辽宁省大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

大连市滨城高中联盟2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试卷
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.椭圆的焦点坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知直线与平行，则的值是（ ）
A. 1 B. 2或5 C. 5 D. 1或2
3 .过点、且圆心在直线上的圆的标准方程为（ ）
A. B.
C. D.
4 .已知点，，点A关于直线的对称点为点B，在中，，则面积的最大值为（ ）
A． B． C． D．
5 .记椭圆：的左顶点为，右焦点为，过点且倾斜角为的直线与椭圆交于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6.下列结论正确的是（ ）
①过点且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为；
②圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1；
③；C. 直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是
④已知直线和以，为端点的线段相交，则实数的取值范围为；
A．①③ B．②③ C．②④ D．③④
7 .已知三棱锥的棱、、两两垂直，，，为的中点，在棱上，且平面，则下列说法错误的是（ ）。
A、
B、与平面所成的角为
C、三棱锥外接球的表面积为
D、点到平面的距离为
8.在对角线的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线、的距离之和为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.已知直线：，则下列选项中不正确的有（ ）
A．直线的倾斜角为 B．直线的斜率为
C．直线的一个法向量为 D．直线的一个方向向量为
10.已知圆和圆的公共点为，，则（ ）
A. B. 直线的方程是
C. D.
11.如图，在菱形中，，，沿对角线将折起，使点A，C之间的距离为，若P，Q分别为线段，上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．平面平面
B．线段PQ的最小值为
C．当AQ=QC，4PD=QC时，点D到直线PQ的距离为
D．当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，PQ与AD所成角的余弦值为
已知：的左，右焦点分别为，，长轴长为6，点在椭圆外，点在椭圆上，则下列说法中正确的有（ ）
A．椭圆的离心率的取值范围是
B．椭圆上存在点使得
C．已知，当椭圆的离心率为时，的最大值为
D．的最小值为
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.已知直线l过点且方向向量为，则l在x轴上的截距为______.
14.设点是圆上任意一点，由点向轴作垂线，垂足为,且，求点的轨迹的方程_______________.
15.如图所示，在平行六面体中，与交于点，在底面的射影为点，与底面所成的角为，，，则对角线的长为 。
16.已知圆C：，点，过点M且垂直于CM的直线交圆C于A，B两点，过A，B两点分别作圆C的切线，两切线相交于点P，则过点P且平行于AB的直线方程为______．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17. 在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点和所在直线的方程为，
（1）求对角线所在直线一般形式方程；
（2）求所在直线一般形式方程．
圆心在直线上的圆C，经过点，并且与直线相切
（1）求圆C的方程；
（2）圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，求直线l的方程.
19. 已知四棱锥，底面为平行四边形，，，，，．
（Ⅰ）若平面平面，证明：；
（Ⅱ）求二面角的余弦值．
20. 已知椭圆E的中心在坐标原点O，两个焦点分别为A（﹣1，0），B（1，0），一个顶点为H（2，0）．
（1）求椭圆E的标准方程；
（2）对于x轴上的点P（t，0），椭圆E上存在点M，使得MP⊥MH，求实数t的取值范围．
21如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．
（1）求直线的方程，并判断直线是否过定点若是，求出定点的坐标，若不是，请说明理由；
（2）求线段中点的轨迹方程；
（3）若两条切线，与轴分别交于，两点，求的最小值．
22.如图，在三棱柱中，底面是边长为2的等边三角形，分别是线段的中点，在平面内的射影为.
（1）求证：平面；
（2）若点为棱的中点，求点到平面的距离；
（3）若点为线段上的动点（不包括端点），求锐二面角的余弦值的取值范围.
参考答案
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.【答案】A【详解】因为椭圆，，，焦点在轴，
所以，焦点坐标为.
2.【答案】B
【详解】由平行条件可知，
当时，，解得；
当时，解得，此时，两条直线也平行；
所以或.
3.【答案】A
【详解】设圆心为，由可得，
整理可得，解得，所以圆心，
所求圆的半径为，因此，所求圆的标准方程为.
4.【答案】C
【详解】设的坐标为，则，则的坐标为，
设，，
．
所以.
