人教A版（2019）必修第一册 第二单元一元二次函数、方程和不等式 同步练习（含解析）

第二单元一元二次函数、方程和不等式同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若，则不等式的解集是（ ）．
A． B．
C． D．
2．已知集合，，则（ ）
A． B．
C．或 D．或
3．不等式－3x2＋7x－2<0的解集为（ ）
A． B．或
C． D．{x|x>2}
4．当时，的最小值为（ ）
A． B． C． D．
5．甲、乙、丙、丁四人参加数学竞赛，四人在成绩公布前作出如下预测：
甲预测说：我不会获奖，丙获奖； 乙预测说：甲和丁中有一人获奖；
丙预测说：甲的猜测是对的； 丁预测说：获奖者在甲、乙、丙三人中.
成绩公布后表明，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，则获奖者可能是（ ）.
A．甲和乙 B．乙和丙 C．甲和丙 D．乙和丁
6．设不为的实数满足：，则（ ）
A． B．
C． D．
7．二次函数的图象如图所示，反比例函数与正比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中卷第九勾股中记载：“今有邑，东西七里，南北九里，各中开门．出东门一十五里有木．问出南门几何步而见木 ”其算法为：东门南到城角的步数，乘南门东到城角的步数，乘积作被除数，以树距离东门的步数作除数，被除数除以除数得结果，即出南门里见到树，则．若一小城，如图所示，出东门1200步有树，出南门750步能见到此树，则该小城的周长的最小值为（注：1里=300步）（ ）
A．里 B．里 C．里 D．里
二、多选题
9．已知关于的不等式的解集为，则下列说法错误的是（ ）
A．，则
B．若，则关于x的不等式的解集为
C．若为常数，且，则的最小值为
D．若的解集M一定不为
10．已知实数x y z满足.则下列关系式中可能成立的是（ ）
A． B．
C． D．
11．已知正实数满足，则下列结论中正确的是（　　）
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
12．若，下列不等式中不成立的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
13．已知，，且，则的最大值为 ．
14．设为常数，且，若不等式的解集是，则不等式的解集是 .
15．某工人共加工个零件.在加工个零件后，改进了操作方法，每天多加工个，用了不到天的时间就完成了任务.则改进操作方法前，每天至少要加工 个零件.
四、解答题
16．已知，：．
（1）当时成立，求实数的取值范围；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．
17．已知二次函数同时满足以下条件：①，②，③．
(1)求函数的解析式；
(2)若，，求：
①的最小值；
②讨论关于m的方程的解的个数．
18．已知关于x的不等式，其中．
（1）当k变化时，试求不等式的解集A；
（2）对于不等式的解集A，若满足（其中Z为整数集）．试探究集合B能否为有限集？若能，求出使得集合B中元素个数最少时k的所有取值；若不能，请说明理由
19．设a，b，cR，a+b+c=0，abc=1．
（1）证明：ab+bc+ca<0；
（2）用max{a，b，c}表示a，b，c中的最大值，证明：max{a，b，c}≥．
20．某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定（平面图如图所示），如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计．

（1）试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；
（2）若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价．
五、双空题
21．已知，若在上恒成立，则0 （用“” “” “关系不能确定”填空）；的最大值为 .
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】按照开口向上一元二次不等式解法，解之即可.
【详解】由
可得或
则不等式的解集是
故选：D
2．B
【分析】化简集合A，利用交集的运算律求.
【详解】∵不等式的解集为，
∴ ，又，
∴
故选：B.
3．B
【分析】先将二次不等式二次项系数化正，再因式分解求解即可
【详解】解析不等式－3x2＋7x－2<0可化为3x2－7x＋2>0，即，
解得或
故选：B．
4．B
【分析】将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.
【详解】因为，则，
因此，，
当且仅当时，等号成立，故的最小值为.
故选：B.
5．C
【分析】从四人的描述语句可以看出，甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符，再对乙、丁的说法进行判断.
【详解】∵“甲预测说：我不会获奖，丙获奖”，而“丙预测说：甲的猜测是对的”
∴甲和丙的说法要么同时与结果相符，要么同时与结果不符.
若甲和丙的说法要么同时与结果相符，则丁的说法也对，这与“，四人的预测中有两人的预测与结果相符，另外两人的预测与结果不符已知有两人获奖，”相矛盾，故错误；
若甲和丙的说法与结果不符，则乙、丁的预测成立
所以甲获奖，丁不获奖；丙获奖，乙不获奖.
故选：C
【点睛】真假语句的判断需要结合实际情况，作出合理假设，进行有效论证.
6．B
【解析】当时，结合对数函数性质易判断A不成立；
考查的单调性易判断B成立；
考查的单调性易判断C不成立；
当时，考查的单调性易判断D不成立.
