黑龙江省龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案）
文档属性
| 名称 | 黑龙江省龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 571.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-09 09:36:22 | ||
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文档简介
龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试
数学试题
本试卷共2页，满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题（8小题，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
3．圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．意大利数学家斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（4小题，共20分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“”的否定为“”
B．函数的值域为
C．若幂函数在区间上是减函数，则
D．若随机变量的方差，则
10．已知函数在上单调递减，且．若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
12．函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是（ ）
A．的最大值与的最大值相等 B．
C． D．若，则的最小值为
三、填空题（4小题，共20分）
13．已知且，则在上的投影向量为______．
14．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为______．
15．已知数列满足．且数列是单调递增数列，则的取值范围是______．
16．若函数的定义域为，且，则______．
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
18．记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若是上一点，为角的平分线，求．
19．设函数，其中为常数．
（1）当时，求的值：
（2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
20．在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前天隧道拱顶的累加总下沉量（单位：毫米）与时间（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：
（单位，天） 1 2 3 4 5 6 7
（单位， 米） 0.01 0.04 0.14 0.52 1.38 2.31 4.30
研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：
．
（1）试建立与的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）
（2）已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米／天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；
②参节数据：．
21．已知数列中，．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
22．设函数．
（1）证明：．
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）证明：当时，．
龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试
期中考试数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A B A D C C A，B A，B A，B，D A，B，D
第13题： 第14题：2 第15题：（2,5） 第16题：30
第17题：
【解析】 （1）当时，，则，
又，
在点处的切线方程为：，
即．
（2）由题意得：的定义域为；
当时，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
第18题：
【解析】 （1）由题意结合正弦定理，可得，
所以，
即，
整理，可得．
因为，所以，所以，所以．
（2）由题可得在中，，
所以，解得，则，
又因为为角的平分线，
所以，
即，所以．
第19题：
【解析】 （1），
（2）：当时，恒成立，
，当时恒成立，
令，则，当时恒成立，
即对恒成立，
当时，，
第20题：
【解析】 （1）设，则．
当时，．
所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米
（2），下沉速率：，
所以设第天下沉速率超过27毫米/天，
则：
所以第10天该隧道拱顶的下沉速率超过27毫米/天，最迟在第9天需调整支护参数，才能避免塌方．
第21题：
【解析】 （1）证明：由，
得，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
从而；
（2）
，两式相减得
若为偶数，则
若为奇数，则．
第22题：
【解析】 （1）令函数，
所以为单调递增函数，，故．
（2），即为
令即恒成立，
令，即，得．
当，即时，在上单调递增，，
所以当时，在上恒成立；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以不恒成立．
综上所述：的取值范围为．
（3）由（1）知，
令，，即，
故有
上述各式相加可得．
因为，
，
所以．
数学试题
本试卷共2页，满分150分，考试用时120分钟。
一、单选题（8小题，共40分）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ）
A． B． C． D．
3．圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（ ）
A． B． C． D．2
4．已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点引圆的切线，则此切线段的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．已知，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．在中，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．意大利数学家斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足．若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题（4小题，共20分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．命题“”的否定为“”
B．函数的值域为
C．若幂函数在区间上是减函数，则
D．若随机变量的方差，则
10．已知函数在上单调递减，且．若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列各选项正确的是（ ）
A． B．为偶函数
C．的图象关于点对称 D．在区间上单调递减
11．“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且．以下命题正确的有（ ）
A．若，则为的重心
B．若为的内心，则
C．若为的外心，则
D．若为的垂心，，则
12．函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是（ ）
A．的最大值与的最大值相等 B．
C． D．若，则的最小值为
三、填空题（4小题，共20分）
13．已知且，则在上的投影向量为______．
14．若点和点分别为椭圆的中心和左焦点，点为椭圆上的任意一点，则的最小值为______．
15．已知数列满足．且数列是单调递增数列，则的取值范围是______．
16．若函数的定义域为，且，则______．
四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分）
17．已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．
18．记的内角的对边分别为，已知．
（1）求；
（2）若是上一点，为角的平分线，求．
19．设函数，其中为常数．
（1）当时，求的值：
（2）当时，关于的不等式恒成立，求的取值范围．
20．在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前天隧道拱顶的累加总下沉量（单位：毫米）与时间（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示：
（单位，天） 1 2 3 4 5 6 7
（单位， 米） 0.01 0.04 0.14 0.52 1.38 2.31 4.30
研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：
．
（1）试建立与的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1）
（2）已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米／天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数）
附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：；
②参节数据：．
21．已知数列中，．
（1）求证：是等比数列，并求的通项公式；
（2）数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围．
22．设函数．
（1）证明：．
（2）若恒成立，求的取值范围；
（3）证明：当时，．
龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试
期中考试数学答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B A B A D C C A，B A，B A，B，D A，B，D
第13题： 第14题：2 第15题：（2,5） 第16题：30
第17题：
【解析】 （1）当时，，则，
又，
在点处的切线方程为：，
即．
（2）由题意得：的定义域为；
当时，在上单调递增；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减；
当时，若，则；若，则；
在上单调递增，在上单调递减
综上所述：当时，在上单调递增；
当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增，在上单调递减．
第18题：
【解析】 （1）由题意结合正弦定理，可得，
所以，
即，
整理，可得．
因为，所以，所以，所以．
（2）由题可得在中，，
所以，解得，则，
又因为为角的平分线，
所以，
即，所以．
第19题：
【解析】 （1），
（2）：当时，恒成立，
，当时恒成立，
令，则，当时恒成立，
即对恒成立，
当时，，
第20题：
【解析】 （1）设，则．
当时，．
所以预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量为毫米
（2），下沉速率：，
所以设第天下沉速率超过27毫米/天，
则：
所以第10天该隧道拱顶的下沉速率超过27毫米/天，最迟在第9天需调整支护参数，才能避免塌方．
第21题：
【解析】 （1）证明：由，
得，
所以数列是以3为公比，以为首项的等比数列，
从而；
（2）
，两式相减得
若为偶数，则
若为奇数，则．
第22题：
【解析】 （1）令函数，
所以为单调递增函数，，故．
（2），即为
令即恒成立，
令，即，得．
当，即时，在上单调递增，，
所以当时，在上恒成立；
当，即时，在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以不恒成立．
综上所述：的取值范围为．
（3）由（1）知，
令，，即，
故有
上述各式相加可得．
因为，
，
所以．
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