°，
设AD为x，DB＝（x+11），由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2，CD2＝BC2﹣DB2，
即AC2﹣AD2＝BC2﹣DB2，
则132﹣x2＝202﹣（x+11）2，
解得：x＝5，
∴CD12，
∴△ABC的面积 AB CD11×12＝66．
21．解：（1）∵AB⊥AC，
∴∠BAC＝90°，
∴AC15（m），
∵CD＝9m，AD＝12m，
∴AD2+CD2＝122+92＝225＝AC2，
∴△ACD是直角三角形，∠D＝90°，
∴需要绿化的空地ABCD的面积＝S△ABC+S△ACDAB×ACAD×CD8×1512×9＝114（m2）；
（2）∵∠BAC＝90°，AE⊥BC，
∴S△ABCBC×AEAB AC，
∴17×AE＝8×15，
解得：AE（m），
即小路AE的长为m．
22．解：（1）∵△ABC≌△DEF，
∴∠EDF＝∠CAB，
∵∠EDF+∠CAE＝90°，
∴∠ACE+∠CAB＝90°，
∴∠AGC＝90°，
∴∠AGE＝180°﹣∠AGC＝90°；
∴DE⊥AB，
∴S四边形ADBE＝S△ACB+S△ABEAB DGAB EGAB （DG+EG）AB DEc2，
故答案为：90，；
（2）∵四边形ACBE的面积＝S△ACB+S△ABEAB DGAB EGAB （DG+EG）AB DEc2，
四边形ACBE的面积＝S四边形ACFE+S△EFB（AC+EF） CFBF EF（b+a）b（a﹣b） ab2aba2aba2b2，
∴c2a2b2，
即a2+b2＝c2．
23．解：（1）AC＝BC且AC⊥BC．理由：
如图（1），∵CD＝BE，∠ADC＝∠CEB＝90°，AD＝CE，
∴△ACD≌△CBE（SAS），
∴AC＝CB，∠ACD＝∠CBE，
又∵∠CBE+∠BCE＝90°，
∴∠ACD+∠BCE＝90°，
∴∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴AC⊥BC；
（2）如图（2），作△ABC，△DEF，
∵BC＝FE，∠ABC＝∠DFE，AB＝DF，
∴△ABC △DFE（SAS），
∴∠ACB＝∠DEF＝∠2．
由图，结合勾股定理，得
，，AD＝5，
∴AC2+DC2＝5+20＝25＝AD2，
∴△ACD是直角三角形，且∠ACD＝90°．
∵∠2+∠ACD+∠1＝180°，
∴∠1+∠2＝180°﹣∠ACD＝180°﹣90°＝90°．