【详解】解：时，，，，∴A不成立；
∵在上是增函数，且，∴，∴B成立；
当0＜b＜1时，是减函数，，∴C不成立；
当时，在上是减函数，∴，∴D不成立.
故选：B
【点睛】思路点睛：分别考查对数函数、幂函数、指数函数的单调性，结合取特殊值，是解决对数值、幂值比较大小一类题的常用方法.
7．B
【解析】由二次函数图象可知a>0，c<0，再根据对称轴和x=1时的值，可得b+c<0，从而可判断.
【详解】由二次函数图象可知a>0，c<0，
由对称轴，可知b<0，
当x=1时，a+b+c<0，即b+c<0，
所以正比例函数经过二四象限，且经过原点，
反比例函数图象经过一三象限，
故选：B.
8．D
【分析】根据题意得，进而得，再结合基本不等式求的最小值即可.
【详解】因为1里=300步，
则由图知步=4里，步=2.5里．
由题意，得，
则，
所以该小城的周长为，
当且仅当时等号成立.
故选:D．
【点睛】本题以数学文化为背景考查基本不等式，解题的关键在于根据题意，得出对应的边长关系，即：，再代入数据，结合基本不等式求解，同时，在应用基本不等式时，还需要注意“一正”、“二定”、“三相等”.
9．AC
【分析】选项A中，由二次函数的性质得到，可判定A错误；选项B中，转化为和是方程的两个实根，求得，把不等式化简得到，求得的解集，可判定B正确；选项C中，结合二次函数的性质，求得，化简得到，令，结合基本不等式，求得的最大值，可判定C错误；当时，由函数表示开口向下的抛物线，可判定D正确.
【详解】由题意，关于的不等式的解集为，
对于A中，若，即不等式的解集为空集，
根据二次函数的性质，则满足，所以A错误；
对于B中，若，可得和是方程 两个实根，且，
可得，解得，
则不等式，可化为，
即，解得或，
即不等式的解集为，所以B正确；
对于C中，若为常数，可得是唯一的实根，且，
则满足，解得，所以，
令，因为且，可得，且，
则，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，
所以的最大值为，所以C错误；
对于D中，当时，函数表示开口向下的抛物线，
所以当的解集一定不为，所以D正确.
故选：AC.
10．ABC
【分析】对等式进行变形，构造函数，画出函数的图象，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】设，，则，，，画出函数图象，如图所示：当时，；当时，；当时，；
故选：ABC
11．ACD
【分析】把的相应值代入，结合基本不等式及相关结论分别检验各选项即可．
【详解】解：当时，，
当且仅当时取等号，解得，故A正确；
，当且仅当时取等号，
解得，故B错误；
当时，，则，
所以
，当且仅当时取等号，所以C正确，
当时，，当且仅当时取等号，
解得（舍负），故D正确．
故选：ACD．
12．ABD
【分析】根据不等式的性质判断各选项．
【详解】A选项，，∴，不成立，
B选项，，不成立，
C选项，∵，∴，成立，
D选项，由，∴，即，不成立，
故选：ABD.
13．2
【分析】根据基本不等式得，解之可求得答案．
【详解】因为，，且，所以，解得，当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为2，
故答案为：2．
【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：
（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；
（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；
（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.
14．
【分析】把不等式化为，求得或，即可求得不等式的解集.
【详解】因为 不等式的解集是，
所以不等式的解是或，
又不等式，可化为，
可得或，即或，
所以不等式的解集是.
故答案为：.
15．
【解析】设改进操作方法前每天至少要加工零件，则可得，求出的范围后可得每天至少要加工的零件数.
【详解】设改进操作方法前每天至少要加工零件，
由题意得：，解得：或（舍），
故每天至少要加工个零件.
故答案为：9.
16．（1）(－3，2)；（2）.
【分析】（1）由得含的不等式，解之得的取值范围；
（2）把是的充分不必要条件转化为由，进而求出实数的取值范围．
【详解】解：（1），
，，
实数的取值范围为：．
（2），
设，，
是的充分不必要条件，
①由（1）知，时，，满足题意；
②时，，满足题意；
③时，，满足题意；
④或时，设，
对称轴为，由得
或，
或，
或，
或
综上可知：
17．(1)
(2)①；②答案见解析
【分析】（1）由得，对称轴为，然后设，利用另外两个条件列出方程组求解即得；
（2）①根据二次函数的对称轴与区间的关系分类讨论研究最小值；
②根据①中求得的函数的解析式，分析各段上的函数值的正负，从而得到函数的解析式，画出函数的图象，利用数形结合方法讨论方程的实数根的个数.
