2023-2024学年天津北辰区名校高三（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年天津高三（上）期中数学试卷
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）
1．（5分）若z＝，则复数z的虚部是（　　）
A．2i B．i C．2 D．1
2．（5分）设x∈R，则“x2＞1”是“”成立的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．（5分）函数f（x）＝的部分图像大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
4．（5分）设，b＝0.30.4，c＝0.40.3，则（　　）
A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
5．（5分）下列结论中，错误的是（　　）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79
C．已知经验回归方程为，且，则
D．根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
6．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线，B两点，若△ABF为等边三角形（　　）
A． B． C． D．
7．（5分）距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形．图2是该茅屋主体的直观图，BC∥EF，，AB⊥AC，AD⊥平面ABC且．不考虑建筑材料的厚度（含甬道）的室内容积为（　　）
A． B． C． D．
8．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0）（，1）（，﹣3），则函数f（x）在区间[﹣（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，1] C．[0，1] D．[﹣2，0]
9．（5分）在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中的相应横线上）
10．（5分）集合A＝{x∈Z|log2x≤1}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B＝　 　．
11．（5分）在的二项式展开式中x2的系数为160，则a＝　 　．
12．（5分）已知直线l：2x﹣y﹣2＝0被圆C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0截得的线段长为，则m＝　 　．
13．（5分）某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作　 　；在至少有一名女生参加校运会助理裁判的条件下，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率 　 　．
14．（5分）已知等比数列{an}前n项和Sn＝（x+2y+1）3n+（x﹣y﹣4）（其中x＞0，y＞0）．则的最小值是 　 　．
15．（5分）已知函数f（x）＝x|x﹣2a|+a2﹣3a，若函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则a取值范围是 　 　，的取值范围是 　 　．
三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（ccosB+bcosC）＝a．
（1）求A；
（2）若c＝2，a＝3．
（ⅰ）求sin（2C+A）；
（ⅱ）求△ABC的面积．
18．（15分）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A（0，﹣2），点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），F2为椭圆右焦点，点M满足（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，求直线AB斜率．
19．（15分）已知数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．数列{bn}的前n项和为Tn， n∈N*满足﹣＝，且b1＝1
