(
保密
学校
班级
姓名
学号
密 封 线
)北辰区2023～2024学年度第一学期期中检测试卷
高二数学 答案
一. 选择题：1.D 2. D 3. B 4. A 5. A 6. D 7. C 8. B 9. A
二. 选择题： 10. 11. 12.
13. 或 14. 15.
三．解答题：
16.（本题满分12分）
解：（1）根据题意，直线与平行，..............（1分）
则有斜率为， .........................................（2分）
又因其过原点，所以方程为.........................（3分）
方程为，
所以与间的距离为. .....................（5分）
设圆心
由于直线平分圆，所以圆心在直线上，即.......（6分）
又，所以有...............（7分）
联立，解得...............................................（8分）
................................................（9分）
所以....................................（10分）
所以圆的方程为...............................（12分）
17.（本题满分12分）
解：（1）因为，，............................（1分）
所以，................................................（2分）
且平面， ...........................................（3分）
平面，.............................................（4分）
则平面. ............................................（5分）
法二：建系法
因为，，且，所以平面，...（1分）
设，可得，，，、、．
向量，，.
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量.................（2分）
因为，所以即........................（3分）
又因平面， .........................................（4分）
所以平面. ..........................................（5分）
（2）由（1）法二可得
向量，，.
设为平面的法向量，则，即，
不妨令，可得为平面的一个法向量.................（6分）
设与平面所成角为，
于是有，................（8分）
与平面正弦值为 .......................................（9分）
（3）因为为平面的法向量，.......................（10分）
设平面与平面夹角为，
所以，...........................（11分）
所以，平面与平面夹角的余弦值为.....................（12分）
18.（本题满分12分）
解：（1）由题......................................（3分）
解得a=,b=,c=,椭圆C的方程为...............（4分）
（2）由题，当的斜率k=0时，此时PQ=4 直线与y轴的交点（0，满足题意，所以此时y=0成立. ................................（5分）
当的斜率k0时，设直线与椭圆联立得=8,,......................................（6分）
设P（）,则Q（）,
,...........（7分）
又PQ的垂直平分线方程为由，解得,,..............................（8分）
, ......................................（9分）
∵为等边三角形
即................................（10分）
解得k=0(舍去)，k=,直线的方程为y=....................（11分）
综上可知，直线的方程为y=0或y=．.........................（12分）
19.（本题满分12分）
解：（1）因为平面，平面，平面
所以，因则以A为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.
由已知可得，，，，，.
.......................................................（1分）
所以，，.
因为，所以...............（2分）
.所以，. ..............................（3分）
又，.........................................（4分）
平面，平面.所以平面． .........（5分）
（2）由（1）可知，
设平面的法向量因为，.
所以，即不妨设，得．...（6分）
点到平面的距离...............（7分）
所以点到平面的距离为． .............................（8分）
（3）设，即.
所以，.................................（9分）
即.与正弦值为
所以
........................................................（10分）
即解得，............................（11分）
即．..............................................（12分）
20.（本题满分12分）
解：（1）由题意知，....................................（1分）
......................................（2分）
又因为解得. .................................（3分）
所以椭圆方程为. .....................................（4分）
（2）存在常数，使恒成立.
证明如下：
由得，且...............（5分）
设，，则 , ...............（6分）
又因为，，........................（7分）
, ........................（8分）
所以.................................................（9分）
因为线段的中点为，所以，......................（10分）
所以. .......................................（11分）
所以存在常数，使恒成立....................（12分）北辰区2023~2024学年度第一学期期中检测试卷
高二数学
题号
二
三
总分
得分
说明：本试卷共有选择、填空、解答三道大题，共计120分，考试时间：
100分钟
一、选择题.（本大题共9个小题，每小题4分，共36分，在每小题的四个选
城
项中，只有一项是正确的，请把它选出并填在答题卡上)
1.
已知向量a=(3,-2,1),=(-1,1,4),则a+6=（)
A.
(2,-1,3)
B.（-2,-15)
C.（-2,-3,3）
D.(2,-15)
2.直线3x+3y-2=0的倾斜角为（
)
A.30
B60°
C.1209
D.150
桶
3.过点(0,1)且与直线2x-y+1=0垂直的直线方程是(
A.
x-2y+1=0
B.x+2y-2=0
C.2x+y-2=0
D.x-2y-1=0
4.
若方程x2+y2+2y+2a-1=0表示圆，则实数a的取值范围为（)
蜜
A.
aB.a>1
C.a≤0
D.a>0
牌
5.己知椭圆
=1,焦点在y轴上，且焦距为4，则短轴长为(
10-mm-2
A.2V2
B.4
C.4V2
D.8
6.若直线4，：(a-2)x+ay+4=0与l2:(a-2)x+3y+2a=0平行，则a的值为(
终
A.0
B.2
C.3
D.2或3
陳账·
7.如图所示，在平行六面体ABCD-ABCD中，M为AC与8D的交点，若AB=a,
AD=五，AA=c,则BM=()
期中检测高二数学第1页（共4页）
2
2
2
8.若直线(2t-3)x+y+6=0不经过第一象限，则t的取值范围为()
a(引
9.在正方体ABCD-AB,CD中，E为CC中点，BM=2MC,BN=2B,B,3x,y∈R,
使得N=xAM+yAE,则x+y-1=（)
A.0
B.1
C.2
D.3
二、填空题.（本大题共6个小题，每小题4分，共24分，请将正确答案填在
答题卡上)
10.已知椭圆
+上=1上一点P到其一个焦点的距离为3，则点P到另一个
x
16+4
焦点的距离为
11.直线y=-2+3x在两坐标轴上的截距之和为
12.已知四面体ABCD,G是CD的中点，连接AG,则AB+(BD+BC)=
▲
13.直线：+y+1=0与l2:2ax+(a-3)y+1=0,若{⊥3，则实数a=
△
14.己知空间向量a,6,c两两夹角均为60°，其模均为1，则-b+2=
15.直线1被两条直线1：4x+y+3=0和12：3x-5y-5=0截得的线段的中点为
P(-1,2),则直线1的方程为
期中检测高二数学第2页（共4页）
