广东省佛山市顺德区2024届高三上学期期中考试数学试题（含答案）

佛山市顺德区2024届高三上学期期中考试
数学试卷
考试时间：120分钟
一、单选题
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知复数，则（ ）
A．4 B．2 C． D．1
3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
4．已知是奇函数，且在上是增函数．又，则的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．已知随机变量，则概率最大时，的取值为（ ）
A．3 B．4 C．3或4 D．4或5
6．在平面直角坐标系中，设军营所在区域为，将军从点出发，河岸线所在直线方程为，假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程（ ）
A． B． C． D．
7．图，正方体中的棱长为分别为所在棱的中点，则四棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
8．若函数在其定义域内的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围（ ）
A． B． C． D．
9．若的定义域为，且满足为偶函数，的图象关于成中心对称，则下列说法正确的个数是（ ）
①的一个周期为4
②
③图象的一条对称轴为
④
A．1 B．2 C．3 D．4
10．在等比数列中．则能使不等式成立的正整数的最大值为（ ）
A．13 B．14 C．15 D．16
11．现随机安排甲、乙等4位同学参加校运会跳高、跳远、投铅球比赛，要求每位同学参加一项比赛，每项比赛至少一位同学参加，事件“甲参加跳高比赛”，事件“乙参加跳高比赛”，事件“乙参加跳远比赛”，则（ ）
A．事件与相互独立 B．事件与为互斥事件
C． D．
12．关于函数有下述四个结论，其中结论错误的是（ ）
A． B．的图象关于直线对称
C．的图象关于对称 D．在上单调递增
二、填空题
13．已知，直线与曲线相切，则的最小值为______．
14．已知双曲线的离心率，且该双曲线经过点，则该双曲线的标准方程为______．
15．已知函数，若函数在区间上有且只有1个零点，则的取值范围是______．
16．已知函数，若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是______．
17．在中，角所对的边分别为a，b，c，，于点，且，则线段长度的最大值为______．
18．已知对任意的非负实数都成立，且，则______
三、解答题
19．如图，在棱长为的正方体中，分别是中点，过三点的平面与正方体的下底面相交于直线．
（1）画出直线的位置，并说明作图依据；（5）
（2）正方体被平面截成两部分，求较小部分几何体的体积．（10）
20．已知数列的前项和为，数列满足．
（1）证明是等差数列；（6）
（2）是否存在常数，使得对一切正整数都有成立．若存在，求出、的值；若不存在，说明理由．（9）
21．中国象棋是中国棋文化，也是中华民族的瑰宝，中国象棋使用方形格状棋盘，圆形棋子共有32个，红黑各有16个棋子，摆动和活动在交叉点上．双方交替行棋，先把对方的将（帅）将死的一方获胜，为丰富学生课余生活，现某中学举办象棋比赛，经过3轮的筛选，最后剩下甲乙丙三人进行最终决赛．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，丙与甲，乙比赛获胜的概率都为．
（1）如果甲与乙采用5局3胜制比赛（其中一人胜3局即结束比赛），那么甲胜乙的概率是多少；（6）
（2）若第一轮甲与乙比赛，丙轮空；第二轮由丙与第一轮的胜者比赛，败者轮空；第三轮由第二轮比赛的胜者与第二轮比赛的轮空者比赛，如此继续下去（每轮都只比赛一局），先胜两局者获得冠军，每场比赛相互独立且每场比赛没有平局，求乙获得冠军的概率（9）．
22．已知点在椭圆上，设点为的短轴的上、下顶点，点是椭圆上任意一点，且的斜率之积为．
（1）求的方程；（5）
（2）过的两焦点作两条相互平行的直线交于和，求四边形面积的取值范围．（10）
佛山市顺德区2024届高三上学期期中考试
数学试题
参考答案
1．B 2．A 3．B 4．A
5．B 6．D 7．B 8．A
9．C 10．C 11．A 12．C
13．9 14． 15．或或【详，
16．【详解】 因为，所以
而，所以当时，．
在上单调递减，当时，
∴在上上，
所以在上单调减，上单调递增，
，因为方程在上有两个不相等的实数根，
可知．由得，
所以，因为，
所以设，
则．
17．
18．8096
【详解】 根据题意，在中，
令可得，，
则
19．【详解】 （1）如图所示即为所求：
延长交的延长线于，连接，则即为直线的位置
∵，∴平面，平面．
∴平面平面，
又由题意显然有平面平面．
∴平面平面，则即为直线的位置（也可根据线面平行性质确定直线位罝）
（2）如图所示：
设直线与交于点，则为四等分点，正方体被平面截成两部分，较小部分为三棱台，其体积为
．
20．【详解】 （1）解：证明：因为数列的前项和为，
所以当时，，当时，，
所以，满足，
所以数列的通项公式为，所以，，所以是等差数列；
（2）解：因为，
所以，所以数列是以8为首项，为公比的等比数列，
所以；所以，
要使对一切正整数都有成立．
即，即，
所以，解得
故存在常数，当时，对一切正整数都有成立．
21．记比三局甲获胜的概率为，则，
比四局甲获胜的概率为，则，
比五局甲获胜的概率为，则，
则甲获胜的概率为，
（2）若第一轮乙胜，则第二轮由乙丙比赛，若第二轮乙胜，则结束比赛，且概率为；
若第二轮丙胜，则进入第三轮甲丙比赛，必须甲胜，再进入第四轮由甲乙比赛，并且乙获胜结束比赛，且概率为；
若第一轮甲胜，则第二轮由甲丙比赛，必须丙胜，再进入第三轮由丙乙比赛，必须乙胜，再进入第四轮由甲乙比赛，乙获胜，结束比赛，且概率为，故乙获得冠军的概率为，
22．【详解】 （1）由题意得，设，则，
故，
又的斜率之积为，故，解得，所以椭圆；
（2）由（1）知，，故，
当的斜率不存在时，四边形为矩形，
令得，，故，同理可得，
故，
故四边形面积为，
当的斜率存在时，由对称性可知，四边形为平行四边形．
设，联立得，
易得，设，
则，
则
，
设点到直．线的距离为，则，
故四边形面积为，令，则，
则，
因为，所以，故，
故，
综上：四边形面积的取值范围是．