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17.4一元二次方程方程的根与系数的关系(学案)
班级________ 姓名_____________ 组别_______
学习目标
1.理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
2.会运用一元二次方程的根与系数关系由已知二次方程的一个根求出另一个根与未知字母的值，会求二次方程两根的倒数和与平方差，两根之差等；21·cn·jy·com
3.关注一元二次方程中的隐含条件：a≠0， ＝b2－4ac.
学习重难点
重点：理解并掌握一元二次方程的根与系数的关系；
难点：运用根与系数的关系解涉及到一元二次方程两根的有关问题.
学法指导
通过观察、练习、猜想、证明等学习活动发现问题，解决问题，在学习过程中掌握思考问题的方法及解决问题的途径等.www.21-cn-jy.com
学习过程
一、课前预习
1.你能说出一元二次方程的标准形式吗？
2.写出一元二次方程根的判别式，如果在不解方程的情况下判定方程的根的情况.
3.写出一元二次方程的求根公式.
4.写出下列一元二次方程中的二次项系数a，一次项系数b，常数项c的值.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
5.请你用适当的方法求出下列方程的根，并填写好下表.
（1） x2+2x－15＝0； （2） 3x2－4x+1＝0； （3）2x2－5x+1＝0.
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2
x2+2x－15＝0
3x2－4x+1＝0
2x2－5x+1＝0
二、课内探究，交流学习
1.思考：
通过填写上表你是否发现每个方程中的两根之和（x1+ x2）、两根之积（x1 x2）与该方程的各项系数之间存在着怎样的关系？21世纪教育网版权所有
2.猜想：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1，x2，那么x1+x2＝_____，x1x2＝____.
3.试试证明上面你的猜想.
4.归结总结：
写出韦达定理：
5.思考：如果二次项系数为1时，一元二次方程的标准形式为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又是怎样的？21教育网
三、典例突破（以自学为主）
1.已知关于x的方程2x2+kx－4＝0的一个根是－4，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x2，
由韦达定理，得： ， 解得： ，
∴方程的另一个根是，k的值为7.
2.方程2x2－3x+1＝0的两个根记作x1，x2，不解方程，求x1－x2 .
解：由韦达定理，得： ,
∴(x1－x2)2＝(x1+ x2)2－4 x1 x2＝()2―4×＝，
∴x1－x2＝±.
四、随堂练习
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2－3x＋1＝0； （2）3 x2－2x－2＝0；
（3）2 x2－9x＋5＝0； （4）4 x2－7x＋1＝0；
（5）2 x2＋3x＝0； （6）3 x2＝1．
2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根．
（1）x2＋5x＋4＝0，(1，4)； （2）x2－6x－7＝0，(－1，7)；
（3）2x2－3x＋1＝0，(，1)； （4）3x2＋5x－2＝0，(，2)；
（5）x2－8x＋11＝0，(4－，4＋).
3.已知关于x的方程3x2－19x＋m＝0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
4.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）(x1＋1)( x2＋1)； （2）.
五、名师点拨：
1.在实数范围内运用根与系数关系时，必须注意两个条件：
（1）方程必须是一元二次方程，即二次项系数a≠0；
（2）方程有实数根，即 ≥0，因此，解题时要注意分析题中隐含条件 ≥0和a≠0.
六、达标巩固
1.如果一元二次方程x2－2x－5＝0的两个根是x1，x2，那么x1x2等于（ ）
A.2 B.0 C.5 D.－5
2.一元二次方程x2－5x+2＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2等于（ ）
A.2 B.－2 C.5 D.－5
3.若x1，x2是一元二次方程x2－5x－8＝0的两个根，则(x1－1)（x2－1)的值是（ ）
A.6 B.4 C.－8 D.－12
4.满足两实数根的和等于3的方程是（ ）.
A. x2－3x+4＝0 B. x2+3x－5＝0
C. x2－3x－5＝0 D. x2+3x+6＝0
5.若关于x的方程2x2+kx－3＝0有一个根是－3，则k的值为_______，它的另一个根是__________.21cnjy.com
6.已知a、b是方程2x2－4x－1＝0的两根，求代数式(ab)a+b的值.