故选：C
5.【答案】A
【详解】因为椭圆的左顶点为，右焦点为，
所以，
因为点在轴上方，又，所以将代入椭圆可得，即，
因为直线的倾斜角为，
所以，又，
化简，所以解得.
故选：A.
6.【答案】B
【解析】对①，当截距为零时，易得直线l为，①错；
对②，圆的圆心为，半径，则圆心到l的距离为，
故圆上有且仅有3个点到直线：的距离都等于1，②对；
对③，对于选项C：由题知直线过定点，
曲线表示以为圆心，为半径的圆在直线及上方的半圆，
如图，直线为过点，与半圆相切的切线，切点为，
所以，要使直线与曲线有两个不同的交点，则，
所以，当直线与半圆相切时，有，解得，即
因，
所以实数的取值范围是
对④，直线，过定点，则，
直线和以，为端点的线段相交，则或，④错；
故选：B
7.【答案】C
【解析】∵平面，平面 ，平面平面，∴，
∵为的中点，∴为的中点，
则，A选项对，
∵、、两两垂直，，、平面，
∴平面，得与平面所成的角为，
又，∴，B选项对，
由题意可知三棱锥可补形得到一个以、、为相邻三条棱的长方体，
∵，，∴三棱锥外接球的半径，
∴三棱锥外接球的表面积为 ，C选项错，
∵、、两两垂直，，、平面，
∴平面，又，∴平面，平面，∴平面平面，
∵平面平面，∴点到平面的距离即点到的距离，
在中，、，∴，则边上的高为，
即点到平面的距离为，D选项对，故选C。
8.【答案】A设，因为点到直线、的距离之和为，
所以点到点和点的距离之和为，
由椭圆的定义可知：点的轨迹是椭圆的一部分，
以所在的直线为轴，线段的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，
因为正方体的体对角线，所以正方体的棱长为，
则，，所以，，，
可得点的轨迹为椭圆，
所以，，
则
，
因为，所以，所以，
由此可得，
故选：A.
二、多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
9.【答案】ABC
【详解】将直线的方程化为斜截式得，即直线的斜率，
对于A，由直线的斜率知，直线的倾斜角为，故选项A不正确；
对于B，直线的斜率，故选项B不正确；
直线的一个方向向量
对于C，，因此与不垂直，故选项C不正确；
对于D，，∴，故选项D正确.
选项中，不正确的有A，B，C三项.
故答案为：ABC.
10.【答案】ABD
【详解】圆的圆心是，半径，圆，圆心，，
，故A正确；
两圆相减就是直线的方程，两圆相减得，故B正确；
，，，，所以不正确，故C不正确；
圆心到直线的距离，，故D正确.
故选：ABD
11.【解答过程】取的中点，连接，
∵在菱形中，，，
∴，又，
∴，所以，
又易知，
因为，，，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，故A正确；
以为原点，分别为轴建立坐标系，
则，
当，时，，，
，，
所以点D到直线PQ的距离为，故C错误；
设，设，可得，
，
当时，，故B正确；
当P，Q分别为线段BD，CA的中点时，
，，，，
设PQ与AD所成的角为，
则，
所以PQ与AD所成角的余弦值为，故D正确；
故选：ABD
12.【答案】ABD
【详解】对于A，由题意可知，所以，所以椭圆方程为，
因为在椭圆外，所以解得，
因为，所以，故A正确；
对于B，当点位于上下顶点时，最大，
此时，
，
所以为钝角，所以椭圆上存在点使得，故B正确；
对于C，由离心率，所以，
所以椭圆方程为，设点,
则，
当时有最大值为,此时,故C错误；
对于D，，
，当且仅当，即点位于上下顶点时，有最小值，
故D正确；
故选:ABD.
三、填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13.【答案】-1【详解】因为直线的方向向量为，所以直线斜率，
又直线过点，所以直线方程为，即，
令，得，所以在x轴上的截距为-1.
