课件15张PPT。27.2 相似三角形
27.2.1 相似三角形的判定
第1课时1.理解平行线分线段成比例定理；
2.知道当△ABC与△DEF的相似比为k时，△DEF与△ABC的相似比为 .即对应角相等对应边的比相等我们说△ABC与△DEF相似，记作 △ABC∽△DEF， △ABC和△DEF的相似比为k， △DEF与△ABC的相似比为 .如果∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F，判定两个三角形相似时，是否存在简便的判定方法呢？问题 如图l1∥l2 ∥ l3，你能否发现在两直线a，b上截得的线段有什么关系？ 通过计算可以得到：由此可得到：平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线所得的对应线段的比相等.说明： ①定理的条件是“三条平行线截两条直线”.
②是“对应线段成比例”，注意“对应”两字.强化“对应”两字理解和记忆如图如图l1∥l2∥l3 ，试根据图形写出成比例线段.平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例.如图，DE∥BC，△ADE与△ABC有什么关系?说明理由.相似ABCDE证明:在△ADE与△ABC中，∠A= ∠A∵ DE∥BC∴∠ADE=∠B, ∠AED=∠C，过E作EF∥AB交BC于F，∵四边形DBFE是平行四边形，F∴DE=BF.定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似.∴△ADE∽△ABC.平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所得
的三角形与原三角形________.相似“A”型 “X”型 图中共有____对相似三角形.已知：如图，AB∥EF ∥CD，3△EOF∽△CODAB∥EF △AOB∽△FOE AB∥CDEF∥CD△AOB∽△DOC1.（滨州中考）如图,A、B两点被池塘隔开,在AB
外取一点C,连结AC、BC，在AC上取点M，使AM=3MC，作
MN∥AB交BC于N，量得MN=38cm,则AB的长为 . 152cm2.如图，在△ABC中，DG∥EH∥FI∥BC，
（1）请找出图中所有的相似三角形；
（2）如果AD=1，DB=3，那么DG：BC=_____.△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC1:4 3.如图，△ABC 中，DE∥BC，GF∥AB，DE、GF交于点Ｏ，则图中与△ABC相似的三角形共有多少个?请你写出来.解析：与△ABC相似的三角形有3个: △ADE
△GFC
△GOE4.如图,已知DE ∥ BC,AE=50cm,EC=30cm,BC=70cm,
∠BAC=45°,∠ACB=40°.
(1)求∠AED和∠ADE的大小; (2)求DE的长.通过本节课的学习，需要掌握
1.平行线分线段成比例定理及其推论的应用.
2.判定三角形相似的方法.课件18张PPT。27.2.1 相似三角形的判定
第2课时1.理解定理“平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似”，“三边对应成比例的两个三角形相似”；
2.培养学生与他人交流、合作的意识.1. 对应角_______, 对应边 的两个三角形,
叫做相似三角形 .相等的比相等2.相似三角形的___________________, 各对应边 .对应角相等的比相等3.如何识别两三角形是否相似? ∵ DE∥BC，
∴ △ADE∽△ABC. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）
相交，所构成的三角形与原三角形相似.思考:有没有其他简单的办法判断两个三角形相似?是否有△ABC∽△A′B′C′？ABC三边对应成 比例证明:在△ABC的边AB(或延长线)上截取AD=A′B′, DE过点D作DE∥BC交AC于点E.又A′B′:AB=B′C′:BC=C′A′:CA∴AD:AB=AE:AC=DE:BC,△ADE∽△ABC ∵AD=A′B′∴AD:AB=A′B′:AB∴DE:BC=B′C′:BC,EA:CA=C′A′:CA.因此DE=B′C′,EA=C′A′.∴△A′B′C′∽△ABC∴△ADE≌△A′B′C′已知:如图△ABC和△A′B′C′中A′B′:AB
=A′C′:AC=B′C′:BC.求证:△ABC∽△A′B′C′.△ABC∽△A′B′C′ 如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似.简单地说:三边对应成比例，两三角形相似.【例】在△ABC和△A′B′C′中，已知：AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，A′B′＝18cm，B′C′＝24cm，A′C′＝30cm．试证明△ABC与△A′B′C′相似．证明：∵ ∴ ∴△ABC∽△A′B′C′（三边对应成比例的两个三角形相似）． 试说明∠BAD=∠CAE.∴ΔABC∽ΔADE
∴∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC
即∠BAD=∠CAE.答案:相似
相似比为2:1.4:2=5:x=6:y
4:x=5:2=6:y
4:x=5:y=6:2要作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边的长分别为4，5，6，另一个三角形框架的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似?这个问题有其他答案吗?45621.（泰州中考）一个铝质三角形框架三条边长分别
为24cm，30cm，36cm，要做一个与它相似的铝质三角形
框架，现有长为27cm，45cm的两根铝材，要求以其中的
一根为一边，从另一根上截下两段（允许有余料）作为
另外两边．截法有（ ）
A.0种 B. 1种 C. 2种 D. 3种B2.（衢州中考）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上．
(1)判断△ABC和△DEF是否相似，并说明理由；
(2)P1，P2，P3，P4，P5，D，F是△DEF边上的7个格点，请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点，使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形，并在图中连结相应线段，不必说明理由)．【解析】(1)△ABC和△DEF相似．根据勾股定理，得 ， ，BC=5； ， ，
.
