辽宁省沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）

沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高二上学期期中考试
数学
（满分：150分 考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题时，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．答非选择题时，必须使用黑色墨水笔或黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上，写在试题卷、草稿纸上无效．
4．考试结束后，将试题卷和答题卡一并交回．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的）
1．在空间直角坐标系中，点关于平面的对称点是（ ）
A． B． C． D．
2．圆的圆心坐标及半径分别为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，在平行六面体中，化简（ ）
第3题图
A． B． C． D．
4．已知三点不共线，对空间任意一点，若，则四点（ ）
A．不共面 B．不一定共面 C．共面 D．无法判断是否共面
5．明朝的一个葡萄纹椭圆盘如图1所示，清朝的一个青花山水楼阁纹饰椭圆盘如图2所示，北宋的一个汝窑椭圆盘如图3所示，这三个椭圆盘的外轮廊均为椭圆．已知图1，2，3中椭圆的长轴长与短轴长的比值分别为，设其离心率分别为，则（ ）
图1 图2 图3
第5题图
A． B． C． D．
6．如图，斜三棱柱的所有棱长均为，点满足，，则（ ）
第6题图
A． B． C．2 D．
7．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．如图1，菱形的边长为为的中点，如图2，将沿直线翻折至处，连接，若四棱锥的体积为为的中点，则点到直线的距离为（ ）
图1 图2
第8题图
A． B． C． D．
二、多选题（本大题共4小题，每小題5分，共20分．在每小题所给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知向量，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．能构成空间向量的一组基底
10．已知为椭圆的一个焦点，为该椭圆的两个顶点，若，则满足条件的椭圆方程为（ ）
A． B． C． D．
11．过圆上一点作圆的两条切线，切点分别为，则（ ）
A． B．
C． D．直线与圆相切
12．已知空间单位向量两两之间的夹角均为，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．过点与直线平行的直线的一般式方程为______．
14．在空间直角坐标系中，已知点，若四边形为平行四边形，则的值分别为______．
15．如图，在直三棱柱中，所有的棱长都相等，为的中点，为的中点，则与所成角的余弦值为______．
16．已知点到定点的距离比它到轴的距离大，则______，点的轨迹点的方程为______．
四、解答题（本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（10分）（1）求与向量共线，且满足的向量的坐标；
（2）已知点，若空间中一点使得，求点的坐标；
18．（12分）已知的三个顶点分别是，求：
（1）边所在直线的一般式方程；
（2）边的垂直平分线所在直线的斜截式方程．
19．（12分）如图，在正四棱柱中，．点分别在棱上，．
（1）求点到平面的距离；
（2）点在棱上，当二面角为时，求的长．
20．（12分）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯在《平面轨迹》一书中，曾研究了众多的平面轨迹问题，其中有如下结果：平面内到两定点距离之比等于已知数的动点轨迹为直线或圆，后世把这种圆称之为阿波罗尼斯圆．已知在平面直角坐标系中，，且．
（1）若为的中点，求点的轨迹方程；
（2）若点在点的轨迹上运动，求的取值范围．
21．（12分）已知椭圆，其左、右焦点分别为，直线与椭圆交于两点，且弦被点平分．
（1）求直线的一般式方程；
（2）求的面积
22．（12分）如图，三棱锥的底面为等腰直角三角形，．分别为的中点，平面，点在线段上．
（1）从下面的①、②、③、④四个条件中选择两个作为已知，使得平面平面，并给予证明；
条件①：；条件②：；条件③：；条件④：．
（2）在（1）的条件下，求直线与平面所成的角的正弦值．
沈阳市重点高中联合体2023-2024学年高二上学期期中考试
数学 参考答案及评分标准
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）
1．B【解析】点关于平面的对称点是．