七、拓展提高：
已知方程x2－(2k+1)x+k2－1＝0的两个实数根的平方和等于0，求k的值.
七、小结与反思
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流
（1）一元二次方程根的判别式；
（2）一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？谈谈你的感悟.
导学案参考答案
随堂练习
1.下列各方程中，两根之和与两根之积各是多少？
（1）x2－3x＋1＝0； （2）3 x2－2x－2＝0；
（3）2 x2－9x＋5＝0； （4）4 x2－7x＋1＝0；
（5）2 x2＋3x＝0； （6）3 x2＝1．
解：（1）x1+ x2＝3，x1 x2＝1；
（2）x1+ x2＝，x1 x2＝－；
（3）x1+ x2＝，x1 x2＝；
（4）x1+ x2＝，x1 x2＝；
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2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根．
（1）x2＋5x＋4＝0，(1，4)； （2）x2－6x－7＝0，(－1，7)；
解：不是 是
（3）2x2－3x＋1＝0，(，1)； （4）3x2＋5x－2＝0，(，2)；
是 不是
（5）x2－8x＋11＝0，(4－，4＋).
是
3.已知关于x的方程3x2－19x＋m＝0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
解：设另一个根是x2，则：
，解得： .
∴另一个根为，k的值是16.
4.设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
（1）(x1＋1)( x2＋1)； （2）.
解：由根与系数的关系，得： ，
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达标巩固
1.如果一元二次方程x2－2x－5＝0的两个根是x1，x2，那么x1x2等于（ D ）
A.2 B.0 C.5 D.－5
2.一元二次方程x2－5x+2＝0的两个根是x1，x2，则x1+x2等于（ C ）
A.2 B.－2 C.5 D.－5
3.若x1，x2是一元二次方程x2－5x－8＝0的两个根，则(x1－1)（x2－1)的值是（ D ）
A.6 B.4 C.－8 D.－12
4.满足两实数根的和等于3的方程是（ C ）.
A. x2－3x+4＝0 B. x2+3x－5＝0
C. x2－3x－5＝0 D. x2+3x+6＝0
5.若关于x的方程2x2+kx－3＝0有一个根是－3，则k的值为 5 ，它的另一个根是.
6.已知a、b是方程2x2－4x－1＝0的两根，求代数式(ab)a+b的值.
解：由根与系数的关系，得：a+b＝2，ab＝－，
∴(ab)a+b＝(－)2＝.
拓展提高：
已知方程x2－(2k+1)x+k2－1＝0的两个实数根的平方和等于0，求k的值.
解：设方程的两根分别为x1，x2，则：
x1+ x2＝2k+1，x1 x2＝k2－1
∵ x12+ x22＝9
∴ (x1+ x2)2－2 x1 x2＝9
∴(2k+1)2－2(k2－1)＝9
解得：k1＝1，k2＝－3
又∵当k＝－3时，
＝[－(2k+1)]2－4×1×(k2－1)
＝4k+5
＝4×(－3)+5
＝－7＜0
∴k＝－3不符合题意应舍去，
故k的值为1.
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复习导入
1.说出一元二次方程的标准形式是什么？
ax2+bx+c=0（a≠0）
2.想一想一元二次方程根的判别式？如何在不解
一元二次方程的情况下判定方程的根的情况？
根的判别式：
＝b2－4ac
当 ＞0时，有两个不相等的实数根；
当 ＝0时，有两个相等的实数根；
当 ＜0时，没有实数根.
3.想一想一元二次方程的求根公式？
（b2－4ac≥0）
4.说出下列一元二次方程中的二次项系数a，
一次项系数b，常数项c的值？
x2+2x－15＝0；
3x2－4x+1＝0；
2x2－5x+1＝0.
a＝1，b＝2，c＝－15
a＝3，b＝－4，c＝1
a＝2，b＝－5，c＝1
5.请你用适当的方法求出下列方程的根，并填
写好下表.
(1)x2+2x－15＝0；
(2)3x2－4x+1＝0；
(2)2x2－5x+1＝0.