∵ ，∴ △ABC∽△DEF．
(2) 答案不唯一，下面6个三角形中的任意2个均可．
△P2P5D，△P4P5F，△P2P4D，
△P4P5D，△P2P4 P5，△P1FD．3.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，证明：△ADE∽△EFC． 【解析】 ∵ DE∥BC （已知）
∴ ∠AED＝∠C （两直线平行，同位角相等），
又∵ EF∥AB （已知）
∴ ∠CEF＝∠A.（两直线平行，同位角相等）
∴ △ADE∽△EFC. （两组对应角分别相等的两个三角形相似）4.（成都中考）如图，已知线段AB∥CD，AD与B
C相交于点K，E是线段AD上一动点。 (1)若BK= KC，
求 的值；
(2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE= AD时，猜想线
段AB、BC、CD三者之间有怎样的等量关系?请写出你的
结论并予以证明．再探究：当AE= AD (n>2)，而其余
条件不变时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等
量关系?请直接写出你的结论，不必证明．【解析】∵AB∥CD，BK= KC，∴ = = .
（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；
∵∠ABE=∠EBC，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF，
∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD.
当AE= AD(n>2)时，(n-1)AB=BC+CD.1.平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
2.三边对应成比例的两个三角形相似.相似三角形的判定方法:课件14张PPT。27.2.1 相似三角形的判定
第3课时1.理解定理“两边对应成比例且夹角相等的两个三
角形相似”；
2.能灵活地选择定理判定相似三角形.判断两个三角形相似,你有哪些方法方法1：通过定义（不常用）方法2：通过平行线.方法3：三边对应成比例.如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么位置才能使△ADE∽△ABC相似呢？ 所画如图所示,此时，如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形一定相似吗？ ABCED证明:在△ABC的边AB，AC(或它们的延长线)
上分别截取AD=A′B′，AE=A′C′，连结DE.
∠A=∠A′，这样，△ADE≌△A′B′C′.∵A′B′:AB=A′C′:AC
∴ AD:AB=AE:AC
∴DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴△A′B′C′∽△ABC已知：如图△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，A′B′:AB=A′C′:AC.
求证：△ABC∽△A′B′C′.∴△ABC∽△如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似 .(两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似)A想一想：如果对应相等的角不是两条对应边的夹角，那么两个三角形是否相似呢？1.下列各组条件中不能使△ABC与△DEF相似的是（ ）
（A）∠A=∠D=40° ∠B=∠E=60°AB=DE
（B）∠A=∠D=60° ∠B= 40° ∠E=80°
（C）∠A=∠D=50° AB=3 AC=5 DE=6 DF=10
（D）∠B=∠E=70° AB：DE=AC：DF
注意：对应相等的角必须是成比例的两边的夹角，如果不是夹角，则它们不一定会相似．D1．（烟台中考）如图，△ABC中，
点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，则下
列结论一定正确的是（ ）
A.AB2=BC·BD B.AB2=AC·BD
C.AB·AD=BD·BC D.AB·AD=AD·CDA2．（2010·吉林中考）如图，在
△ABC中，∠C=90°，D是AC上一点，
DE⊥AB于点E，若AC=8，BC=6，DE=3，
则AD的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6C3.（无锡中考）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，且将这个四边形分成①、②、③、④四个三角形．若OA：OC=0B：OD，则下列结论中一定正确的
是 ( ) .
A．①与②相似 B．①与③相似
C．①与④相似 D．②与④相似
【解析】选B.根据两边对应成比例且夹角相等得选择项.4.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结CP．试增添一个条件使△ ACP∽△ABC．
【解析】 ⑴∵∠A=∠A，
∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时,
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A，
∴当AC:AP＝AB:AC时，
△ ACP∽△ABC.
