安徽省马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试数学试题（含答案）

马鞍山市2023-2024学年高二上学期期中调研考试
数 学
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 直线的方向向量为（ ）
A. B. C. D.
2. 等差数列中，若，则的值为（ ）
A. 36 B. 24 C. 18 D. 9
3. 与直线关于轴对称的直线的方程为（ ）
A. B. C. D.
4. 经过原点和点且圆心在直线上的圆的方程为 （ ）
A. B.
C. D.
5. 设是公差不为0的无穷等差数列，则“为递减数列”是“存在正整数，当时，”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知点，点在的圆周上运动，点满足，则点的运动轨迹围成图形的面积为（ ）
A. B. C. D.
7. 等比数列中，，，则（ ）
A. -5 B. -1 C. 5 D. 1
8. 过点作圆的两条切线，设切点分别为，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，选对但不全得2分，选错或不答得0分，请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
9. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则直线的倾斜角可以是（ ）
A. B. C. D.
10. 设分别是等差数列和等比数列的前项和，下列说法正确的是（ ）
A. 若，，则使的最大正整数的值为15
B. 若（为常数），则必有
C. 必为等差数列
D. 必为等比数列
11. 已知等比数列的公比为，前项和为，前项积为，若，，则（ ）
A. B. 当且仅当时，取得最小值
C. D. 的正整数的最大值为11
12. 已知圆，圆（ ）
A. 若，则圆与圆相交且交线长为
B. 若，则圆与圆有两条公切线且它们的交点为
C. 若圆与圆恰有4条公切线，则
D. 若圆恰好平分圆的周长，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案写在答题卡相应的位置上.
13. 若是公差不为0的等差数列，成等比数列，，为的前项和，则的值为___________.
14. 平面直角坐标系中，过直线与的交点，且在轴上截距为1的直线的方程为_______________.（写成一般式）
15. 如图，第一个正六边形的面积是1，取正六边形各边的中点，作第二个正六边形，然后取正六边形各边的中点，作第三个正六边形，依此方法一直继续下去，则前个正六边形的面积之和为_______________.
16. 已知实数成等差数列，在平面直角坐标系中，点，是坐标原点，直线.若直线垂直于直线，垂足为，则线段的最小值为___________.
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（10分）
已知直线，.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求之间的距离.
18.（12分）
已知等差数列，前项和为，又.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
19.（12分）
已知数列的首项，且满足.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）设，求数列的前项和.
20.（12分）
如图，等腰梯形中，，，间的距离为4，以线段的中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，记经过四点的圆为圆.
（1）求圆的标准方程；
（2）若点是线段的中点，是圆上一动点，满足，求动点横坐标的取值范围.
21.（12分）
平面直角坐标系中，直线，圆：，圆与圆关于直线对称，是直线上的动点.
（1）求圆的标准方程；
（2）过点引圆的两条切线，切点分别为，设线段的中点是，是否存在定点，使得为定值，若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.
22.（12分）
记首项为1的递增数列为“-数列”.
（1）已知正项等比数列，前项和为，且满足：.
求证：数列为“-数列”；
（2）设数列为“-数列”，前项和为，且满足.（注：）
①求数列的通项公式；
②数列满足，数列是否存在最大项？若存在，请求出最大项的值，若不存在，请说明理由.（参考数据：）
参考答案
一、选择题
1. A 2. B 3. D 4. D 5. C 6. A 7. C 8. A
二、多项选择题
9. ABC 10. BCD 11. AC 12. AD
三、填空题
13. 14. 15. 16.
四、解答题
17. （1）因为等差数列满足：，所以，
所以
又，所以；
（2）
设，的前项和为，
，
当时，，
当，
所以，
当时，
综上，
18.（1）因为，所以，
整理得，即
解得或；
（2）因为，所以
解得或0
当时，，重合，
当时，，符合题意；
故，
此时之间的距离.
说明：若垂直关于与平行关系用斜率表示，未考虑斜率不存在的情况，在所得分数基础上扣1分.
19. （1）因为，所以，
所以，所以，
因为，，
所以是以为首项，为公比的等比数列；
（2）法一：
又是以为首项，为公比的等比数列，
所以；
法二：由（1），所以，
所以
所以.
20. （1）如图，因为，间的距离为4，所以，经过四点的圆即经过三点的圆，
法一：
中垂线方程即，中点为，，
所以的中垂线方程为，即，
联立，得圆心坐标，
所以圆的标准方程为；
法二：设圆的一般方程为，
代入，
，解得
所以圆的标准方程为；
法三：以为直径的圆方程为，
直线，
设圆的方程为，
代入，解得，
所以圆的标准方程为；
（2），设圆上一点，
，
因为，所以，
即，
所以点在圆上及其外部
解得，
所以两圆交点恰为，如图结合图形，当圆上一点纵坐标为时，横坐标为，
所以点横坐标的取值范围是.
21.（1）圆，圆心，设圆心，圆与圆关于直线对称，
直线的斜率为，所以
解得，
所以，圆的方程为，
因为是直线上的动点，设，分别与圆切于两点，所以，所以在以为直径的圆上，圆的方程，即
为圆与圆的公共弦，
做差得方程为
即
令得，设，
所以直线过定点，
又是中点，所以，所以点是在以为直径的圆上，所以存在点是的中点，使得为定值. .
22.（1）设正项等比数列的公比为，
因为，则，两式相减得，
即
因为，所以，
中，当时，有，即，解得，
因此数列为“-数列”；
（2）①因为
所以，得又为“-数列”，所以，且，所以各项为正，
当，①，②，
①一②得：，即，
所以③，
从而④，
④-③得：，即，
由于为“-数列”，必有，所以，，
又由③知，即，即得或（舍）
所以，故
所以是以1为首项，公差是1的等差数列，所以；
②，所以，
令，得，
所以当时，，即，
又，所以中存在最大项，为.