【详解】（1）（1）由得，对称轴为，
设，
∴，得，
∴．
（2）（2）①，，对称轴，
ⅰ当即时，在单调递增，
，
ⅱ即时，在单调递减，在单调递增，
∴，
ⅲ当即时，在单调递减，
，
综上：
②画出函数的图象图下图所示：

利用图象的翻转变换得到函数的图象如图所示：

方程的根的个数为函数的图象与直线的交点个数，由图象可知：
当时，方程无解；当时，方程有4个解；当或时，方程有2个解；当时，方程有3个解.
18．（1）答案不唯一见解析；（2）可以，k=-3.
【解析】（1）根据相应二次函数的开口方向和二次方程根的大小关系，分，，，和五种情况讨论求解.
（2）根据解集A，结合B为有限集，则，在根据B中元素个数最少，则最大，利用基本不等式求解.
【详解】（1）当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
当时，不等式化为，不等式的解集是，
当时，不等式化为，
此时，不等式的解集是，
综上：当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
当时，不等式的解集是，
（2）若B为有限集，则此时，
要使B中元素个数最少，则最大，
，
当且仅当，即时，取等号，
所以时，集合B中元素最少.
【点睛】方法点睛：含有参数的不等式的解法：往往需要比较(相应方程)根的大小，对参数进行分类讨论：(1)若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易分解因式，则可对判别式进行分类讨论；(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零的情形，以便确定解集的形式；(3)其次对相应方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．
19．（1）证明见解析（2）证明见解析.
【分析】（1）方法一：由结合不等式的性质，即可得出证明；
（2）方法一：不妨设，因为，所以，则．故原不等式成立．
【详解】（1）［方法一］【最优解】：通性通法
，
.
均不为，则，．
［方法二］：消元法
由得，则，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法三］：放缩法
方式1：由题意知，又，故结论得证．
方式2：因为，
所以
．
即，当且仅当时取等号，
又，所以．
［方法四］：
因为，所以a，b，c必有两个负数和一个正数，
不妨设则.
［方法五］：利用函数的性质
方式1：，令，
二次函数对应的图像开口向下，又，所以，
判别式，无根，
所以，即．
方式2：设，
则有a，b，c三个零点，若，
则为R上的增函数，不可能有三个零点，
所以．
（2）［方法一］【最优解】：通性通法
不妨设，因为，所以，
则．故原不等式成立．
［方法二］：
不妨设，因为，所以，且
则关于x的方程有两根，其判别式，即．
故原不等式成立．
［方法三］：
不妨设，则，关于c的方程有解，判别式，则．故原不等式成立．
［方法四］：反证法
假设，不妨令，则，又，矛盾，故假设不成立．即，命题得证．
【整体点评】（1）方法一：利用三项平方和的展开公式结合非零平方为正数即可证出，证法常规，为本题的通性通法，也是最优解法；方法二：利用消元法结合一元二次函数的性质即可证出；方法三：利用放缩法证出；方法四：利用符号法则结合不等式性质即可证出；方法五：利用函数的性质证出．
（2）方法一：利用基本不等式直接证出，是本题的通性通法，也是最优解；
方法二：利用一元二次方程根与系数的关系以及方程有解的条件即可证出；方法三：利用消元法以及一元二次方程有解的条件即可证出；方法四：利用反证法以及基本不等式即可证出．
20．（1）长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元；（2）长为16米，宽为米时，总造价最低，为38882元．
【分析】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．设污水处理池的宽为x米，则长为米．依题意求出总造价，再根据基本不等式可求得结果；
（2）根据题意得到，再根据g（x）＝x（），在[，16]上是增函数，可求得结果.
【详解】（1）设污水处理池的宽为x米，则长为米．
则总造价f（x）＝400×（2x）+248×2x+80×162＝1296x12960
＝1296（x）+12960≥1296×212960＝38880（元），
当且仅当x（x＞0），即x＝10时，取等号．
∴当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38880元．
（2）由限制条件知，∴．
设g（x）＝x（），
由对勾函数性质易知g（x）在[，16]上是增函数，
∴当x＝时（此时16），g（x）有最小值，即f（x）有最小值1296×（）+12960＝38882（元）．
∴当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38882元．
【点睛】本题考查了基本不等式的应用，考查了对勾函数的单调性，属于中档题.
21．
【分析】如果，则时不等式成立，代入可得，分析整理，可得进行判断；
法一：先求得不等式的解集，根据a，b的正负，结合题意，可得，即可求得a的范围，即可得答案；
法二：根据题意，时，不等式成立，代入求解，化简整理，即可得答案.
【详解】如果，则时不等式成立，即，
因为，可得，
与矛盾，故；
法一：
因为，所以，
所以不等式的解集为或，
因为，，
所以要使得在上恒成立，
只需，
解得，所以.
法二：
因为在上恒成立，
所以时可得，
因为，所以，
解得，所以，
经检验，，时符合条件.
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