2.4 线段的垂直平分线 课件(共35张PPT)2023-2024学年湘教版数学八年级上册

(共35张PPT)
2.4 线段的垂直平分线
第2章 三角形
第1课时 线段垂直平分线的性质和判定
湘教版数学八年级上册
某区政府为了方便居民的生活，计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心，试问该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离相等？
A
B
C
观察： 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称，如果将线段 AA′ 沿直线 l 折叠，那么点 A 与点 A′ 重合，AD = A′D，∠1 =∠2 = 90°，即直线 l 既平分线段 AA′，又垂直于线段 AA′.
●
●
l
A
A′
D
2
1
(A)
线段垂直平分线的性质
我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线.
由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴.
知识要点
如图，直线 l 垂直平分线段 AB，P1，P2，P3，…是 l 上的点，请你量一量线段 P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B 的长，你能发现什么？请猜想点 P1，P2，P3，… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究发现
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
将△ABC 沿直线 l 对折，由于 l 是线段 AB 的垂直平分线，因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合，于是 PA = PB.
(A)
(B)
B
A
P
l
活动探究
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
线段垂直平分线的性质定理：
总结归纳
例1 如图，在 △ABC 中，AB＝AC＝20 cm，DE 垂直平分 AB，垂足为 E，交 AC 于 D，若△DBC 的周长为 35 cm，则 BC 的长为 (　　)
A．5 cm
B．10 cm
C．15 cm
D．17.5 cm
典例精析
C
A
B
C
D
E
解析：∵ DE 垂直平分 AB，∴ AD＝BD.
又∵△DBC 的周长为 BC＋BD＋DC ＝ 35 cm，
∴ BC＋AD＋DC＝ 35 cm.
∵ AC＝AD＋DC＝20 cm，
∴ BC＝35－20＝15 (cm). 故选 C.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的转化，从而求出未知线段的长．
A
B
C
D
E
练一练：1. 如图①所示，直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线，点 P 为直线 CD 上的一点，且 PA = 5，则线段 PB 的长为 ( )
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2. 如图②所示，在△ABC 中，BC = 8 cm，边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D，交边 AC 于点 E，△BCE 的周长等于 18 cm，则 AC 的长是 .
B
10 cm
P
A
B
C
D
图①
A
B
C
D
E
图②
问题引入
想一想：如果 PA = PB，那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢？
记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论
线段垂直平分线的判定
(1) 当点 P 在线段 AB 上时，
∵ PA = PB，
∴ 点 P 为线段 AB 的中点.
∴ 此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上.
(2) 当点 P 在线段 AB 外时，如右图所示.
∵ PA = PB，
∴△PAB 是等腰三角形.
过顶点 P 作 PC ⊥ AB，垂足为点 C，
则底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线.
即 PC⊥AB，且 AC = BC.
∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线，
此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上.
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
线段垂直平分线的性质定理的逆定理：
应用格式：
∵ PA = PB，
∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上．
P
A
B
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
总结归纳
例2 已知：如图，在△ABC 中，AB，BC 的垂直平分线相交于点 O，连接 OA，OB，OC.
求证：点 O 在 AC 的垂直平分线上.
证明：∵ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴ OA = OB.
同理 OB = OC.
∴ OA = OC.
∴ 点 O 在 AC 的垂直平分线上.
结论：三角形三边垂直平分线交于一点，这一点到三角形三个顶点的距离相等.
现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置，使它到三个小区的距离相等吗？
1. 如图所示，AC = AD，BC = BD，则下列说法正确的
是（　　）
A. AB 垂直平分 CD
B. CD 垂直平分 AB
C. AB 与 CD 互相垂直平分
D. CD 平分∠ACB
A
B
C
D
A
2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P，满足 PA = PB = PC，则点 P 是△ABC 的 ( )
A. 三条角平分线的交点 B. 三条中线的交点
C. 三条高的交点 D. 三边垂直平分线的交点
D
3. 已知线段 AB，在平面内找到三个点 D、E、F，使 DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，这样的点的组合共有
　　　种.
无数
4. 下列说法：
① 若点 P、E 是线段 AB 的垂直平分线上两点，则 EA = EB，PA = PB；
② 若 PA = PB，EA = EB，则直线 PE 垂直平分线段 AB；
③ 若 PA = PB，则点 P 必是线段 AB 的垂直平分线上的点；
④ 若 EA = EB，则经过点 E 的直线垂直平分线段 AB．
其中正确的有 （填序号）.
