辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高三上学期11月期中考试数学试题（含解析）

辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．若复数（i为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
2．设全集，，则（ ）
A． B． C． D．
3．“”是“，”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若关于x的不等式在区间内有解，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．已知向量，，，则（ ）
A． B． C． D．
6．已知为等比数列，其公比，前7项的和为1016，则的值为（ ）
A．8 B．10 C．12 D．16
7．现有一个圆台形状的容器，从内部量，其两个底面的面积之比为，且轴截面的面积为9平方分米，母线长为上底面圆的半径的倍，则这个圆台形容器的容积为（取3）（ ）
A．24升 B．21升 C．30升 D．36升
8．已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．关于函数，下列说法正确的是（ ）
A．函数在上单调递减
B．函数的图像关于点中心对称
C．函数的对称轴方程为，
D．将的图象向右平移个单位长度后，可以得到的图像
10．对于数列，如果为等比数列，那么就称为“等和比数列”．已知数列，且，，设为数列的前n项和，且，则下列判断中正确的有（ ）
A． B． C． D．
11．定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则下列结论正确的有（ ）
A． B． C． D．
12．素描几何体是素描初学者学习绘画的必学课程，是复杂形体最基本的组成和表现方式，因此几何体是美术入门最重要的一步．素描几何体包括：柱体、锥体、球体以及它们的组合体和穿插体．如图2所示的几何体可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，已知正四棱柱和正四棱锥的高之比为，且底面边长均为，若该几何体的所有顶点都在某个球的表面上，则（ ）
图1 图2
A．正四棱柱和正四棱锥组成的几何体的体积为160
B．该几何体外接球的体积为
C．正四棱锥的侧棱与其底面所成角的正弦值为
D．正四棱锥的侧面与其底面的夹角的正弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知，则______．
14．已知等差数列的前n项和为，且，，则取最大值时，______．
15．已知A，B，C均在球O的球面上运动，且满足，若三棱锥体积的最大值为6，则球O的体积为______．
16．已知函数，若在上恒成立，则实数a的取值范围是______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）如图，在中，是边上的中线．
（1）取的中点M，试用和表示；
（2）若G是上一点，且，直线过点G，交交于点E，交于点F．若，，求的最小值．
18．（12分）某科技公司生产一种产品的产量每天最多不超过20件，据统计分析，该产品的日生产次品率p与日产量x（件）之间近似地满足关系式．已知每生产一件正品可盈利2000元，而生产一件次品则亏损1000元．（该产品的日利润日正品盈利额-日次品亏损额）．
（1）将该产品的日利润y（千元）表示为日产量x（件）的函数；
（2）当该产品的日产量为多少件时，日利润最大？最大日利润是多少元（结果保留整数，参考数据：）？
19．（12分）如图，在四棱锥中，底面是矩形，O是的中点，，．
（1）求证：平面平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20．（12分）设正项数列的n项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）能否从中选出以为首项，以原次序组成的等比数列，，，， 若能，请找出公比最小的一组，写出此等比数列的通项公式，并求出数列的前n项和；若不能，请说明理由．
21．（12分）如图，已知三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，．
（1）求；
（2）D是外一点，连接，构成平面四边形，若，求的最大值．
22．（12分）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）设，若，是的两个极值点，证明：．
辽宁省县级重点高中协作体2023-2024学年高三上学期11月期中考试
数学参考答案及评分意见
1．A【解析】因为，故，故选A．
2．A【解析】由题意得，从而，故A正确，B，C，D均错误．故选A．
