四川省成都市金牛区2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题（含答案）

成都市金牛区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题
（时间120分钟，满分150分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．某学校高二年级选择“史政地”，“史政生”和“史地生”组合的同学人数分别为210，90和60．现采用分层抽样的方法选出12位同学进行项调查研究，则“史政生”组合中选出的同学
人数为（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
2．过点和点的直线倾斜角（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
3．已知点P椭圆C：上一点，且点和点分别为椭圆C的左、右焦点，若，则（ ）
A．5 B．6 C．7 D．4
4．从装有2件正品和2件次品的盒子内任取2件产品，下列选项中是互斥而不对立的两个事件的是（ ）
A．“至少有1件正品”与“都是次品”
B．“恰好有1件正品”与“恰好有1件次品”
C．“至少有1件次品”与“至少有1件正品”
D．“都是正品”与“都是次品”
5．已知点在圆C：外，则实数k的取值范围是（ ）
A． B．或 C．或 D．
6．平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据分布的形态有关．下面四幅频率分布直方图中，最能说明平均数大于中位数的是（ ）
A．B．C．D．
7．已知点在圆内，则直线与圆的位置关系是（ ）
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
8．若点和点分别为椭圆的两个焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．下述关于频率与概率的说法中，错误的是（ ）
A．设有一大批产品，已知其次品率为0.1，则从中任取100件，必有10件是次品
B．做7次抛硬币的试验，结果3次出现正面，因此，抛一枚硬币出现正面的概率是
C．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率
D．利用随机事件发生的频率估计随机事件的概率，即使随机试验的次数超过10000，所估计出的概率也不一定很准确．
10．下列说法正确的是（ ）
A．若数据，，…，的方差为1，则新数据，，…，的方差为1
B．已知随机事件A和B互斥，且，，则等于0.5．
C．“”是直线与直线互相垂直的充要条件
D．无论实数λ取何值，直线恒过定点
11．若圆：与圆：的交点为A，B，则（ ）
A．线段AB中垂线方程为
B．公共弦AB所在直线方程为
C．若实数x，y满足圆：，则的最大值为
D．过点作圆：的切线方程为圆
12．设，为椭圆C：的两个焦点，P为C上一点且，I为的内心，则下列正确的是（ ）
A．内切圆半径为1
B．
C．若点，，则
D．若直线l与椭圆C交于M，N两点，则存在以为线段MN的中点，且直线l的方程为
三、填空题：本大题共4小题，每小题分，共20分．
13．甲、乙两人独立地破译一份密码，已知甲、乙能破译的概率分别为和，则甲与乙两人同时破译密码的概率为______．
14．若椭圆C：的短轴长为2，则椭圆C的离心率为______．
15．是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物．如图是根据某中学学生社团某日早6点至晚9点在某中学东、西两个校区附近的监测点统计的数据（单位：毫克/立方米）列出的茎叶图，则东、西两个校区浓度的方差较小的是______．
16．已知平面内两个定点A，B及动点P，若（且），则点P的轨迹是圆．
后世把这种圆称为阿波罗尼斯圆．已知，，直线：，直线：，若P为，的交点，则的最小值为______．
四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本小题满分10分）已知两直线：和：的交点P．
（1）求经过点P和点的直线的一般式方程；
（2）求经过点P且与垂直的直线的斜截式方程．
18．（本小题满分12分）已知圆C：．
（1）若直线l经过点，且与圆C相切，求直线l的方程；
（2）若圆：与圆C相切，求实数m的值．
19．（本小题满分12分）某高校承办了奥运会的志愿者选拔面试工作，现随机抽取了100名候选者的面试成绩并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图，已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．
（1）求a、b的值；
（2）估计这100名候选者面试成绩的平均数（同一组数据用该组数据的中点值代替）和第60百分位数（精确到0.1）；
20．（本小题满分12分）已知半径为4的圆C与直线：相切，圆心C在y轴的负半轴上．
（1）求圆C的方程；
（2）已知直线：与圆C相交于A，B两点，且的面积为8，求直线的方程．
21．（本小题满分12分）袋中装有大小完全相同的3个红球，2个蓝球，其中有2个红球和1个蓝球上面标记了数字1，其他球标记了数字2．
（1）每次有放回地任取1个小球，连续取两次，求取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3的概率；
（2）从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个，记事件{第一次取到的是红球}，事件{第二次取到了标记数字1的球}，求，，并判断事件A与事件B是否相互独立．
22．（本小题满分12分）已知，为椭圆C：的左、右顶点，且椭圆C过点．
（1）求C的方程；
（2）过左焦点F的直线l交椭圆C于D，E两点（其中点D在x轴上方），试求的取值范围．（其中与分别表示和的面积）
成都市金牛区2023-2024学年高二上学期期中考试
数学试题 参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1-4 CBBD 5-8 CACA
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．ABC 10．ABD 11．BD 12．BC
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13． 14． 15．东校区 16．
四、解答题；本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．解：（1）联解得，，，，
即
（2）由垂直条件知斜率，
直线方程为：
18．解：（1）若直线l的斜率不存在，则直线l的方程为，与圆C相切，符合题意．
若直线l的斜率存在，设直线l的方程为，即，
则，解得，所以直线l的方程为．
综上，直线l的方程为或
（2）圆的方程可化为．
若圆与圆C外切，则，解得
若圆与圆C内切，则，解得
综上，或．
19．解：（1）∵第三、四、五组的频率之和为0.7，
∴，解得，
所以前两组的频率之和为，即，所以；
（2）这100名候选者面试成绩的平均数为
，
前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以第60百分位数在第三组，
设第60百分位数为x，则，解得，
故第60百分位数为71.7．
20．解：（1）由已知可设圆心，，则，解得或（舍），
所以圆C的方程为
（2）设圆心C到直线的距离为d，则，，
即，解得，
又，所以，解得，
所以直线的方程为或
21．解：（1）记事件C“取出的2个球恰有1个红球且两球的数字和为3”
事件D“第一次取到的是红球，第二次取到的是蓝球且两球的数字和为3”，即抽到红1蓝2或者红2蓝1的概率：，
事件E“第一次取到的是蓝球，第二次取到的是红球且两球的数字和为3”即抽到的是蓝2
红1或者蓝1红2的概率，
则所求的概率为
（2）记3个红球分别为，，其中，表示红球标数字1，表示红球标数字2记2个蓝球分别为，其中表示蓝球标数字1，表示蓝球标数字2
则从袋中不放回地依次取2个小球，每次取1个共有20个结果的样本空间
其中事件个12结果；
其中事件共12个结果；
其中事件
“第一次取到的是红球”的概率，
“第二次取到了标记数字1的球”即取到的是数字2，1或者1，1概率，
“第一次取到红球且第二次取到了标记数字1的球”即抽到的为红1数字1或者红2数字1，
概率．
因为成立，所以事件A与事件B不相互独立
22．解：（1）由题意得，把代入，解得，
所以C的方程为；
（2）由（1）知：，，
①当l斜率不存在时，易知；
②当l斜率存在时，设l：，，，
由，得，显然，
所以，，
因为，，
所以，
因为，
所以．
又，
设，则，，解得且，
所以，
因为，可得的取值范围为．