辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析）
文档属性
| 名称 | 辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 857.5KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-11-09 09:46:09 | ||
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文档简介
辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，，且，那么实数等于（ ）
A． B．6 C． D．15
3．两个不重合的平面，，平面的法向量为，是平面内的三角形且，，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能
4．在四面体ABCD中，，，，点M在DA上，且，N为BC中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
6．已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．在平面直角坐标系中，，，平面中动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．直线 D．椭圆或线段
8．已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．点（2，6）在直线l上 B．直线l的一个方向向量为
C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的一个法向量为
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，，与向量，，分别构成空间向量的一组基底，则
B．若非零向量，，满足，，则有
C．若，，是空间向量的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．若向量，，是空间向量的一组基底，则，，也是空间向量的一组基底
11．已知曲线C的方程为，给出下列四个结论中正确的是（ ）
A．曲线C为一个圆
B．曲线C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为6
C．直线（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线C恒有两个交点
D．曲线C上存在点P，使得P到点B（2，0）与点的距离之和为8
12．在四面体P－ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体P－ABC的棱长都为a，点M，N分别为PA，BC的中点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线，，若，则实数______．
14．与方向相同的单位向量是______．
15．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______．
16．已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在长方体中，，，E为AB中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点B到平面的距离．
18．（12分）如图，直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，设，若，
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E是PD的中点，，，．
（1）求证：平面ACE；
（2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线l过点M，且点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与动点P的轨迹方程所表示的曲线C的位置关系．
21．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为（1，0）．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求的取值范围．
22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点．
辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分意见
1．D【解析】因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为，又直线l经过点，所以直线l的方程为，即．故选D．
2．D【解析】∵，，且，
∴，解得，，∴．故选D．
3．A【解析】设平面的法向量为，
则设，则，，即．
由，得平面平面．故选A．
4．B【解析】∵点M在线段DA上，且，N为BC中点，
∴，，
∴．故选B．