14.【答案】
设，则
由点向轴作垂线，垂足为,且，故，
又点在圆上
15.【答案】
【解析】由题意知底面，且，
，∴，
在平行六面体中，四边形是平行四边形，且与交于点，
则为中点，且，则，，，，
∴。
16.【答案】
【详解】根据题意，圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，则圆心C（1，2），半径为，
则CM的斜率k==1，
则AB的斜率k=﹣1，
则AB的方程为y﹣3=﹣（x﹣2），即x+y﹣5=0，
设要求直线，过点P且平行于AB的直线为l，其方程为x+y﹣m=0，
Rt△CAM 中，CA=，CM==，
又由Rt△CAM～Rt△CPA，
则有=，
则有CP==，
直线l：x+y﹣m=0在点C的上方，且C到直线l的距离为CP=，
则有CP==，
解可得：m=8或m=﹣2，
又由直线l在C的上方，则m=8；
故直线l的方程为x+y﹣8=0；
故答案为x+y﹣8=0．
四、解答题（共6小题，满分70分）
17.【小问1详解】
如图所示，菱形顶点和，
所以的中点， -------------1分
直线的斜率为的斜率为，-------------3分
所以直线的方程为：，
即；-----------------------5分
【小问2详解】
由直线的方程和直线的方程联立，
得，解得，即点；----------7分
设点，则，
解得，
所以点；------------8分
又，则的直线方程为，
化为一般形式是．------------10分
18.【小问1详解】
设圆C的标准方程为，
由题意得，解得，
所以圆C的方程为；------------6分
【小问2详解】
设直线与圆C交于B D两点，过点作，垂足为，
因为圆C被直线分割成弧长的比值为的两段弧，
所以，则，
即圆心C到直线l的距离为，且，-----------8分
因为直线l的方程为，
所以，化简解得或，
故所求直线l的方程为或.-------------------12分
19.（Ⅰ）证明：因为底面为平行四边形，所以．又平面，平面，所以平面．又因为平面平面，根据线面平行的性质定理，，所以．----------------4分
（Ⅱ）由题意得，，，
所以，，．
又，所以平面．因为，所以平面．
又，所以，，两两垂直．--------------6分
以为坐标原点，，，所在的直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则点，，，，，所以，，．
设平面的法向量为，则
令，则，，则一个法向量．----------7分
设平面的法向量为，
则令，则，，
则一个法向量，------------8分
则．-------------10分
由图易得二面角为锐二面角，所以二面角的余弦值为．---------------12分
20.解：（1）由题意得，c=1，a=2，则b=
故所求的椭圆标准方程为；------------4分
（2）设M（x0，y0）（x0≠±2），则 ①
又由P（t，0），H（2，0）．则，
由MP⊥MH可得，
即（t﹣x0，﹣y0） （2﹣x0，﹣y0）= ------8分
由①②消去y0，整理得 ②
∵x0≠2，∴---------------10分
∵﹣2＜x0＜2，∴﹣2＜t＜﹣1故实数t的取值范围为（﹣2，﹣1）．--------12分
21.【解析】（1），，，
故以为圆心，为半径的圆的方程为，
显然线段为圆和圆的公共弦，
则直线的方程为，即，
经判断直线过定点，即所以直线过定点--------4分
（2）因为直线过定点，的中点为直线与直线的交点，
设的中点为点，直线过的定点为点，
易知始终垂直于，所以点的轨迹为以为直径的圆，又，，故该圆圆点，半径，且不经过.
点的轨迹方程为----------8分（没抠点扣1分）
（3）设切线方程为，即，
故到直线的距离，即，
设，的斜率分别为，，则，，----------10分
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为．-------------12分
22.【解答过程】（1）法一：连结，因为为等边三角形，为中点，，
又平面，平面，
平面
平面，又平面，
由题设知四边形为菱形，，
分别为中点，，
又 平面平面.-------4分
法二：由平面，平面，
又为等边三角形，为中点，，则以为坐标原点，所在直线为轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则
又 平面平面.
法三：（同法二建系）设平面的一个法向量为
，即
不妨取，则，则
所以平面的一个法向量为
，，， 平面
由（1）坐标法得，平面的一个法向量为（或）----------6分
点到F到平面的距离=- -------8分
（3）
设，则，
；
由（1）知：平面平面的一个法向量
（或者由（1）中待定系数法求出法向量）；
设平面的法向量，
则，令，则；
，--------10分
令，则 ；
，
即锐二面角的余弦值的取值范围为.--------12分