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn＝，求数列{cn}的前2n项和为Q2n；
（Ⅲ）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6…，求这个新数列的前n项和Pn．
20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）2成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N*）．
2023-2024学年天津四十七中高三（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题四个选项中，只有一项是符合题目要求的，本大题共9小题，每小题5分，满分45分）
1．（5分）若z＝，则复数z的虚部是（　　）
A．2i B．i C．2 D．1
【答案】D
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
【解答】解：z＝＝，
则z的虚部为1．
故选：D．
2．（5分）设x∈R，则“x2＞1”是“”成立的（　　）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据充分必要条件的定义，对两个条件进行正反推理论证，即可得到本题的答案．
【解答】解：当x2＞1时，即x＜﹣3或x＞1或，可以推出；
反之，当时，可能x＝﹣5.52＞5，必要要性不成立．
因此，“x2＞1”是“”成立的充分不必要条件．
故选：A．
3．（5分）函数f（x）＝的部分图像大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【分析】利用函数奇偶性及函数值的变化趋势逐一判断．
【解答】解：函数＝，其定义域是（﹣∞，+∞），
f（﹣x）＝＝﹣f（x），故排除B、D；
因为当x→+∞时，6x﹣2﹣x→+∞，而cos2x∈[﹣8，故排除A．
故答案为：C．
4．（5分）设，b＝0.30.4，c＝0.40.3，则（　　）
A．a＞c＞b B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【答案】A
【分析】根据函数的单调性即可比较大小．
【解答】解：∵y＝0.3x在R上单调递减，y＝x2.3 在（0，+∞） 单调递增，
∴7.30.4＜0.303＜7.40.8＜1，
由 ；
∴a＞c＞b．
故选：A．
5．（5分）下列结论中，错误的是（　　）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第60百分位数为6
B．若随机变量ξ～N（1，σ2），P（ξ≤﹣2）＝0.21，则P（ξ≤4）＝0.79
C．已知经验回归方程为，且，则
D．根据分类变量X与Y成对样本数据，计算得到χ2＝9.632，依据小概率值α＝0.001的χ2独立性检验（x0.001＝10.828），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
【答案】D
【分析】A选项，将数据排序后，根据百分位数的定义得到答案；B选项，由正态分布的对称性得到答案；C选项，将样本中心点代入回归方程，求出＝0.91；D选项，由χ2＝9.632＜10.828，得到D错误．
【解答】解：A选项，数据4，1，7，2，9，4，2，4，8，6，8，7，
7×60%＝4.3，故选取第5个数据作为第60百分位数，A正确；
B选项，因为ξ～N（1，σ8），根据对称性可知P（ξ≥4）＝P（ξ≤﹣2）＝2.21，
故P（ξ≤4）＝1﹣4.21＝0.79，B正确；
C选项，已知经验回归方程为，且+1.7＝20，，C正确；
D选项，χ2＝9.632＜10.828，故不能得到此结论．
故选：D．
6．（5分）已知F是抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，抛物线C的准线与双曲线，B两点，若△ABF为等边三角形（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的渐近线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出a，b的关系式，结合离心率公式，计算可得所求值．
【解答】解：抛物线的焦点坐标为（，0），