5．A【解析】如图所示：依题意直线l过点，，，要想直线l过点且与线段MN相交，则或．故选A．
6．D【解析】M在圆O上，则切线只有一条．圆心为（0，0），所以，所以过M的切线l的斜率为，设倾斜角为，则，由于，故，即，故选D．
7．A【解析】因为，所以，即，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．故选A．
8．D【解析】由椭圆的对称性，得．设，则．
由椭圆的定义，知，即，
解得，故，．
在中，由勾股定理，得，
即，则，故．故选D．
9．BD【解析】对于A项，当，时，代入直线方程后得，∴点（2，6）不在直线l上，故A项错误；
对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴为直线l的一个方向向量，故B项正确；
对于C项，令得，∴直线l在y轴上的截距为，故C项错误；
对于D项，∵向量与直线l垂直，故D项正确．故选BD．
10．CD【解析】对于A，，，能构成空间向量的一组基底，，，也能构成空间向量的一组基底，则与不一定平行，A错；
对于B，若非零向量，，满足，，则与不一定共线，B错；
对于C，若，，是空间向量的一组基底，且，则，即，所以，A，B，C，D四点共面，C对；
对于D，因为向量，，是空间向量的一组基底，假设，，共面，若，不妨设，设存在，使得，，所以，，，，此时，向量，，共线，与题设矛盾；若，，共面，且，不共线，则存在，使得，则，，所以，，，共面，与题设矛盾，故，，也是空间向量的一组基底，D对．故选CD．
11．ACD【解析】由，得，曲线C为一个圆，所以A正确；
点（1，1）在圆的外部，因为（1，1）到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点D到（1，1）的距离的范围为，而，所以B不正确；
直线（k为常数），则，则直线过定点，且点Q在圆内，则无论k为何值，直线l与曲线C恒有两个交点，所以C正确；
假设存在这样的点P，使得P到点B与点的距离之和为8，则P在以点（2，0）与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即P在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线C上存在点P，使得P到点B（2，0）与点的距离之和为8，所以D正确．故选ACD．
12．BC【解析】对于A：∵，∴，∴，∴，故A错误；
对于B：若Q为的重心，则，∴，故B正确；
对于C：∵，，
∴
，
故C正确；
对于D：∵，
∴，
∴
，
∴．故D错误．故选BC．
13．2【解析】因为直线，，且，所以，解得．故答案为2．
14．【解析】，故答案为．
15．【解析】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，当时，的最小值为．故答案为．
16．【解析】根据中位线定理，，于是，解得，因此双曲线的离心率e的取值范围是．故答案为．
17．解：（1）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系．
，E（1，1，0），B（1，2，0），A（1，0，0），，，．
设直线与直线所成角为，则．
（2）由题意C（0，2，0），，
设平面的法向量为，
则令，可得，，所以，
又，所以点B到平面的距离为．
18．（1）解：，
则．
∴．
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴．
以O为坐标原点，，正方向为x，y轴，过点O且平行于的直线为z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得O（0，0，0），，，
∴，．
设平面的法向量，
则令，解得，，∴．
∵平面轴，∴平面的一个法向量
设平面与平面所成角为，
∴，
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．
19．（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE．
因为点O，E分别是BD，PD的中点，所以，
平面ACE，平面ACE，所以平面ACE
（2）解：如图，以点A为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
，，．
设平面ACE的法向量为，
则即令，则，，
所以平面ACE的一个法向量为．
设直线CP与平面ACE所成角为，
所以．
20．解：（1）设，由题意得．又，N（1，0），
所以，整理得．
故动点P的轨迹方程为．
（2）显然圆的圆心坐标为C（2，0），半径为，
当直线l的斜率不存在时，不符合题意
设直线l的方程为，
因为点N到直线l的距离为1，所以，解得，
所以直线l的方程为，即，
所以圆心C到直线l的距离为，
因为，所以直线l与曲线C相交．
21．解：（1）由渐近线方程为，所以，
又右顶点为（1，0），所以，所以，
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线l的方程为，设，
则由得．
因为直线与双曲线一支交于M，N两点，
所以解得，
因此
．
因为，所以，
所以，所以，
故．
22．（1）解：设椭圆C的方程为，
由题意得解得
