2023-2024学年第一学期人教版九年级数学第24章《圆》单元测试卷 （含答案）

2023-2024学年第一学期人教版九年级数学第24章《圆》单元测试卷
一、选择题(每小题3分，共30分)
1．可以作圆，且只可以作一个圆的条件是（　　）
A．已知圆心 B．已知半径
C．过三个已知点 D．过不在一直线上的三点
2．用直角尺检查某圆弧形工件，根据下列检查的结果，能判断该工件一定是半圆的是（　　）.
A． B．
C． D．
3．下列命题中的假命题是（　　）
A．和圆有唯一公共点的直线是圆的切线
B．切线垂直于过切点的半径
C．在同圆或等圆中，等弦所对的圆心角相等
D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧
4．如图，⊙A，⊙B，⊙C的半径都是2cm，则图中三个扇形(即阴影部分)面积之和是（　　）
A．2π B．π C． D．6π
5．如图，将直角三角板60°角的顶点放在圆心O上，斜边和一直角边分别与⊙O相交于A、B两点，P是优弧AB上任意一点（与A、B不重合），则∠APB＝（　　）
A．30° B．45° C．50° D．60°
6．如图，点A，B，C，D在⊙O上，BC＝DC，若∠BOD＝124°，则∠A的大小为（　　）
A．27° B．31° C．56° D．63°
7．如图，AB、AC是⊙O的两条切线，B、C是切点，若∠A = 70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．100° B．110° C．120° D．130°
8．下列命题中错误的有（　　）个
（ 1 ）等腰三角形的两个底角相等（2）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（3）对角线相等的四边形为矩形（4）圆的切线垂直于半径（5）平分弦的直径垂直于弦
A．1 B．2 C．3 D．4
9．有一个三角形的外接圆的圆心在它的某一边上则这个三角形一定是（　　）
A．等边三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形
10．如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的切线，切点为D，CD与AB的延长线交于点C，∠A＝30°，CD＝3，则AB的值是（　　）
A．3 B．6 C． D．
二、填空题(每小题3分，共24分)
11．如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，则∠ABD＝　 　°．
12．如图，正方形ABCD的边长为2，E、F、G、H分别为各边中点，EG、FH相交于点O，以O为圆心，OE为半径画圆，则图中阴影部分的面积为　 　．
13．如图，⊙O的直径为10，圆心O到弦AB的距离OM=3，则弦AB的长是 　 　
14．如图，为的直径，P为延长线上的一点，过P作的切线，A为切点，，则的半径等于　 　.
15．如图，∠AOB=30°，OM=6，那么以M为圆心，4为半径的圆与直OA的位置关系是　 　
16．如图，⊙O直径AB和弦CD相交于点E，AE=2，EB=6，∠DEB=30°，求弦CD长为　 　．
17．一条弧所对的圆心角为135°，弧长等于半径为5cm的圆的周长的3倍，则这条弧的半径为　 　 。
18．如图，MN为⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，过A作AC⊥MN于点C，过B作BD⊥MN于点D，P为DC上的任意一点，若MN=20，AC=8，BD=6，则PA+PB的最小值是　 　．
三、解答题(共66分)
19．（8分）已知：如图，⊙O中弦 .求证：AD=BC.
20．（8分）如图，在⊙O中，弦BC平行于OA，AC交BO于M，∠C=20°，求∠AMB的度数.
21．（8分）如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB＝CD，连接AD，BC．求证： ．
22．（8分）如图，AB，CD是⊙O的直径，点E在AB延长线上，FE⊥AB，BE=EF=2，FE的延长线交CD延长线于点G，DG=GE=3，连接FD．
（1）求⊙O的半径；
（2）求证：DF是⊙O的切线．
23．（10分）如图，AB是⊙O的直径，AC是上半圆的弦，过点C作⊙O的切线DE交AB的延长线于点E，过点A作切线DE的垂线，垂足为D，且与⊙O交于点F，设∠DAC，∠CEA的度数分别是α，β．
（1）用含α的代数式表示β，并直接写出α的取值范围；
（2）连接OF与AC交于点O′，当点O′是AC的中点时，求α，β的值．
24．（10分）如图，在平行四边形 中， 是对角线， ，以点A为圆心，以 的长为半径作 ，交 边于点E，交 于点F，连接 .
