云南省大理市下关镇第一高级中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 云南省大理市下关镇第一高级中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 912.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-08 23:57:27 | ||
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文档简介
下关镇第一高级中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知双曲线的左 右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知点，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.甲 乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
10.已知点是双曲线的左 右焦点，是双曲线右支上的一点，且，则（ ）
A.
B.的面积为
C.双曲线的离心率为
D.直线是双曲线的一条渐近线
11.已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A.的图象关于点中心对称
B.的图象关于直线对称
C.是奇函数
D.不是周期函数
12.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（ ）
A.该正方体的外接球体积为
B.底面半径为，高为的圆椎体能够被整体放入该正方体
C.三棱锥的体积为定值
D.当与重合时，异面直线与所成的角为
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量的夹角为且满足，则__________.
14.已知抛物线上一点到焦点的距离为12，到轴的距离为9，则__________.
15.有一个带盖的直三棱柱形容器，其高为，底部是一个直角三角形，两条直角边的长分别为3和4，若不考虑容器壁的厚度，在该容器内放入一个球，则球的最大表面积为__________.
16.已知为椭圆的右焦点，点，点为椭圆上任意一点，且的最小值为，则__________.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知直线经过点，直线截圆的最长弦长为2，圆心为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.当时，求的值域.
19.（本小题满分12分）
近年来绿色发展理念逐渐深入人心，新能源汽车发展受到各国重视，2023年我国新能源汽车产销再创新高.我国某新能源汽车生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，该企业质检人员从所生产的新能源汽车中随机抽取了100辆，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图的频率分布直方图.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的新能源汽车的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）该企业规定：质量指标值小于70的新能源汽车为二等品，质量指标值不小于70的新能源汽车为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100辆新能源汽车中抽出5辆，并从中再随机抽取2辆作进一步的质量分析，试求这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，在长方体中，点分别在棱上，且.
（1）证明：四点共面；
（2）若，求二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知的内角的对应边分别为.
（1）求角；
（2）设为边上一点，且，求的面积.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当为椭圆的右顶点时，直线与椭圆相交于两点（异于点），且.试判断直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
下关镇第一高级中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B A B A D C
【解析】
1.函数的值域为，故，又，所以，故选C.
2.由已知得对应点，位于第一象限，故选.
3.曲线是椭圆且“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.
4.，即，两边平方得，所以，故选A.
5.，所以，故选B.
6.到渐近线的距离为，因为渐近线垂直平分线段，所以，又因为，据双曲线的定义知：，即，所以，故选A.
7.令，则在上仅有2个零点，所以，解得，故选D.
8.根据题意，圆，其圆心为，半径.的中点为原点，点的轨迹为以为直径的圆，若圆上存在点，使得，则两圆有公共点，又，即有且，解得，即或，即实数的最大值是6，故选C.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD ABC BC
【解析】
9.“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件，则事件是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件，则事件是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误，故选BCD.
10.由双曲线的定义可得，故A正确；而，故的面积为，故B错误；由勾股定理得，即，所以，故C正确；因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为，故D正确，故选ACD.
11.的图象关于点中心对称等价于，，故A正确；的图象关于直线对称等价于，，故B正确；又因为，即是奇函数，故正确；，即周期是，故D错，故选ABC.
12.记该正方体的外接球半径为，则，其外接球体积为，故错；顶点放在正方体上表面中心，底面圆为正方体下表面内切圆时可以放得下底面半径为，高为的圆椎体，故B正确；如图1，
由正方体性质知是矩形，，
连接交于点，由正方体性质知平面，
所以，是点到平面的距离，且，
，为定值，故C正确；
如图2，当与重合时，与上底面中心重合，
连接与交于点，连接，异面直线与所成的角，
即为与所成的角，在三角形中，，由余弦定理得，故错误，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 3 6
【解析】
13.由题意可得.
14.设焦点为，由抛物线的定义知，即，解得.
15.记该容器直角三角形底的内切圆半径为，则.因为，故该容器内放入的最大球半径为，最大球表面积为.
16.椭圆的标准方程为，焦点在轴上，，设椭圆的左焦点为，则，那么，解得.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由已知得圆心为，半径为1，
所以圆的标准方程为.
（2）直线经过点，与圆相切，
当的斜率不存在时，方程为，与圆相切，满足题意；
当的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
故直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
18.（本小题满分12分）
解：（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）的图象先向左平移个单位得到，
再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
当时，，
所以，故，
所以的值域为.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由，得.
（2）平均数为，
设中位数为，则，得.
故可以估计该企业所生产新能源汽车的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
（3）如卷图，100俩样本中一等品 二等品各有60辆 40辆，
抽取的5辆车中一等品有3辆，记为；二等品2辆，记为.