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设点，
∵，∴
整理可得①，
当直线MN的斜率k存在时，设，
联立得，
由得，
则．
∴，，
代入①式化简可得，
即，∴或，
则直线方程为或，
∴直线过定点（2，1）或，又（2，1）和A点重合，故舍去．
当直线MN的斜率k不存在时，则，，
此时，即，
又，解得或2（舍去），
此时直线MN的方程为，过点．
综上所述，直线MN过定点．
数学试题
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知直线l经过点，且与直线平行，则直线l的方程为（ ）
A． B． C． D．
2．已知空间向量，，且，那么实数等于（ ）
A． B．6 C． D．15
3．两个不重合的平面，，平面的法向量为，是平面内的三角形且，，则（ ）
A．平面平面 B．平面平面
C．平面、平面相交但不垂直 D．以上均有可能
4．在四面体ABCD中，，，，点M在DA上，且，N为BC中点，则（ ）
A． B． C． D．
5．设点，，若直线与线段MN相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C． D．
6．已知圆，过作圆O的切线l，则直线l的倾斜角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
7．在平面直角坐标系中，，，平面中动点P满足条件（m为常数，且），则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆 B．线段 C．直线 D．椭圆或线段
8．已知椭圆的左、右焦点分别是，，A，B是椭圆C上关于原点对称的两点，且，若，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．点（2，6）在直线l上 B．直线l的一个方向向量为
C．直线l在y轴上的截距为8 D．直线l的一个法向量为
10．下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A．若向量，，与向量，，分别构成空间向量的一组基底，则
B．若非零向量，，满足，，则有
C．若，，是空间向量的一组基底，且，则A，B，C，D四点共面
D．若向量，，是空间向量的一组基底，则，，也是空间向量的一组基底
11．已知曲线C的方程为，给出下列四个结论中正确的是（ ）
A．曲线C为一个圆
B．曲线C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为6
C．直线（k为常数），无论k为何值，直线l与曲线C恒有两个交点
D．曲线C上存在点P，使得P到点B（2，0）与点的距离之和为8
12．在四面体P－ABC中，下列说法正确的是（ ）
A．若，则
B．若Q为的重心，则
C．若，，则
D．若四面体P－ABC的棱长都为a，点M，N分别为PA，BC的中点，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知直线，，若，则实数______．
14．与方向相同的单位向量是______．
15．如图，长方体中，，，点P为线段上一点，则的最小值为______．
16．已知双曲线，O为坐标原点，，为其左、右焦点，若左支上存在一点P，使得的中点M满足，则双曲线的离心率e的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在长方体中，，，E为AB中点．
（1）求直线与所成角的余弦值；
（2）求点B到平面的距离．
18．（12分）如图，直四棱柱中，底面ABCD是菱形，，设，若，
（1）求的长；
（2）求二面角的余弦值．
19．（12分）如图，四棱锥的底面ABCD是矩形，侧棱底面ABCD，E是PD的中点，，，．
（1）求证：平面ACE；
（2）求直线CP与平面ACE所成角的正弦值．
20．（12分）在平面直角坐标系xOy中，已知点，N（1，0），若动点P满足．
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）若直线l过点M，且点N到直线l的距离为1，求直线l的方程，并判断直线l与动点P的轨迹方程所表示的曲线C的位置关系．
21．（12分）已知双曲线的渐近线方程为，右顶点为（1，0）．
（1）求双曲线C的标准方程；
（2）过的直线l与双曲线C的一支交于M，N两点，求的取值范围．
22．（12分）已知焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，且过点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）点M，N在C上，且，证明：直线MN过定点．
辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高二上学期期中考试
数学参考答案及评分意见
1．D【解析】因为直线l与直线平行，所以直线l的斜率为，又直线l经过点，所以直线l的方程为，即．故选D．
2．D【解析】∵，，且，
∴，解得，，∴．故选D．
3．A【解析】设平面的法向量为，
则设，则，，即．
由，得平面平面．故选A．
4．B【解析】∵点M在线段DA上，且，N为BC中点，