方 程 x1 x2 x1+ x2 x1 x2
x2+2x－15＝0
3x2－4x+1＝0
2x2－5x+1＝0
－5
3
－2
－15
1
通过填写上表你是否发现每个方程中的两根
之和（x1+x2）、两根之积（x1x2）与该方程的
各项系数之间存在着怎样的关系？
猜想：
方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根如果是x1，x2，
那么x1+x2＝_____， x1x2＝____.
你能证明上面的猜想吗？
一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根为：
∴x1+x2=
x1x2=
结论：
一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为x1，x2，
那么x1+x2＝ ，x1x2＝
上面这种关系通常称为韦达定理.
如果二次项系数为1时，一元二次方程的
标准形式为：x2+px+q＝0，这时韦达定理又
是怎样的？
x1+x2＝－p，x1x2＝q.
典例分析：
1.已知关于x的方程2x2+kx－4＝0的一个根
是－4，求它的另一个根及k的值.
解：设方程的另一个根是x2，则：
解得：
答：方程的另一个根为 ，k的值是7.
2.方程2x2－3x+1＝0的两个根记作x1，
x2，不解方程，求x1－x2 .
解：由韦达定理，得：
x1+x2＝ ，
x1x2＝
(x1－x2)2＝(x1+x2)2－4x1x2
＝( )2－4× ＝ .
∴ x1－x2＝± .
随堂练习
1.下列各方程中，两根之和与两根之积 各是多少？
(1)x2－3x＋1＝0；
x1+x2=3，x1x2=1；
解：
(2)3x2－2x－2＝0；
x1+x2= ，x1x2= ；
(3)2x2－9x＋5＝0；
x1+x2= ，x1x2= ；
(4)4x2－7x＋1＝0；
x1+x2= ，x1x2= ；
x1+x2=0，x1x2= .
(5)2x2＋3x＝0；
x1+x2= ，x1x2=0；
(6)3x2＝1．
2.判定下列各方程后面括号内的两个数是不是它的两个根．
(1)x2＋5x＋4＝0，(1，4)；
(2)x2－6x－7＝0，(－1，7)；
(3)2x2－3x＋1＝0，( ，1)；
不是
是
是
(4)3x2＋5x－2＝0，( ，2)；
(5)x2－8x＋11＝0，(4－ ，4＋ ).
不是
是
3. 已知关于x的方程3x2－19x＋m＝0的一个根是1，求它的另一个根及m的值．
解：设另一个根是x2，则：
解得：
4. 设x1，x2是方程2x2＋4x－3＝0的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值．
解：
(1)原式=x1x2+x1+x2+1= －2+1= ；
(2)原式=
(1)(x1＋1)(x2＋1)； (2) ．
x1+x2=－2，x1x2= ；
点拨：
1.在实数范围内运用根与系数关系时，必须注
意两个条件：
（1）方程必须是一元二次方程，即二次项
系数a≠0；
（2）方程有实数根，即 ≥0，因此，解题时要
注意分析题中隐含条件 ≥0和a≠0.
拓展提高
已知方程x2－(2k+1)x+k2－1＝0的两个实数
根的平方和等于0，求k的值.
解：设方程的两根分别为x1，x2，则：
x1+x2＝2k+1，x1x2＝k2－1
∵ x12+x22＝9
∴ (x1+x2)2－2x1x2＝9
∴(2k+1)2－2(k2－1)＝9
解得：k1＝1，k2＝－3
又∵当k＝－3时，
＝[－(2k+1)]2－4×1×(k2－1)
＝4k+5
＝4×(－3)+5
＝－7＜0
∴k＝－3不符合题意应舍去，
故k的值为1.
(2)一元二次方程根的情况与根的判别式的关系.
小结与反思
(1)一元二次方程根的判别式；
1.本节课你学习了哪些主要内容，与同伴交流.
2.通过本节课的学习你有哪些收获和经验？
谈谈你的感悟.
布置作业
课本第40页：习题1～5题.
16世纪法国最杰出的数学家韦达发现代数方程的根与系数之间有这种关系，因此,人们把这个关系称为韦达定理。数学原本只是韦达的业余爱好，但就是这个业余爱好，使他取得了伟大的成就。
知识链接