则5选2的可能结果有：，
，共10种，
其中恰有1辆为一等品的可能结果有6种.
故这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.
20.（本小题满分12分）
（1）证明：在棱上取点，使得，连接，
，如图，
则在长方体中，易得，
，即四边形为平行四边形，
因此，四点共面.
（此问用向量法证明也请阅卷老师酌情给分）
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨取，则，则，
，
，
，
设平面的法向量为，
由得取，则，
设平面的法向量为，
由得取，则，
，
设二面角的平面角为，则.
因此，二面角的正弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理得：，
即，
在中，，即，
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，即，
整理得：，解得或（舍去），
，
解得，
在Rt中，，所以，
即是的中点，所以的面积
.
22.（本小题满分12分）
解：（1）由已知得：，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，不妨设，
由消去得，
所以，即得.
，
，
.
又，所以，
所以，
解得，
直线的方程为，则直线恒过点.
数学试卷
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷第1页至第2页，第II卷第3页至第4页.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名 准考证号 考场号 座位号在答题卡上填写清楚.
2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效.
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.若，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
3.“”是“方程表示椭圆”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分又不必要条件
4.已知，则（ ）
A. B. C. D.
5.已知，则的大小关系是（ ）
A. B.
C. D.
6.已知双曲线的左 右焦点分别为为双曲线上第二象限内一点，若渐近线垂直平分线段，则双曲线的离心率为（ ）
A. B. C. D.
7.已知函数，若在上有且仅有2个零点，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8.已知点，若圆上存在点，使得，则实数的最大值是（ ）
A.4 B.5 C.6 D.7
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.甲 乙两人下棋，和棋的概率为，乙获胜的概率为，则下列说法错误的是（ ）
A.甲获胜的概率是 B.甲不输的概率是
C.乙输的概率是 D.乙不输的概率是
10.已知点是双曲线的左 右焦点，是双曲线右支上的一点，且，则（ ）
A.
B.的面积为
C.双曲线的离心率为
D.直线是双曲线的一条渐近线
11.已知函数，下列结论中正确的是（ ）
A.的图象关于点中心对称
B.的图象关于直线对称
C.是奇函数
D.不是周期函数
12.如图，正方体的棱长为，线段上有两个动点，且，则下列结论正确的是（ ）
A.该正方体的外接球体积为
B.底面半径为，高为的圆椎体能够被整体放入该正方体
C.三棱锥的体积为定值
D.当与重合时，异面直线与所成的角为
注意事项：
第II卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效.
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知向量的夹角为且满足，则__________.
14.已知抛物线上一点到焦点的距离为12，到轴的距离为9，则__________.
15.有一个带盖的直三棱柱形容器，其高为，底部是一个直角三角形，两条直角边的长分别为3和4，若不考虑容器壁的厚度，在该容器内放入一个球，则球的最大表面积为__________.
16.已知为椭圆的右焦点，点，点为椭圆上任意一点，且的最小值为，则__________.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知直线经过点，直线截圆的最长弦长为2，圆心为.
（1）求圆的标准方程；
（2）若直线与圆相切，求直线的方程.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求函数的单调递减区间；
（2）将的图象先向左平移个单位，再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到的图象.当时，求的值域.
19.（本小题满分12分）
近年来绿色发展理念逐渐深入人心，新能源汽车发展受到各国重视，2023年我国新能源汽车产销再创新高.我国某新能源汽车生产企业在加大生产的同时，狠抓质量管理，该企业质检人员从所生产的新能源汽车中随机抽取了100辆，将其质量指标值分成以下六组：，得到如图的频率分布直方图.
（1）求出直方图中的值；
（2）利用样本估计总体的思想，估计该企业所生产的新能源汽车的质量指标值的平均数和中位数（同一组中的数据用该组区间中点值作代表，中位数精确到0.01）；
（3）该企业规定：质量指标值小于70的新能源汽车为二等品，质量指标值不小于70的新能源汽车为一等品.利用分层抽样的方法从该企业所抽取的100辆新能源汽车中抽出5辆，并从中再随机抽取2辆作进一步的质量分析，试求这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.
20.（本小题满分12分）
如图，在长方体中，点分别在棱上，且.
（1）证明：四点共面；
（2）若，求二面角的正弦值.
21.（本小题满分12分）
已知的内角的对应边分别为.
（1）求角；
（2）设为边上一点，且，求的面积.
22.（本小题满分12分）
已知椭圆的短轴长为2，点在椭圆上，与两焦点围成的三角形面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当为椭圆的右顶点时，直线与椭圆相交于两点（异于点），且.试判断直线是否过定点？如果过定点，求出该定点的坐标；如果不过定点，请说明理由.