①②③
5. 如图，△ABC 中，AB = AC，AB 的垂直平分线交 AC于 E ，连接 BE，AB + BC = 16 cm，则 △BCE 的周长是 cm.
A
B
C
D
E
16
6. 已知：如图，点 C，D 是线段 AB 外的两点，且 AC = BC，AD = BD，AB 与 CD 相交于点 O.
求证：AO = BO.
证明： ∵ AC = BC，AD = BD，
∴
点 C 和点 D 在线段 AB 的垂直平分线上.
∴ CD 垂直平分线段 AB.
又 ∵ AB 与 CD 相交于点 O，
∴
AO = BO.
线段的垂直平分线的性质和判定
性质
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上
内容
判定
内容
作用
线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
作用
见垂直平分线，得线段相等
判断一个点是否在线段的垂直平分线上
2.4 线段的垂直平分线
第2章 三角形
第2课时 作线段的垂直平分线
湘教版数学八年级上册
如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
问题：怎样作出线段的垂直平分线？
做一做：在半透明纸上画一条线段 AB，折叠使 A 与 B 重合，得到的折痕 l 所在的直线就是线段 AB 的垂直平分线.
A
B
A(B)
A
B
l
O
l
C
O
想一想：
这样折纸怎么就是垂直平分线呢？
线段垂直平分线的尺规作图
作法：
① 分别以点 A，B 为圆心， 以大于 AB 的长为半径画弧， 两弧相交于点 C 和点 D；
② 过点 C，D 作直线 CD，则直线 CD 为所求.
为什么？
·
B
C
D
E
特别说明：这个作法实际上就是线段垂直平分线的尺规作图，我们也可以用这种方法确定线段的中点.
·
A
例1 如图，已知点 A、点 B 以及直线 l. 用尺规作图的方法在直线 l 上求作一点 P，使 PA＝PB (保留作图痕迹，不要求写出作法).
典例精析
解：如图所示.
M
N
A
B
l
P
引例 如图，A，B 是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站，使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？
A
B
分析：增设的公共汽车站要满足到两个小区的路程一样长，应在线段 AB 的垂直平分线上，又要在公路边上，所以 AB 的垂直平分线与公路的交点便是.
公共汽车站
如何过一点 P 作已知直线 l 的垂线呢？
由于两点确定一条直线， 因此我们可以通过在已知直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定已知直线的垂线.
问题引导
过一点作已知直线的垂线
① 在直线 l 上点 P 的两旁分别截取
线段 PA，PB，使 PA = PB；
(1) 当点 P 在直线 l 上时.
② 分别以 A，B 为圆心，以大于 AB
的长为半径画弧，两弧交于点 C；
③ 过点 C，P 作直线 CP.
则直线 CP 为所求作的直线.
A
B
C
l
这一步的目的是什么？
·
P
(2) 当点 P 在直线 l 外时.
① 以点 P 为圆心，以大于点 P 到直线 l 的距离的线段长为半径画弧，交直线 l 于点 A，B；
② 分别以 A，B 为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C；
③ 过点 C，P 作直线 CP.
则直线 CP 为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
问题：第一步的目的是什么？画弧的半径为什么要大于 P 到 l 的距离？
1. 如图，在△ABC 中，分别以点 A，B 为圆心，大于
AB 长为半径画弧，两弧分别交于点 D，E，则直
线 DE 是（　　）
A.∠A 的平分线
B. AC 边的中线
C. AB 边上的高线
D. AB 边的垂直平分线
D
A
B
C
2. 如图，已知线段 AB 的垂直平分线 CP 交 AB 于点 C，且 AP = 2PC，现欲在线段 AB 上求作两点 D，E，使其满足 AD = DC = CE = EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠APC、∠BPC 的平分线，分别交 AB 于
D、E，则 D、E 即为所求；
乙：分别作 AC、BC 的垂直平分线，分别交 AB 于
D、E，则 D、E 两点即为所求．
下列说法正确的是（　　）
A．甲、乙都正确
B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误
D．甲错误，乙正确
D
P
A
B
C
3. 如图，作出△ABC 的 BC 边上的高.
A
B
C
4. 如图，有 A，B，C 三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
B
C
学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线的交点处.
A
方法与步骤
线段垂直平分线的作法
点在直线上
过一点作已知直线的垂线
点在直线外
应用作图
谢谢观看
湘教版数学八年级上册