3．B【解析】若，，则或解得．而，所以“”是“}，”的必要不充分条件．故选B．
4．D【解析】设，可知其图象开口向上，对称轴为直线，，，所以要使不等式在区间内有解，只要a小于在内的最大值即可，即，得，所以实数a的取值范围为，故选D．
5．A【解析】，，则，，故．故选A．
6．C【解析】由题意知，，解得，∴，
∴．故选C．
7．B【解析】如图，设圆台上、下底面圆心分别为C，A，半径分别为，，由题意得，即，因为圆台的轴截面面积为9．所以，所以，过点D作于点E，所以．因为母线长为上底面圆的半径的倍，所以，即．所以，，所以，所以该圆台容器的容积，故选B．
8．B【解析】设函数，，当时，，函数在上单调递减．∵，∴，即，∵，∴，综上，，即．故选B．
9．ACD【解析】对于A，，当时，，在区间上单调递减，A选项正确；对于B，当时，，B选项错误；对于C，令可得对称轴为，，所以C选项正确；将的图象向右平移个单位长度后即得，D选项正确．故选ACD．
10．AC【解析】根据题意知，数列中，有①，则当时有②，①-②可得．又由，，得，则，，，，则，A正确，B错误；若，则，，，，则，C正确，D错误．故选AC．
11．AC【解析】令，则．∵在上恒成立，∴，故在单调递增．由，得，即，故A正确；由，得，即，故B错误；由，得，即，故C正确；由得，即，故D错误．故选AC．
12．AD【解析】设几何体外接球的球心为O，正四棱锥为，底面中心为．设正四棱柱为，其下底面中心为，设E是的中点，连接，，设球O的半径为R，设正四棱柱的高为x，则正四棱锥的高为，x为正数，所以根据题意可得，，所以，所以，解得．组合体的体积为，A选项正确．，球O的体积为，B选项错误．依题意可知正四棱锥的侧棱与其底面所成角为，，C选项错误．根据正四棱锥的性质可知：，，所以是正四棱锥的侧面与其底面的夹角，，D选项正确．故选AD．
13．【解析】因为，所以．
14．15【解析】由题意知，，设等差数列的公差为d，则，即，因为，故，即等差数列为首项为正的递减数列．又由，可得，即，故，，即等差数列前15项为正，从第16项开始为负，故取最大值时，．
15．【解析】如图所示，当点C位于垂直于面的直径端点时，三棱锥的体积最大，设球O的半径为R，此时，故，则球O的体积为．
16．【解析】由，得，变形得，所以．令，则，当时，，所以在上为增函数，若，则不等式恒成立，若，则，，即，所以恒成立，即恒成立．设，，则．当时，，所以单调递增；当时，，所以单调递减．所以的最大值为，所以，故实数a的取值范围是．
17．解：（1）由题意得，
因此．
（2）由，，，得
，，
因为E，F，G三点共线，∴，
则，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为．
18．解：（1）由题意可知，
（2）考虑函数
当时，．令，解得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
所以当时，取得极大值，也是最大值，
又x是整数，，，所以当时，有最大值．
当时，，所以函数在上单调递减，所以当时，取得最大值．
由于，所以当该产品的日产量为10件时，日利润最大．
而千元元，故当该产品的日产量为10件时，日利润最大，最大日利润是11111元．
19．（1）证明：因为，O是的中点，所以，
在直角中，，，所以．
在矩形中，，，所以．
又因为，所以在中，，即．
而，，平面，所以平面，
而平面，所以平面平面．
（2）解：由（1）知，平面，取中点Q，连接，易知，，两两垂直．如图，分别以，，所在直线为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系，
则，，，，
，，．
设平面的一个法向量为，
则即令，得，所以，
设直线与面所成角为，
所以．
所以直线与平面所成角的正弦值为．
20．解：（1），．
当时，，即，得或（舍去）
由，①
得，②
①-②得，化简得．
因为，所以，，
即数列是以4为首项，2为公差的等差数列，
所以．
（2）存在．
当，时，
会得到数列中原次序的一列等比数列，，，，，．
此时的公比，是最小的，此时该等比数列的项均为偶数，均在数列中．下面证明此时的公比最小
，假设取，公比为，
则，为奇数，不可能在数列中．
所以．
又，所以，即的通项公式为，
故．
21．解：（1）因为，
所以由正弦定理可得，
即，
化简得．
又因为，所以，即．
因为，，所以，解得．故．
（2）设，则，由正弦定理以及，可得，中，由余弦定理得．
因为，所以，
所以当，即时，取得最大值9，所以的最大值为3
22．解：（1），则，的定义域为．
①当时，恒成立，所以在上单调递增；
②当时，令，得，当时， ，单调递减；当时，，单调递增．
综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）证明：由题意得，可知，
因为，是的极值点，所以，是方程的两个不等的正实数根，
所以，，则
．
要证成立，只需证，即证，
即证，即证，设，则，即证．
令，则，
所以在上单调递减，则，
所以，故．