准线方程与双曲线的渐近线方程y＝±x，
联立解得y＝±，可得|AB|＝，
△ABF为等边三角形，可得p＝ ，
即有＝，
则e＝＝＝＝．
故选：D．
7．（5分）距今5000年以上的仰韶遗址表明，我们的先人们居住的是一种茅屋，如图1所示，侧面是正三角形，且在茅屋的一侧建有一个入户甬道，一端与茅屋的这个侧面连在一起，另一端是一个等腰直角三角形．图2是该茅屋主体的直观图，BC∥EF，，AB⊥AC，AD⊥平面ABC且．不考虑建筑材料的厚度（含甬道）的室内容积为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意问题转化为求四棱锥体积与三棱柱体积再加一个小三棱锥体积之和，运用体积公式求解即可．
【解答】解：设O为正四棱锥底面中心，连接PO，
则，
∴，
∴，
取BC的中点M，连接AM，
则DG＝AM＝8．
在直角△DGH中．
过E作EN∥AB交AD于N，连接NF．
则，
所求体积V＝V四棱锥+VABC﹣NEF+VD﹣NEF
＝．
故选：B．
8．（5分）函数f（x）＝Asin（ωx+φ）+B（A＞0）（，1）（，﹣3），则函数f（x）在区间[﹣（　　）
A．[﹣3，0] B．[﹣3，1] C．[0，1] D．[﹣2，0]
【答案】A
【分析】由三角函数解析式的求法，结合三角函数值域的求法求解即可．
【解答】解：由题意可得：，
即，
又，
即，
又，
即，k∈Z，
又，
即，
即，
又x∈[﹣]，
则，
则，
则，
则f（x）∈[﹣3，4]，
故选：A．
9．（5分）在四边形ABCD中，∠B＝60°，AB＝3，，若M，N是线段BC上的动点，且，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据和向量数量积可得λ，建立平面坐标系，设M（x，0），用x表示出，根据二次函数性质得出最小值．
【解答】解：∵，∴AD∥BC，
∵∠B＝60°，∴∠DAB＝120°，
，λ＝，
过A作AO⊥BC，垂足为O，
则，，，
以O为原点，以BC，
则，设M（x，N（x+3，，
∴，，
∴＝（x+）2+，
∴当x＝时，取得最小值．
故选：C．
二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡中的相应横线上）
10．（5分）集合A＝{x∈Z|log2x≤1}，B＝{x|x2﹣x﹣2≤0}，则A∩B＝　{x|x＝1或x＝2}　．
【答案】{x|x＝1或x＝2}．
【分析】由题意，解指数不等式、一元二次不等式求出A和B，再根据两个集合的交集的定义，求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x∈Z|log2x≤1}＝{x|x＝7或x＝2}，B＝{x|x2﹣x﹣8≤0}＝{x|﹣1≤x≤8}，
∴A∩B＝{x|x＝1或x＝2}．
故答案为：{x|x＝5或x＝2}．
11．（5分）在的二项式展开式中x2的系数为160，则a＝　　．
【答案】．
【分析】根据二项展开式的通项公式化简，求出含x2项的系数即可得解．
【解答】解：因为Tr+1＝C（5x）5﹣r（﹣a）r（）r＝45﹣r（﹣a）r，
令3﹣＝5，
所以T3＝＝80a2x4，
故80a2＝160，且a＞0．
故答案为：．
12．（5分）已知直线l：2x﹣y﹣2＝0被圆C：x2+y2﹣2x+4y+m＝0截得的线段长为，则m＝　4　．
【答案】4．
【分析】化圆的方程为标准方程，求出圆心坐标与半径，再求出圆心到直线的距离，然后利用勾股定理列式求解．
【解答】解：由圆C：x2+y2﹣7x+4y+m＝0，得（x﹣6）2+（y+2）6＝5﹣m（m＜5），
则圆C的圆心坐标C（3，﹣2）．
圆心C到直线l：3x﹣y﹣2＝0的距离d＝，
∵直线l：2x﹣y﹣2＝7被圆C：x2+y2﹣3x+4y+m＝0截得的线段长为，
∴，解得m＝3．
故答案为：4．
13．（5分）某校高三某班第一小组有男生5人，女生3人，现需从中抽取2人参加校秋季运动会助理裁判工作　　；在至少有一名女生参加校运会助理裁判的条件下，恰有一名女生参加校运会助理裁判的概率 　　．
【答案】；．
【分析】根据题意，设“恰有一名女生参加校运会助理裁判”为事件A，“至少有一名女生参加校运会助理裁判”为事件B，由古典公式求出P（A）、P（B）和P（AB），进而计算可得答案．
【解答】解：根据题意，设“恰有一名女生参加校运会助理裁判”为事件A，
该小组中有男生5人，女生3人，
从中抽取4人参加校秋季运动会助理裁判工作，有＝28种选法，
