河南省开封市2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

开封市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上对应的答题区域内，写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知，，则（ ）
A．（0，2，3） B． C．（0，3，2） D．
2．已知椭圆C的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的3倍，且经过点P（3，0），则C的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
4．已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆，若过点的直线l与圆C相交于A，B两个不同点，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
6．若直线经过点（1，2），则直线l在x轴和y轴上的截距之和取最小值时，（ ）
A．2 B． C． D．
7．经过点作直线l，若直线l与连接，两点的线段总有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知圆，O是坐标原点，P是圆C上任意一点，若定点A满足，则面积的最大值是（ ）
A．3 B．9 C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．若构成空间的一个基底，则下列向量可以构成空间基底的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10．已知是直线l的方向向量，是平面的法向量，则（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
11．已知点M（2，2）和，点P在x轴上，且∠MNP为直角，则（ ）
A．直线MN的斜率为 B．点P的坐标为（6，0）
C．直线PN的一个方向向量为（3，1） D．直线NP的方程为
12．已知椭圆与双曲线有公共的焦点，，记与的离心率分别为，，在第一象限的交点为P，下列结论中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线l的倾斜角为45°，且经过点，Q（m，1），则m的值为______．
14．已知三个顶点分别为A（4，0），O（0，0），B（0，2），则外接圆的标准方程为______．
15．3D打印是快速成型技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层打印的方式来构造物体的技术．如图所示的塔筒为3D打印的双曲线型塔筒，该塔筒是由离心率为的双曲线的一部分围绕其旋转轴逐层旋转打印得到的，已知该塔筒（数据均以外壁即塔筒外侧表面计算）的上底直径为6cm，下底直径为9cm，高为9cm，则喉部（最细处）的直径为______cm．
16．已知平行六面体中，，AC与BD的交点为M，，，则______，______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知双曲线的焦距为10，上一点P与两焦点的距离差的绝对值等于6．
（1）求的标准方程；
（2）若双曲线与双曲线有共同的渐近线，且经过点，求的标准方程．
18．已知正方形ABCD的中心为点E（0，2），点A在第三象限，AB边所在直线的方程是．
（1）求AD边所在直线的方程；
（2）求对角线AC所在直线的方程．
19．如图，在棱长为1的正方体中，E为线段的中点．
（1）求正方体的外接球的球心O到平面的距离；
（2）求平面与平面ABCD夹角的余弦值．
20．已知圆，直线．
（1）求圆M关于直线l对称的圆的标准方程；
（2）P是直线l上的动点，过P点作圆M的切线PA，切点为A，求切线长最短时切线PA的方程．
21．如图，在四棱锥中，平面ABCD，，，，E为线段AP上一点，且平面BDE．
（1）求AE的长；
（2）F为线段CP上的动点，求直线DF与平面BDE所成角正弦值的取值范围．
22．已知，，直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积是．
（1）求点P的轨迹方程C，并说明轨迹的形状；
（2）若斜率为k的直线l交曲线C于E，F两点，M为线段EF的中点，O为坐标原点，射线OM交曲线C于点N，且，求的面积．
开封市2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案
注意事项：答案仅供参考，其他合理答案也可酌情给分．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A B A B D C A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
题号 9 10 11 12
答案 BC AD BCD AD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15． 16．1，
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
（1）双曲线的焦距为10，所以半焦距，
上一点P与两焦点的距离差的绝对值等于6，所以，，，所以的标准方程为．
（2）双曲线与双曲线有共同的渐近线，
设，
将点带入方程，可得，
所以的标准方程为．
18．（12分）
（1）正方形ABCD中，，设AD边所在直线的方程为，
点E到直线AB和AD的距离相等，所以，解之得或，
经验证时，点A不在第三象限，所以AD边所在直线的方程为．
（2）由联立得，又E（0，2），，
所以对角线AC所在直线的方程为
19．（12分）
（1）如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
则A（0，0，0），，，，，，
设平面的一个法向量为，则即
取，则平面的一个法向量为．
又因为，
所以点O到平面的距离为．
（2）平面ABCD的一个法向量为，
所以，
所以平面与平面ABCD夹角的余弦值为．
20．（12分）
（1）圆的圆心，半径，
记圆M关于直线l对称的圆的圆心为N（a，b），则解之得
圆N的半径为，所以圆N的标准方程为．
（2）P是直线l上的动点，PA是圆M的切线，所以，易知切线长最短时，也最短，当时，最短，此时，
所以直线PM的方程为：，
联立直线l的方程，可得P（0，1），
设直线PA的方程为：，所以，解之得或，
所以切线PA的方程为或
21．（12分）
（1）如图，分别以，，为x，y，z轴建立空间直角坐标系Axyz，
设，则B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，0，a），
，，，
设平面BDE的一个法向量为，
则即
取，则平面BDE的一个法向量为，
由平面BDE，则，，解之得．
（2）F为线段CP上的动点，设，，其中0≤b≤2，记DF与平面BDE所成角为，则，
可得，
所以，直线DF与平面BDE所成角正弦值的取值范围是．
22．（12分）
（1）设点，则，，
由已知，得，
化简可得点P的轨迹方程为，
点P的轨迹是除去，两点的椭圆
（2）设直线l的方程为，由联立消y可得：
，
设，，由韦达定理得
所以，
又，
点N在C上，所以，化简得，
又，点O到EF的距离，
所以．