（1）求证： 与 相切；
（2）若 ， ，求阴影部分的面积.
25．（14分）如图
【定义】有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形.
（1）（4分）【理解】
如图1，点A，B，C在⊙O上，∠ABC的平分线交⊙O于点D，连接AD，CD.
求证：四边形ABCD是等补四边形；
（2）（5分）【探究】
如图2，在等补四边形ABCD中，AB=AD，连接AC，AC是否平分∠BCD？请说明理由.
（3）（5分）【运用】
如图3，在等补四边形ABCD中，AB=AD，其外角∠EAD的平分线交CD的延长线于点F，CD=10，AF=5，求DF的长.
答案
1-10 DBDAA BBDBC
11．55
12．
13．8
14．3
15．相交
16．
17．40cm
18．14
19．证明：∵AB=CD，
∴ ，
∴ ，
.
20．解：∵∠C=20°
∴∠AOB=40°
又∵弦BC∥半径OA
∴∠OAC=∠C=20°
∵∠AMB是△AOM的外角
∴∠AMB=60°.
21．证明： ，
，即 ，
．
22．（1）解：设⊙0半径为R，则OD=OB=R，
在Rt△OEG中，∠OEG=90°，由勾股定理得：OG2=OE2+EG2，
∴（R+3）2=（R+2）2+32，
R=2，
即⊙O半径是2．
（2）证明：∵OB=OD=2，
∴OG=2+3=5，GF=2+3=5=OG，
∵在△FDG和△OEG中
∴△FDG≌△OEG（SAS），
∴∠FDG=∠OEG=90°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∵OD为半径，
∴DF是⊙O的切线．
23．（1）解：）连接OC．
∵DE是⊙O的切线，
∴OC⊥DE，
∵AD⊥DE，
∴AD∥OC，
∴∠DAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠OCA=∠OAC，
∴∠DAE=2α，
∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠E=90°，
∴2α+β=90°（0°＜α＜45°）
（2）解：连接OF交AC于O′，连接CF．
∵AO′=CO′，
∴AC⊥OF，
∴FA=FC，
∴∠FAC=∠FCA=∠CAO，
∴CF∥OA，∵AF∥OC，
∴四边形AFCO是平行四边形，
∵OA=OC，
∴四边形AFCO是菱形，
∴AF=AO=OF，
∴△AOF是等边三角形，
∴∠FAO=2α=60°，
∴α=30°，
∵2α+β=90°，
∴β=30°，
∴α=β=30°．
24．（1）证明：连接
∵四边形 是平行四边形
∴ ，
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∴
∵ 是 的半径
∴ 与 相切
（2）解：∵ ，
∴ 是等边三角形
∴ ，
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∵在 中， ， ，
∴
∴
∴
∵ ，
∴
25．（1）证明：∵四边形ABCD为圆内接四边形，
∴∠A＋∠C＝180°，∠ABC＋∠ADC＝180°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴
∴AD＝CD，
∴四边形ABCD是等补四边形；
（2）解： AD平分∠BCD，理由如下：
如图2，过点A分别作AE⊥BC于点E，AF⊥CD的延长线于点F，
则∠AEB＝∠AFD＝90°，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠B＋∠ADC＝180°，
∵∠ADC＋∠ADF＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABE和△ADF中
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AE＝AF，
∵AE⊥BC，AF⊥CD
∴AC是∠BCF的平分线，即AC平分∠BCD；
（3）解： 如图3，连接AC，
∵四边形ABCD是等补四边形，
∴∠BAD＋∠BCD＝180°，
∵∠BAD＋∠EAD＝180°，
∴∠EAD＝∠BCD，
∵AF平分∠EAD，
∴∠FAD＝∠EAD，
由（2）知，AC平分∠BCD，
∴∠FCA＝∠BCD，
∴∠FCA＝∠FAD，
∵∠AFC＝∠DFA，
∴△ACF∽△DAF，
∴
即
∴DF＝
1 / 1