答：增添的条件可以是
∠1= ∠ACB 或∠2= ∠B 或AC:AP＝AB:AC.5.如图△ABC中，D、E是AB、AC上点，AB＝7.8，AD＝3，AC＝6，CE＝2.1，试判断△ADE与△ABC是否会相似，
小张同学的判断理由是这样的：
【解析】∵ AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1
∴ AE＝6-2. 1＝3.9
由于
∴ △ADE与△ABC不会相似．
你同意小张同学的判断吗?请你说说理由．【解析】不同意，理由如下：
∵AC＝AE+CE，而AC＝6，CE＝2.1，
∴ AE＝6-2.1＝3.9 ，
∴ AE：AB =3.9：7.8=1：2，
AD：AC =3：6=1：2，
∴ AE：AB =AD：AC，
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．平行于三角形一边的直线与其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似;
三边对应成比例,两三角形相似;
两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似.相似三角形的判定方法:课件16张PPT。27.2.1 相似三角形的判定
第4课时1.理解定理“两角对应相等，两三角形相似”；
2.能灵活地选择定理判定相似三角形.这两个三角形的三个内角的大小有什么a关系？三个内角对应相等的两个三角形一定相似吗？三个内角对应相等.观察你与老师的直角三角尺 , 相似吗？画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75° .①分别量出两个三角形三边的长度；
②这两个三角形相似吗?即：如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角对应相等，那么这两个三角形_______．相似一定需三个角对应相等吗？相似三角形的判别方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应相等，那么这两个三角形相似．
如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是否一定相似吗？ CC'∵ ∠A=∠A'， ∠B=∠B'∴ ΔABC ∽ ΔA'B'C'用数学符号表示：相似三角形的判别(两个角分别对应相等的两个三角形相似.)【例1】弦AB和CD相交于⊙o内一点P，求证：
PA·PB=PC·PD.ABCDPO证明:连接AC、BD∵∠A、∠D都是 所对的圆周角，∴∠A=∠D.同理: ∠C=∠B.∴△PAC∽△PDB.即PA·PB=PC·PD.【例2】如图所示，在两个直角三角形△ABC和△A′B′C′中，∠B＝∠B′＝90°，∠A＝∠A′，判断这两个三角形是否相似． 解析：∵ ∠B＝∠B′＝90°（已知），∠A＝∠A′（已知）， ∴△ABC∽△A′B′C′（两个角分别对应相等的两个三角形相似．） 在△ABC 中， D、E 分别是AB、 AC延长线上的点，且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似．解析: ∵ DE∥BC （已知）
∴ ∠AED＝∠C（两直线平行，内错角相等），
∵∠EAD＝∠CAB.（对顶角）
∴△ADE∽△ABC.
（两组对应角分别相等的两个三角形相似.）常见的相似图形1.填一填
（1）如图1，点D在AB上，当∠ ＝∠ 时，
△ACD∽△ABC.
（2）如图2，已知：点E在AC上，若点D在AB上，则满足
条件 ，就可以使△ADE与原△ABC相似. ACD B (或者∠ACB＝∠ADC)DE//BCD(或者∠C＝∠AED)(或者∠B＝∠ADE)2．如图，在□ABCD中，EF∥AB，DE:EA=2:3，EF=4，求CD的长．解析：∵DE:EA=2:3
∴DE：DA=2：5 ∵ EF∥AB∴△DEF∽△ DAB∴ DE：DA=EF：AB
2：5=4：AB
AB=10
CD=103.如图，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，
试说明△ADE∽△EFC. 解析:∵DE∥BC，EF∥AB（已知），∴∠ADE＝∠B＝∠EFC （两直线平行同位角相等）∠AED＝∠C. （两直线平行同位角相等）∴△ADE∽△EFC. （两个角分别对应相等的两个三角形相似．）解析： ∵ ∠A= ∠A，∠ABD=∠C
∴ △ABD ∽△ACB
∴ AB :AC=AD :AB
∴ AB2 = AD·AC
∵ AD=2，AC=8
∴ AB =4.4.已知如图， ∠ABD=∠C，AD=2，AC=8，求AB. 解析：（1）△ABC与△FOA相似,因为直线l垂直平分线段AC，所以∠AFO=∠CFO=∠BAC，又∠AOF=∠ABC＝90° ，所以△ABC与△FOA相似.
（２）四边形AFCE是菱形，⊿AOE≌⊿COF，所以AE＝CF，又AE＝CE，AF＝CF，所以，AE＝CE＝AF＝CF，所以判定四边形AFCE是菱形.?5.（泰州中考）如图，四边形ABCD是矩形，直线l垂直平分线段AC，垂足为O，直线l分别与线段AD、CB的延长线交于点E、F.
（1）△ABC与△FOA相似吗？为什么？
（2）试判定四边形AFCE的形状，
并说明理由.相似三角形的判别方法有那些？方法1：通过定义方法4：通过两角对应相等.方法2：平行于三角形一边的直线.方法3：两边对应成比例且夹角相等.
