实践与探索一次函数与二元一次方程（组）的关系

实践与探索
一次函数与二元一次方程（组）的关系
澄迈中学： 黄梓
一、说教材
1、教材的主要内容及地位作用
本节课是义务教育课程标准实验教科书《数学》（华东师大版）八年级下册第十八章第五节的第一课时。
函数和方程都是人们刻画现实世界的重要数学模型。用函数的观点看方程（组），使学生不仅能加深对方程（组）的理解，提高认识问题的水平，而且能从函数的角度将两者统一起来，感受数学的统一美。本节课是学生学习完一次函数的图象以及性质后对一次函数和二元一次方程（组）关系的探究，学生在探索过程中体验数形结合的思想方法和数学模型的应用价值，这对今后的学习有着十分重要的意义。
2、教学重、难点的确定
根据教材的特点以及它所处的地位分析且关注学生是否能与同伴进行有效的合作交流；关注学生是否积极的进行思考；关注学生能否探索出解决问题的方法。因此，我确定本节本节课的教学重点和难点为：
教学重点：是学生理解两个函数的图象的交点坐标与两个函数联立而成的方程组的解的关系。
教学难点：综合运用方程（组）和函数的知识解决实际问题。
3教学目标的确定
根据《教学大纲》的要求，教材的地位和作用，学生自身的特点以及学生对事物的认知规律，综合素质教育的要求，我制定以下的教学目标：
知识与技能目标
理解一次函数与二元一次方程（组）的关系，会用图象法解二元一次方程组，并会通过函数图象获取信息。
过程与方法目标
经历一次函数与二元一次方程（组）关系的探索及相关实际问题的解决过程，学会用函数的观点去认识问题。
能综合应用一次函数、二元一次方程（组）解决相关实际问题。
态度价值观目标
在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心。
二、说学情
学生已经学习过了一次函数的图像及其性质，同时已有用数学知识解决实际问题的经验。而我所任教班级的学生个性活泼，思维活跃但欠缺严谨；学生学习基础较好，初步具有对数学问题进行合作探究的意识与能力。
三、说教法和学法
本节课根据认知主体——学生的特点来看，他们已经具备了初步探究问题的能力，但是对知识的主动迁移能力较弱，为使学生更好地构建新的认知结构，促进学生的发展，我将在教学中采用探究式教学法。以学生为中心，使其在“生动活泼、民主开放、主动探索”的氛围中愉快地学习。
四、说教学程序
教学环节 教 学 过 程 设 计 意 图
（一）感知身边数学 多媒体播放一段三亚的亚龙湾中心广场的介绍视频。现在有两家旅行社可供选择：旅行社甲规定按票价的6折优惠；旅行社乙规定如果买一张全票，则其余人可享受半价优惠。这两家旅行社的全程票价都是120元。提问：如果有位顾客想去旅游的话按以上的两种收费算了一下结果都一样多。大家能否算出这位顾客家有多少人呢？应该付多少的费用？学生已经学习过列方程（组）解应用题,因此可能列出一元一次方程 或二元一次方程组，用方程模型解决问题。结合前面对一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间关系的探究，我自然地提出问题：“一次函数与二元一次方程组之间是否也有联系呢？” 建构主义认为，在实际情境中学习可以激发学生的学习兴趣。因此，用“旅游收费”这一生活实际创设情境，并用问题启发学生去思、鼓励学生去探、激励学生去说，努力给学生造成“心求通而未能得，口欲言而不能说”的情势，从而唤起学生强烈的求知欲，使他们以跃跃欲试的姿态投入到探索活动中来。
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（二）享受探究乐趣 1、探究一次函数与二元一次方程的关系填空：二元一次方程3x-y=3可以转化为________。思考：（1）直线y=3x-3上任意一点一定是方程3x-y=3的解吗？（2）是否任意的二元一次方程都可以转化为这种一次函数的形式？（3）是否直线上任意一点的坐标都是它所对应的二元一次方程的解？2、探究一次函数与二元一次方程组的关系（1）在同一坐标系中画出一次函数y=3x-3和y=2x-2的图象，观察两直线的交点坐标是否是方程组 { 的解？并探索：是否任意两个一次函数的交点坐标都是它们所对应的二元一次方程组的解？此时教师留给学生充分探索交流的时间与空间，对学生可能出现的疑问给予帮助，师生共同归纳出：从“形”的角度看，解方程组相当于确定两条直线交点的坐标。（2）当自变量取何值时，函数y=3x-3与y=2x-2的值相等？这个函数值是什么？这一问题与解方程组 { 是同一问题吗？进一步归纳出：从“数”的角度看，解方程组相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这个函数值是何值。 用一连串的问题引导学生发现一次函数与二元一次方程在数与形两个方面的关系，为探索二元一次方程组的解与直线交点坐标的关系作好铺垫。生经过自主探索、合作交流，从数和形两个角度认识一次函数与二元一次方程组的关系，真正掌握本节课的重点知识，从而在头脑中再现知识的形成过程，避免单纯地记忆，使学习过程成为一种再创造的过程。此时教师及时对学生进行鼓励，充分肯定学生的探究成果，关注学生的情感体验。
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（三）乘坐智慧快车 例题：现在有两家旅行社分别打出去三亚的亚龙湾旅游有优惠的条幅：甲旅行社说：“按票价的6折优惠。”乙旅行社说：“如果买一张全票，则其余人可享受半价优惠。”已知全程票价为120元。我们应该如何选择旅行社才更优惠呢？解：设有x人去旅行，若选择甲则收y=72x元；若选择乙则收y=60x+120元。然后在同一坐标系中分别画出这两个函数的图象，计算出交点坐标(10，720)，结合图象，利用直线上点位置的高低直观地比较函数值的大小，得到当去旅游的人数大于10个人时，选择旅行社乙省钱；当去旅游的人数小于10个人时，选择甲省钱；当参加的人数刚好是10个人时，选择甲、乙都没有区别。还有其它的方法吗？（留给学生课后思考） 为培养学生的发散思维和规范解题的习惯，引导学生将旅游问题延伸为例题，并用问题：“如果你们家想去旅游应选择哪家旅行社比较合算？”再次激起学生强烈的求知欲望和主人翁的学习姿态。通过此问题的探究，使学生有效地理解本节课的难点，体会数形结合这一思想方法的应用。
（四）体验成功喜悦 （1）、以方程5x-y=1的解为坐标的所有点都在一次函数_____的图象上。（2）、方程组 { 的解是 由此可知，一次函数y=3x-1与y=-x+3的图象必有一个交点,且交点坐标是________。 （3）课本53页问题1 抓住学生对竞争充满兴趣的心理特征，用抢答题使学生的眼、耳、脑、口得到充分的调动，并在抢答中品味成功的快乐，提高思维的速度。
教学环节 教 学 过 程 设计意图
（五）分享你我收获 在课堂临近尾声时，向学生提出：通过今天的学习，你有什么收获？你印象最深的是什么？ 培养学生归纳和语言表达能力，鼓励学生从数学知识、数学方法和数学情感等方面进行自我评价。
（六）开拓崭新天地 1、必做题（1）、当自变量取何值时，函数y=4x-1与的值相等？这个函数值是什么？ (2)课本54页的做一做2、选做题结合一次函数，就“如何选择最佳方案”这一话题写一份调查报告。 作业由必做题和选做题组成，体现分层教学，让“不同的人在数学上得到不同的发展”。