2．B【解析】把转化为标准方程，得，所以圆心为，半径为．
3．A【解析】因为为平行六面体，所以．
4．C【解析】对于空间任意点和不共线三点，若点满足，且，则四点共面．而，其中，所以四点共面．
5．C【解析】椭圆的标准方程为，且，可知椭圆的长轴长与短轴长的比值为，
故离心率，
则．由，则．
6．D【解析】．
因为斜三棱柱的所有棱长均为，
所以
，所以．
7．B【解析】直线恒过点．易得直线与坐标轴的交点分别为．直线的斜率，此时直线的倾斜角为；直线的斜率不存在，此时直线的倾斜角为，所以直线的倾斜角的取值范围是．
8．A【解析】因为四边形为菱形，，所以为等边三角形．由为的中点，易得平面．因为菱形的边长为4，所以，所以直角梯形的面积为．设四棱锥的高为，则，解得，故是该四棱锥的高，所以平面．以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，所以，所以，
所以，
所以点到直线的距离为．
二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
9．ABC【解析】因为，所以，故A正确；，故B正确；，故C正确；．设，解得，此时共面，不能构成空间向量的一组基底，故D错误．故选ABC．
10．AC【解析】当为长轴的两个顶点时，可得解得所以，此时椭圆的方程为；当为椭圆短轴的顶点，为长轴的顶点时，可得解得则，此时椭圆的方程为；当为椭圆长轴的顶点，为短轴的顶点时，可得解得则，此时椭圆的方程为．故选AC．
11．BCD【解析】由题意作图如下．设圆与圆的圆心为，则．因为与圆相切，所以．在中，，所以，所以．又，所以，故A错误，B、C正确．设与交于点，由与圆相切，则．由，易知．在中，．又圆的半径为，所以直线与圆相切，故D正确．故选BCD．
12．BC【解析】由单位向量两两夹角均为，故，故A错误；，故B正确；由，得．由，得，
所以，则
，故C正确；，
所以，故，故D错误．故选BC．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．【解析】设所求直线的一般式方程为．将点的坐标代入所求直线方程可得，解得，故所求直线的一般式方程为．
14．【解析】，因为四边形为平行四边形，所以，所以，所以．
15．【解析】以为原点，在平面中，过点作的垂线为轴，以所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设直三棱柱的棱长都为2，则，所以．设与所成角的大小为，则．
16． 或【解析】依题意，得，即①，则，两边平方得，则②，两边平方得，整理得，即，可得或．当时，②转化为，所以，此时①转化为，所以，所以点的轨迹的方程为或．
四、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．解：（1）因为向量与共线，故可设．
由，得，故，
所以．
（2）设，则，．
因为，
所以，，
解得，
所以点的坐标为．
18．解：（1）由直线方程的两点式，得，
所以直线的一般式方程为．
（2）边的中点坐标为．
因为边所在直线的斜率为，
所以直线的斜率为．
所以直线的方程为，即．
19．解：（1）如图，以为坐标原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则，
所以．
设平面的一个法向量为，
所以
令，则，所以．
又因为，
所以点到平面的距离
（2）设，
则．
设平面的一个法向量为，
则
令，则，所以，
所以，
可得，解得或，所以．
20．解：（1）设，则，
化简得，故点的轨迹方程为．
设，因为为的中点，所以点的坐标为，
将代入中，得，
所以点的轨迹方程为．
（2）因为点在点的轨迹上运动，
所以，变形为，
即点为圆心为，半径为2的圆上的点，
则表示的几何意义为圆上一点与点连线的斜率，如图，当过点的直线与圆相切时，取得最值．设过点的直线为，即，
则由点到直线的距离公式可得，
解得或，
故的取值范围是．
21．解：（1）设点．
因为弦被点平分，所以．
分别把点的坐标代入椭圆方程，得
两式相减，得，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即．
（2）由椭圆的方程，可得，所以．
联立椭圆与直线方程
得，所以，所以．
易得直线过点，
所以．
22．（一）当学生选择①④时
解：（1）由平面，平面，平面，
则．
又由题可知，如图，建立以为原点的空间直角坐标系，则．设，
则，，．
故．
设平面的法向量为，
则
令，可得．
设平面的法向量为，则
令，可得．
所以，
所以平面平面．
（2）由（1）知，平面的法向量为．
设直线与平面所成角为，则．
（二）当学生选择②③时
解：（1）由平面，平面，平面，
则．
又由题可知，如图，建立以为原点的空间直角坐标系，则．
设，
则，
，
故．
设平面法向量为，
则
令，可得
设平面的法向量为，
则
令，可得．
所以，
所以平面平面．
（2）由（1）知，
平面的法向量．
设直线与平面所成角为，则．