∴，，
∴．故选B．
5．A【解析】如图所示：依题意直线l过点，，，要想直线l过点且与线段MN相交，则或．故选A．
6．D【解析】M在圆O上，则切线只有一条．圆心为（0，0），所以，所以过M的切线l的斜率为，设倾斜角为，则，由于，故，即，故选D．
7．A【解析】因为，所以，即，所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．故选A．
8．D【解析】由椭圆的对称性，得．设，则．
由椭圆的定义，知，即，
解得，故，．
在中，由勾股定理，得，
即，则，故．故选D．
9．BD【解析】对于A项，当，时，代入直线方程后得，∴点（2，6）不在直线l上，故A项错误；
对于B项，设直线l的倾斜角为，∵，∴为直线l的一个方向向量，故B项正确；
对于C项，令得，∴直线l在y轴上的截距为，故C项错误；
对于D项，∵向量与直线l垂直，故D项正确．故选BD．
10．CD【解析】对于A，，，能构成空间向量的一组基底，，，也能构成空间向量的一组基底，则与不一定平行，A错；
对于B，若非零向量，，满足，，则与不一定共线，B错；
对于C，若，，是空间向量的一组基底，且，则，即，所以，A，B，C，D四点共面，C对；
对于D，因为向量，，是空间向量的一组基底，假设，，共面，若，不妨设，设存在，使得，，所以，，，，此时，向量，，共线，与题设矛盾；若，，共面，且，不共线，则存在，使得，则，，所以，，，共面，与题设矛盾，故，，也是空间向量的一组基底，D对．故选CD．
11．ACD【解析】由，得，曲线C为一个圆，所以A正确；
点（1，1）在圆的外部，因为（1，1）到圆心的距离，半径为2，所以圆上的点D到（1，1）的距离的范围为，而，所以B不正确；
直线（k为常数），则，则直线过定点，且点Q在圆内，则无论k为何值，直线l与曲线C恒有两个交点，所以C正确；
假设存在这样的点P，使得P到点B与点的距离之和为8，则P在以点（2，0）与点为焦点，实轴长为8的椭圆上，即P在椭圆上，易知椭圆与曲线有交点，故曲线C上存在点P，使得P到点B（2，0）与点的距离之和为8，所以D正确．故选ACD．
12．BC【解析】对于A：∵，∴，∴，∴，故A错误；
对于B：若Q为的重心，则，∴，故B正确；
对于C：∵，，
∴
，
故C正确；
对于D：∵，
∴，
∴
，
∴．故D错误．故选BC．
13．2【解析】因为直线，，且，所以，解得．故答案为2．
14．【解析】，故答案为．
15．【解析】以为坐标原点，分别以，，为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，
则，当时，的最小值为．故答案为．
16．【解析】根据中位线定理，，于是，解得，因此双曲线的离心率e的取值范围是．故答案为．
17．解：（1）由题意，建立如图所示的空间直角坐标系．
，E（1，1，0），B（1，2，0），A（1，0，0），，，．
设直线与直线所成角为，则．
（2）由题意C（0，2，0），，
设平面的法向量为，
则令，可得，，所以，
又，所以点B到平面的距离为．
18．（1）解：，
则．
∴．
（2）解：∵四边形ABCD为菱形，∴．
以O为坐标原点，，正方向为x，y轴，过点O且平行于的直线为z轴，可建立如图所示的空间直角坐标系．
由题意得O（0，0，0），，，
∴，．
设平面的法向量，
则令，解得，，∴．
∵平面轴，∴平面的一个法向量
设平面与平面所成角为，
∴，
∵二面角为锐二面角，∴二面角的余弦值为．
19．（1）证明：连接BD，交AC于点O，连接OE．
因为点O，E分别是BD，PD的中点，所以，
平面ACE，平面ACE，所以平面ACE
（2）解：如图，以点A为坐标原点，以，，分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则A（0，0，0），C（1，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
，，．
设平面ACE的法向量为，
则即令，则，，
所以平面ACE的一个法向量为．
设直线CP与平面ACE所成角为，
所以．
20．解：（1）设，由题意得．又，N（1，0），
所以，整理得．
故动点P的轨迹方程为．
（2）显然圆的圆心坐标为C（2，0），半径为，
当直线l的斜率不存在时，不符合题意
设直线l的方程为，
因为点N到直线l的距离为1，所以，解得，
所以直线l的方程为，即，
所以圆心C到直线l的距离为，
因为，所以直线l与曲线C相交．
21．解：（1）由渐近线方程为，所以，
又右顶点为（1，0），所以，所以，
故双曲线的标准方程为．
（2）设直线l的方程为，设，
则由得．
因为直线与双曲线一支交于M，N两点，
所以解得，
因此
．
因为，所以，
所以，所以，
故．
22．（1）解：设椭圆C的方程为，
由题意得解得
∴椭圆C的标准方程为．
（2）证明：设点，
∵，∴
整理可得①，
当直线MN的斜率k存在时，设，
联立得，
由得，
则．
∴，，
代入①式化简可得，
即，∴或，
则直线方程为或，
∴直线过定点（2，1）或，又（2，1）和A点重合，故舍去．
当直线MN的斜率k不存在时，则，，
此时，即，
又，解得或2（舍去），
此时直线MN的方程为，过点．
综上所述，直线MN过定点．
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