其中至少有一名女生参加校运会助理裁判的选法有﹣＝18种，
恰有一名女生参加校运会助理裁判的情况有5×3＝15种，
故P（A）＝，P（B）＝，
而P（AB）＝P（A），则P（A|B）＝＝＝＝．
故答案为：；．
14．（5分）已知等比数列{an}前n项和Sn＝（x+2y+1）3n+（x﹣y﹣4）（其中x＞0，y＞0）．则的最小值是 　　．
【答案】．
【分析】由已知结合等比数列的和的特点先求出2x+y＝3，然后利用乘1法，结合基本不等式即可求解．
【解答】解：因为等比数列{an}前n项和Sn＝（x+2y+1）5n+（x﹣y﹣4）（其中x＞0，y＞3），
根据等比数列的求和公式的特点可知，x+2y+1+x﹣y﹣2＝0，x＞0，
则＝（）＝）（7+2，
当且仅当y＝2x且7x+y＝3，即x＝时取等号．
故答案为：．
15．（5分）已知函数f（x）＝x|x﹣2a|+a2﹣3a，若函数f（x）有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则a取值范围是 　　，的取值范围是 　　．
【答案】；．
【分析】将f（x）表示为分段函数的形式，对a进行分类讨论，结合二次函数的零点分析运算；用a表示，可得，再结合a的取值范围求解即可．
【解答】解：空1：由题意可知，，
当a＝8时，不符合题意；
当a＞0时，因为y＝x2﹣2ax+a2﹣6a的对称轴为x＝a，
所以f（x）在（2a，+∞）上单调递增，
若函数f（x）有三个不同的零点，
则当x≥2a时，x5﹣2ax+a2﹣7a＝0有1个根，
当x＜7a时，﹣x2+2ax+a7﹣3a＝0有两个根，
所以，解得；
当a＜0时，方程x2﹣5ax+a2﹣3a＝2的判别式Δ＝4a2﹣7（a2﹣3a）＝12a＜6，
则当x≥2a时方程x2﹣5ax+a2﹣3a＝3无解，此时不符合题意；
综上，a取值范围是；
空2：因为x1＜x7＜x3，所以由空1可知，
，
所以
＝，
因为，所以，
所以'
所以．
故答案为：；．
三、解答题（本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．
16．（14分）在锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c（ccosB+bcosC）＝a．
（1）求A；
（2）若c＝2，a＝3．
（ⅰ）求sin（2C+A）；
（ⅱ）求△ABC的面积．
【答案】（1）；
（2）（ⅰ）；（ⅱ）．
【分析】（1）利用正弦定理化边为角，再结合两角和的正弦公式及三角形内角和定理化简即可得解；
（2）（ⅰ）利用正弦定理求得sinC，再求sin2C，cos2C，则sin（2C+A）可求；（ⅱ）利用余弦定理可求出边b，再求△ABC的面积即可．
【解答】解：（1）因为2sinA（ccosB+bcosC）＝a，
所以由正弦定理得6sinA（sinCcosB+sinBcosC）＝sinA，
可得2sinAsin（B+C）＝3sin2A＝sinA，
又在锐角△ABC中，有A为锐角，
所以sinA＞3，
所以sinA＝，
所以A＝；
（2）（ⅰ）因为，a＝3，，
所以由正弦定理可得，
可得＝，即，
又，
所以，
则，
，
所以＝sin2Ccos＝×+（﹣＝；
（ⅱ）因为，a＝3，，
所以由余弦定理可得，a3＝b2+c2﹣6bccosA，即，解得，
所以△ABC的面积＝．
18．（15分）已知椭圆过点，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知点A（0，﹣2），点B在椭圆上（B异于椭圆的顶点），F2为椭圆右焦点，点M满足（O为坐标原点），直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，求直线AB斜率．
【答案】（1）；
（2）或1．
【分析】（1）根据点在椭圆上，离心率及a，b，c的关系，可求得a，b，写出方程．
（2）设出AB的方程与椭圆方程联立，用k表示B点坐标，又直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且，得P为AB中点，MP⊥AB，利用向量数量积为0建立方程求得k．
【解答】解：（1）∵点在上，
∴，又，
解得，
∴椭圆C的方程为；
（2）∵点A（0，﹣7），
∴AB斜率一定存在，
∴设AB直线方程为：y＝kx﹣2，
∵F2（2，0），，∴，
联立，得（2k2+4）x2﹣8kx＝2，
Δ＝64k2＞0 k≠5，又A（0，