下关镇第一高级中学教育集团2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一 单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B A B A D C
【解析】
1.函数的值域为，故，又，所以，故选C.
2.由已知得对应点，位于第一象限，故选.
3.曲线是椭圆且“”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件，故选B.
4.，即，两边平方得，所以，故选A.
5.，所以，故选B.
6.到渐近线的距离为，因为渐近线垂直平分线段，所以，又因为，据双曲线的定义知：，即，所以，故选A.
7.令，则在上仅有2个零点，所以，解得，故选D.
8.根据题意，圆，其圆心为，半径.的中点为原点，点的轨迹为以为直径的圆，若圆上存在点，使得，则两圆有公共点，又，即有且，解得，即或，即实数的最大值是6，故选C.
二 多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 BCD ACD ABC BC
【解析】
9.“甲获胜”是“和棋或乙获胜”的对立事件，所以“甲获胜”的概率是，故A正确；设甲不输为事件，则事件是“甲获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故B错误；“乙输”的概率即“甲获胜”的概率，为，故C错误；设乙不输为事件，则事件是“乙获胜”和“和棋”这两个互斥事件的并事件，所以，故D错误，故选BCD.
10.由双曲线的定义可得，故A正确；而，故的面积为，故B错误；由勾股定理得，即，所以，故C正确；因为，所以，即，所以双曲线的渐近线方程为，故D正确，故选ACD.
11.的图象关于点中心对称等价于，，故A正确；的图象关于直线对称等价于，，故B正确；又因为，即是奇函数，故正确；，即周期是，故D错，故选ABC.
12.记该正方体的外接球半径为，则，其外接球体积为，故错；顶点放在正方体上表面中心，底面圆为正方体下表面内切圆时可以放得下底面半径为，高为的圆椎体，故B正确；如图1，
由正方体性质知是矩形，，
连接交于点，由正方体性质知平面，
所以，是点到平面的距离，且，
，为定值，故C正确；
如图2，当与重合时，与上底面中心重合，
连接与交于点，连接，异面直线与所成的角，
即为与所成的角，在三角形中，，由余弦定理得，故错误，故选.
第II卷（非选择题，共90分）
三 填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 3 6
【解析】
13.由题意可得.
14.设焦点为，由抛物线的定义知，即，解得.
15.记该容器直角三角形底的内切圆半径为，则.因为，故该容器内放入的最大球半径为，最大球表面积为.
16.椭圆的标准方程为，焦点在轴上，，设椭圆的左焦点为，则，那么，解得.
四 解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
解：（1）由已知得圆心为，半径为1，
所以圆的标准方程为.
（2）直线经过点，与圆相切，
当的斜率不存在时，方程为，与圆相切，满足题意；
当的斜率存在时，设方程为，即，
则圆心到直线的距离，解得，
故直线的方程为.
综上，直线的方程为或.
18.（本小题满分12分）
解：（1）
，
令，解得，
所以函数的单调递减区间为.
（2）的图象先向左平移个单位得到，
再将横坐标缩短为原来的（纵坐标不变），得到，
当时，，
所以，故，
所以的值域为.
19.（本小题满分12分）
解：（1）由，得.
（2）平均数为，
设中位数为，则，得.
故可以估计该企业所生产新能源汽车的质量指标值的平均数为71，中位数为73.33.
（3）如卷图，100俩样本中一等品 二等品各有60辆 40辆，
抽取的5辆车中一等品有3辆，记为；二等品2辆，记为.
则5选2的可能结果有：，
，共10种，
其中恰有1辆为一等品的可能结果有6种.
故这2辆新能源汽车中恰好有1辆为一等品的概率.
20.（本小题满分12分）
（1）证明：在棱上取点，使得，连接，
，如图，
则在长方体中，易得，
，即四边形为平行四边形，
因此，四点共面.
（此问用向量法证明也请阅卷老师酌情给分）
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，
不妨取，则，则，
，
，
，
设平面的法向量为，
由得取，则，
设平面的法向量为，
由得取，则，
，
设二面角的平面角为，则.
因此，二面角的正弦值为.
21.（本小题满分12分）
解：（1）由正弦定理得：，
即，
在中，，即，
因为，所以.
（2）由余弦定理可得，即，
整理得：，解得或（舍去），
，
解得，
在Rt中，，所以，
即是的中点，所以的面积
.
22.（本小题满分12分）
解：（1）由已知得：，解得，
故椭圆的标准方程为.
（2）由题意知，直线的斜率不为0，不妨设，
由消去得，
所以，即得.
，
，
.
又，所以，
所以，
解得，
直线的方程为，则直线恒过点.
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