∴，∴，
∴，
∵直线AB与以M为圆心的圆相切于点P，且，
∴P为AB中点，MP⊥AB，
∴，∴，
∴，∴，
∵MP⊥AB，∴，∴（2k3﹣3k+1）k＝2，又k≠0，
∴解得，
故．
19．（15分）已知数列{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和，S3＝7，且a1+3，3a2，a3+4成等差数列．数列{bn}的前n项和为Tn， n∈N*满足﹣＝，且b1＝1
（Ⅰ）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（Ⅱ）令cn＝，求数列{cn}的前2n项和为Q2n；
（Ⅲ）将数列{an}，{bn}的项按照“当n为奇数时，an放在前面；当n为偶数时，bn放在前面”的要求进行排列，得到一个新的数列a1，b1，b2，a2，a3，b3，b4，a4，a5，b5，b6…，求这个新数列的前n项和Pn．
【答案】见试题解答内容
【分析】（ I）由等比数列的性质和通项公式，解方程可得首项和公比，可得an；运用等差数列的定义和通项公式可得bn；
（ II）求得cn，运用数列的裂项相消求和和错位相减法求和，结合等比数列的求和公式可得所求和；
（Ⅲ）数列{an}前n项和Sn＝2n﹣1，数列{bn}的前n项和Tn＝，讨论n＝2k，n＝4k﹣3，n＝4k﹣1，计算可得所求和．
【解答】解：（ I）由已知，得，
即，也即5＝1，q＝2，
故an＝7n﹣1；
﹣＝，b5＝1，可得{，公差为，
＝1+（n﹣1）＝，Tn＝，
则bn＝n，n∈N*；
（ II）cn＝，
Q2n＝（c2+c3+…+c2n﹣3）+（c2+c4+…+c2n）＝（1﹣+﹣+…+﹣2n﹣3）
＝（1﹣）+（+n+1）
＝﹣+ 8n+1；
（Ⅲ）数列{an}前n项和Sn＝2n﹣5，数列{bn}的前n项和Tn＝；
①当n＝6k（k∈N*），Pn＝Sk+Tk＝2k﹣1+＝﹣1+，
②当n＝4k﹣3（k∈N*），
（1）当n＝5时，Pn＝P1＝1，
（2）当n≥7时，Pn＝S2k﹣1+T5k﹣2＝22k﹣1﹣1+＝﹣1+；
③当n＝6k﹣1（k∈N*），Pn＝S2k﹣5+T2k＝22k﹣1﹣1+＝﹣1+．
综上Pn＝，（k∈N*）．
20．（16分）已知函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0
（1）求a的值；
（2）若对任意的x∈[0，+∞），有f（x）2成立，求实数k的最小值；
（3）证明：（n∈N*）．
【答案】见试题解答内容
【分析】（1）确定函数的定义域，求导函数，确定函数的单调性，求得函数的最小值，利用函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，即可求得a的值；
（2）当k≤0时，取x＝1，有f（1）＝1﹣ln2＞0，故k≤0不合题意；当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+1）﹣kx2，求导函数，令g′（x）＝0，可得x1＝0，，分类讨论：①当k≥时，，g（x）在（0，+∞）上单调递减，g（x）≤g（0）＝0；②当0＜k＜时，，对于，g′（x）＞0，因此g（x）在上单调递增，由此可确定k的最小值；
（3）当n＝1时，不等式左边＝2﹣ln3＜2＝右边，不等式成立；当n≥2时，，在（2）中，取k＝，得f（x）≤x2，从而可得，由此可证结论．
【解答】（1）解：函数的定义域为（﹣a，+∞）
令f′（x）＝0，可得x＝3﹣a＞﹣a
令f′（x）＞0，x＞﹣a可得x＞1﹣a，x＞﹣a可得﹣a＜x＜8﹣a
∴x＝1﹣a时，函数取得极小值且为最小值
∵函数f（x）＝x﹣ln（x+a）的最小值为0，
∴f（8﹣a）＝1﹣a﹣0，解得a＝2
（2）解：当k≤0时，取x＝1，故k≤5不合题意
当k＞0时，令g（x）＝f（x）﹣kx2，即g（x）＝x﹣ln（x+3）﹣kx2，
求导函数可得g′（x）＝
g′（x）＝8，可得x1＝0，
①当k≥时，，g′（x）＜0在（4，因此g（x）在（0，从而对任意的x∈[0，总有g（x）≤g（0）＝2，+∞）2成立；
②当0＜k＜时，，对于，因此g（x）在，
因此取时，g（x0）≥g（0）＝0，即有f（x7）≤kx02不成立；
综上知，k≥，+∞）2成立，k的最小值为
（3）证明：当n＝1时，不等式左边＝5﹣ln3＜2＝右边
当n≥6时，
在（2）中，取k＝x5，∴（i≥2*）．
∴＝f（2）+＝2﹣ln3+6﹣
综上，（n∈N*）．